พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ระบบควบคุม
  4. ผลตอบสนองความถี่

// บทที่ 13.11 · ระบบควบคุม · Frequency Response

ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์

ต่อฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ป้อนไซน์เข้าวงจร แล้ววัดเอาต์พุตด้วยสโคป จะเห็นไซน์ความถี่เดิม แต่ขนาดและเฟสเปลี่ยน กวาดความถี่ตั้งแต่ต่ำถึงสูง ก็ได้ “ลายนิ้วมือ” ของระบบครบถ้วน นี่คือผลตอบสนองความถี่ ซึ่งเป็นฐานของโบด ไนควิสต์ และการออกแบบตัวชดเชยทั้งหมดในส่วนที่ 5–6 สูตรใช้รหัส Q

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • อินพุต Asin⁡ωtA\sin\omega t → เอาต์พุตอยู่ตัว A∣G(jω)∣sin⁡(ωt+∠G(jω))A|G(j\omega)|\sin(\omega t + \angle G(j\omega))
  • หา G(jω)G(j\omega): แทน s=jωs = j\omega แล้วหาขนาดและมุมของจำนวนเชิงซ้อน
  • วงปิดอันดับสอง: Mr=12ζ1−ζ2M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}, แบนด์วิดท์ ≈ωn\approx \omega_n (×1.27 ที่ ζ = 0.5)
  • แบนด์วิดท์กว้าง = เร็ว · ยอดเรโซแนนซ์สูง = แกว่งมาก

ป้อนไซน์ ได้ไซน์ พื้นฐาน

Q1 Sinusoidal steady state ผลตอบสนองต่อไซน์ในสถานะอยู่ตัว

u(t)=Asin⁡ωt ⇒ yss(t)=A ∣G(jω)∣sin⁡(ωt+∠G(jω))u(t) = A\sin\omega t \ \Rightarrow\ y_{ss}(t) = A\,|G(j\omega)|\sin\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big)

ใช้ได้เมื่อ GG เสถียร (พจน์ชั่วครู่หายไปแล้ว) · ∣G(jω)∣|G(j\omega)| = อัตราขยาย · ∠G(jω)\angle G(j\omega) = เฟส (ลบ = ล้าหลัง) · คือแนวคิดเฟสเซอร์ในวงจร AC นั่นเอง

ตัวอย่าง Q-1 · วงจร RC กับสโคป

วงจร RC R=1 kΩ, C=1 μFR = 1\ \text{k}\Omega,\ C = 1\ \mu\text{F} ป้อน 2sin⁡(2π⋅1000t)2\sin(2\pi \cdot 1000t) V จะเห็นเอาต์พุตบนสโคปเป็นอย่างไร

  1. G(s)=1RCs+1=10.001s+1G(s) = \dfrac{1}{RCs + 1} = \dfrac{1}{0.001s + 1} ความถี่มุม 1000 rad/s (159 Hz)

  2. ω=6283\omega = 6283 rad/s: G(jω)=11+j6.283G(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j6.283} Q1

    ∣G∣=11+6.2832=0.157 (−16.1 dB),∠G=−tan⁡−16.283=−81∘|G| = \frac{1}{\sqrt{1 + 6.283^2}} = 0.157 \ (-16.1\ \text{dB}), \qquad \angle G = -\tan^{-1}6.283 = -81^\circ

เอาต์พุต 0.314sin⁡(ωt−81∘)0.314\sin(\omega t - 81^\circ) V: แอมพลิจูด 0.31 V ล้าหลังเกือบ 90° (เลื่อนไปทางขวา 0.225 ms บนสโคป) · ลองวัดจริงในออสซิลโลสโคปจำลอง

สเปกในโดเมนความถี่ของวงปิด กลาง

Q2 Resonant peak ยอดเรโซแนนซ์ของวงปิดอันดับสอง

Mr=12ζ1−ζ2,ωr=ωn1−2ζ2(ζ<0.707)M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}}, \qquad \omega_r = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2} \qquad (\zeta \lt 0.707)

MrM_r สูง ↔ overshoot มาก · ค่าที่นิยมในการออกแบบ 1.1<Mr<1.51.1 \lt M_r \lt 1.5 (0.8–3.5 dB)

Q3 Bandwidth แบนด์วิดท์วงปิด (−3 dB)

ωBW=ωn1−2ζ2+4ζ4−4ζ2+2,tr ωBW≈1.8 ถึง 2.2\omega_{BW} = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2 + \sqrt{4\zeta^4 - 4\zeta^2 + 2}}, \qquad t_r\,\omega_{BW} \approx 1.8 \text{ ถึง } 2.2

ζ = 0.5 → 1.27ωn1.27\omega_n · ζ = 0.707 → ωn\omega_n · ζ = 1 → 0.64ωn0.64\omega_n · ใช้ ωBW≈ωgc\omega_{BW} \approx \omega_{gc} ถึง 2ωgc2\omega_{gc} จากโบดวงเปิด (G5)

