พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. อนุกรมในงานวิศวกรรม

// บทที่ 26.8 · ลำดับและอนุกรม · Series in Engineering

อนุกรมในงานวิศวกรรม (Series in Engineering): การประมาณ วงจรไม่เชิงเส้น สัญญาณดิจิทัล การแปลง Z และวิธีเชิงตัวเลข

สูตรวิศวกรรมจำนวนมากที่ท่องกันมา เช่น T=2πL/gT = 2\pi\sqrt{L/g}, rd=VT/IDr_d = V_T/I_D หรือ “ค่าคงที่เวลา 5τ” แท้จริงคือพจน์แรกของอนุกรม การรู้ว่าตัดพจน์ไหนทิ้งไปบอกได้ทันทีว่าสูตรใช้ได้ถึงแค่ไหน หน้านี้รวมตัวอย่างจากกลศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ ระบบฝังตัว การประมวลผลสัญญาณ วงจร และเศรษฐศาสตร์วิศวกรรม ทุกตัวเลขคำนวณซ้ำได้ในแล็บ

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บการประมาณ มุมเล็ก · ลูกตุ้ม ไดโอด sin บนชิป ตัวกรองดิจิทัล
สรุปใน 30 วินาที
  • การทำให้เป็นเชิงเส้น = พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 1 · พจน์ถัดไปบอกขอบเขตความแม่นยำ
  • sin θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ 14° · คาบลูกตุ้มที่ 60° ยาวกว่าสูตรมุมเล็ก 7.3 %
  • ลำดับเรขาคณิต = ผลตอบสนองของตัวกรองอันดับหนึ่ง · การแปลง Z = อนุกรมโลรองต์ · เสถียร ⇔ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์
  • sin บน float32: ลดช่วงเป็น [−π/2, π/2] แล้วใช้ 6 พจน์ด้วย Horner

ประมาณมุมเล็กและคาบลูกตุ้มมุมกว้าง พื้นฐาน

สมการลูกตุ้ม θ¨+gLsin⁡θ=0\ddot\theta + \tfrac{g}{L}\sin\theta = 0 แก้เป็นสูตรปิดไม่ได้ แต่ถ้าแทน sin⁡θ\sin\theta ด้วยพจน์แรก θ\theta จะได้สมการการสั่นอย่างง่ายที่มีคาบ T0=2πL/gT_0 = 2\pi\sqrt{L/g} คำถามทางวิศวกรรมคือ “ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร” ซึ่งพจน์ถัดไปของอนุกรมตอบได้

E1 Small-angle approximations การประมาณมุมเล็ก

sin⁡θ≈θ−θ36,tan⁡θ≈θ+θ33,cos⁡θ≈1−θ22;θ−sin⁡θsin⁡θ≈θ26\sin\theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6},\quad \tan\theta \approx \theta + \frac{\theta^3}{3},\quad \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2};\qquad \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} \approx \frac{\theta^2}{6}

θ เป็นเรเดียน · ความคลาด 1 %: sin θ ≈ θ ถึง 14.0° · tan θ ≈ θ ถึง 9.9° · cos θ ≈ 1 ถึง 8.1°

E2 Pendulum period, any amplitude คาบลูกตุ้มทุกมุม

TT0=2πK ⁣(sin⁡θ02)=1+θ0216+11 θ043072+173 θ06737280+⋯\frac{T}{T_0} = \frac{2}{\pi}K\!\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right) = 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \frac{173\,\theta_0^6}{737280} + \cdots

K คืออินทิกรัลวงรีชนิดที่หนึ่ง · คำนวณแม่นตรงได้ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต T/T0=1/AGM⁡(1,cos⁡θ02)T/T_0 = 1/\operatorname{AGM}(1, \cos\tfrac{\theta_0}{2})

ตัวอย่าง E-1 · ลูกตุ้มนาฬิกาและเครน

ลูกตุ้มยาว 1 m แกว่งด้วยแอมพลิจูด 60° คาบจริงยาวกว่าสูตร 2πL/g2\pi\sqrt{L/g} กี่เปอร์เซ็นต์ และถ้าใช้สองพจน์แรกของ E2 คลาดเท่าไร (g = 9.81 m/s²)

