// บทที่ 7.2 · พีชคณิตเชิงเส้น · Determinants

ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinants): วิธีหา สมบัติ และความหมาย

Q: det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?

ไม่ใช่ เพราะ 2A คูณ 2 เข้าไปทุกแถว แต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง ถ้า A ขนาด ntimes n จะได้ det(2A) = 2^ndet A เช่น 3×3 ได้ 8det A

ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวเลขหนึ่งตัวที่สรุปเมทริกซ์จัตุรัสทั้งก้อน บอกได้ทันทีว่ามีอินเวอร์สไหม ระบบสมการมีคำตอบเดียวไหม และการแปลงขยายพื้นที่กี่เท่า หน้านี้รวมทุกวิธีคำนวณตั้งแต่ 2×2 ถึง n×n พร้อมสมบัติที่ทำให้คำนวณเร็วขึ้นหลายเท่า สูตรใช้รหัส D

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 25 ต.ค. 2569

2×2 3×3 ซาร์รัส โคแฟกเตอร์ สูตรลัดออกสอบ สมบัติ ลดแถว

สรุปใน 30 วินาที

2×2: $\det A = ad - bc$ · 3×3: ซาร์รัสหรือกระจายโคแฟกเตอร์ · ใหญ่กว่านั้น: ลดแถวเป็นสามเหลี่ยมแล้วคูณเส้นทแยง
สลับแถว เปลี่ยนเครื่องหมาย · คูณแถวด้วย k ค่าคูณ k · บวกพหุคูณของแถวอื่น ค่าไม่เปลี่ยน
$\det A \ne 0 \iff A$ มีอินเวอร์ส $\iff$ ระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$ มีคำตอบเดียว
$|\det A|$ คืออัตราขยายพื้นที่ (2D) หรือปริมาตร (3D) ของการแปลง $A$

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร: มองเป็นพื้นที่ พื้นฐาน

เมทริกซ์ 2×2 เปลี่ยนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านทั้งสองคือหลักของเมทริกซ์ ค่าดีเทอร์มิแนนต์คือพื้นที่มีเครื่องหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น ถ้าบวกแปลว่าการวางทิศเดิม ถ้าลบแปลว่ารูปถูกพลิก ถ้าเป็นศูนย์แปลว่ารูปถูกบีบจนแบน

กำลังโหลดแล็บ ลากหัวลูกศรของหลักที่ 1 (ส้ม) และหลักที่ 2 (ฟ้า) เพื่อดูพื้นที่เปลี่ยน

D13 Geometric meaning ความหมายเชิงเรขาคณิต

\text{พื้นที่ (หรือปริมาตร) หลังแปลง} = |\det A| \times \text{พื้นที่ (หรือปริมาตร) เดิม}

$\det A \gt 0$ รักษาการวางทิศ · $\det A \lt 0$ พลิกกลับด้าน (เหมือนส่องกระจก) · $\det A = 0$ บีบมิติหายไปหนึ่งมิติขึ้นไป จึงย้อนกลับไม่ได้ (ไม่มีอินเวอร์ส)

ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 พื้นฐาน

D1 2×2 determinant ดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 2×2

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \hlF{ad} - \hlP{bc}

เส้นทแยงลงขวา (หลัก) ลบ เส้นทแยงขึ้นขวา (รอง) · สัญลักษณ์ $|A|$ คือดีเทอร์มิแนนต์ ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์ ผลอาจติดลบได้

ตัวอย่าง D-1 · 2×2

หา $\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$ และ $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$

ทแยงหลักลบทแยงรอง D1
$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (3)(4) - (5)(2) = 12 - 10 = 2$
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(2) = 0$
แถวที่ 2 เป็นสองเท่าของแถวที่ 1 พอดี ดีเทอร์มิแนนต์จึงเป็นศูนย์ D9

