พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ระบบควบคุม

// บทที่ 13 · วิศวกรรมไฟฟ้า · Control Systems Engineering

ระบบควบคุม (Control Systems Engineering): ป้อนกลับ เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด และ PID

เครื่องปรับอากาศที่รักษาอุณหภูมิ มอเตอร์ที่หมุนได้ความเร็วตามสั่ง แขนหุ่นยนต์ที่หยุดตรงตำแหน่ง โดรนที่ลอยนิ่งกลางลม และพาวเวอร์ซัพพลายที่จ่าย 5.00 V ไม่ว่าโหลดจะเปลี่ยนแค่ไหน ทั้งหมดใช้หลักการเดียวกัน คือวัดผลลัพธ์ เทียบกับเป้าหมาย แล้วแก้ไข ชุดบทเรียนนี้เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่เราคุ้นเคย ไล่ไปถึงการวาดรูทโลคัสด้วยมือ วิเคราะห์โบด ออกแบบตัวชดเชยและ PID จนถึงหุ่นยนต์และตัวแปลงกำลัง

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แผนที่การเรียน แล็บรูทโลคัส · โบด ค้นหาสูตร ไอเดียเมคาทรอนิกส์ · หุ่นยนต์
ทั้งวิชาในหนึ่งนาที
  • เขียนพลานต์เป็นฟังก์ชันถ่ายโอน G(s)G(s) ต่อตัวควบคุม C(s)C(s) แล้วปิดวงได้ T(s)=CG1+CGT(s) = \dfrac{CG}{1 + CG} บล็อกไดอะแกรม
  • ระบบเสถียรเมื่อรากของ 1+KG(s)=01 + KG(s) = 0 อยู่ซ้ายของแกน jωj\omega ทุกตัว ตรวจได้โดยไม่ต้องหาราก เราท์–เฮอร์วิตซ์
  • รากเหล่านั้นเดินอย่างไรเมื่อปรับ KK รูทโลคัส · ห่างจากความไม่เสถียรแค่ไหน เกนและเฟสมาร์จิน
  • ไม่ได้ตามสเปก เพิ่มขั้วและศูนย์อย่างมีชั้นเชิง lead · lag และ PID

Control Engineering หรือ Control Systems เรียกอะไรดี

ทั่วโลกใช้สองคำนี้แทนกันได้ แต่มีน้ำหนักต่างกันเล็กน้อย Control Systems คือชื่อวิชาที่มหาวิทยาลัยส่วนใหญ่ใช้ (Control Systems Engineering ของ Nise, Modern Control Systems ของ Dorf) เน้นตัวระบบและเครื่องมือวิเคราะห์ ส่วน Control Engineering คือชื่อสาขาวิชาชีพ เน้นงานออกแบบ หน้านี้จึงใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering ครอบทั้งสองคำ ภาษาไทยใช้ ระบบควบคุม และ วิศวกรรมระบบควบคุม

คำความหมายที่ใช้ในชุดนี้เชื่อมไปหน้า
Control systemระบบที่จัดการให้ตัวแปรหนึ่งเป็นไปตามที่ต้องการภาพรวม
Feedback control systemระบบวงปิดที่วัดเอาต์พุตย้อนกลับมาเทียบกับค่าอ้างอิงภาพรวม · บล็อก
Automatic controlการควบคุมที่ทำงานเองโดยไม่ต้องมีคนคอยปรับPID
Classical controlวิเคราะห์ในโดเมน ss และความถี่: Routh รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ส่วนที่ 2 ถึง 6
Modern controlวิเคราะห์ในปริภูมิสถานะด้วยเมทริกซ์ส่วนที่ 7
Mechatronicsกลไก + ไฟฟ้า + อิเล็กทรอนิกส์ + ซอฟต์แวร์ ที่มีระบบควบคุมเป็นแกนกลางเมคาทรอนิกส์
Roboticsเมคาทรอนิกส์ที่มีหลายข้อต่อ รับรู้ และตัดสินใจเองโรโบติกส์

แผนที่การเรียน: classical ก่อน แล้วค่อย modern

ลำดับในชุดนี้ตั้งใจเรียงแบบที่อาจารย์สอนในห้อง เริ่ม classical ก่อน เพราะฟังก์ชันถ่ายโอนให้ภาพทางกายภาพชัด (ขั้วคือความเร็วตอบสนอง เฟสคือความล่าช้า) งานออกแบบในอุตสาหกรรมส่วนใหญ่จบได้ที่ PID และตัวชดเชย และเป็นภาษาที่ datasheet ของไอซีควบคุมใช้ เมื่อแน่นแล้วจึงขึ้น modern control ที่ต่อยอดจากค่าเฉพาะ สำหรับระบบหลายตัวแปร หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

1–2แบบจำลอง · สมรรถนะ
3เสถียรภาพ · Routh
4รูทโลคัส
5โบด · ไนควิสต์
6Lead · Lag · PID
7–9Modern · ดิจิทัล · งานจริง
พื้นฐาน

ปี 2–3 · เริ่มเรียนวิชาควบคุม

กลาง

ปี 3–4 · ออกแบบตัวควบคุม

ขั้นสูง

ป.โท · งานวิจัย · งานจริง

บางหน้ายังเขียนไม่เสร็จ ลิงก์ของหน้านั้นจะพาไปการ์ดในหัวข้อถัดไปซึ่งติดป้าย “เร็วๆ นี้” ไว้

เริ่มจากไฟฟ้า ปูทางไปอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

นักศึกษาไฟฟ้ามีข้อได้เปรียบ เพราะวงจร RC คือระบบอันดับหนึ่ง วงจร RLC คือระบบอันดับสอง และออปแอมป์คือตัวควบคุมที่สร้างได้จริงบนโต๊ะ ชุดนี้จึงใช้วงจรเป็นตัวอย่างหลักตลอดทาง แล้วค่อยขยายไปมอเตอร์ กลไก และหุ่นยนต์ ปลายทางคือตัวแปลงกำลังแบบสวิตชิ่ง ซึ่งรวมทุกเรื่องในชุดนี้ไว้ในวงจรเดียว

สิ่งที่รู้จากไฟฟ้าในภาษาระบบควบคุมใช้ต่อที่
วงจร RC, τ=RC\tau = RCระบบอันดับหนึ่ง ขั้ว s=−1/τs = -1/\tauแล็บระบบอันดับ 1
วงจร RLC อนุกรมระบบอันดับสอง ζ, ωn\zeta,\ \omega_nแล็บระบบอันดับ 2
อิมพีแดนซ์ Z(s)Z(s)ฟังก์ชันถ่ายโอน G(s)G(s)แบบจำลอง
ออปแอมป์อินเวอร์ติง −Zf/Zi-Z_f/Z_iตัวควบคุม PI, PD, lead, lagแล็บออปแอมป์ · ตัวชดเชย
ฟิลเตอร์ low-pass, −3-3 dBแบนด์วิดท์ โบดไดอะแกรมโบด
ฟังก์ชันเจเนอเรเตอร์ + สโคป วัดเกนและเฟสวัดผลตอบสนองความถี่จริงแล็บ FG + สโคป
มอเตอร์ DC: V=Ri+L di/dt+KeωV = Ri + L\,di/dt + K_e\omegaพลานต์ของเซอร์โวเมคาทรอนิกส์
บั๊กคอนเวอร์เตอร์, LC ฟิลเตอร์, PWMGvd(s)G_{vd}(s) และตัวชดเชย Type IIIสะพานสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

ทุกหน้าในชุดนี้ แบ่งเป็น 9 ส่วน

อ่านตามลำดับเลขหน้า ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น เช่น R3 คือสูตรที่ 3 ของหน้าเราท์–เฮอร์วิตซ์ ใช้อ้างอิงในรายงานหรือค้นหาในหัวข้อถัดไปได้

ส่วนที่ 1

ภาพรวมและแบบจำลอง Foundations & Modeling

เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่เรารู้จัก แล้วมองมันเป็นระบบที่มีอินพุต เอาต์พุต และป้อนกลับ

13.1 ระบบควบคุมคืออะไร: วงเปิด วงปิด และการป้อนกลับ What Is a Control System? ระบบควบคุมอัตโนมัติทำงานอย่างไร เปรียบเทียบวงเปิดกับวงปิด ป้อนกลับลดความผิดพลาดและต้านการรบกวนได้อย่างไร เป้าหมายการออกแบบ และตัวอย่างระบบจริงจากไฟฟ้า เมคาทรอนิกส์ โรโบติกส์ ถึงอิเล็กทรอนิกส์กำลัง เปิดหน้า →สูตร F1, F2, … 13.2 แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน Mathematical Modeling จากกฎฟิสิกส์สู่ฟังก์ชันถ่ายโอน วงจร RLC ออปแอมป์ มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง มวล-สปริง-ดัมเปอร์ ระบบหมุน ความร้อน ของไหล ความคล้ายเชิงอุปมาไฟฟ้า-กล และการทำให้เป็นเชิงเส้น เปิดหน้า →สูตร M1, M2, … 13.3 บล็อกไดอะแกรม แผนภาพสัญญาณ และฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด Block Diagrams & Signal-Flow Graphs การลดรูปบล็อกแบบอนุกรม ขนาน และป้อนกลับ ย้ายจุดรวมสัญญาณและจุดแยก กฎของเมสัน ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด ความผิดพลาด และสัญญาณรบกวน เปิดหน้า →สูตร B1, B2, …
ส่วนที่ 3

เสถียรภาพ Stability

คำถามแรกของวิศวกรควบคุม: ระบบนี้เสถียรไหม และเสถียรได้ถึงเกนเท่าไร

13.6 เสถียรภาพของระบบควบคุม: ขั้วบนระนาบ s และเงื่อนไขเบื้องต้น Stability of Control Systems นิยามเสถียรภาพแบบ BIBO และเชิงอาการ ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s เสถียรวิกฤต เงื่อนไขจำเป็นของสัมประสิทธิ์ ความไม่เสถียรจากการป้อนกลับ และเสถียรภาพสัมพัทธ์ เปิดหน้า →สูตร S1, S2, … 13.7 เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion) Routh–Hurwitz Stability Criterion สร้างตารางเราท์ทีละขั้น นับขั้วฝั่งขวา กรณีพิเศษ (ศูนย์ในคอลัมน์แรก แถวเป็นศูนย์) หาช่วงเกน K ที่เสถียร เกนวิกฤตและความถี่วิกฤต ε-method พหุนามช่วย เฮอร์วิตซ์ดีเทอร์มิแนนต์ และเสถียรภาพสัมพัทธ์ เปิดหน้า →สูตร R1, R2, …
ส่วนที่ 4

รูทโลคัส Root Locus

ดูว่าขั้วเคลื่อนอย่างไรเมื่อปรับเกน วาดด้วยมือให้ได้ก่อนเปิดโปรแกรม

13.8 รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ Root Locus: Definition & Sketching Rules ขั้วของวงปิดเคลื่อนอย่างไรเมื่อเกน K เปลี่ยน เงื่อนไขมุมและขนาด กฎการวาดทุกข้อ: จุดเริ่ม-จบ เส้นกำกับ จุดแยก จุดตัดแกน jω มุมออก-เข้า พร้อมที่มาของแต่ละกฎ เปิดหน้า →สูตร L1, L2, … 13.9 ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้น พร้อมตัวอย่างและแกลเลอรีรูปแบบ Sketching Root Loci by Hand ตัวอย่างวาดด้วยมือทีละขั้นตั้งแต่ระบบง่ายถึงซับซ้อน ขั้วเชิงซ้อน ศูนย์ จุดแยกเชิงซ้อน ขั้วซ้ำ ผลของการเพิ่มศูนย์ (PD) แกลเลอรีรูปแบบมาตรฐาน และแล็บที่ตรวจคำตอบของกฎแต่ละข้อ ใช้แทน MATLAB เปิดหน้า →สูตร W1, W2, … 13.10 ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย Design by Root Locus เลือก K จากสเปก ζ และ ωn ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส ออกแบบ PD PI และ lead/lag ด้วยรูทโลคัส การหักล้างขั้ว-ศูนย์ รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น เปิดหน้า →สูตร J1, J2, …
ส่วนที่ 5