  1. T0=2π1/9.81=2.006T_0 = 2\pi\sqrt{1/9.81} = 2.006 s · θ0=π/3=1.0472\theta_0 = \pi/3 = 1.0472 rad

  2. ค่าแม่นตรง T/T0=1.07318T/T_0 = 1.07318 ⇒ T=2.153T = 2.153 s ยาวกว่าสูตรมุมเล็ก 7.3 %

  3. สองพจน์: 1+(1.0472)216=1.068541 + \tfrac{(1.0472)^2}{16} = 1.06854 คลาด −0.43 % · สามพจน์: 1.07285 คลาด −0.03 %

ยาวกว่า 7.3 % — นาฬิกาลูกตุ้มจึงใช้แอมพลิจูดเล็ก ส่วนเครนยกของที่แกว่งมุมกว้างต้องใช้สูตรเต็มในการคำนวณระบบป้องกันการแกว่ง

แบบจำลองสัญญาณเล็ก: ไดโอดและทรานซิสเตอร์ กลาง

วงจรอิเล็กทรอนิกส์ทั้งหมดที่เรียนในวิชาอิเล็กทรอนิกส์อนาล็อกวิเคราะห์ด้วย “แบบจำลองสัญญาณเล็ก” ซึ่งคือการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดทำงาน (bias point) แล้วเก็บแค่พจน์ดีกรีหนึ่ง พจน์ดีกรีสองที่ทิ้งไปคือที่มาของความเพี้ยนฮาร์มอนิก

E3 Diode small-signal model แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอด

iD=ISevD/VT⇒Δi=ID(eΔv/VT−1)=ID(ΔvVT+Δv22VT2+⋯ ),gm=IDVT, rd=VTIDi_D = I_S e^{v_D/V_T} \Rightarrow \Delta i = I_D\left(e^{\Delta v/V_T} - 1\right) = I_D\left(\frac{\Delta v}{V_T} + \frac{\Delta v^2}{2V_T^2} + \cdots\right),\quad g_m = \frac{I_D}{V_T},\ r_d = \frac{V_T}{I_D}

VT=kT/q≈25.85V_T = kT/q \approx 25.85 mV ที่ 300 K · BJT ใช้สูตรเดียวกัน gm=IC/VTg_m = I_C/V_T · MOSFET (กำลังสอง): gm=2ID/Vovg_m = 2I_D/V_{ov}

E4 Second-harmonic distortion ความเพี้ยนฮาร์มอนิกที่สอง

Δv=Vpcos⁡ωt⇒IDVp22VT2cos⁡2ωt=IDVp24VT2(1+cos⁡2ωt)\Delta v = V_p\cos\omega t \Rightarrow \frac{I_D V_p^2}{2V_T^2}\cos^2\omega t = \frac{I_D V_p^2}{4V_T^2}(1 + \cos 2\omega t)

อัตราส่วนฮาร์มอนิกที่สองต่อพื้นฐาน ≈Vp4VT\approx \dfrac{V_p}{4V_T} · 2.6 mV ให้ราว 2.5 %

ตัวอย่าง E-2 · สัญญาณเล็กแค่ไหน

ไดโอดไบแอสที่ ID=1I_D = 1 mA หา rdr_d และความคลาดของแบบจำลองเชิงเส้นเมื่อ Δv=1\Delta v = 1, 5 และ 10 mV

  1. rd=VT/ID=25.85 Ωr_d = V_T/I_D = 25.85\ \Omega · gm=38.7g_m = 38.7 mS

  2. Δv=1\Delta v = 1 mV: จริง 1 (e1/25.85−1)=0.039441\,(e^{1/25.85} - 1) = 0.03944 mA · เชิงเส้น 0.03868 mA ⇒ คลาด −1.9 %

  3. Δv=5\Delta v = 5 mV: จริง 0.2134 mA · เชิงเส้น 0.1934 mA ⇒ −9.4 % · เพิ่มพจน์ดีกรีสองเหลือ −0.6 %

  4. Δv=10\Delta v = 10 mV: เชิงเส้นคลาด −18 % · ดีกรีสองคลาด −2.3 %

rd=25.85 Ωr_d = 25.85\ \Omega · “สัญญาณเล็ก” สำหรับไดโอดหมายถึงไม่กี่มิลลิโวลต์ (≪ V_T)