Q4 Closed loop from open loop อ่านวงปิดจากวงเปิด

∣L∣≫1: T≈1, S≈1L∣L∣≪1: T≈L, S≈1|L| \gg 1:\ T \approx 1,\ S \approx \frac1L \qquad\qquad |L| \ll 1:\ T \approx L,\ S \approx 1

ความถี่ต่ำที่ลูปเกนสูง วงปิดติดตามดี · ความถี่สูงที่ลูปเกนต่ำ วงปิดเท่ากับวงเปิด (ลดสัญญาณรบกวน) · ช่วงรอยต่อที่ ∣L∣≈1|L| \approx 1 คือจุดที่เสถียรภาพตัดสิน (มาร์จิน)

ตัวอย่าง Q-2 · ระบบ ζ = 0.5

วงปิด T(s)=16s2+4s+16T(s) = \dfrac{16}{s^2 + 4s + 16} หา Mr, ωrM_r,\ \omega_r และแบนด์วิดท์

  1. ωn=4, ζ=0.5\omega_n = 4,\ \zeta = 0.5 · Mr=12(0.5)(0.866)=1.155M_r = \dfrac{1}{2(0.5)(0.866)} = 1.155 (1.25 dB) Q2

  2. ωr=40.5=2.83\omega_r = 4\sqrt{0.5} = 2.83 rad/s · ωBW=4×1.272=5.09\omega_{BW} = 4 \times 1.272 = 5.09 rad/s Q3

Mr=1.155M_r = 1.155 ที่ 2.83 rad/s · แบนด์วิดท์ 5.09 rad/s · ทำนายเวลาขึ้น ≈1.8/5.09=0.35\approx 1.8/5.09 = 0.35 s ถึง 2.2/5.09=0.432.2/5.09 = 0.43 s (ค่าจริง 10–90% คือ 0.42 s)

ทำไมต้องมองในโดเมนความถี่

  • วัดได้จริง: ไม่ต้องมีสมการ ใช้ FG + สโคป หรือ network analyzer กวาดความถี่ (ห้องแล็บพาวเวอร์ซัพพลายทำแบบนี้ทุกวัน)
  • ต่ออนุกรม = บวกกราฟ: บนโบด เพิ่มตัวชดเชยแค่บวกเส้น
  • ใช้กับคลื่นอะไรก็ได้ที่เป็นคาบ: แยกเป็นฮาร์มอนิกด้วยอนุกรมฟูเรียร์ แล้วคูณ H(jnω0)H(jn\omega_0) ทีละตัว (วิเคราะห์วงจรทีละฮาร์มอนิก)
  • หน่วงเวลาไม่ใช่ปัญหา: e−jωTe^{-j\omega T} มีขนาด 1 เฟส −ωT-\omega T
  • เห็นสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์: รู้ทันทีว่าความถี่ไหนถูกขยาย
  • ความทนทาน: มาร์จินบอกว่าพลานต์เปลี่ยนได้แค่ไหน

แล็บ: ชี้ความถี่ อ่านขนาดและเฟส

ชี้เมาส์บนกราฟโบดเพื่ออ่าน ∣L(jω)∣|L(j\omega)| และ ∠L(jω)\angle L(j\omega) ที่ความถี่ใดก็ได้ ลองพิมพ์ 16/(s2+4s+16)16/(s^2+4s+16) แล้วหายอดเรโซแนนซ์

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ข้อมูลความถี่ทั้งหมดวาดให้เร็วและออกแบบได้ด้วยโบดไดอะแกรม ไปฝึกวาดด้วยมือต่อเลย

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้นแล้วได้ไซน์ความถี่เดิม?

เพราะ e^{jωt} เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction) ของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ผ่านอนุพันธ์และอินทิกรัลแล้วยังเป็นรูปเดิม ถูกคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน G(jω) เท่านั้น ขนาดจึงถูกคูณด้วย |G(jω)| และเฟสถูกเลื่อน ∠G(jω) ส่วนความถี่ไม่เปลี่ยน

แบนด์วิดท์ของระบบควบคุมบอกอะไร?

บอกช่วงความถี่ที่ระบบวงปิดติดตามค่าอ้างอิงได้ดี (ขนาดลดไม่เกิน 3 dB) แบนด์วิดท์กว้างหมายถึงตอบสนองเร็ว เวลาขึ้นประมาณ 1.8 ถึง 2.2 หารด้วยแบนด์วิดท์ แต่ก็รับสัญญาณรบกวนความถี่สูงเข้ามามากขึ้นด้วย

ทำไมวิศวกรชอบออกแบบในโดเมนความถี่?

เพราะวัดได้จากระบบจริงโดยไม่ต้องมีแบบจำลอง จัดการหน่วงเวลาได้ตรง ๆ เห็นผลของสัญญาณรบกวนและเรโซแนนซ์ชัด และการต่อบล็อกอนุกรมเป็นแค่การบวกกราฟโบด จึงเป็นภาษาหลักของงานออกแบบแอมป์ พาวเวอร์ซัพพลาย และเซอร์โว

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์