ตอบสนองความถี่ Frequency Response

มองระบบผ่านไซน์: Bode, margin และ Nyquist ภาษาที่วิศวกรทั่วโลกใช้

13.11 ผลตอบสนองความถี่: G(jω) ขนาด เฟส และแบนด์วิดท์ Frequency Response ป้อนไซน์เข้าระบบเชิงเส้น ออกมาเป็นไซน์ที่ขนาดและเฟสเปลี่ยน ที่มาของ G(jω) ความถี่เรโซแนนซ์ ยอดเรโซแนนซ์ Mr แบนด์วิดท์ และความสัมพันธ์กับผลตอบสนองเวลาของระบบอันดับสอง เปิดหน้า →สูตร Q1, Q2, … 13.12 โบดไดอะแกรม (Bode Plot): วาดด้วยมือทีละขั้น Bode Plot by Hand เดซิเบล เดคาด การวาดขนาดและเฟสด้วยเส้นกำกับ ปัจจัยพื้นฐาน K sⁿ (1+τs) อันดับสอง และหน่วงเวลา ค่าแก้ที่จุดมุม ตัวอย่างหลายแบบ การหาฟังก์ชันถ่ายโอนจากกราฟ และแล็บโบดที่ตรวจคำตอบ เปิดหน้า →สูตร D1, D2, … 13.13 วิเคราะห์โบด: เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน และเสถียรภาพจากกราฟ Gain & Phase Margins ความถี่ครอสโอเวอร์ เกนมาร์จิน เฟสมาร์จิน อ่านจากโบด ความสัมพันธ์ PM กับ ζ และ overshoot แบนด์วิดท์กับความเร็ว ระบบเสถียรแบบมีเงื่อนไข ผลของหน่วงเวลา และฟังก์ชันความไว S T เปิดหน้า →สูตร G1, G2, … 13.14 เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์ (Nyquist Criterion) Nyquist Stability Criterion ทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ เส้นทางไนควิสต์ Z = N + P วาดกราฟขั้วทีละขั้น จัดการขั้วบนแกน jω ตัวอย่างเสถียร ไม่เสถียร และมีเงื่อนไข อ่านมาร์จิน และเปรียบเทียบกับโบด เปิดหน้า →สูตร N1, N2, …
ส่วนที่ 6

ออกแบบตัวควบคุม Compensator & PID Design

นำทุกเครื่องมือมาออกแบบ lead lag และ PID ให้ได้ตามสเปก

13.15 ตัวชดเชย Lead, Lag และ Lag-Lead: ออกแบบด้วยโบดและรูทโลคัส Lead, Lag & Lag-Lead Compensators ตัวชดเชยเลื่อนเฟส (lead) ลดความผิดพลาดอยู่ตัว (lag) และรวมสองแบบ สูตรเลือก α และ T ขั้นตอนออกแบบทีละขั้นด้วยโบดและรูทโลคัส วงจรออปแอมป์และ RC จริง และข้อควรระวัง เปิดหน้า →สูตร C1, C2, … 13.16 ตัวควบคุม P, PI, PD และ PID: โครงสร้าง ผลของแต่ละเทอม และการออกแบบ P, PI, PD & PID Controllers โครงสร้างขนาน อุดมคติ และอนุกรม ผลของเทอม P I D ต่อ rise time overshoot และความผิดพลาดอยู่ตัว ความเกี่ยวข้องกับ lead/lag ออกแบบ PID ด้วยรูทโลคัสและโบด พร้อมแล็บ PID แบบโต้ตอบ เปิดหน้า →สูตร P1, P2, … 13.17 การจูน PID: Ziegler–Nichols, Cohen–Coon, IMC และเรื่องที่ใช้งานจริง PID Tuning & Practical Issues จูนจากกราฟตอบสนองขั้นบันได (reaction curve) และเกนวิกฤต (ultimate gain) Cohen–Coon, Lambda/IMC ฟิลเตอร์อนุพันธ์ anti-windup setpoint weighting ตัวควบคุม 2 องศาอิสระ และ relay auto-tune เปิดหน้า →สูตร Z1, Z2, …
ส่วนที่ 7

ระบบควบคุมสมัยใหม่ Modern Control

ปริภูมิสถานะ ต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้น: วางขั้ว ตัวสังเกต LQR

13.18 ปริภูมิสถานะ (State-Space): สมการสถานะ รูปแบบมาตรฐาน และ e^{At} State-Space Representation ตัวแปรสถานะ สมการสถานะและสมการเอาต์พุต จากสมการเชิงอนุพันธ์ วงจร และฟังก์ชันถ่ายโอน รูปแบบมาตรฐานควบคุมได้ สังเกตได้ และโมดัล คำตอบ e^{At} ขั้วคือค่าเฉพาะ G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D เปิดหน้า →สูตร X1, X2, … 13.19 ความสามารถควบคุมได้และสังเกตได้ (Controllability & Observability) Controllability & Observability นิยาม เมทริกซ์ควบคุมได้และสังเกตได้ ทดสอบแบบ Kalman และ PBH การแยกส่วนของ Kalman ความเกี่ยวข้องกับการหักล้างขั้ว-ศูนย์ และ realization ที่น้อยที่สุด เปิดหน้า →สูตร O1, O2, … 13.20 ป้อนกลับสถานะ: วางขั้ว ตัวสังเกต และ LQR State Feedback, Observers & LQR การวางขั้ว (pole placement) สูตร Ackermann ตัวสังเกตสถานะ Luenberger หลักการแยกส่วน การติดตามสัญญาณอ้างอิงและอินทิเกรเตอร์ LQR สมการริคคาติเบื้องต้น และตัวกรองคาลมานโดยย่อ เปิดหน้า →สูตร V1, V2, …
ส่วนที่ 9

งานประยุกต์ Mechatronics, Robotics & Power Electronics

ทฤษฎีลงสนามจริง: มอเตอร์ หุ่นยนต์ และตัวแปลงกำลัง ทางไปสู่อิเล็กทรอนิกส์กำลัง

13.23 ระบบควบคุมเมคาทรอนิกส์: เซนเซอร์ แอคชูเอเตอร์ เซอร์โว และคาสเคด Mechatronic Systems Control มอเตอร์ DC เซนเซอร์ (เอนโค้ดเดอร์ โพเทนชิโอมิเตอร์ IMU) ไดรเวอร์และ PWM ลูปกระแส-ความเร็ว-ตำแหน่งแบบคาสเคด เซอร์โวตำแหน่ง ชุดเกียร์ ความฝืด backlash และตัวอย่างจริง เปิดหน้า →สูตร K1, K2, … 13.24 ระบบควบคุมโรโบติกส์: แขนกล หุ่นยนต์เคลื่อนที่ และการควบคุมข้อต่อ Robotics & Robot Control จลนศาสตร์ตรงและผกผัน จาโคเบียน พลศาสตร์แขนกล (Euler–Lagrange) ควบคุมข้อต่อแบบ PD/PID ชดเชยแรงโน้มถ่วง computed torque การสร้างวิถี หุ่นยนต์ล้อ differential drive และการติดตามเส้นทาง เปิดหน้า →สูตร A1, A2, … 13.25 ควบคุมตัวแปลงกำลัง: จากฟังก์ชันถ่ายโอนบั๊กคอนเวอร์เตอร์ ถึงตัวชดเชย Type II/III Control of Power Converters แบบจำลองสัญญาณเล็กของบั๊กคอนเวอร์เตอร์ Gvd(s) โหมดแรงดันและโหมดกระแส เลือกความถี่ครอสโอเวอร์ ตัวชดเชย Type II และ Type III ด้วยออปแอมป์ เฟสมาร์จิน และเส้นทางสู่บทอิเล็กทรอนิกส์กำลัง เปิดหน้า →สูตร H1, H2, … 13.26 คลังไอเดียระบบควบคุม 60+ ระบบ: ตั้งแต่เทอร์โมสตัทถึงโดรน Control Systems Examples Gallery รวมระบบควบคุมรอบตัวพร้อมตัวแปรที่ควบคุม แอคชูเอเตอร์ เซนเซอร์ ชนิดตัวควบคุม และบทเรียนที่เกี่ยวข้อง ใช้เป็นโจทย์โปรเจกต์ ไอเดียสอน และแรงบันดาลใจ เปิดหน้า →ตารางและโจทย์โปรเจกต์

แล็บระบบควบคุม: รูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ในจอเดียว

พิมพ์ฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s)L(s) เช่น 1/(s(s+1)(s+2)) หรือ (s+3)/(s^2(s+10)) แล้วเลื่อนเกน KK ดูขั้ววงปิด (จุดส้ม) เดินตามรูทโลคัส พร้อมกับโบดที่เลื่อนขึ้นลงและกราฟไนควิสต์ที่ขยายจนอ้อม −1-1 ลากขั้ว × หรือศูนย์ ○ เพื่อดูว่ารูปร่างเปลี่ยนอย่างไร คลิกบนเส้นโลคัสเพื่อเลือก KK ที่จุดนั้น

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

ลองตั้งโจทย์ให้ตัวเอง: ระบบ Ks(s+1)(s+2)\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)} เสถียรถึง KK เท่าไร (เฉลย K=6K = 6 ที่ ω=2\omega = \sqrt2 ซึ่งตรงกับตารางเราท์ในหน้าเราท์–เฮอร์วิตซ์ และเกนมาร์จินที่ K=1K = 1 คือ 20log⁡6=15.620\log 6 = 15.6 dB ในหน้ามาร์จิน) สามวิธีให้คำตอบเดียวกัน นี่คือความงามของวิชานี้

ค้นหาสูตรทั้งหมดในที่เดียว

รวมทุกสูตรจากทุกหน้าที่เปิดแล้ว พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือรหัสสูตรตรง ๆ เช่น L4 (จุดตัดเส้นกำกับ) หรือ G3 (เฟสมาร์จินกับ ζ)