ค่าแรก $= 2$ (มีอินเวอร์ส) · ค่าที่สอง $= 0$ (เมทริกซ์เอกฐาน ไม่มีอินเวอร์ส)

ตัวอย่าง D-2 · หาค่าตัวแปรที่ทำให้ det = 0

หาค่า $x$ ที่ทำให้ $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$

$x(x - 1) - (2)(3) = x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3$ หรือ $x = -2$

โจทย์แบบนี้คือแก่นของการหาค่าเฉพาะ: หาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ $\det(A - \lambda I) = 0$ E2

ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 ด้วยกฎของซาร์รัส พื้นฐาน

คัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายทางขวา แล้วคูณตามเส้นทแยง สามเส้นลงขวาเป็นบวก สามเส้นขึ้นขวาเป็นลบ วิธีนี้เร็วที่สุดสำหรับ 3×3 แต่ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น

เส้นทึบสีฟ้าบวก เส้นประสีส้มลบ ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น

D2 Rule of Sarrus (3×3 only) กฎของซาร์รัส

\det A = \hlP{a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}} - \hlF{a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}}

ตัวอย่าง D-3 · 3×3 ด้วยซาร์รัส

หา $\det A$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

เส้นลงขวาสามเส้น (บวก) D2
$\hlP{(2)(-1)(0) + (1)(4)(1) + (3)(0)(2)} = 0 + 4 + 0 = 4$
เส้นขึ้นขวาสามเส้น (นำไปลบ)
$\hlF{(3)(-1)(1) + (2)(4)(2) + (1)(0)(0)} = -3 + 16 + 0 = 13$
$\det A = 4 - 13 = -9$

$\det A = -9$

ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ และการกระจายลาปลาซ พื้นฐาน → กลาง

วิธีนี้ใช้ได้กับทุกขนาด แนวคิดคือย่อยดีเทอร์มิแนนต์ $n\times n$ ให้เป็นผลรวมของดีเทอร์มิแนนต์ $(n-1)\times(n-1)$ หลายตัว ทำซ้ำจนเหลือ 2×2

D3 Minor and cofactor ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์

M_{ij} = \det(A \text{ ที่ตัดแถว } i \text{ และหลัก } j \text{ ออก}), \qquad C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, \qquad \text{เครื่องหมาย: } \begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \\ + & - & + & \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}

เครื่องหมายสลับแบบกระดานหมากรุก ช่องมุมซ้ายบนเป็น + เสมอ ภาษาไทยเรียกโคแฟกเตอร์ว่าตัวประกอบร่วมเกี่ยว

D4 Laplace (cofactor) expansion การกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือหลักใดก็ได้

\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \ \ (\text{ตามแถว } i) \qquad = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \ \ (\text{ตามหลัก } j)

ทุกแถวทุกหลักให้คำตอบเท่ากัน จึงเลือกแถวที่มีศูนย์มากที่สุด เพราะพจน์ที่ $a_{ij} = 0$ หายไปเลย

ตัวอย่าง D-4 · 3×3 ด้วยโคแฟกเตอร์ (เลือกหลักที่มีศูนย์)

หา $\det A$ ของเมทริกซ์ในตัวอย่าง D-3 โดยกระจายตามหลักที่ 1

หลักที่ 1 คือ $(2, 0, 1)$ มีศูนย์หนึ่งตัว เครื่องหมายของหลัก 1 คือ $+, -, +$ D4
$\det A = \hlF{+2}\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \hlF{- 0}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \hlF{+ 1}\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix}$
พจน์กลางคูณศูนย์ หายไปเลย ไม่ต้องคำนวณ D1
$= 2\,(0 - 8) - \rc{0\cdot(\cdots)} + 1\,(4 + 3) = -16 + 7$