แล็บการประมาณในงานวิศวกรรม พื้นฐาน

สามโหมด: คาบลูกตุ้มเทียบสูตรอนุกรม 1–5 พจน์ · ความคลาดของ sin x จากอนุกรมบนช่วง [−π, π] เทียบ ε ของ float32 พร้อมโค้ดภาษา C · ไดโอดสัญญาณเล็กเทียบแบบเชิงเส้นและดีกรีสอง

คำนวณ sin x และ eˣ บนไมโครคอนโทรลเลอร์ กลาง

ชิปที่ไม่มีหน่วยคำนวณฟังก์ชันพิเศษต้องคำนวณ sin, cos, exp เองจากการบวกและคูณ สองเทคนิคที่ทำให้อนุกรมเทย์เลอร์ใช้งานได้จริงคือการลดช่วง (ทำให้ |x| เล็ก เพราะเศษเหลือแปรตาม ∣x∣n+1|x|^{n+1}) และวิธีของฮอร์เนอร์ (ลดจำนวนการคูณและความคลาดจากการปัดเศษ)

E5 Horner's method วิธีของฮอร์เนอร์

sin⁡x≈x(1+x2(−13!+x2(15!+x2(−17!+⋯ ))))\sin x \approx x\left(1 + x^2\left(-\tfrac{1}{3!} + x^2\left(\tfrac{1}{5!} + x^2\left(-\tfrac{1}{7!} + \cdots\right)\right)\right)\right)

ดีกรี n ใช้การคูณ n ครั้ง (แทนการคำนวณกำลังแยก) · ทุกขั้นเป็น multiply-add ที่ DSP ทำได้ในคำสั่งเดียว

E6 Range reduction การลดช่วง

sin⁡x=sin⁡(π−x),  sin⁡(x+2πk)=sin⁡x;ex=2ker,  ∣r∣≤ln⁡22\sin x = \sin(\pi - x),\ \ \sin(x + 2\pi k) = \sin x;\qquad e^x = 2^k e^r,\ \ |r| \le \tfrac{\ln 2}{2}

หลังลดช่วง |x| ≤ π/2 สำหรับ sin และ |r| ≤ 0.347 สำหรับ exp ทำให้ใช้พจน์น้อย · 2k2^k คือการปรับเลขชี้กำลังของ float โดยตรง

ตัวอย่าง E-3 · ใช้กี่พจน์สำหรับ float32

ต้องใช้อนุกรมแมคลอรินของ sin x กี่พจน์บนช่วง ∣x∣≤π/2|x| \le \pi/2 ให้คลาดไม่เกินครึ่งหน่วยหลักสุดท้ายของ float32 ใกล้ 1 (ประมาณ 6×10−86\times10^{-8})

  1. อนุกรมสลับ ความคลาด ≤ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ที่ขอบช่วง x=π/2x = \pi/2: K พจน์ ⇒ (π/2)2K+1(2K+1)!\dfrac{(\pi/2)^{2K+1}}{(2K+1)!}

  2. K = 5 (ดีกรี 9): 3.6×10−63.6\times10^{-6} ไม่พอ · K = 6 (ดีกรี 11): 5.7×10−85.7\times10^{-8} ✓

  3. ถ้าไม่ลดช่วง (|x| ≤ π) ด้วย 6 พจน์ ความคลาดสูงสุดถึง 4.5×10−44.5\times10^{-4} แย่กว่าเกือบหมื่นเท่า

6 พจน์ (ดีกรี 11) หลังลดช่วง · ใช้การคูณ 7 ครั้งด้วย Horner

ตัวกรองดิจิทัล ลำดับเรขาคณิต และการแปลง Z กลาง

ตัวกรองค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักเอกซ์โพเนนเชียล (EMA) ที่ใช้กรองสัญญาณเซนเซอร์ในไมโครคอนโทรลเลอร์ คือความสัมพันธ์เวียนเกิดอันดับหนึ่ง (Q8) ผลตอบสนองทั้งหมดอ่านได้จากอนุกรมเรขาคณิต

E7 First-order IIR filter ตัวกรองดิจิทัลอันดับหนึ่ง

y[n]=a y[n−1]+(1−a) x[n]:h[n]=(1−a)anu[n],s[n]=∑k=0nh[k]=1−an+1,H(z)=1−a1−az−1, ∣z∣>∣a∣y[n] = a\,y[n-1] + (1-a)\,x[n]:\quad h[n] = (1-a)a^n u[n],\quad s[n] = \sum_{k=0}^{n} h[k] = 1 - a^{n+1},\quad H(z) = \frac{1-a}{1 - az^{-1}},\ |z| > |a|

