แล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร (Multivariable Calculus Lab) ออนไลน์: กราฟผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes

กลุ่ม 1 · ฟังก์ชันและอนุพันธ์หลายตัวแปร

1. กราฟผิว 3 มิติ เส้นชั้นความสูง และระนาบสัมผัส (3D surface, contour, tangent plane)

พิมพ์ $z = f(x, y)$ ดูผิวสามมิติคู่กับแผนที่เส้นชั้นความสูง เปิด "ระนาบสัมผัส" เพื่อดูเส้นตัดและระนาบ $z = f(x_0,y_0) + f_x(x - x_0) + f_y(y - y_0)$ ที่จุดที่ลากได้ เนื้อหา: ฟังก์ชันหลายตัวแปร · อนุพันธ์ย่อย

ลองทำ: ใส่ x^2-y^2 (อานม้า) แล้วย้ายจุดไปที่ (0, 0) ระนาบสัมผัสจะแบนราบแต่ผิวโค้งขึ้นทางหนึ่งและลงอีกทางหนึ่ง · ใส่ sqrt(x^2+y^2) แล้วดูว่ายอดกรวยไม่มีระนาบสัมผัส

2. ทดสอบลิมิตสองตัวแปร (Limit along paths)

ลิมิตที่ $(0,0)$ ต้องได้ค่าเดียวกันทุกเส้นทาง แล็บนี้ทดลองเส้นตรง พาราโบลา และเส้นโค้งอื่น ๆ เข้าหาจุดแล้วแจ้งว่า "ไม่มีลิมิต" เมื่อสองเส้นทางให้ค่าต่างกัน เนื้อหา: ลิมิตและความต่อเนื่อง

3. เกรเดียนต์ อนุพันธ์ตามทิศ และ gradient descent (Gradient, directional derivative)

$\nabla f$ ชี้ทางขึ้นชันที่สุด หมุนทิศ $\mathbf u$ แล้วดู $D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u$ เปลี่ยนจาก $+|\nabla f|$ ถึง $-|\nabla f|$ ปุ่ม gradient descent เดินตาม $-\nabla f$ ลงหุบ เนื้อหา: เกรเดียนต์และอนุพันธ์ตามทิศ

ลองทำ: ตั้งทิศให้ $D_{\mathbf u}f = 0$ ทิศนั้นขนานเส้นชั้นความสูง · เปลี่ยนเป็น x^2+30y^2 แล้วดู gradient descent ซิกแซ็กเมื่อหุบแคบ

4. การประมาณค่าและการแพร่ของความคลาดเคลื่อน (Differentials and error propagation)

$df = f_x\,dx + f_y\,dy$ บอกว่าความคลาดเคลื่อนของ $x, y$ ส่งผลถึง $f$ เท่าไร เช่น กำลัง $P = V^2/R$ หรือปริมาตรทรงกระบอก เนื้อหา: ดิฟเฟอเรนเชียลและความคลาดเคลื่อน

กลุ่ม 2 · ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและการหาค่าเหมาะที่สุด

5. จุดวิกฤตและ Hessian (Critical points, saddle point)

แล็บแก้ $\nabla f = 0$ หาจุดวิกฤตทุกจุดในช่วงที่เลือก แล้วจำแนกด้วย $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ เป็นค่าต่ำสุด สูงสุด หรือจุดอานม้า เนื้อหา: ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและ Lagrange

6. ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multiplier)

เพิ่มหรือลด $f$ บนเส้นเงื่อนไข $g = c$ จุดที่ $\nabla f = \lambda\nabla g$ คือเส้นชั้นของ $f$ สัมผัสเส้นเงื่อนไขพอดี ลากดูการเลื่อนของเส้นชั้นจนแตะเส้นเงื่อนไข

7. กำลังสองน้อยที่สุด (Least squares) จากข้อมูลวัดจริง

ลากจุดข้อมูลแล้วดูเส้นตรงที่ทำให้ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด ซึ่งเป็นปัญหาค่าต่ำสุดสองตัวแปร (ความชัน $m$ และจุดตัด $b$)

กลุ่ม 3 · อินทิกรัลหลายชั้น

8. อินทิกรัลสองชั้น (Double integral) ผลรวมรีมันน์กับค่าจริง

เลือกบริเวณสี่เหลี่ยม แบบ type I หรือพิกัดขั้ว แล้วเทียบผลรวมรีมันน์กับค่าอินทิกรัลที่แม่นยำ เปิดโหมด "มวล" เพื่อหาจุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อย เนื้อหา: อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น