$\det A = -9$ ตรงกับวิธีซาร์รัส

ตัวอย่าง D-5 · 4×4 ที่มีศูนย์เยอะ

หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

แถวที่ 3 คือ $(0, 0, 4, 0)$ มีตัวไม่ใช่ศูนย์ตัวเดียวที่ตำแหน่ง $(3,3)$ เครื่องหมาย $(-1)^{3+3} = +$ D3
$\det A = +\hlF{4}\cdot M_{33} = 4\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
ไมเนอร์ 3×3 มีแถวแรกเป็น $(1, 0, 0)$ กระจายตามแถวแรกต่อได้เลย
$M_{33} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot(3 - 0) = 3$

$\det A = 4 \times 3 = 12$ ถ้ากระจายตามแถวแรกตรง ๆ จะต้องคำนวณ 3×3 สองตัว เสียเวลากว่าสองเท่า

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ พื้นฐาน → กลาง

สมบัติเหล่านี้ทำให้หาค่าได้โดยแทบไม่ต้องคำนวณ และเป็นพื้นฐานของวิธีลดแถว ทุกข้อที่พูดถึง “แถว” ใช้กับ “หลัก” ได้ด้วยเพราะ D5

การดำเนินการแถว	ผลต่อดีเทอร์มิแนนต์	สูตร
สลับสองแถว $R_i \leftrightarrow R_j$	เปลี่ยนเครื่องหมาย	D6
คูณแถวด้วย $k$ : $R_i \leftarrow kR_i$	คูณด้วย $k$	D7
บวกพหุคูณของแถวอื่น $R_i \leftarrow R_i + kR_j$	ไม่เปลี่ยน	D8

D5 Transpose ทรานสโพสไม่เปลี่ยนค่า

\det(A^T) = \det A

D6 Row swap สลับสองแถว

R_i \leftrightarrow R_j \ \Rightarrow\ \det \to -\det

D7 Row scaling คูณแถวเดียวด้วย k

R_i \leftarrow kR_i \Rightarrow \det \to k\det, \qquad \hlF{\det(kA) = k^n\det A}

ดึงตัวร่วมออกจากแถวเดียวได้ทีละแถว $kA$ คูณ $k$ ทุกแถว จึงได้ $k^n$

D8 Row replacement บวกพหุคูณของแถวอื่น

R_i \leftarrow R_i + kR_j \ (i \ne j) \Rightarrow \det \text{ เท่าเดิม}

เครื่องมือหลักของการสร้างศูนย์โดยไม่ทำให้ค่าเปลี่ยน

D9 Zero determinant tests กรณีที่ได้ศูนย์ทันที

\det A = 0 \ \text{ถ้ามีแถว (หลัก) ศูนย์ทั้งแถว หรือสองแถวเท่ากัน หรือเป็นสัดส่วนกัน}

กรณีทั่วไปคือแถวหนึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นของแถวอื่น (ขึ้นต่อกันเชิงเส้น)

D10 Triangular matrix เมทริกซ์สามเหลี่ยมและทแยงมุม

\det\begin{pmatrix} a_{11} & * & * \\ 0 & a_{22} & * \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

ทั้งสามเหลี่ยมบน ล่าง และทแยงมุม ใช้ผลคูณเส้นทแยงหลักได้เลย ดังนั้น $\det I = 1$

D11 Product, inverse and power ผลคูณ อินเวอร์ส และกำลัง

\det(AB) = \det A\,\det B, \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}, \qquad \det(A^k) = (\det A)^k

แม้ $AB \ne BA$ แต่ $\det(AB) = \det(BA)$ เสมอ

D12 Linear in one row, NOT additive เชิงเส้นทีละแถว แต่บวกทั้งเมทริกซ์ไม่ได้

\begin{vmatrix} a + a' & b + b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}, \qquad \text{แต่ } \det(A + B) \ne \det A + \det B

ตัวอย่าง D-6 · ใช้สมบัติล้วน ไม่ต้องรู้สมาชิก

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ 3×3 ที่ $\det A = 5$ จงหา $\det(2A)$ , $\det(A^{-1})$ , $\det(A^TA)$ , $\det(-A)$ และดีเทอร์มิแนนต์ของ $B$ ที่ได้จากการสลับแถว 1 กับ 3 ของ $A$ แล้วคูณแถว 2 ด้วย 3