อัตราขยาย DC =∑h[n]=H(1)=1= \sum h[n] = H(1) = 1 · ค่าคงที่เวลาประมาณ 11−a\tfrac{1}{1-a} ตัวอย่าง · เสถียร ⇔ ∑∣h[n]∣<∞\sum|h[n]| < \infty ⇔ ∣a∣<1|a| < 1 (L12)

ตัวอย่าง E-4 · ตัวกรองเซนเซอร์

ตัวกรอง y[n]=0.9 y[n−1]+0.1 x[n]y[n] = 0.9\,y[n-1] + 0.1\,x[n] เริ่มจาก y[−1]=0y[-1] = 0 ป้อนขั้นบันได x[n]=1x[n] = 1 ต้องใช้กี่ตัวอย่างเอาต์พุตจึงถึง 95 % ถ้าสุ่มตัวอย่างทุก 10 ms คิดเป็นเวลาเท่าไร

  1. จาก E7: y[n]=1−0.9n+1y[n] = 1 - 0.9^{n+1} ต้องการ 0.9n+1≤0.050.9^{n+1} \le 0.05

  2. n+1≥ln⁡0.05ln⁡0.9=28.43n + 1 \ge \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.9} = 28.43 ⇒ n+1=29n + 1 = 29 ⇒ n=28n = 28 (ตัวอย่างที่ 29 นับจาก n = 0) · ตรวจ y[27]=0.948y[27] = 0.948, y[28]=0.953y[28] = 0.953

  3. เวลา ≈29×10=290\approx 29 \times 10 = 290 ms

29 ตัวอย่าง ≈ 0.29 s — ค่า a ใกล้ 1 กรองสัญญาณรบกวนได้มาก แต่ตอบสนองช้า (แลกเปลี่ยนแบบเดียวกับ τ ของวงจร RC)

บันไดตัวต้านทานอนันต์และเศษส่วนต่อเนื่อง กลาง

สายส่งสัญญาณยาวและแบบจำลองสายเคเบิลมักเป็นบันไดของตัวต้านทานหรืออิมพีแดนซ์ซ้ำกันหลายขั้น ความต้านทานที่มองเข้าไปเป็นลำดับเวียนเกิด และขีดจำกัดของมันคือ “อิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ” (characteristic impedance)

R_in →RRRRRR⋯R_∞ = R(1 + √5)/2 ≈ 1.618 R
บันไดตัวต้านทาน แต่ละขั้นมี R อนุกรมและ R ขนานลงกราวด์ ความต้านทานที่มองเข้า Rn+1=R+R∥RnR_{n+1} = R + R\parallel R_n

E8 Infinite resistor ladder บันไดตัวต้านทานอนันต์

Rn+1=R+R RnR+Rn,R∞=R+R R∞R+R∞⇒R∞=1+52R≈1.618RR_{n+1} = R + \frac{R\,R_n}{R + R_n},\quad R_\infty = R + \frac{R\,R_\infty}{R + R_\infty} \Rightarrow R_\infty = \frac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R

Rn/R=F2n+1/F2nR_n/R = F_{2n+1}/F_{2n} (อัตราส่วนฟีโบนัชชี: 2, 5/3, 13/8, 34/21, …) ลู่เข้าเร็วแบบเรขาคณิต

ตัวอย่าง E-5 · ขั้นจำกัด

R = 10 Ω หาความต้านทานของบันไดอนันต์ และบันได 1–5 ขั้นคลาดจากค่าอนันต์เท่าไร

  1. R∞=10×1.6180=16.180 ΩR_\infty = 10 \times 1.6180 = 16.180\ \Omega

  2. R1=20, R2=16.667, R3=16.250, R4=16.190, R5=16.182 ΩR_1 = 20,\ R_2 = 16.667,\ R_3 = 16.250,\ R_4 = 16.190,\ R_5 = 16.182\ \Omega

  3. ความคลาด: 23.6 %, 3.0 %, 0.43 %, 0.063 %, 0.009 % (ลดลงประมาณ 7 เท่าต่อขั้น ≈ φ4\varphi^4)