  1. F1Closed-loop transfer functionฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด
    Y(s)R(s)=C(s)G(s)1+C(s)G(s)H(s)=เส้นทางไปข้างหน้า1+ลูปเกน L(s),L(s)=C(s)G(s)H(s)\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)H(s)} = \frac{\text{เส้นทางไปข้างหน้า}}{1 + \text{ลูปเกน } L(s)}, \qquad L(s) = C(s)G(s)H(s)
  2. h=1h = 1) ภาพรวมป้อนกลับ s = frac {1}{1 + l}, qquad t = frac {l}{1 + l}, qquad s + t = 1, qquad y = tr + sgd - tn, qquad e = sr - sgd + tn ">F2Sensitivity functionsฟังก์ชันความไวและความไวเติมเต็ม (H=1H = 1)
    S=11+L,T=L1+L,S+T=1,Y=TR+SGD−TN,E=SR−SGD+TNS = \frac{1}{1 + L}, \qquad T = \frac{L}{1 + L}, \qquad S + T = 1, \qquad Y = TR + SGD - TN, \qquad E = SR - SGD + TN
  3. F3Sensitivity to plant variationความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของพลานต์
    SGT=∂T/T∂G/G=11+L=SS_G^T = \frac{\partial T/T}{\partial G/G} = \frac{1}{1 + L} = S
  4. M1Transfer functionฟังก์ชันถ่ายโอน
    any(n)+⋯+a1y˙+a0y=bmu(m)+⋯+b0u → L, IC=0  G(s)=Y(s)U(s)=bmsm+⋯+b0ansn+⋯+a0a_n y^{(n)} + \cdots + a_1\dot y + a_0y = b_mu^{(m)} + \cdots + b_0u \ \xrightarrow{\ \mathcal L,\ \text{IC} = 0\ }\ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_0}
  5. M2Impedance methodวิธีอิมพีแดนซ์ในโดเมน s
    ZR=R,ZL=sL,ZC=1sC,VoVi=Z2Z1+Z2 (ตัวแบ่งแรงดัน)Z_R = R, \quad Z_L = sL, \quad Z_C = \frac{1}{sC}, \qquad \frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \ \text{(ตัวแบ่งแรงดัน)}
  6. M3RC low-passวงจร RC
    VCVi=1/(sC)R+1/(sC)=1RCs+1\frac{V_C}{V_i} = \frac{1/(sC)}{R + 1/(sC)} = \frac{1}{RCs + 1}
  7. M4Series RLCวงจร RLC อนุกรม (เอาต์พุตที่ C)
    VCVi=1LCs2+RCs+1,ωn=1LC,ζ=R2CL\frac{V_C}{V_i} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}, \quad \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \zeta = \frac R2\sqrt{\frac CL}
  8. M5Inverting op-ampออปแอมป์อินเวอร์ติง
    VoVi=−Zf(s)Zi(s)เช่น Zf=1sC, Zi=R: −1RCs (อินทิเกรเตอร์)\frac{V_o}{V_i} = -\frac{Z_f(s)}{Z_i(s)} \qquad \text{เช่น } Z_f = \frac{1}{sC},\ Z_i = R:\ -\frac{1}{RCs} \ (\text{อินทิเกรเตอร์})
  9. M6DC motor equationsสมการมอเตอร์ DC
    v=Ri+Ldidt+Keω,Jdωdt+bω=Kti−TL ⇒ Ω(s)V(s)=Kt(Js+b)(Ls+R)+KtKev = Ri + L\frac{di}{dt} + K_e\omega, \qquad J\frac{d\omega}{dt} + b\omega = K_ti - T_L \ \Rightarrow\ \frac{\Omega(s)}{V(s)} = \frac{K_t}{(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e}
  10. l/r≪τml/r \ll \tau_m) แบบจำลอง frac { omega }{v} approx frac {k_m}{ tau _ms + 1}, qquad frac { theta }{v} approx frac {k_m}{s( tau _ms + 1)}, qquad k_m = frac {k_t}{rb + k_tk_e}, quad tau _m = frac {rj}{rb + k_tk_e} ">M7Simplified motor modelแบบจำลองอย่างง่าย (L/R≪τmL/R \ll \tau_m)
    ΩV≈Kmτms+1,ΘV≈Kms(τms+1),Km=KtRb+KtKe,τm=RJRb+KtKe\frac{\Omega}{V} \approx \frac{K_m}{\tau_ms + 1}, \qquad \frac{\Theta}{V} \approx \frac{K_m}{s(\tau_ms + 1)}, \qquad K_m = \frac{K_t}{Rb + K_tK_e}, \quad \tau_m = \frac{RJ}{Rb + K_tK_e}
  11. M8Mass–spring–damperมวล-สปริง-ดัมเปอร์
    mx¨+bx˙+kx=f ⇒ XF=1ms2+bs+km\ddot x + b\dot x + kx = f \ \Rightarrow\ \frac{X}{F} = \frac{1}{ms^2 + bs + k}
  12. M9Thermal systemระบบความร้อน
    Ctdθdt=q−θRt ⇒ ΘQ=RtRtCts+1C_t\frac{d\theta}{dt} = q - \frac{\theta}{R_t} \ \Rightarrow\ \frac{\Theta}{Q} = \frac{R_t}{R_tC_ts + 1}
  13. nn (มอเตอร์หมุนเร็วกว่า nn เท่า) แบบจำลอง omega _l = frac { omega _m}{n}, quad t_l = nt_m, quad j_{eq} = j_m + frac {j_l}{n^2}, quad b_{eq} = b_m + frac {b_l}{n^2} ">M10Gear trainชุดเกียร์ทด NN (มอเตอร์หมุนเร็วกว่า NN เท่า)
    ωL=ωmN,TL=NTm,Jeq=Jm+JLN2,beq=bm+bLN2\omega_L = \frac{\omega_m}{N}, \quad T_L = NT_m, \quad J_{eq} = J_m + \frac{J_L}{N^2}, \quad b_{eq} = b_m + \frac{b_L}{N^2}
  14. M11Force–voltage analogyความคล้ายแรง-แรงดัน
    ไฟฟ้าviLR1Cกลไกเลื่อนที่fx˙mbkกลไกหมุนTωJbkความร้อนθq−Rt1Ct\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{ไฟฟ้า} & v & i & L & R & \tfrac1C \\ \hline \text{กลไกเลื่อนที่} & f & \dot x & m & b & k \\ \text{กลไกหมุน} & T & \omega & J & b & k \\ \text{ความร้อน} & \theta & q & - & R_t & \tfrac{1}{C_t} \end{array}
  15. M12Linearizationการทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน
    x˙=f(x,u) ⇒ δx˙≈∂f∂x∣0δx+∂f∂u∣0δu\dot x = f(x, u) \ \Rightarrow\ \delta\dot x \approx \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0}\delta x + \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{0}\delta u
  16. B1Series (cascade)อนุกรม
    G1→G2 ≡ G1G2G_1 \to G_2 \ \equiv\ G_1G_2
  17. B2Parallelขนาน
    G1∥G2 ≡ G1±G2G_1 \parallel G_2 \ \equiv\ G_1 \pm G_2
  18. B3Feedback loopวงป้อนกลับ
    YR=G1±GH(+ สำหรับป้อนกลับลบ, − สำหรับป้อนกลับบวก)\frac{Y}{R} = \frac{G}{1 \pm GH} \qquad (+\ \text{สำหรับป้อนกลับลบ},\ -\ \text{สำหรับป้อนกลับบวก})
  19. B4Moving junctionsย้ายจุดรวมและจุดแยก
    ย้ายจุดรวมไปหลังบล็อก Gใส่ G ในเส้นที่เข้ามารวมย้ายจุดรวมไปหน้าบล็อก Gใส่ 1/Gย้ายจุดแยกไปหลังบล็อก Gใส่ 1/G ในเส้นที่แยกออกย้ายจุดแยกไปหน้าบล็อก Gใส่ G\begin{array}{l|l} \text{ย้ายจุดรวมไปหลังบล็อก } G & \text{ใส่ } G \text{ ในเส้นที่เข้ามารวม} \\ \text{ย้ายจุดรวมไปหน้าบล็อก } G & \text{ใส่ } 1/G \\ \text{ย้ายจุดแยกไปหลังบล็อก } G & \text{ใส่ } 1/G \text{ ในเส้นที่แยกออก} \\ \text{ย้ายจุดแยกไปหน้าบล็อก } G & \text{ใส่ } G \end{array}
  20. B5Equivalent unity feedbackแปลงเป็นป้อนกลับหนึ่งหน่วย
    Ge=G1+GH−GG_e = \frac{G}{1 + GH - G}
  21. B6Multiple inputsหลายอินพุต
    Y=TR(s)R+TD(s)DY = T_R(s)R + T_D(s)D
  22. B7Mason's gain formulaกฎของเมสัน
    T=1Δ∑kPkΔk,Δ=1−∑Li+∑LiLj−∑LiLjLk+⋯T = \frac{1}{\Delta}\sum_k P_k\Delta_k, \qquad \Delta = 1 - \sum L_i + \sum L_iL_j - \sum L_iL_jL_k + \cdots
  23. T1First-order step responseระบบอันดับหนึ่ง
    G(s)=Kτs+1:y(t)=K(1−e−t/τ),tr=2.2τ,  ts=4τG(s) = \frac{K}{\tau s + 1}:\quad y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t_r = 2.2\tau,\ \ t_s = 4\tau
  24. T2Second-order standard formระบบอันดับสองมาตรฐาน
    G(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2,s=−ζωn±jωd,  ωd=ωn1−ζ2G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}, \quad s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d,\ \ \omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}
  25. T3Percent overshootเปอร์เซ็นต์พุ่งเกิน
    %Mp=100 e−πζ/1−ζ2  ⟺  ζ=−ln⁡(%Mp/100)π2+ln⁡2(%Mp/100)\%M_p = 100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}} \iff \zeta = \frac{-\ln(\%M_p/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%M_p/100)}}
  26. T4Peak timeเวลายอด
    tp=πωd=πωn1−ζ2t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}}
  27. T5Settling timeเวลาเข้าที่
    ts≈4ζωn (2%),3ζωn (5%)t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}\ (2\%), \qquad \frac{3}{\zeta\omega_n}\ (5\%)
  28. T6Rise timeเวลาขึ้น
    tr0–100%=π−βωd,  β=cos⁡−1ζ,tr10–90%≈1−0.4167ζ+2.917ζ2ωnt_r^{0\text{–}100\%} = \frac{\pi - \beta}{\omega_d},\ \ \beta = \cos^{-1}\zeta, \qquad t_r^{10\text{–}90\%} \approx \frac{1 - 0.4167\zeta + 2.917\zeta^2}{\omega_n}
  29. T7Admissible regionบริเวณที่ขั้วเด่นต้องอยู่
    Mp≤M⇒θ≤cos⁡−1ζmin,ts≤Ts⇒σ≥4Ts,tp≤Tp⇒ωd≥πTpM_p \le M \Rightarrow \theta \le \cos^{-1}\zeta_{min}, \qquad t_s \le T_s \Rightarrow \sigma \ge \frac{4}{T_s}, \qquad t_p \le T_p \Rightarrow \omega_d \ge \frac{\pi}{T_p}
  30. T8Dominant-pole approximationการประมาณด้วยขั้วเด่น
    ∣Re⁡ pอื่น∣≥5 ∣Re⁡ pเด่น∣ ⇒ G(s)≈G(0) ωn2s2+2ζωns+ωn2|\operatorname{Re}\,p_{\text{อื่น}}| \ge 5\,|\operatorname{Re}\,p_{\text{เด่น}}| \ \Rightarrow\ G(s) \approx \frac{G(0)\,\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}
  31. T9Effect of a zeroผลของศูนย์
    Gz(s)=(1+sa)G(s) ⇒ yz(t)=y(t)+1ay˙(t)G_z(s) = \left(1 + \frac{s}{a}\right)G(s) \ \Rightarrow\ y_z(t) = y(t) + \frac1a\dot y(t)
  32. E1Steady-state error (unity feedback)ความผิดพลาดอยู่ตัว
    E(s)=R(s)1+G(s),ess=lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)E(s) = \frac{R(s)}{1 + G(s)}, \qquad e_{ss} = \lim_{t\to\infty}e(t) = \lim_{s\to0}\frac{sR(s)}{1 + G(s)}
  33. E2System typeชนิดของระบบ
    G(s)=K∏(s+zi)sN∏(s+pj)⇒ชนิด NG(s) = \frac{K\prod(s + z_i)}{s^N\prod(s + p_j)} \quad\Rightarrow\quad \text{ชนิด } N
  34. E3Static error constantsค่าคงตัวความผิดพลาดและตาราง
    Kp=lim⁡s→0G(s),Kv=lim⁡s→0sG(s),Ka=lim⁡s→0s2G(s)K_p = \lim_{s\to0}G(s), \quad K_v = \lim_{s\to0}sG(s), \quad K_a = \lim_{s\to0}s^2G(s)
  35. E4Disturbance at the plant inputการรบกวนที่อินพุตพลานต์
    ED(s)=−Gp(s)1+C(s)Gp(s)D(s),ess,D=−lim⁡s→0sGpD1+CGpE_D(s) = -\frac{G_p(s)}{1 + C(s)G_p(s)}D(s), \qquad e_{ss,D} = -\lim_{s\to0}\frac{sG_pD}{1 + CG_p}
  36. E5Non-unity feedbackป้อนกลับไม่เป็นหนึ่งหน่วย
    e=r−y,Ge=G1+GH−Ge = r - y, \quad G_e = \frac{G}{1 + GH - G}
  37. S1BIBO stabilityอินพุตมีขอบเขต เอาต์พุตมีขอบเขต
    ∣u(t)∣≤M⇒∣y(t)∣≤N  ∀t  ⟺  ∫0∞∣g(t)∣ dt<∞|u(t)| \le M \Rightarrow |y(t)| \le N \ \ \forall t \quad \iff \quad \int_0^\infty |g(t)|\,dt \lt \infty
  38. S2Pole-location criterionเกณฑ์ตำแหน่งขั้ว