$\det(2A) = 2^3\det A = 8\times5 = 40$ D7
$\det(A^{-1}) = 1/5$ และ $\det(A^TA) = \det A^T\det A = 5\times5 = 25$ D11 D5
$\det(-A) = (-1)^3\det A = -5$ (สำหรับ 2×2 จะได้ $+5$ )
สลับแถวเปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วคูณแถวด้วย 3: $\det B = 3\times(-5) = -15$ D6

$40,\ \tfrac15,\ 25,\ -5,\ -15$

สูตรลัดที่ออกสอบบ่อย: แอดจอยต์ ค่าคงที่ และเมทริกซ์รูปแบบพิเศษ พื้นฐาน → กลาง

ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยชอบให้ $\det A$ มาเพียงตัวเลขเดียว แล้วถามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างจาก $A$ ทุกข้อแก้ได้ด้วยสูตรในหัวข้อนี้โดยไม่ต้องรู้สมาชิกของ $A$ เลย จุดเริ่มคือ $A\operatorname{adj}A = (\det A)I$ จาก สูตรอินเวอร์สแบบแอดจอยต์ I3

D22 Determinant of the adjugate $\det$ ของ $\operatorname{adj}A$

\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1}

ที่มา: $\det(A\operatorname{adj}A) = \det\bigl((\det A)I\bigr) = (\det A)^n$ แล้วหารด้วย $\det A$ (สูตรยังจริงเมื่อ $\det A = 0$ )

D23 Adjugate of kA and adj(adj A) แอดจอยต์ซ้อนและคูณค่าคงที่

\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A,\qquad \det\bigl(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)\bigr) = (\det A)^{(n-1)^2}

D24 Adjugate of products แอดจอยต์ของผลคูณ

\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}B\,\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(A^T) = (\operatorname{adj}A)^T,\qquad \operatorname{adj}(A^{-1}) = \frac{A}{\det A}

ลำดับสลับเหมือน $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

D25 Constant-diagonal pattern แนวทแยงเป็น $a$ ตัวอื่นเป็น $b$

\det\begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix}_{n\times n} = (a - b)^{n-1}\bigl(a + (n - 1)b\bigr)

เทคนิค: บวกทุกหลักเข้าหลักแรก ทุกแถวได้ $a + (n-1)b$ ดึงออกมา แล้วลบแถวแรกออกจากแถวอื่น

ตัวอย่าง D-9 · แนวข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย

$A$ เป็นเมทริกซ์ $3\times3$ ที่ $\det A = 3$ จงหา $\det(2\operatorname{adj}A)$ , $\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A))$ และ $\det(A^{-1}\operatorname{adj}A)$

$\det(2\operatorname{adj}A) = 2^3\det(\operatorname{adj}A) = 8\times3^{2} = 72$ D7 D22
$\det(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)) = 3^{(3-1)^2} = 3^4 = 81$ D23
$\det(A^{-1}\operatorname{adj}A) = \dfrac{1}{\det A}\cdot(\det A)^2 = \det A = 3$ D11

$72,\ 81,\ 3$

ตรวจข้อสามอีกทาง: $A^{-1}\operatorname{adj}A = A^{-1}(\det A)A^{-1} = 3A^{-2}$ ได้ $\det = 27\cdot\tfrac19 = 3$ ✓ · ฝึกต่อที่ แนวข้อสอบชุด A

กับดักที่เจอบ่อย

\det(\operatorname{adj}A) \ne \det A

และ

\det(kA) \ne k\det A

— เลขชี้กำลังขึ้นกับขนาด

n

ทุกครั้ง ส่วน

\det(A + B)

ไม่มีสูตรลัด ต้องบวกเมทริกซ์ก่อน (D12)

หาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการลดแถว กลาง

สำหรับ 4×4 ขึ้นไป ให้ใช้ D8 สร้างศูนย์ใต้เส้นทแยงจนเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยม แล้วคูณเส้นทแยงตาม D10 ถ้าระหว่างทางสลับแถวให้กลับเครื่องหมาย ถ้าคูณแถวให้หารกลับ วิธีนี้ใช้การคูณประมาณ $n^3/3$ ครั้ง ขณะที่กระจายโคแฟกเตอร์ตรง ๆ ใช้ราว $n!$ ครั้ง ที่ $n = 10$ คือ 333 ครั้งเทียบกับ 3.6 ล้านครั้ง

ตัวอย่าง D-7 · 4×4 ด้วยการลดแถว

หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

ใช้ $\hlP{1}$ ที่มุมซ้ายบนเป็นตัวหลัก (pivot) สร้างศูนย์ในหลักที่ 1 ด้วยการบวกพหุคูณ ค่าไม่เปลี่ยน D8
$\xrightarrow[R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\ R_3 \leftarrow R_3 + R_1} \begin{pmatrix} \hlP{1} & 2 & 1 & 0 \\ 0 & \hlP{1} & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$
ใช้ $\hlP{1}$ ในแถว 2 สร้างศูนย์ใต้มัน
$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \hlP{1} & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$
$\xrightarrow{R_4 \leftarrow R_4 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \hlP{1} \end{pmatrix}$
ได้เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ไม่มีการสลับหรือคูณแถว จึงไม่ต้องปรับค่า D10
$\det A = (1)(1)(1)(1) = 1$

$\det A = 1$

ดีเทอร์มิแนนต์กับการมีคำตอบ พื้นฐาน

D20 Determinant test เกณฑ์ดีเทอร์มิแนนต์

\det A \ne 0 \iff A^{-1} \text{ มีจริง} \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \iff \operatorname{rank}A = n

ถ้า $\det A = 0$ ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจด้วยการลดแถว L6 ดูรายการเงื่อนไขที่สมมูลกันทั้งหมดใน I10

งานเรขาคณิตด้วยดีเทอร์มิแนนต์ พื้นฐาน

D17 Area of a triangle พื้นที่สามเหลี่ยมจากพิกัดจุดยอด

\text{พื้นที่} = \frac12\left|\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}\right|

D18 Collinearity and line equation สามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0

แทนจุดที่สามแล้วได้ 0 แปลว่าร่วมเส้น ปล่อย $(x, y)$ เป็นตัวแปรจะได้สมการเส้นตรงผ่านสองจุด

D19 Cross product as a determinant ผลคูณไขว้

\vec A \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}, \qquad \vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix}

ผลคูณสเกลาร์สามชั้นคือปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน (D13 ใน 3 มิติ) ดูการใช้งานกับแรงบนตัวนำที่ พีชคณิตของเวกเตอร์

ตัวอย่าง D-8 · พื้นที่สามเหลี่ยม (โจทย์ ม.ปลาย)

หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(1, 2), (4, 6), (6, 1)$

เรียงพิกัดพร้อมหลักของเลข 1 D17
$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ 6 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
ซาร์รัส: ลงขวา $(1)(6)(1) + (2)(1)(6) + (1)(4)(1) = 6 + 12 + 4 = 22$ ขึ้นขวา $(1)(6)(6) + (1)(1)(1) + (2)(4)(1) = 36 + 1 + 8 = 45$ D2
$\det = 22 - 45 = -23$

พื้นที่ $= \tfrac12|-23| = 11.5$ ตารางหน่วย (เครื่องหมายลบแค่บอกว่าเรียงจุดตามเข็มนาฬิกา)