9. พิกัดขั้ว (Polar coordinates)

ในพิกัดขั้ว $dA = r\,dr\,d\theta$ ลองหา $\iint e^{-(x^2+y^2)}\,dA$ บนจานรัศมี 2 ได้ $\pi(1 - e^{-4})$ และเมื่อรัศมีใหญ่ขึ้นจะเข้าใกล้ $\pi$

10. อินทิกรัลสามชั้น พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม (Triple integral)

เลือกระบบพิกัดแล้วดูตัวคูณ $1$ / $r$ / $\rho^2\sin\phi$ พร้อมปริมาตรหรือมวลของทรงตัน เนื้อหา: ทรงกระบอกและทรงกลม

11. จาโคเบียนและการเปลี่ยนตัวแปร (Jacobian, change of variables)

ตารางสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ในระนาบ $(u, v)$ ถูกแปลงเป็นรูปโค้งในระนาบ $(x, y)$ โดยพื้นที่ขยายด้วย $|\det\mathbf J|$ ลองพิมพ์ $x(u,v)$ และ $y(u,v)$ เอง

กลุ่ม 4 · เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ และทฤษฎีบทหลัก

12. เส้นโค้งในอวกาศ (Space curve) และกรอบ Frenet

พิมพ์ $x(t), y(t), z(t)$ ดูเวกเตอร์สัมผัส $\mathbf T$ ปกติ $\mathbf N$ ไบนอร์มอล $\mathbf B$ ความโค้ง $\kappa$ และการบิด $\tau$ เนื้อหา: ฟังก์ชันเวกเตอร์

13. สนามเวกเตอร์ 2 มิติ ไดเวอร์เจนซ์ และเคิร์ล (Vector field, divergence, curl)

พิมพ์ $P(x,y)$ และ $Q(x,y)$ ดูพื้นหลังสีของ $\nabla\cdot\mathbf F$ หรือ $\nabla\times\mathbf F$ และเส้นการไหล วงกลมทดสอบแสดงการหมุนเวียนและฟลักซ์ เนื้อหา: สนามเวกเตอร์

14. งานของแรงและอินทิกรัลตามเส้น (Line integral, path independence)

เปรียบเทียบงาน $\int\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ตามเส้นทางต่าง ๆ ระหว่างสองจุดเดียวกัน ถ้าเป็นสนามอนุรักษ์ทุกเส้นทางให้ค่าเท่ากัน เนื้อหา: อินทิกรัลตามเส้นและทฤษฎีบทกรีน

15. ตัวตรวจทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (Gauss) และสโตกส์ (Stokes)

ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์: ฟลักซ์ผ่านผิวปิด $= \iiint\nabla\cdot\mathbf F\,dV$ · ทฤษฎีบทสโตกส์: $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS$ แล็บคำนวณสองข้างเป็นตัวเลขแยกกัน แล้วบอกว่าตรงกันหรือไม่ เนื้อหา: อินทิกรัลบนผิว

กลุ่ม 5 · แล็บวิศวกรรม ไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

16. ไฟฟ้า: ประจุ ศักย์ และสนามไฟฟ้า (Electric potential, E = −∇V)

ลากประจุ ดูศักย์ $V$ เส้นสมศักย์ เส้นแรง และฟลักซ์ผ่านทรงกลม (กฎของเกาส์) เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า

17. เครื่องกล: การนำความร้อน (Heat conduction, Fourier's law)

อุณหภูมิ $T(x,y)$ เส้นไอโซเทอร์ม และฟลักซ์ความร้อน $\mathbf q = -k\nabla T$ เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล

18. โยธา: ภูมิประเทศ ความลาดชัน และดินขุด-ถม (Terrain cut and fill)

ปรับระดับออกแบบ $z_0$ ดูปริมาตรขุดและถมจากอินทิกรัลสองชั้น และหาระดับสมดุล เนื้อหา: แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมโยธา

19. โยธา-เครื่องกล: คุณสมบัติหน้าตัดด้วยทฤษฎีบทกรีน (Section properties)

วาดหน้าตัดหลายเหลี่ยมแล้วอ่านพื้นที่ จุดศูนย์ถ่วง $I_x, I_y, I_{xy}$ และแกนหลัก (principal axes)

กลับไปอ่านเนื้อหาครบชุดได้ที่หน้าแรกของชุดแคลคูลัสหลายตัวแปร สูตรอ้างอิงที่ใช้ในแล็บทุกตัวอยู่ใน ดัชนีสูตร