ค่าลำดับขั้นของเมทริกซ์ (แรงก์, Rank of a Matrix): หาด้วยการลดแถวและไมเนอร์ โจทย์พารามิเตอร์ k และทฤษฎีบทการมีคำตอบ

1. ใช้ $\hlP{1}$ ที่มุมบนซ้ายเป็นตัวหลัก กำจัดหลักที่ 1: $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

2. ตัวหลักถัดไปคือ $-1$ กำจัดใต้มัน: $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 2 & -1 \\ 0 & \hlP{-1} & 3 \\ \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}A = 2$ (แถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว)

เหตุผล: แถว 3 = แถว 1 + แถว 2 พอดี $(1+2,\ 2+3,\ -1+1) = (3, 5, 0)$ · ตรวจซ้ำ $\det A = 0$ สอดคล้องกัน

1. $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 + R_1$

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

2. หลักที่ 2 ใต้แถว 1 เป็นศูนย์หมด จึงข้ามไปหลักที่ 3 ใช้ $1$ เป็นตัวหลัก: $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & \hlP{1} & 1 \\ \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}B = 2$ ตัวหลักอยู่หลักที่ 1 และ 3

หลักที่ 2 ไม่มีตัวหลักเพราะหลัก 2 = 2 × หลัก 1 และหลัก 4 = 3 × หลัก 1 + หลัก 3 ตรวจ: $3\cdot(1, 2, -1) + (0, 1, 2) = (3, 7, -1)$ ✓

1. $R_2 - R_1,\ R_3 - R_1,\ R_4 - 2R_1$

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

2. $R_3 - 2R_2,\ R_4 - R_2$

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \hlP{1} & 2 & 3 \\ 0 & 0 & \hlP{1} & 3 \\ \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank}C = 3$

สังเกตตั้งแต่แรก: แถว 4 = แถว 1 + แถว 2 จึงคาดว่าแรงก์ไม่เกิน 3 ส่วนสามแถวแรก (สามเหลี่ยมปาสคาล) อิสระกัน

1. ไมเนอร์อันดับ 3 มีตัวเดียวคือ $\det A$ D2

   $$\det A = (45 + 84 + 96) - (105 + 48 + 72) = 225 - 225 = 0 \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A \lt 3$$

2. ลองไมเนอร์อันดับ 2 มุมบนซ้าย R4

   $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 8 = -3 \ne 0$$

$\operatorname{rank}A = 2$

ไม่ต้องตรวจไมเนอร์ 2×2 ครบทั้ง 9 ตัว เจอตัวที่ไม่เป็นศูนย์เพียงตัวเดียวก็พอ · ข้อควรระวัง: ถ้าเมทริกซ์ $4\times4$ ต้องไล่ไมเนอร์จำนวนมาก การลดแถวจะเร็วกว่า

1. กระจายตามแถวแรก D4

   $$\det A = 1(k - 1) - 1(1 - k) + k(1 - k^2) = -k^3 + 3k - 2 = \hlF{-(k - 1)^2(k + 2)}$$

2. $k \ne 1$ และ $k \ne -2$: $\det A \ne 0$ จึงได้ $\operatorname{rank}A = 3$ R5

3. $k = 1$: ทุกแถวเป็น $(1, 1, 1)$ ลดแถวเหลือแถวเดียว

   $$\begin{pmatrix} \hlP{1} & 1 & 1 \\ \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} \\ \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A = 1$$

4. $k = -2$: $R_2 - R_1,\ R_3 + 2R_1$ แล้ว $R_3 + R_2$

   $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \hlP{1} & 1 & -2 \\ 0 & \hlP{-3} & 3 \\ \hlU{0} & \hlU{0} & \hlU{0} \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \operatorname{rank}A = 2$$

$\operatorname{rank}A = 3$ เมื่อ $k \ne 1, -2$ · $\operatorname{rank}A = 1$ เมื่อ $k = 1$ · $\operatorname{rank}A = 2$ เมื่อ $k = -2$

ราก $k = 1$ เป็นรากซ้ำสองชั้น แรงก์ก็ลดลงสองขั้นพอดี (จาก 3 เหลือ 1) เป็นเรื่องบังเอิญที่ดีของเมทริกซ์สมมาตรนี้ ไม่ใช่กฎทั่วไป

1. ลดแถวเมทริกซ์แต่งเติม: $R_2 - R_1,\ R_3 - R_1$

   $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a - 1 & b - 1 \end{array}\right)$$