    {Re⁡(pi)<0  ∀iเสถียร (เชิงอาการและ BIBO)ขั้วเดี่ยวบนแกน jω, ที่เหลือฝั่งซ้ายเสถียรวิกฤตRe⁡(pi)>0 หรือขั้วซ้ำบนแกน jωไม่เสถียร\begin{cases} \operatorname{Re}(p_i) \lt 0\ \ \forall i & \text{เสถียร (เชิงอาการและ BIBO)} \\ \text{ขั้วเดี่ยวบนแกน } j\omega,\ \text{ที่เหลือฝั่งซ้าย} & \text{เสถียรวิกฤต} \\ \operatorname{Re}(p_i) \gt 0 \ \text{หรือขั้วซ้ำบนแกน } j\omega & \text{ไม่เสถียร} \end{cases}
  39. S3Closed-loop characteristic equationสมการลักษณะเฉพาะวงปิด
    1+KN(s)D(s)=0  ⟺  D(s)+KN(s)=01 + K\frac{N(s)}{D(s)} = 0 \iff D(s) + KN(s) = 0
  40. S4Internal stabilityเสถียรภาพภายใน
    ต้องเสถียรทั้ง 4 ฟังก์ชัน:11+CG,G1+CG,C1+CG,CG1+CG\text{ต้องเสถียรทั้ง 4 ฟังก์ชัน:}\quad \frac{1}{1 + CG},\quad \frac{G}{1 + CG},\quad \frac{C}{1 + CG},\quad \frac{CG}{1 + CG}
  41. R1Necessary conditionเงื่อนไขจำเป็น (ตรวจก่อนสร้างตาราง)
    เสถียร ⇒ a0,a1,…,an มีเครื่องหมายเดียวกัน และไม่มีตัวใดเป็นศูนย์\text{เสถียร} \ \Rightarrow\ a_0, a_1, \dots, a_n \ \text{มีเครื่องหมายเดียวกัน และไม่มีตัวใดเป็นศูนย์}
  42. R2Routh arrayโครงตารางเราท์
    sna0a2a4⋯sn−1a1a3a5⋯sn−2b1b2b3⋯sn−3c1c2⋯⋮⋮s0∗\begin{array}{c|cccc} s^n & a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \\ s^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & \cdots & \\ \vdots & \vdots & & & \\ s^0 & \ast & & & \end{array}
  43. R3Element formulaสูตรคำนวณแต่ละช่อง
    b1=a1a2−a0a3a1=−1a1∣a0a2a1a3∣,b2=a1a4−a0a5a1,c1=b1a3−a1b2b1b_1 = \frac{a_1a_2 - a_0a_3}{a_1} = \frac{-1}{a_1}\begin{vmatrix} a_0 & a_2 \\ a_1 & a_3 \end{vmatrix}, \qquad b_2 = \frac{a_1a_4 - a_0a_5}{a_1}, \qquad c_1 = \frac{b_1a_3 - a_1b_2}{b_1}
  44. R4Routh–Hurwitz criterionเกณฑ์ของเราท์–เฮอร์วิตซ์
    #{รากที่ Re⁡s>0}=#{ครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยน}\#\{\text{รากที่ } \operatorname{Re}s \gt 0\} = \#\{\text{ครั้งที่เครื่องหมายในหลักแรกเปลี่ยน}\}
  45. R5Row scalingคูณหรือหารทั้งแถวด้วยจำนวนบวก
    [ b1  b2  b3 ] → [ kb1  kb2  kb3 ],k>0[\,b_1\ \ b_2\ \ b_3\,] \ \to\ [\,kb_1\ \ kb_2\ \ kb_3\,], \quad k \gt 0
  46. R6Third-order shortcutสูตรลัดอันดับสาม
    a3s3+a2s2+a1s+a0:เสถียร  ⟺  ai>0 และ a2a1>a3a0a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0:\quad \text{เสถียร} \iff a_i \gt 0 \ \text{และ} \ a_2a_1 \gt a_3a_0
  47. R7Zero in the first column (ε method)หลักแรกเป็นศูนย์
    [ 0  a  b ] → [ ε  a  b ],นับเครื่องหมายของหลักแรกเมื่อ ε→0+[\,0\ \ a\ \ b\,] \ \to\ [\,\varepsilon\ \ a\ \ b\,], \qquad \text{นับเครื่องหมายของหลักแรกเมื่อ } \varepsilon \to 0^+
  48. R8Reversed-coefficient methodทางเลือก: กลับลำดับสัมประสิทธิ์
    a0sn+⋯+an → ansn+an−1sn−1+⋯+a0a_0s^n + \cdots + a_n \ \to\ a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0
  49. R9Row of zeros: auxiliary polynomialแถวศูนย์ทั้งแถว
    A(s)=α1sk+α2sk−2+α3sk−4+⋯ (จากแถว sk),แถวศูนย์ ← dAds=kα1sk−1+(k−2)α2sk−3+⋯A(s) = \alpha_1s^{k} + \alpha_2s^{k-2} + \alpha_3s^{k-4} + \cdots \ (\text{จากแถว } s^k), \qquad \text{แถวศูนย์} \ \leftarrow\ \frac{dA}{ds} = k\alpha_1s^{k-1} + (k-2)\alpha_2s^{k-3} + \cdots
  50. R10Critical gain and oscillation frequencyเกนวิกฤตและความถี่การแกว่ง
    แถว s1=0 ⇒ K=Kcr,แถว s2: αs2+β∣Kcr=0 ⇒ ωcr=β/α\text{แถว } s^1 = 0 \ \Rightarrow\ K = K_{cr}, \qquad \text{แถว } s^2:\ \alpha s^2 + \beta\big|_{K_{cr}} = 0 \ \Rightarrow\ \omega_{cr} = \sqrt{\beta/\alpha}
  51. R11Relative stability (axis shift)เสถียรภาพสัมพัทธ์
    Re⁡(si)<−σ  ∀i  ⟺  p(z−σ) เป็นพหุนามเฮอร์วิตซ์ในตัวแปร z\operatorname{Re}(s_i) \lt -\sigma \ \ \forall i \iff p(z - \sigma) \ \text{เป็นพหุนามเฮอร์วิตซ์ในตัวแปร } z
  52. R12Hurwitz determinantsดีเทอร์มิแนนต์เฮอร์วิตซ์
    H=(a1a3a5⋯a0a2a4⋯0a1a3⋯0a0a2⋯⋮⋱)n×n,เสถียร  ⟺  Δ1,Δ2,…,Δn>0 (a0>0)H = \begin{pmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & \cdots \\ a_0 & a_2 & a_4 & \cdots \\ 0 & a_1 & a_3 & \cdots \\ 0 & a_0 & a_2 & \cdots \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}_{n\times n}, \qquad \text{เสถียร} \iff \Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n \gt 0 \ (a_0 \gt 0)
  53. L1Root-locus formรูปแบบมาตรฐานของสมการลักษณะเฉพาะ
    1+KG(s)H(s)=0,G(s)H(s)=(s−z1)(s−z2)⋯(s−zm)(s−p1)(s−p2)⋯(s−pn)1 + KG(s)H(s) = 0, \qquad G(s)H(s) = \frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)}
  54. L2Angle conditionเงื่อนไขมุม (บอกว่าจุดไหนอยู่บนโลคัส)
    ∑i=1m∠(s−zi)−∑j=1n∠(s−pj)=±180∘(2q+1),q=0,1,2,…\sum_{i=1}^{m}\angle(s - z_i) - \sum_{j=1}^{n}\angle(s - p_j) = \pm180^\circ(2q + 1), \quad q = 0, 1, 2, \dots
  55. kk เท่าไร) รูทโลคัส k = frac {1}{|g(s)h(s)|} = frac { prod _{j=1}^{n}|s - p_j|}{ prod _{i=1}^{m}|s - z_i|} = frac { text {ผลคูณระยะจากขั้วทุกตัว}}{ text {ผลคูณระยะจากศูนย์ทุกตัว}} ">L3Magnitude conditionเงื่อนไขขนาด (บอกว่าจุดนั้นใช้ KK เท่าไร)
    K=1∣G(s)H(s)∣=∏j=1n∣s−pj∣∏i=1m∣s−zi∣=ผลคูณระยะจากขั้วทุกตัวผลคูณระยะจากศูนย์ทุกตัวK = \frac{1}{|G(s)H(s)|} = \frac{\prod_{j=1}^{n}|s - p_j|}{\prod_{i=1}^{m}|s - z_i|} = \frac{\text{ผลคูณระยะจากขั้วทุกตัว}}{\text{ผลคูณระยะจากศูนย์ทุกตัว}}
  56. L4Rule 1 · Branches, start and endจำนวนกิ่ง จุดเริ่ม จุดจบ
    #กิ่ง=n,K=0: s=pj (ขั้ว),K→∞: s→zi หรือ ∞ (n−m กิ่ง)\#\text{กิ่ง} = n, \qquad K = 0:\ s = p_j \ (\text{ขั้ว}), \qquad K \to \infty:\ s \to z_i \ \text{หรือ} \ \infty \ (n - m \text{ กิ่ง})
  57. L5Rule 2 · Real-axis segmentsส่วนบนแกนจริง
    จุดบนแกนจริงอยู่บนโลคัส  ⟺  #(ขั้ว+ศูนย์ที่อยู่บนแกนจริง ทางขวาของจุดนั้น) เป็นเลขคี่\text{จุดบนแกนจริงอยู่บนโลคัส} \iff \#(\text{ขั้ว} + \text{ศูนย์ที่อยู่บนแกนจริง ทาง}\textbf{ขวา}\text{ของจุดนั้น}) \text{ เป็นเลขคี่}
  58. L6Rule 3 · Asymptotesเส้นกำกับ: มุมและจุดตัดแกนจริง
    θa=(2q+1)180∘n−m,  q=0,1,…,n−m−1,σa=∑pj−∑zin−m\theta_a = \frac{(2q + 1)180^\circ}{n - m},\ \ q = 0, 1, \dots, n - m - 1, \qquad \sigma_a = \frac{\sum p_j - \sum z_i}{n - m}
  59. L7Rule 4 · Breakaway and break-in pointsจุดแยกและจุดเข้า
    K(s)=−1G(s)H(s),dKds=0⟺∑j=1n1σ−pj=∑i=1m1σ−ziK(s) = -\frac{1}{G(s)H(s)}, \qquad \frac{dK}{ds} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\sigma - p_j} = \sum_{i=1}^{m}\frac{1}{\sigma - z_i}
  60. jωj\omega รูทโลคัส text {แทน } s = j omega text { ใน } 1 + kgh = 0:\ \ operatorname {re}\{ cdot \} = 0,\ \ operatorname {im}\{ cdot \} = 0 quad text {หรือใช้ตารางเราท์หา } k_{cr} ">L8Rule 5 · jω-axis crossingsจุดตัดแกน jωj\omega
    แทน s=jω ใน 1+KGH=0:  Re⁡{⋅}=0,  Im⁡{⋅}=0หรือใช้ตารางเราท์หา Kcr\text{แทน } s = j\omega \text{ ใน } 1 + KGH = 0:\ \ \operatorname{Re}\{\cdot\} = 0,\ \ \operatorname{Im}\{\cdot\} = 0 \quad \text{หรือใช้ตารางเราท์หา } K_{cr}
  61. L9Rule 6 · Angles of departure and arrivalมุมออกจากขั้วเชิงซ้อนและมุมเข้าศูนย์เชิงซ้อน
    θd=180∘−∑j≠k∠(pk−pj)+∑i∠(pk−zi),θa=180∘−∑i≠k∠(zk−zi)+∑j∠(zk−pj)\theta_{d} = 180^\circ - \sum_{j \ne k}\angle(p_k - p_j) + \sum_{i}\angle(p_k - z_i), \qquad \theta_{a} = 180^\circ - \sum_{i \ne k}\angle(z_k - z_i) + \sum_{j}\angle(z_k - p_j)
  62. L10Rule 7 · Sum of closed-loop polesผลรวมขั้ววงปิดคงที่
    n−m≥2:  ∑jrj(K)=∑jpj=−a1  ทุกค่า Kn - m \ge 2:\ \ \sum_{j} r_j(K) = \sum_j p_j = -a_1 \ \ \text{ทุกค่า } K
  63. L11Product of closed-loop polesผลคูณขั้ววงปิด (ไม่มีศูนย์)
    ∏j(−rj)=an+K\prod_j(-r_j) = a_n + K
  64. W1Sketching recipeขั้นตอนการวาดรูทโลคัส
  65. W2Circle ruleขั้วจริง 2 ตัว + ศูนย์จริง 1 ตัว
    วงกลมศูนย์กลาง z,r=∣z−p1∣ ∣z−p2∣\text{วงกลมศูนย์กลาง } z, \quad r = \sqrt{|z - p_1|\,|z - p_2|}
  66. W3Repeated poles and multiple meetingขั้วซ้ำและหลายกิ่งพบกัน
    θd=180∘(2q+1)+∑∠(ศูนย์)−∑∠(ขั้วอื่น)r,กิ่งเข้า-ออกสลับกันทุก 180∘r\theta_{d} = \frac{180^\circ(2q+1) + \sum\angle(\text{ศูนย์}) - \sum\angle(\text{ขั้วอื่น})}{r}, \qquad \text{กิ่งเข้า-ออกสลับกันทุก } \frac{180^\circ}{r}
  67. J1Gain selectionเลือกเกนจากสเปก
    sd=−ζωn±jωn1−ζ2,K=∏∣sd−pj∣∏∣sd−zi∣s_d = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}, \qquad K = \frac{\prod|s_d - p_j|}{\prod|s_d - z_i|}
  68. J2Adding poles and zerosเพิ่มขั้วและศูนย์
    เพิ่มศูนย์ z: n−m↓,  σa→∑p−∑z−zn−m−1(ดึงไปซ้าย),เพิ่มขั้ว: n−m↑ (ผลักไปขวา)\text{เพิ่มศูนย์ } z:\ n - m \downarrow,\ \ \sigma_a \to \frac{\sum p - \sum z - z}{n - m - 1} \quad\text{(ดึงไปซ้าย)}, \qquad \text{เพิ่มขั้ว: } n - m \uparrow \ \text{(ผลักไปขวา)}
  69. J3PD by angle compensationวางศูนย์ PD
    ϕc=−180∘−∠G(sd),z=σd+ωdtan⁡ϕc  (ศูนย์ที่ −z),C(s)=KD(s+z)\phi_c = -180^\circ - \angle G(s_d), \qquad z = \sigma_d + \frac{\omega_d}{\tan\phi_c} \ \ \text{(ศูนย์ที่ } -z\text{)}, \qquad C(s) = K_D(s + z)
  70. J4PI by dipole placementวาง PI แบบคู่ขั้ว-ศูนย์
    C(s)=Ks+zIs,zI≈∣Re⁡sd∣10C(s) = K\frac{s + z_I}{s}, \qquad z_I \approx \frac{|\operatorname{Re}s_d|}{10}
  71. k<0k \lt 0 ออกแบบด้วยรูทโลคัส sum angle (s - z_i) - sum angle (s - p_j) = 0^ circ + 360^ circ q, qquad theta _a = frac {360^ circ q}{n - m} ">J5Complementary (0°) root locusรูทโลคัสเมื่อ K<0K \lt 0
    ∑∠(s−zi)−∑∠(s−pj)=0∘+360∘q,θa=360∘qn−m\sum\angle(s - z_i) - \sum\angle(s - p_j) = 0^\circ + 360^\circ q, \qquad \theta_a = \frac{360^\circ q}{n - m}
  72. J6Parameter root locusรูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น
    A(s)+αB(s)=0 ⇒ 1+αB(s)A(s)=0A(s) + \alpha B(s) = 0 \ \Rightarrow\ 1 + \alpha\frac{B(s)}{A(s)} = 0
  73. Q1Sinusoidal steady stateผลตอบสนองต่อไซน์ในสถานะอยู่ตัว