16.18 Ω · บันไดเพียง 4 ขั้นก็ใช้แทนสายยาวไม่สิ้นสุดได้ในทางปฏิบัติ

เศรษฐศาสตร์วิศวกรรม: มูลค่าปัจจุบันเป็นอนุกรมเรขาคณิต พื้นฐาน

E9 Present value of an annuity มูลค่าปัจจุบันของรายรับคงที่

PV=∑k=1nA(1+i)k=A 1−(1+i)−ni,n→∞: PV=AiPV = \sum_{k=1}^{n}\frac{A}{(1+i)^k} = A\,\frac{1 - (1+i)^{-n}}{i},\qquad n \to \infty:\ PV = \frac{A}{i}

เป็น S5 กับ r=11+ir = \tfrac{1}{1+i} · ใช้เทียบโครงการโซลาร์ ตู้คาปาซิเตอร์ หรือการเปลี่ยนมอเตอร์ประสิทธิภาพสูง

ตัวอย่าง E-6 · โซลาร์รูฟท็อป

ระบบโซลาร์ช่วยประหยัดค่าไฟปีละ 12,000 บาท นาน 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ต่อปี มูลค่าปัจจุบันรวมเท่าไร

  1. PV=12,000×1−1.06−250.06=12,000×12.7834PV = 12{,}000 \times \dfrac{1 - 1.06^{-25}}{0.06} = 12{,}000 \times 12.7834

  2. =153,400= 153{,}400 บาท (เทียบกับรวมเงินตรง ๆ 300,000 บาท และถ้าประหยัดตลอดไป 12,000/0.06=200,00012{,}000/0.06 = 200{,}000 บาท)

≈ 153,400 บาท — ถ้าติดตั้งได้ต่ำกว่านี้ (และค่าบำรุงรักษารวมแล้ว) โครงการคุ้มค่า ดูการออกแบบเต็มในเศรษฐศาสตร์โซลาร์เซลล์

การแพร่ความคลาดเคลื่อนจากการวัด กลาง

E10 Linear error propagation การแพร่ความคลาดเคลื่อนเชิงเส้น

Δf≈f′(x) Δx,f=Cxk⇒Δff≈kΔxx\Delta f \approx f'(x)\,\Delta x,\qquad f = Cx^k \Rightarrow \frac{\Delta f}{f} \approx k\frac{\Delta x}{x}

พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่ง · หลายตัวแปรใช้อนุพันธ์ย่อย Δf≈∣fx∣Δx+∣fy∣Δy\Delta f \approx |f_x|\Delta x + |f_y|\Delta y

E11 Early-time RC response ช่วงแรกของวงจร RC

vC=V(1−e−t/τ)=V(tτ−t22τ2+⋯ )≈Vτtv_C = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = V\left(\frac{t}{\tau} - \frac{t^2}{2\tau^2} + \cdots\right) \approx \frac{V}{\tau}t

ช่วง t≪τt \ll \tau ตัวเก็บประจุชาร์จเป็นเส้นตรงเหมือนป้อนด้วยแหล่งจ่ายกระแส I=V/RI = V/R (หลักของวงจรสร้างสัญญาณฟันเลื่อย)

ตัวอย่าง E-7 · กำลังไฟฟ้า

แรงดันจ่ายตัวต้านทานผิดพลาด +1 % กำลัง P=V2/RP = V^2/R ผิดพลาดเท่าไร

  1. E10 กับ k = 2: ΔPP≈2×1%=2%\dfrac{\Delta P}{P} \approx 2\times1\% = 2\%

  2. ค่าแม่นตรง (1.01)2−1=2.01%(1.01)^2 - 1 = 2.01\% พจน์ที่ทิ้งคือ (ΔV/V)2(\Delta V/V)^2

≈ 2 % — กฎ “ความคลาดสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลัง” ใช้ตรวจสเปกเครื่องวัดได้รวดเร็ว