2. $R_3 - 2R_2$

   $$\left(\begin{array}{ccc|c} \hlP{1} & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \hlP{1} & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \hlF{a - 5} & \hlF{b - 3} \end{array}\right)$$

3. อ่านแถวสุดท้ายด้วย R7

   $$\begin{aligned} a \ne 5 &: \ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = 3 \Rightarrow \text{คำตอบเดียว} \\ a = 5,\ b = 3 &: \ \text{แถว } [0\ 0\ 0 \mid 0] \Rightarrow \operatorname{rank} = 2 = 2 \lt 3 \Rightarrow \text{ไม่จำกัด} \\ a = 5,\ b \ne 3 &: \ [0\ 0\ 0 \mid b - 3] \Rightarrow 2 \lt 3 \Rightarrow \text{ไม่มีคำตอบ} \end{aligned}$$

4. กรณีไม่จำกัด ให้ $z = t$: จากแถว 2 $y = 1 - 2t$ จากแถว 1 $x = 1 - y - z = t$ R8

   $$(x, y, z) = (0, 1, 0) + t(1, -2, 1)$$

$a \ne 5$: คำตอบเดียว (เช่น $a = 6, b = 4$ ได้ $(1, -1, 1)$) · $a = 5, b = 3$: ไม่จำกัด $(t, 1 - 2t, t)$ · $a = 5, b \ne 3$: ไม่มีคำตอบ

ตรวจกรณีไม่จำกัดในสมการที่ 3: $t + 3(1 - 2t) + 5t = 3$ ✓ ทุกค่า $t$

1. $$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & k \end{pmatrix} = 1(k + 1) - 2(2k - 1) + 1(-2 - 1) = -3k$$

2. ต้องการ $\det = 0$ R9 จึงได้ $k = 0$

3. แทน $k = 0$: สมการ 1 ลบสมการ 2 ได้ $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$ แทนในสมการ 1: $3x + z = 0 \Rightarrow z = -3x$

$k = 0$ และ $(x, y, z) = t(1, 1, -3)$

ตรวจสมการ 3: $1 - 1 + 0\cdot(-3) = 0$ ✓ · แรงก์ = 2 จึงมีตัวแปรอิสระ $3 - 2 = 1$ ตัว

1. ตัวหลักอยู่หลักที่ 1 และ 3 จึงใช้หลัก 1 และ 3 ของ $B$ เดิม R11

   $$C(B) = \operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$$

2. RREF ของ $B$ คือ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ตัวแปรอิสระ $x_2 = s,\ x_4 = t$ ได้ $x_1 = -2s - 3t,\ x_3 = -t$

   $$\mathbf x = s\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

3. ตรวจ R10: $\operatorname{rank} + \operatorname{nullity} = 2 + 2 = 4 = n$ ✓

ฐานของ $C(B)$: $(1, 2, -1),\ (0, 1, 2)$ · ฐานของ $N(B)$: $(-2, 1, 0, 0),\ (-3, 0, -1, 1)$

ตรวจ $B(-3, 0, -1, 1)^T = (-3 + 0 + 0 + 3,\ -6 - 1 + 7,\ 3 - 2 - 1) = (0, 0, 0)$ ✓

1. แถว = โนด หลัก = กิ่ง ใส่ $+1$ ที่โนดต้นทาง $-1$ ที่โนดปลายทาง

   $$A_{\text{inc}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

2. ทุกหลักมี $+1$ กับ $-1$ อย่างละตัว ผลรวมสี่แถว = $\mathbf 0$ แรงก์จึงไม่เกิน 3 และลดแถวได้ตัวหลักสามตัวพอดี R16

$\operatorname{rank} = 3$: KCL อิสระ $4 - 1 = 3$ สมการ · KVL อิสระ $5 - 4 + 1 = 2$ สมการ (สองเมช)

นี่คือเหตุผลที่การวิเคราะห์โนดเลือกโนดอ้างอิง (กราวด์) หนึ่งโนดแล้วเขียนสมการเฉพาะอีก $n - 1$ โนด ดู วิเคราะห์โนดด้วยเมทริกซ์

1. (ก) $AB = (1, -3)^T$ R17

   $$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = 2 \ (\det = -1 \ne 0)$$

2. (ข) $AB = (-1, 1)^T = -B$

   $$\operatorname{rank}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \lt 2$$

(ก) ควบคุมได้ · (ข) ควบคุมไม่ได้

ใน (ข) $B$ เป็นเวกเตอร์เฉพาะของ $A$ ($\lambda = -1$) อินพุตจึงกระตุ้นได้แค่โหมดเดียว อีกโหมด ($\lambda = -2$) ไม่มีทางควบคุม