    u(t)=Asin⁡ωt ⇒ yss(t)=A ∣G(jω)∣sin⁡(ωt+∠G(jω))u(t) = A\sin\omega t \ \Rightarrow\ y_{ss}(t) = A\,|G(j\omega)|\sin\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big)
  74. Q2Resonant peakยอดเรโซแนนซ์ของวงปิดอันดับสอง
    Mr=12ζ1−ζ2,ωr=ωn1−2ζ2(ζ<0.707)M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}}, \qquad \omega_r = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2} \qquad (\zeta \lt 0.707)
  75. Q3Bandwidthแบนด์วิดท์วงปิด (−3 dB)
    ωBW=ωn1−2ζ2+4ζ4−4ζ2+2,tr ωBW≈1.8 ถึง 2.2\omega_{BW} = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2 + \sqrt{4\zeta^4 - 4\zeta^2 + 2}}, \qquad t_r\,\omega_{BW} \approx 1.8 \text{ ถึง } 2.2
  76. Q4Closed loop from open loopอ่านวงปิดจากวงเปิด
    ∣L∣≫1: T≈1, S≈1L∣L∣≪1: T≈L, S≈1|L| \gg 1:\ T \approx 1,\ S \approx \frac1L \qquad\qquad |L| \ll 1:\ T \approx L,\ S \approx 1
  77. D1Decibel, decade, octaveเดซิเบล เดคาด และออกเทฟ
    ∣G∣dB=20log⁡10∣G(jω)∣,เดคาด: ω→10ω,ออกเทฟ: ω→2ω|G|_{\text{dB}} = 20\log_{10}|G(j\omega)|, \qquad \text{เดคาด: } \omega \to 10\omega, \qquad \text{ออกเทฟ: } \omega \to 2\omega
  78. D2Bode (time-constant) formรูปมาตรฐานสำหรับวาดโบด
    G(s)=Kb (1+s/z1)(1+s/z2)⋯sq(1+s/p1)(1+s/p2)⋯(1+2ζsωn+s2ωn2)⋯G(s) = K_b\,\frac{(1 + s/z_1)(1 + s/z_2)\cdots}{s^q(1 + s/p_1)(1 + s/p_2)\cdots\left(1 + 2\zeta\frac{s}{\omega_n} + \frac{s^2}{\omega_n^2}\right)\cdots}
  79. D3Constant Kค่าคงที่
    20log⁡∣K∣ (เส้นราบ),∠K=0∘ (K>0) หรือ ±180∘ (K<0)20\log|K| \text{ (เส้นราบ)}, \quad \angle K = 0^\circ \ (K \gt 0) \ \text{หรือ} \ \pm180^\circ \ (K \lt 0)
  80. s∓qs^{\mp q} โบดไดอะแกรม frac {1}{s^q}:\ -20q log omega \ text {db}, \ \ -90q^ circ ">D4Poles/zeros at the origins∓qs^{\mp q}
    1sq: −20qlog⁡ω dB,  −90q∘\frac{1}{s^q}:\ -20q\log\omega \ \text{dB}, \ \ -90q^\circ
  81. 1/(1+s/p)1/(1 + s/p) ขั้วจริงอันดับหนึ่ง (ศูนย์: กลับเครื่องหมายทุกอย่าง) โบดไดอะแกรม | cdot |_{ text {db}} approx begin {cases} 0 & omega ll p \\ -20 log ( omega /p) & omega gg p end {cases}, qquad angle = - tan ^{-1} frac { omega }{p} approx begin {cases} 0^ circ & omega le p/10 \\ -45^ circ & omega = p \\ -90^ circ & omega ge 10p end {cases} ">D5First-order pole 1/(1+s/p)1/(1 + s/p)ขั้วจริงอันดับหนึ่ง (ศูนย์: กลับเครื่องหมายทุกอย่าง)
    ∣⋅∣dB≈{0ω≪p−20log⁡(ω/p)ω≫p,∠=−tan⁡−1ωp≈{0∘ω≤p/10−45∘ω=p−90∘ω≥10p|\cdot|_{\text{dB}} \approx \begin{cases} 0 & \omega \ll p \\ -20\log(\omega/p) & \omega \gg p \end{cases}, \qquad \angle = -\tan^{-1}\frac{\omega}{p} \approx \begin{cases} 0^\circ & \omega \le p/10 \\ -45^\circ & \omega = p \\ -90^\circ & \omega \ge 10p \end{cases}
  82. 11+2ζs/ωn+s2/ωn2\dfrac{1}{1 + 2\zeta s/\omega_n + s^2/\omega_n^2} โบดไดอะแกรม text {ชัน } -40 text { db/เดคาด หลัง } omega _n, quad text {ที่ } omega _n:\ -20 log (2 zeta ) \ text {db},\ -90^ circ , quad m_r = frac {1}{2 zeta sqrt {1 - zeta ^2}} text { ที่ } omega _r = omega _n sqrt {1 - 2 zeta ^2} ">D6Second-order polesขั้วเชิงซ้อนคู่ 11+2ζs/ωn+s2/ωn2\dfrac{1}{1 + 2\zeta s/\omega_n + s^2/\omega_n^2}
    ชัน −40 dB/เดคาด หลัง ωn,ที่ ωn: −20log⁡(2ζ) dB, −90∘,Mr=12ζ1−ζ2 ที่ ωr=ωn1−2ζ2\text{ชัน } -40 \text{ dB/เดคาด หลัง } \omega_n, \quad \text{ที่ } \omega_n:\ -20\log(2\zeta) \ \text{dB},\ -90^\circ, \quad M_r = \frac{1}{2\zeta\sqrt{1 - \zeta^2}} \text{ ที่ } \omega_r = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2}
  83. e−ste^{-st} หน่วงเวลา โบดไดอะแกรม |e^{-j omega t}| = 1 \ (0 text { db}), qquad angle e^{-j omega t} = - omega t \ text {rad} = -57.3\, omega t \ text {องศา} ">D7Time delay e−sTe^{-sT}หน่วงเวลา
    ∣e−jωT∣=1 (0 dB),∠e−jωT=−ωT rad=−57.3 ωT องศา|e^{-j\omega T}| = 1 \ (0 \text{ dB}), \qquad \angle e^{-j\omega T} = -\omega T \ \text{rad} = -57.3\,\omega T \ \text{องศา}
  84. D8Sketching procedureขั้นตอนการวาด
  85. D9Reading G(s) from asymptotesอ่านฟังก์ชันจากเส้นกำกับ
    ชันเริ่มต้น=−20q⇒q,Kb=10 ∣G(j1)∣dB, asym/20,Δชัน=∓20k ที่ ωc⇒(1+s/ωc)±k\text{ชันเริ่มต้น} = -20q \Rightarrow q, \qquad K_b = 10^{\,|G(j1)|_{\text{dB, asym}}/20}, \qquad \Delta\text{ชัน} = \mp20k \text{ ที่ } \omega_c \Rightarrow (1 + s/\omega_c)^{\pm k}
  86. G1Phase marginเฟสมาร์จิน
    ∣L(jωgc)∣=1 (0 dB),PM=180∘+∠L(jωgc)|L(j\omega_{gc})| = 1 \ (0 \text{ dB}), \qquad \text{PM} = 180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})
  87. G2Gain marginเกนมาร์จิน
    ∠L(jωpc)=−180∘,GM=1∣L(jωpc)∣หรือGMdB=−20log⁡∣L(jωpc)∣\angle L(j\omega_{pc}) = -180^\circ, \qquad \text{GM} = \frac{1}{|L(j\omega_{pc})|} \quad \text{หรือ} \quad \text{GM}_{\text{dB}} = -20\log|L(j\omega_{pc})|
  88. G3Bode stability criterionเกณฑ์เสถียรภาพจากโบด
    L(s) เสถียร, ตัด 0 dB และ −180° อย่างละครั้ง:วงปิดเสถียร  ⟺  GMdB>0 และ PM>0∘ (ωgc<ωpc)L(s) \text{ เสถียร, ตัด 0 dB และ −180° อย่างละครั้ง}: \quad \text{วงปิดเสถียร} \iff \text{GM}_{\text{dB}} \gt 0 \ \text{และ} \ \text{PM} \gt 0^\circ \ (\omega_{gc} \lt \omega_{pc})
  89. G4Phase margin vs damping ratioเฟสมาร์จินกับ ζ
    PM=tan⁡−12ζ1+4ζ4−2ζ2 ≈ 100ζ  (ζ≤0.7)\text{PM} = \tan^{-1}\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}} \ \approx\ 100\zeta \ \ (\zeta \le 0.7)
  90. G5Crossover and speedครอสโอเวอร์กับความเร็ว
    ωgc=ωn1+4ζ4−2ζ2,ωgc<ωBW<2ωgc\omega_{gc} = \omega_n\sqrt{\sqrt{1 + 4\zeta^4} - 2\zeta^2}, \qquad \omega_{gc} \lt \omega_{BW} \lt 2\omega_{gc}
  91. G6Delay marginดีเลย์มาร์จิน
    Tmax=PM (rad)ωgc=PM∘⋅π/180ωgcT_{max} = \frac{\text{PM (rad)}}{\omega_{gc}} = \frac{\text{PM}^\circ \cdot \pi/180}{\omega_{gc}}
  92. N1Argument principleทฤษฎีบทอาร์กิวเมนต์ (โคชี)
    #รอบตามเข็มของ F(s) รอบ 0=ZF−PF(ศูนย์และขั้วของ F ภายในเส้นทาง)\#\text{รอบตามเข็มของ } F(s) \text{ รอบ } 0 = Z_F - P_F \quad (\text{ศูนย์และขั้วของ } F \text{ ภายในเส้นทาง})
  93. N2Nyquist contourเส้นทางไนควิสต์
    s: j0→j∞ → ครึ่งวงกลมรัศมี ∞ (ฝั่งขวา) → −j∞→j0s:\ j0 \to j\infty \ \to\ \text{ครึ่งวงกลมรัศมี } \infty \text{ (ฝั่งขวา)} \ \to\ -j\infty \to j0
  94. N3Nyquist stability criterionเกณฑ์ไนควิสต์
    Z=N+P,วงปิดเสถียร  ⟺  Z=0  ⟺  N=−PZ = N + P, \qquad \text{วงปิดเสถียร} \iff Z = 0 \iff N = -P
  95. N4Sketching procedureขั้นตอนวาด
  96. N5Margins on the Nyquist plotมาร์จินบนไนควิสต์
    GM=1∣a∣ (จุดตัดแกนจริงลบที่ −a),PM=∠ระหว่างจุดตัดวงกลม ∣L∣=1 กับแกนจริงลบ,sm=min⁡ω∣1+L(jω)∣=1Ms\text{GM} = \frac{1}{|a|}\ (\text{จุดตัดแกนจริงลบที่ } -a), \qquad \text{PM} = \angle\text{ระหว่างจุดตัดวงกลม } |L| = 1 \text{ กับแกนจริงลบ}, \qquad s_m = \min_\omega|1 + L(j\omega)| = \frac{1}{M_s}
  97. C1Lead compensatorตัวชดเชยเฟสนำ
    Gc(s)=KcTs+1αTs+1=Kcα s+1/Ts+1/(αT),0<α<1G_c(s) = K_c\frac{Ts + 1}{\alpha Ts + 1} = K_c\alpha\,\frac{s + 1/T}{s + 1/(\alpha T)}, \qquad 0 \lt \alpha \lt 1
  98. C2Maximum phase leadเฟสนำสูงสุดและตำแหน่ง
    sin⁡ϕm=1−α1+α  ⟺  α=1−sin⁡ϕm1+sin⁡ϕm,ωm=1Tα,∣jωmT+1jωmαT+1∣=1α\sin\phi_m = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \iff \alpha = \frac{1 - \sin\phi_m}{1 + \sin\phi_m}, \qquad \omega_m = \frac{1}{T\sqrt\alpha}, \qquad \left|\frac{j\omega_mT + 1}{j\omega_m\alpha T + 1}\right| = \frac{1}{\sqrt\alpha}
  99. C3Lead design procedure (Bode)ขั้นตอนออกแบบ lead ด้วยโบด
  100. C4Lag compensatorตัวชดเชยเฟสล้าหลัง
    Gc(s)=KcTs+1βTs+1=Kcβ⋅s+1/Ts+1/(βT),β>1G_c(s) = K_c\frac{Ts + 1}{\beta Ts + 1} = \frac{K_c}{\beta}\cdot\frac{s + 1/T}{s + 1/(\beta T)}, \qquad \beta \gt 1
  101. C5Lag design procedure (Bode)ขั้นตอนออกแบบ lag ด้วยโบด
  102. C6Angle deficiencyมุมที่ตัวชดเชยต้องเติม
    ϕc=−180∘−∠G(sd),∠(sd+zc)−∠(sd+pc)=ϕc,K=1∣Gc(sd)G(sd)∣\phi_c = -180^\circ - \angle G(s_d), \qquad \angle(s_d + z_c) - \angle(s_d + p_c) = \phi_c, \qquad K = \frac{1}{|G_c(s_d)G(s_d)|}
  103. C7Lag-lead and PIDlag-lead กับ PID
    Gc(s)=KcT1s+1βT1s+1⏟lag T2s+1αT2s+1⏟lead,β→∞, α→0:  PID แบบอนุกรมG_c(s) = K_c\underbrace{\frac{T_1s + 1}{\beta T_1s + 1}}_{\text{lag}}\ \underbrace{\frac{T_2s + 1}{\alpha T_2s + 1}}_{\text{lead}}, \qquad \beta \to \infty,\ \alpha \to 0:\ \ \text{PID แบบอนุกรม}
  104. zi=r1∥c1z_i = r_1 \parallel c_1, zf=r2∥c2z_f = r_2 \parallel c_2) lead · lag frac {v_o}{v_i} = - frac {r_2}{r_1} cdot frac {r_1c_1s + 1}{r_2c_2s + 1} qquad begin {cases} r_1c_1 gt r_2c_2 & text {lead} \\ r_1c_1 lt r_2c_2 & text {lag} end {cases} ">C8Op-amp lead/lagวงจรออปแอมป์ตัวเดียว (Zi=R1∥C1Z_i = R_1 \parallel C_1, Zf=R2∥C2Z_f = R_2 \parallel C_2)
    VoVi=−R2R1⋅R1C1s+1R2C2s+1{R1C1>R2C2leadR1C1<R2C2lag\frac{V_o}{V_i} = -\frac{R_2}{R_1}\cdot\frac{R_1C_1s + 1}{R_2C_2s + 1} \qquad \begin{cases} R_1C_1 \gt R_2C_2 & \text{lead} \\ R_1C_1 \lt R_2C_2 & \text{lag} \end{cases}
  105. C9Passive RC lead networkวงจร RC แบบพาสซีฟ
    VoVi=α R1Cs+1αR1Cs+1,α=R2R1+R2\frac{V_o}{V_i} = \alpha\,\frac{R_1Cs + 1}{\alpha R_1Cs + 1}, \qquad \alpha = \frac{R_2}{R_1 + R_2}
  106. P1Parallel (independent) formรูปแบบขนาน
    u(t)=KPe(t)+KI∫0te(τ) dτ+KDde(t)dt,C(s)=KP+KIs+KDsu(t) = K_Pe(t) + K_I\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_D\frac{de(t)}{dt}, \qquad C(s) = K_P + \frac{K_I}{s} + K_Ds
  107. P2Ideal (standard, ISA) formรูปแบบมาตรฐาน
    C(s)=KP(1+1Tis+Tds),KI=KPTi,KD=KPTdC(s) = K_P\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right), \qquad K_I = \frac{K_P}{T_i}, \quad K_D = K_PT_d