ดีเทอร์มิแนนต์พิเศษ ขั้นสูง

D14 Block triangular and Schur complement เมทริกซ์บล็อก

\det\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix} = \det A\,\det D, \qquad \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det A\cdot\det(D - CA^{-1}B) \ \ (A^{-1} \text{ มีจริง})

$D - CA^{-1}B$ เรียก Schur complement ของ $A$ ใช้ลดรูปวงจรด้วยการกำจัดโนด (Kron reduction) ในระบบไฟฟ้ากำลัง

D15 Vandermonde determinant ดีเทอร์มิแนนต์แวนเดอร์มอนด์

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)

ทั่วไป $\prod_{i\lt j}(x_j - x_i)$ ไม่เป็นศูนย์เมื่อ $x_i$ ต่างกันทั้งหมด จึงลากพหุนามผ่านจุดที่ $x$ ต่างกันได้แบบเดียวเสมอ ตัวอย่าง $x = 1, 2, 3$ ได้ $(1)(2)(1) = 2$

D16 Determinant and eigenvalues ผลคูณค่าเฉพาะ

\det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n

นับค่าซ้ำตามจำนวนครั้ง จึง $\det A = 0$ ก็ต่อเมื่อมีค่าเฉพาะเป็น 0 E6

D21 Leibniz formula (definition) นิยามแบบการเรียงสับเปลี่ยน

\det A = \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}

ผลรวม $n!$ พจน์ แต่ละพจน์เลือกสมาชิกแถวละหนึ่งตัวและหลักละหนึ่งตัว 2×2 มี 2 พจน์ 3×3 มี 6 พจน์ (ซาร์รัสคือการเขียน 6 พจน์นี้) 4×4 มี 24 พจน์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวังจุดเหล่านี้

ใช้ซาร์รัสกับ 4×4 → ผิด ใช้ได้เฉพาะ 3×3
ลืมเครื่องหมายกระดานหมากรุกตอนกระจายโคแฟกเตอร์ โดยเฉพาะเมื่อกระจายตามแถว 2 ซึ่งเริ่มด้วยลบ D3
คิดว่า $\det(kA) = k\det A$ → ต้องเป็น $k^n\det A$ D7
ลดแถวแล้วลืมกลับเครื่องหมายเมื่อสลับแถว หรือลืมหารคืนเมื่อคูณแถว D6
ใช้ $R_i \leftarrow kR_i + R_j$ (คูณแถวที่ถูกแทนที่) โดยไม่รู้ว่าค่าเปลี่ยนไป $k$ เท่า แบบที่ปลอดภัยคือ $R_i \leftarrow R_i + kR_j$
อ่าน $|A|$ เป็นค่าสัมบูรณ์ → ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบได้

เครื่องคิดเลขดีเทอร์มิแนนต์แสดงวิธีทำ

ใส่เมทริกซ์ขนาด 2×2 ถึง 4×4 รับเลขเศษส่วนเช่น 3/4 และทศนิยม คำนวณแบบเศษส่วนแม่นยำ 2×2 และ 3×3 แสดงการกระจายโคแฟกเตอร์ 4×4 แสดงการลดแถวทีละขั้น

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ดีเทอร์มิแนนต์บอกว่า “มีคำตอบเดียวไหม” แต่ยังไม่ได้ให้คำตอบ หน้าถัดไป ระบบสมการเชิงเส้น สอนวิธีลดแถวที่ทั้งหาคำตอบและบอกได้ด้วยว่าเมื่อ $\det A = 0$ ระบบไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด ส่วนการใช้ดีเทอร์มิแนนต์แก้ระบบโดยตรงอยู่ที่ กฎของคราเมอร์ · ถ้า $\det A = 0$ แล้วอยากรู้ว่าแรงก์เหลือเท่าไร ดู แรงก์ด้วยไมเนอร์ · ฝึกโจทย์ดีเทอร์มิแนนต์ที่ แนวข้อสอบ 45 ข้อ และอ่านสรุปที่บทความ สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ที่ออกสอบบ่อย

คำถามที่พบบ่อย

กฎของซาร์รัสใช้กับ 4×4 ได้ไหม?