อนุกรมที่อยู่เบื้องหลังวิชาอื่นในหลักสูตร พื้นฐาน

สัญญาณ · ไฟฟ้ากำลัง

อนุกรมฟูริเยร์

อนุกรมของ sin-cos แทนรูปคลื่นคาบ ใช้วิเคราะห์ฮาร์มอนิก THD และวงจรเรียงกระแส

 วงจร · ควบคุม

Inverse Laplace ด้วยเรซิดิว

แยกเศษส่วนย่อย = หาเรซิดิว (อนุกรมโลรองต์) ของ F(s)eˢᵗ ที่แต่ละโพล

 ควบคุมดิจิทัล

การแปลง Z และ ZOH

ROC เป็นวงแหวนของอนุกรมโลรองต์ เสถียรเมื่อโพลอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วย

 อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

แบบจำลองเฉลี่ยและสัญญาณเล็ก

ทำให้คอนเวอร์เตอร์ที่สวิตช์ไม่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน แบบเดียวกับไดโอด

ต่อไป: ฝึกโจทย์ให้พร้อมสอบ

ทุกเครื่องมือในบทพร้อมแล้ว ไปทดสอบความเข้าใจที่ แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม ซึ่งมีโจทย์ 60 ข้อสามระดับพร้อมเฉลย และเครื่องสุ่มโจทย์ไม่จำกัด · ใช้เครื่องมือทั้งหมดใน แล็บรวม · ทบทวน อนุกรมเทย์เลอร์

คำถามที่พบบ่อย

ประมาณ sin θ ≈ θ ใช้ได้ถึงมุมเท่าไร?

ขึ้นกับความคลาดที่ยอมรับได้ ความคลาดสัมพัทธ์ประมาณ θ2/6\theta^2/6 (θ เป็นเรเดียน) ถ้ายอมให้คลาด 1 % ใช้ได้ถึงราว 0.244 rad หรือ 14° ส่วน tan θ ≈ θ คลาด 1 % ที่ราว 9.9° และ cos θ ≈ 1 คลาด 1 % ที่ราว 8.1°

แบบจำลองสัญญาณเล็กของไดโอดมาจากไหน?

มาจากพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่งของสมการไดโอด i=IS(ev/VT−1)i = I_S(e^{v/V_T} - 1) รอบจุดไบแอส ได้ Δi≈(ID/VT)Δv\Delta i \approx (I_D/V_T)\Delta v คือความนำ gm=ID/VTg_m = I_D/V_T หรือความต้านทาน rd=VT/IDr_d = V_T/I_D ใช้ได้ดีเมื่อ ∣Δv∣≪VT≈26|\Delta v| \ll V_T \approx 26 mV ที่ 1 mV คลาดราว 2 % ที่ 10 mV คลาดราว 18 %

ไมโครคอนโทรลเลอร์คำนวณ sin x ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์จริงไหม?

ใช้หลักการเดียวกัน: ลดช่วง (range reduction) ให้ x อยู่ในช่วงเล็ก แล้วประเมินพหุนามด้วยวิธีของฮอร์เนอร์ ช่วง [−π/2, π/2] ต้องใช้ 6 พจน์ (ดีกรี 11) จึงคลาดไม่เกิน 5.7×10−85.7\times10^{-8} พอสำหรับ float32 ไลบรารีจริงลดช่วงเหลือ [−π/4, π/4] และใช้สัมประสิทธิ์แบบ minimax ที่ปรับจากเทย์เลอร์

อนุกรมเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลและการแปลง Z อย่างไร?

ผลตอบสนองอิมพัลส์ของตัวกรองอันดับหนึ่ง h[n]=(1−a)anh[n] = (1-a)a^n เป็นลำดับเรขาคณิต ผลตอบสนองต่อขั้นบันไดคือผลบวกย่อยของมัน และการแปลง Z H(z)=∑h[n]z−nH(z) = \sum h[n]z^{-n} คืออนุกรมโลรองต์ ระบบเสถียรเมื่อ ∑∣h[n]∣\sum|h[n]| ลู่เข้า ซึ่งสำหรับตัวกรองนี้คือ ∣a∣<1|a| < 1

มูลค่าปัจจุบันของรายรับที่ได้เท่ากันทุกปีคำนวณอย่างไร?

เป็นอนุกรมเรขาคณิตจำกัด PV=∑k=1nA(1+i)k=A1−(1+i)−niPV = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k} = A\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i} เช่น ประหยัดปีละ 12,000 บาท 25 ปี อัตราคิดลด 6 % ได้ PV ≈ 153,400 บาท ถ้าไม่สิ้นสุดได้ A/i = 200,000 บาท

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์