  108. P3Series (interacting) formรูปแบบอนุกรม
    C(s)=K′(1+1Ti′s)(1+Td′s) ⇒ KP=K′Ti′+Td′Ti′,  Ti=Ti′+Td′,  Td=Ti′Td′Ti′+Td′C(s) = K'\left(1 + \frac{1}{T_i's}\right)\left(1 + T_d's\right) \ \Rightarrow\ K_P = K'\frac{T_i' + T_d'}{T_i'},\ \ T_i = T_i' + T_d',\ \ T_d = \frac{T_i'T_d'}{T_i' + T_d'}
  109. P4PID as poles and zerosPID ในภาษาขั้วและศูนย์
    C(s)=KDs2+KPs+KIs=KD(s+z1)(s+z2)sC(s) = \frac{K_Ds^2 + K_Ps + K_I}{s} = \frac{K_D(s + z_1)(s + z_2)}{s}
  110. P5P-control offsetความผิดพลาดค้างของตัวควบคุม P
    ess=11+KPG(0)e_{ss} = \frac{1}{1 + K_PG(0)}
  111. P6Filtered derivativeเทอม D ที่มีฟิลเตอร์ (ใช้จริงเสมอ)
    C(s)=KP+KIs+KDs1+Tfs,Tf=TdN=KDNKP,  N≈5 ถึง 20C(s) = K_P + \frac{K_I}{s} + \frac{K_Ds}{1 + T_fs}, \qquad T_f = \frac{T_d}{N} = \frac{K_D}{NK_P},\ \ N \approx 5 \text{ ถึง } 20
  112. P7Setpoint weighting (2-DOF PID)ถ่วงน้ำหนักค่าอ้างอิง
    u=KP(br−y)+KI∫(r−y) dt+KDddt(cr−y),0≤b≤1,  c=0 (นิยม)u = K_P(br - y) + K_I\int(r - y)\,dt + K_D\frac{d}{dt}(cr - y), \qquad 0 \le b \le 1,\ \ c = 0 \text{ (นิยม)}
  113. P8Anti-windupป้องกันอินทิกรัลสะสมเกิน
    clamping: I˙={0u≠usat และ e u>0KIeกรณีอื่นback-calculation: I˙=KIe+1Tt(usat−u)\text{clamping: } \dot I = \begin{cases} 0 & u \ne u_{sat} \text{ และ } e\,u \gt 0 \\ K_Ie & \text{กรณีอื่น} \end{cases} \qquad \text{back-calculation: } \dot I = K_Ie + \frac{1}{T_t}(u_{sat} - u)
  114. P9Single op-amp PIDPID ด้วยออปแอมป์ตัวเดียว
    VoVi=−(1+R1C1s)(1+R2C2s)R1C2s ⇒ KP=R1C1+R2C2R1C2,KI=1R1C2,KD=R2C1\frac{V_o}{V_i} = -\frac{(1 + R_1C_1s)(1 + R_2C_2s)}{R_1C_2s} \ \Rightarrow\ K_P = \frac{R_1C_1 + R_2C_2}{R_1C_2},\quad K_I = \frac{1}{R_1C_2},\quad K_D = R_2C_1
  115. Z1Ziegler–Nichols (ultimate-gain method)ตาราง ZN แบบเกนวิกฤต (รูปแบบมาตรฐาน P2)
    KPTiTdP0.5Ku−−PI0.45KuTu/1.2−PID0.6KuTu/2Tu/8PID (Tyreus–Luyben)Ku/2.22.2TuTu/6.3\begin{array}{l|ccc} & K_P & T_i & T_d \\ \hline \text{P} & 0.5K_u & - & - \\ \text{PI} & 0.45K_u & T_u/1.2 & - \\ \text{PID} & 0.6K_u & T_u/2 & T_u/8 \\ \text{PID (Tyreus–Luyben)} & K_u/2.2 & 2.2T_u & T_u/6.3 \end{array}
  116. Z2FOPDT model from a step testแบบจำลอง FOPDT จากการทดลองขั้นบันได
    G(s)≈Ke−LsTs+1,K=Δy∞Δu,L=จุดที่เส้นสัมผัสตัดระดับเริ่มต้น,T=ช่วงจาก L ถึงจุดตัดระดับสุดท้ายG(s) \approx \frac{Ke^{-Ls}}{Ts + 1}, \qquad K = \frac{\Delta y_\infty}{\Delta u}, \quad L = \text{จุดที่เส้นสัมผัสตัดระดับเริ่มต้น}, \quad T = \text{ช่วงจาก } L \text{ ถึงจุดตัดระดับสุดท้าย}
  117. Z3Ziegler–Nichols (reaction-curve method)ตาราง ZN แบบกราฟขั้นบันได
    KPTiTdPTKL−−PI0.9TKLL0.3−PID1.2TKL2L0.5L\begin{array}{l|ccc} & K_P & T_i & T_d \\ \hline \text{P} & \dfrac{T}{KL} & - & - \\ \text{PI} & \dfrac{0.9T}{KL} & \dfrac{L}{0.3} & - \\ \text{PID} & \dfrac{1.2T}{KL} & 2L & 0.5L \end{array}
  118. Z4Cohen–Coon (PID)กฎของโคเฮน–คูน
    KP=TKL(43+L4T),Ti=L 32+6L/T13+8L/T,Td=4L11+2L/TK_P = \frac{T}{KL}\left(\frac43 + \frac{L}{4T}\right), \qquad T_i = L\,\frac{32 + 6L/T}{13 + 8L/T}, \qquad T_d = \frac{4L}{11 + 2L/T}
  119. Z5SIMC PI rule (Skogestad)กฎ SIMC สำหรับ PI
    KP=1K⋅Tτc+L,Ti=min⁡{T, 4(τc+L)},τc=L (ค่าแนะนำ)K_P = \frac{1}{K}\cdot\frac{T}{\tau_c + L}, \qquad T_i = \min\{T,\ 4(\tau_c + L)\}, \qquad \tau_c = L \text{ (ค่าแนะนำ)}
  120. Z6Relay feedback testการทดลองรีเลย์
    Ku≈4dπa,Tu=คาบการแกว่งที่วัดได้K_u \approx \frac{4d}{\pi a}, \qquad T_u = \text{คาบการแกว่งที่วัดได้}
  121. Z7Field tuning checklistเช็กลิสต์จูนหน้างาน
  122. X1State-space modelแบบจำลองปริภูมิสถานะ
    x˙(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)\dot{\mathbf x}(t) = A\mathbf x(t) + B\mathbf u(t), \qquad \mathbf y(t) = C\mathbf x(t) + D\mathbf u(t)
  123. X2Controllable canonical formรูปแบบมาตรฐานควบคุมได้
    G(s)=bn−1sn−1+⋯+b0sn+an−1sn−1+⋯+a0:A=(01⋱⋱01−a0−a1⋯−an−1), B=(0⋮01), C=(b0  b1 ⋯ bn−1)G(s) = \frac{b_{n-1}s^{n-1} + \cdots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}:\quad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\ C = (b_0\ \ b_1\ \cdots\ b_{n-1})
  124. X3Transfer functionฟังก์ชันถ่ายโอน
    G(s)=C(sI−A)−1B+D=C adj⁡(sI−A) Bdet⁡(sI−A)+DG(s) = C(sI - A)^{-1}B + D = \frac{C\,\operatorname{adj}(sI - A)\,B}{\det(sI - A)} + D
  125. X4Poles = eigenvaluesขั้ว = ค่าเฉพาะของ A
    det⁡(sI−A)=0\det(sI - A) = 0
  126. X5Similarity transformationเปลี่ยนตัวแปรสถานะ
    x=Tz:  A^=T−1AT, B^=T−1B, C^=CT\mathbf x = T\mathbf z:\ \ \hat A = T^{-1}AT,\ \hat B = T^{-1}B,\ \hat C = CT
  127. X6State solutionคำตอบของสมการสถานะ
    x(t)=eAtx(0)⏟ผลตอบสนองอิสระ+∫0teA(t−τ)Bu(τ) dτ⏟ผลตอบสนองบังคับ,eAt=L−1{(sI−A)−1}=PeΛtP−1\mathbf x(t) = \underbrace{e^{At}\mathbf x(0)}_{\text{ผลตอบสนองอิสระ}} + \underbrace{\int_0^te^{A(t - \tau)}B\mathbf u(\tau)\,d\tau}_{\text{ผลตอบสนองบังคับ}}, \qquad e^{At} = \mathcal L^{-1}\big\{(sI - A)^{-1}\big\} = Pe^{\Lambda t}P^{-1}
  128. O1Controllability (Kalman)ความสามารถควบคุมได้
    C=[BABA2B⋯An−1B],ควบคุมได้  ⟺  rank⁡C=n\mathcal C = \begin{bmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix}, \qquad \text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\mathcal C = n
  129. O2Observability (Kalman)ความสามารถสังเกตได้
    O=[CCA⋮CAn−1],สังเกตได้  ⟺  rank⁡O=n\mathcal O = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}, \qquad \text{สังเกตได้} \iff \operatorname{rank}\mathcal O = n
  130. O3PBH testการทดสอบ Popov–Belevitch–Hautus
    ควบคุมได้  ⟺  rank⁡[λI−A   B]=n  ∀λ∈eig⁡(A),สังเกตได้  ⟺  rank⁡[λI−AC]=n\text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\big[\lambda I - A\ \ \ B\big] = n \ \ \forall\lambda \in \operatorname{eig}(A), \qquad \text{สังเกตได้} \iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} \lambda I - A \\ C \end{bmatrix} = n
  131. O4Minimal realizationแบบจำลองที่น้อยที่สุด
    (A,B,C) น้อยที่สุด  ⟺  ควบคุมได้และสังเกตได้  ⟺  n=ดีกรีตัวส่วนของ G(s) หลังตัดทอน(A, B, C) \text{ น้อยที่สุด} \iff \text{ควบคุมได้และสังเกตได้} \iff n = \text{ดีกรีตัวส่วนของ } G(s) \text{ หลังตัดทอน}
  132. V1State feedbackป้อนกลับสถานะและการวางขั้ว
    u=−Kx+Nˉr,x˙=(A−BK)x+BNˉr,det⁡(sI−A+BK)=∏(s−piต้องการ)u = -K\mathbf x + \bar Nr, \qquad \dot{\mathbf x} = (A - BK)\mathbf x + B\bar Nr, \qquad \det(sI - A + BK) = \prod(s - p_i^{\text{ต้องการ}})
  133. V2Ackermann's formulaสูตรแอคเคอร์มันน์ (อินพุตเดียว)
    K=[0⋯01]C−1 αc(A),αc(s)=sn+αn−1sn−1+⋯+α0K = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}\mathcal C^{-1}\,\alpha_c(A), \qquad \alpha_c(s) = s^n + \alpha_{n-1}s^{n-1} + \cdots + \alpha_0
  134. V3Reference gainเกนอ้างอิง
    Nˉ=−1C(A−BK)−1B\bar N = \frac{-1}{C(A - BK)^{-1}B}
  135. V4Integral actionเพิ่มอินทิเกรเตอร์
    x˙I=r−y,u=−Kx−kIxI\dot x_I = r - y, \qquad u = -K\mathbf x - k_Ix_I
  136. V5Luenberger observerตัวสังเกตของลูเอนเบอร์เกอร์
    x^˙=Ax^+Bu+L(y−Cx^),e=x−x^:  e˙=(A−LC)e\dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + Bu + L(y - C\hat{\mathbf x}), \qquad \mathbf e = \mathbf x - \hat{\mathbf x}:\ \ \dot{\mathbf e} = (A - LC)\mathbf e
  137. V6Separation principleหลักการแยกส่วน
    ขั้ววงปิดรวม=eig⁡(A−BK) ∪ eig⁡(A−LC)\text{ขั้ววงปิดรวม} = \operatorname{eig}(A - BK)\ \cup\ \operatorname{eig}(A - LC)
  138. V7Linear–quadratic regulatorLQR
    J=∫0∞(xTQx+uTRu) dt,ATP+PA−PBR−1BTP+Q=0,K=R−1BTPJ = \int_0^\infty(\mathbf x^TQ\mathbf x + u^TRu)\,dt, \qquad A^TP + PA - PBR^{-1}B^TP + Q = 0, \qquad K = R^{-1}B^TP
  139. Y1Sampling and aliasingการสุ่มและแอลิแอส
    ωs=2πT>2ωmax(ความถี่ไนควิสต์ ωs/2)\omega_s = \frac{2\pi}{T} \gt 2\omega_{max} \qquad (\text{ความถี่ไนควิสต์ } \omega_s/2)
  140. Y2ZOH equivalent of the plantพลานต์มองจากคอมพิวเตอร์
    G(z)=(1−z−1) Z{G(s)s}เช่น as+a→1−e−aTz−e−aTG(z) = (1 - z^{-1})\,\mathcal Z\left\{\frac{G(s)}{s}\right\} \qquad \text{เช่น } \frac{a}{s + a} \to \frac{1 - e^{-aT}}{z - e^{-aT}}
  141. Y3s-to-z mapping and stabilityการแมปและเสถียรภาพ
    z=esT:  s=−σ±jωd ↦ ∣z∣=e−σT, ∠z=±ωdT,เสถียร  ⟺  ∣zi∣<1z = e^{sT}: \ \ s = -\sigma \pm j\omega_d \ \mapsto\ |z| = e^{-\sigma T},\ \angle z = \pm\omega_dT, \qquad \text{เสถียร} \iff |z_i| \lt 1
  142. p(z)=a2z2+a1z+a0, a2>0p(z) = a_2z^2 + a_1z + a_0,\ a_2 \gt 0 ควบคุมดิจิทัล p(1) gt 0, qquad p(-1) gt 0, qquad |a_0| lt a_2 ">Y4Jury test (2nd order)เกณฑ์จูรีสำหรับ P(z)=a2z2+a1z+a0, a2>0P(z) = a_2z^2 + a_1z + a_0,\ a_2 \gt 0
    P(1)>0,P(−1)>0,∣a0∣<a2P(1) \gt 0, \qquad P(-1) \gt 0, \qquad |a_0| \lt a_2
  143. c(s)→c(z)c(s) \to c(z) ควบคุมดิจิทัล text {forward euler: } s approx frac {z - 1}{t}, qquad text {backward euler: } s approx frac {z - 1}{tz}, qquad text {tustin: } s approx frac {2}{t} cdot frac {z - 1}{z + 1} ">Y5Discretization methodsวิธีแปลง C(s)→C(z)C(s) \to C(z)
    Forward Euler: s≈z−1T,Backward Euler: s≈z−1Tz,Tustin: s≈2T⋅z−1z+1\text{Forward Euler: } s \approx \frac{z - 1}{T}, \qquad \text{Backward Euler: } s \approx \frac{z - 1}{Tz}, \qquad \text{Tustin: } s \approx \frac{2}{T}\cdot\frac{z - 1}{z + 1}
  144. Y6Digital PIDPID ดิจิทัล (I แบบ Tustin, D แบบ backward + ฟิลเตอร์)