ไม่ได้ กฎของซาร์รัส (คัดลอกสองหลักแรกแล้วคูณเส้นทแยง) ใช้ได้กับ 3×3 เท่านั้น ถ้าใช้กับ 4×4 จะได้แค่ 8 พจน์จากทั้งหมด 24 พจน์ ขนาดตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปให้กระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่มีศูนย์มาก หรือลดแถวให้เป็นสามเหลี่ยม

ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์หมายความว่าอะไร?

เมทริกซ์นั้นไม่มีอินเวอร์ส แถวหรือหลักขึ้นต่อกันเชิงเส้น เชิงเรขาคณิตคือการแปลงบีบพื้นที่หรือปริมาตรให้แบนเหลือศูนย์ และระบบ $A\mathbf x = \mathbf b$ ไม่มีคำตอบเดียว (อาจไม่มีคำตอบหรือมีไม่จำกัด)

det(2A) เท่ากับ 2 det A ใช่ไหม?

ไม่ใช่ เพราะ $2A$ คูณ 2 เข้าไปทุกแถว แต่ละแถวดึง 2 ออกมาได้หนึ่งครั้ง ถ้า $A$ ขนาด $n\times n$ จะได้ $\det(2A) = 2^n\det A$ เช่น 3×3 ได้ $8\det A$

ควรกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวไหน?

เลือกแถวหรือหลักที่มีศูนย์มากที่สุด เพราะพจน์ที่คูณศูนย์หายไปทันที ถ้าไม่มีศูนย์เลย ให้ใช้การดำเนินการแถวแบบบวกพหุคูณ (ไม่เปลี่ยนค่าดีเทอร์มิแนนต์) สร้างศูนย์ก่อน

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

ดีเทอร์มิแนนต์คืออะไร: มองเป็นพื้นที่ พื้นฐาน

ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 พื้นฐาน

หา ∣3524∣\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}​32​54​​ และ ∣1224∣\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}​12​24​​

หาค่า xxx ที่ทำให้ ∣x23x−1∣=0\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & x - 1 \end{vmatrix} = 0​x3​2x−1​​=0

ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 ด้วยกฎของซาร์รัส พื้นฐาน

หา det⁡A\det AdetA เมื่อ A=(2130−14120)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}A=​201​1−12​340​​

ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ และการกระจายลาปลาซ พื้นฐาน → กลาง

หา det⁡A\det AdetA ของเมทริกซ์ในตัวอย่าง D-3 โดยกระจายตามหลักที่ 1

หา det⁡(1020310100402013)\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}det​1302​0100​2041​0103​​

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ พื้นฐาน → กลาง

สูตรลัดที่ออกสอบบ่อย: แอดจอยต์ ค่าคงที่ และเมทริกซ์รูปแบบพิเศษ พื้นฐาน → กลาง

หาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการลดแถว กลาง

หา det⁡(12102531−10243643)\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}det​12−13​2506​1324​0143​​

ดีเทอร์มิแนนต์กับการมีคำตอบ พื้นฐาน

งานเรขาคณิตด้วยดีเทอร์มิแนนต์ พื้นฐาน

หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (1,2),(4,6),(6,1)(1, 2), (4, 6), (6, 1)(1,2),(4,6),(6,1)

ดีเทอร์มิแนนต์พิเศษ ขั้นสูง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

เครื่องคิดเลขดีเทอร์มิแนนต์แสดงวิธีทำ

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

คำถามที่พบบ่อย

หา $\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$ และ $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$

หาค่า $x$ ที่ทำให้ $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$

หา $\det A$ เมื่อ $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

หา $\det A$ ของเมทริกซ์ในตัวอย่าง D-3 โดยกระจายตามหลักที่ 1

หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

หา $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(1, 2), (4, 6), (6, 1)$