    Ik=Ik−1+KIT2(ek+ek−1),Dk=TfTf+TDk−1+KDTf+T(ek−ek−1),uk=KPek+Ik+DkI_k = I_{k-1} + \frac{K_IT}{2}(e_k + e_{k-1}), \qquad D_k = \frac{T_f}{T_f + T}D_{k-1} + \frac{K_D}{T_f + T}(e_k - e_{k-1}), \qquad u_k = K_Pe_k + I_k + D_k
  145. Y7Choosing the sample rateเลือกความถี่สุ่ม
    ωs≈(20 ถึง 30) ωBW,ΔPM≈ωcT2 rad=28.6 ωcT องศา (จาก ZOH)\omega_s \approx (20 \text{ ถึง } 30)\,\omega_{BW}, \qquad \Delta\text{PM} \approx \frac{\omega_cT}{2}\ \text{rad} = 28.6\,\omega_cT \ \text{องศา} \ (\text{จาก ZOH})
  146. aa) ไม่เชิงเส้น · ทนทาน text {รีเลย์ } pm d:\ n(a) = frac {4d}{ pi a}, qquad text {อิ่มตัว (ชัน } k, text { ขีด } delta ):\ n(a) = frac {2k}{ pi } left [ sin ^{-1} frac { delta }{a} + frac { delta }{a} sqrt {1 - frac { delta ^2}{a^2}} right ]\ (a gt delta ) ">U1Describing functionsฟังก์ชันพรรณนา (เกนสมมูลต่อไซน์แอมพลิจูด aa)
    รีเลย์ ±d: N(a)=4dπa,อิ่มตัว (ชัน k, ขีด δ): N(a)=2kπ[sin⁡−1δa+δa1−δ2a2] (a>δ)\text{รีเลย์ } \pm d:\ N(a) = \frac{4d}{\pi a}, \qquad \text{อิ่มตัว (ชัน } k, \text{ ขีด } \delta):\ N(a) = \frac{2k}{\pi}\left[\sin^{-1}\frac{\delta}{a} + \frac{\delta}{a}\sqrt{1 - \frac{\delta^2}{a^2}}\right]\ (a \gt \delta)
  147. U2Limit-cycle predictionทำนายลิมิตไซเคิล
    1+N(a)G(jω)=0  ⟺  G(jω)=−1N(a)1 + N(a)G(j\omega) = 0 \iff G(j\omega) = -\frac{1}{N(a)}
  148. U3Lyapunov's direct methodวิธีตรงของลียาปูนอฟ
    V(0)=0,  V(x)>0 (x≠0),  V˙=∇V⋅f(x)<0 ⇒ เสถียรเชิงอาการV(\mathbf 0) = 0,\ \ V(\mathbf x) \gt 0 \ (\mathbf x \ne \mathbf 0),\ \ \dot V = \nabla V\cdot f(\mathbf x) \lt 0 \ \Rightarrow\ \text{เสถียรเชิงอาการ}
  149. U4Lyapunov's indirect methodวิธีอ้อม (ทำให้เป็นเชิงเส้น)
    J=∂f∂x∣x0:  Re⁡λi(J)<0⇒เสถียรเฉพาะที่,Re⁡λi>0 บางตัว⇒ไม่เสถียรJ = \left.\frac{\partial f}{\partial\mathbf x}\right|_{\mathbf x_0}:\ \ \operatorname{Re}\lambda_i(J) \lt 0 \Rightarrow \text{เสถียรเฉพาะที่}, \quad \operatorname{Re}\lambda_i \gt 0 \text{ บางตัว} \Rightarrow \text{ไม่เสถียร}
  150. U5Sliding mode controlควบคุมแบบโหมดเลื่อน
    σ=e˙+λe,u=ueq−k sign⁡(σ),k>∣ความไม่แน่นอน∣\sigma = \dot e + \lambda e, \qquad u = u_{eq} - k\,\operatorname{sign}(\sigma), \quad k \gt |\text{ความไม่แน่นอน}|
  151. U6Robust stability (multiplicative uncertainty)เสถียรภาพทนทาน
    Gจริง=G(1+WΔ), ∣Δ∣≤1⇒เสถียรทุกพลานต์  ⟺  ∣W(jω)T(jω)∣<1  ∀ωG_{\text{จริง}} = G(1 + W\Delta),\ |\Delta| \le 1 \quad\Rightarrow\quad \text{เสถียรทุกพลานต์} \iff |W(j\omega)T(j\omega)| \lt 1 \ \ \forall\omega
  152. U7Small-gain theoremทฤษฎีบทเกนเล็ก
    ∥G1∥∞ ∥G2∥∞<1 ⇒ ระบบป้อนกลับของ G1,G2 เสถียร\|G_1\|_\infty\,\|G_2\|_\infty \lt 1 \ \Rightarrow\ \text{ระบบป้อนกลับของ } G_1, G_2 \text{ เสถียร}
  153. K1Encoder resolutionความละเอียดเอนโค้ดเดอร์
    Δθ=360∘4NPPR,Δωmin⁡=2π4NPPR Ts rad/s (วิธีนับพัลส์ต่อคาบ)\Delta\theta = \frac{360^\circ}{4N_{PPR}}, \qquad \Delta\omega_{\min} = \frac{2\pi}{4N_{PPR}\,T_s} \ \text{rad/s (วิธีนับพัลส์ต่อคาบ)}
  154. K2Current (torque) loopลูปกระแส
    IV≈1Ls+R,Ci(s)=KPs+R/Ls:  KP=L ωci,  KI=R ωci ⇒ II∗=ωcis+ωci\frac{I}{V} \approx \frac{1}{Ls + R}, \qquad C_i(s) = K_{P}\frac{s + R/L}{s}:\ \ K_P = L\,\omega_{ci},\ \ K_I = R\,\omega_{ci} \ \Rightarrow\ \frac{I}{I^*} = \frac{\omega_{ci}}{s + \omega_{ci}}
  155. K3Speed loopลูปความเร็ว
    ΩI∗≈KtJs,Cω(s)=KP+KIs:  KP=JωcsKt,  KI=KPωcs5\frac{\Omega}{I^*} \approx \frac{K_t}{Js}, \qquad C_\omega(s) = K_P + \frac{K_I}{s}:\ \ K_P = \frac{J\omega_{cs}}{K_t},\ \ K_I = K_P\frac{\omega_{cs}}{5}
  156. K4Position loop + feedforwardลูปตำแหน่งและป้อนไปข้างหน้า
    ω∗=KPθ(θ∗−θ)+θ˙∗,i∗=Cω(ω∗−ω)+JKtθ¨∗,KPθ=ωcp\omega^* = K_{P\theta}(\theta^* - \theta) + \dot\theta^*, \qquad i^* = C_\omega(\omega^* - \omega) + \frac{J}{K_t}\ddot\theta^*, \qquad K_{P\theta} = \omega_{cp}
  157. K5Mechanical resonance and notch filterเรโซแนนซ์ทางกลและฟิลเตอร์ notch
    ωr=k(1Jm+1JL),N(s)=s2+2ζzω0s+ω02s2+2ζpω0s+ω02,  ζz≪ζp\omega_r = \sqrt{k\left(\frac{1}{J_m} + \frac{1}{J_L}\right)}, \qquad N(s) = \frac{s^2 + 2\zeta_z\omega_0s + \omega_0^2}{s^2 + 2\zeta_p\omega_0s + \omega_0^2},\ \ \zeta_z \ll \zeta_p
  158. K6Friction compensationชดเชยแรงเสียดทาน
    Tf=Tcsign⁡(ω)+b ω,iff=T^csign⁡(ω∗)+b^ ω∗KtT_f = T_c\operatorname{sign}(\omega) + b\,\omega, \qquad i_{ff} = \frac{\hat T_c\operatorname{sign}(\omega^*) + \hat b\,\omega^*}{K_t}
  159. A1Forward kinematics (2-link planar)จลนศาสตร์ตรง
    x=l1cos⁡θ1+l2cos⁡(θ1+θ2),y=l1sin⁡θ1+l2sin⁡(θ1+θ2)x = l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1 + \theta_2), \qquad y = l_1\sin\theta_1 + l_2\sin(\theta_1 + \theta_2)
  160. A2Inverse kinematicsจลนศาสตร์ผกผัน
    cos⁡θ2=x2+y2−l12−l222l1l2,θ1=atan2⁡(y,x)−atan2⁡(l2sin⁡θ2, l1+l2cos⁡θ2)\cos\theta_2 = \frac{x^2 + y^2 - l_1^2 - l_2^2}{2l_1l_2}, \qquad \theta_1 = \operatorname{atan2}(y, x) - \operatorname{atan2}(l_2\sin\theta_2,\ l_1 + l_2\cos\theta_2)
  161. A3Jacobianจาโคเบียนและภาวะเอกฐาน
    (x˙y˙)=(−l1s1−l2s12−l2s12l1c1+l2c12l2c12)⏟J(θ)(θ˙1θ˙2),det⁡J=l1l2sin⁡θ2,τ=JTF\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -l_1s_1 - l_2s_{12} & -l_2s_{12} \\ l_1c_1 + l_2c_{12} & l_2c_{12} \end{pmatrix}}_{J(\boldsymbol\theta)}\begin{pmatrix} \dot\theta_1 \\ \dot\theta_2 \end{pmatrix}, \qquad \det J = l_1l_2\sin\theta_2, \qquad \boldsymbol\tau = J^T\mathbf F
  162. A4Manipulator dynamicsสมการพลศาสตร์แขนกล
    M(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)+f(q˙)=τM(\mathbf q)\ddot{\mathbf q} + C(\mathbf q, \dot{\mathbf q})\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q) + \mathbf f(\dot{\mathbf q}) = \boldsymbol\tau
  163. A5PD + gravity compensationPD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง
    τ=KP(qd−q)−KDq˙+g(q)\boldsymbol\tau = K_P(\mathbf q_d - \mathbf q) - K_D\dot{\mathbf q} + \mathbf g(\mathbf q)
  164. A6Computed torque (inverse dynamics)คอมพิวเต็ดทอร์ก
    τ=M(q)[q¨d+KDe˙+KPe]+Cq˙+g ⇒ e¨+KDe˙+KPe=0\boldsymbol\tau = M(\mathbf q)\big[\ddot{\mathbf q}_d + K_D\dot{\mathbf e} + K_P\mathbf e\big] + C\dot{\mathbf q} + \mathbf g \ \Rightarrow\ \ddot{\mathbf e} + K_D\dot{\mathbf e} + K_P\mathbf e = \mathbf 0
  165. A7Cubic and quintic trajectoriesวิถีพหุนาม (จากหยุดนิ่งถึงหยุดนิ่ง)
    q(t)=q0+Δ[3(tT)2−2(tT)3],q˙max=3Δ2T,q¨max=6ΔT2q(t) = q_0 + \Delta\left[3\left(\tfrac tT\right)^2 - 2\left(\tfrac tT\right)^3\right], \qquad \dot q_{max} = \frac{3\Delta}{2T}, \qquad \ddot q_{max} = \frac{6\Delta}{T^2}
  166. A8Differential-drive kinematicsจลนศาสตร์หุ่นยนต์สองล้อขับ
    v=r2(ωR+ωL),ω=rb(ωR−ωL),x˙=vcos⁡ϕ, y˙=vsin⁡ϕ, ϕ˙=ωv = \frac r2(\omega_R + \omega_L), \quad \omega = \frac rb(\omega_R - \omega_L), \quad \dot x = v\cos\phi,\ \dot y = v\sin\phi,\ \dot\phi = \omega
  167. A9Go-to-goal / heading controlนำทางไปเป้าหมาย
    ϕd=atan2⁡(yg−y, xg−x),ω=Kϕ wrap⁡(ϕd−ϕ),v=min⁡(vmax, Kρρ)\phi_d = \operatorname{atan2}(y_g - y,\ x_g - x), \qquad \omega = K_\phi\,\operatorname{wrap}(\phi_d - \phi), \qquad v = \min\big(v_{max},\ K_\rho\rho\big)
  168. H1Buck control-to-outputฟังก์ชันถ่ายโอนจาก duty ไปเอาต์พุต
    Gvd(s)=v^od^=Vin 1+srCCLC(1+rCR)s2+(LR+rCC)s+1≈Vin 1+s/ωesr1+sQω0+s2ω02G_{vd}(s) = \frac{\hat v_o}{\hat d} = V_{in}\,\frac{1 + sr_CC}{LC\left(1 + \frac{r_C}{R}\right)s^2 + \left(\frac LR + r_CC\right)s + 1} \approx V_{in}\,\frac{1 + s/\omega_{esr}}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}
  169. H2PWM modulator gainเกนของ PWM
    d^v^c=1Vpp\frac{\hat d}{\hat v_c} = \frac{1}{V_{pp}}
  170. H3Voltage-mode loop gainลูปเกนโหมดแรงดัน
    T(s)=Gc(s)⋅1Vpp⋅Gvd(s)⋅HT(s) = G_c(s)\cdot\frac{1}{V_{pp}}\cdot G_{vd}(s)\cdot H
  171. H4Type I and Type IIตัวชดเชย Type I และ Type II
    Type I: ωIs,Type II: Gc(s)=ωIs⋅1+s/ωz1+s/ωp\text{Type I: } \frac{\omega_I}{s}, \qquad \text{Type II: } G_c(s) = \frac{\omega_I}{s}\cdot\frac{1 + s/\omega_z}{1 + s/\omega_p}
  172. H5Type III (op-amp)ตัวชดเชย Type III ด้วยออปแอมป์
    Gc(s)=(1+sR2C1)(1+s(R1+R3)C3)sR1(C1+C2)(1+sR2C1C2C1+C2)(1+sR3C3)G_c(s) = \frac{(1 + sR_2C_1)\big(1 + s(R_1 + R_3)C_3\big)}{sR_1(C_1 + C_2)\left(1 + sR_2\frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}\right)(1 + sR_3C_3)}
  173. H6Type III placementกฎการวางขั้วและศูนย์
    fz1=fz2≈f0,fp1≈fesr,fp2≈fsw2,∣T(j2πfc)∣=1 ที่ fc≤fsw10f_{z1} = f_{z2} \approx f_0, \qquad f_{p1} \approx f_{esr}, \qquad f_{p2} \approx \frac{f_{sw}}{2}, \qquad |T(j2\pi f_c)| = 1 \ \text{ที่ } f_c \le \frac{f_{sw}}{10}
  174. H7Current-mode controlควบคุมโหมดกระแส
    v^ov^c≈RRi⋅1+s/ωesr1+sRC/2 (บั๊ก โดยประมาณ)\frac{\hat v_o}{\hat v_c} \approx \frac{R}{R_i}\cdot\frac{1 + s/\omega_{esr}}{1 + sRC/2}\ (\text{บั๊ก โดยประมาณ})
  175. H8Boost RHP zeroศูนย์ฝั่งขวาของบูสต์
    Gvdboost(s)∝1−s/ωRHP1+sQω0+s2ω02,fRHPZ=R(1−D)22πL,fc<fRHPZ3G_{vd}^{boost}(s) \propto \frac{1 - s/\omega_{RHP}}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}, \qquad f_{RHPZ} = \frac{R(1 - D)^2}{2\pi L}, \qquad f_c \lt \frac{f_{RHPZ}}{3}
  176. H9Loop-gain measurementวัดลูปเกนด้วยการฉีดสัญญาณ
    T(jω)=−v^yv^x  (วัดสองฝั่งของตัวต้านทานฉีดสัญญาณ Rinj)T(j\omega) = -\frac{\hat v_y}{\hat v_x}\ \ (\text{วัดสองฝั่งของตัวต้านทานฉีดสัญญาณ } R_{inj})

ไอเดียระบบควบคุม: จากไฟฟ้า สู่เมคาทรอนิกส์และหุ่นยนต์

เข้าใจลูปเดียว ใช้ได้กับทุกระบบ ต่างกันแค่ว่าพลานต์คืออะไร วัดด้วยอะไร และขับด้วยอะไร ตารางนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน ฉบับเต็ม 60+ ระบบอยู่ในคลังไอเดีย

ระบบตัวแปรที่ควบคุมเซนเซอร์แอคชูเอเตอร์ตัวควบคุมที่นิยม
บั๊กคอนเวอร์เตอร์ 12 V → 5 Vแรงดันเอาต์พุตตัวแบ่งแรงดันPWM + MOSFETType III (PID + ขั้ว)
ไดรฟ์มอเตอร์ DCความเร็วรอบเอนโค้ดเดอร์H-bridgePI ลูปกระแส + PI ลูปความเร็ว
เซอร์โวตำแหน่ง (เครื่อง CNC, 3D printer)ตำแหน่งแกนเอนโค้ดเดอร์เชิงเส้นเซอร์โวมอเตอร์คาสเคด P–PI–PI + feedforward
แขนกลหุ่นยนต์ 6 แกนมุมข้อต่อเอนโค้ดเดอร์สัมบูรณ์มอเตอร์ BLDC + harmonic drivePD + ชดเชยแรงโน้มถ่วง, computed torque
โดรนสี่ใบพัดมุมเอียง ความสูงIMU, บารอมิเตอร์ESC + มอเตอร์ BLDCPID คาสเคดมุม–อัตราหมุน
หุ่นยนต์ทรงตัวสองล้อมุมเอียงIMUมอเตอร์ล้อLQR หรือ PID สองลูป
หุ่นยนต์เดินตามเส้นระยะเบี่ยงจากเส้นอาร์เรย์อินฟราเรดมอเตอร์ซ้าย–ขวาPD
หุ่นยนต์ล้อแบบ differential driveตำแหน่ง ทิศทางเอนโค้ดเดอร์ล้อ, LiDARมอเตอร์สองล้อpure pursuit + PI ความเร็วล้อ
อินเวอร์เตอร์ต่อกริด (โซลาร์)กระแสที่จ่ายเข้ากริดเซนเซอร์กระแส, PLLอินเวอร์เตอร์ PWMPI ในแกน dq / PR
ที่ชาร์จแบตเตอรี่ CC–CVกระแส แล้วแรงดันshunt, ตัวแบ่งแรงดันตัวแปลง DC–DCPI สองลูปสลับโหมด
เตาอบรีโฟลว์ / เครื่องพิมพ์ 3D หัวฉีดอุณหภูมิเทอร์โมคัปเปิลฮีตเตอร์ + SSRPID + anti-windup
ลิฟต์ตำแหน่ง ความเร่งที่นุ่มนวลเอนโค้ดเดอร์มอเตอร์เหนี่ยวนำ + อินเวอร์เตอร์จำกัด jerk + PI คาสเคด
ลอยแม่เหล็ก (maglev)ระยะลอยHall sensorขดลวดแม่เหล็กlead (พลานต์ไม่เสถียรวงเปิด)
ระบบเบรก ABSอัตราลื่นไถลของล้อเซนเซอร์ความเร็วล้อวาล์วไฮดรอลิกควบคุมแบบไม่เชิงเส้น / sliding mode

สัญลักษณ์ที่ใช้ในชุดนี้

สัญลักษณ์ความหมายEnglish
r, y, e, u, dr,\ y,\ e,\ u,\ dค่าอ้างอิง เอาต์พุต ความผิดพลาด สัญญาณควบคุม สัญญาณรบกวนreference, output, error, control, disturbance
G(s), C(s), H(s)G(s),\ C(s),\ H(s)พลานต์ ตัวควบคุม เซนเซอร์ (ทางป้อนกลับ)plant, controller, feedback path
L(s)=KG(s)H(s)L(s) = KG(s)H(s)ฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด (loop gain)open-loop / loop transfer function
T(s), S(s)T(s),\ S(s)ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด และฟังก์ชันความไว S=1/(1+L)S = 1/(1 + L)complementary sensitivity, sensitivity
ζ, ωn, ωd\zeta,\ \omega_n,\ \omega_dอัตราส่วนการหน่วง ความถี่ธรรมชาติ ความถี่แกว่งหน่วงdamping ratio, natural / damped frequency
Mp, tr, tp, tsM_p,\ t_r,\ t_p,\ t_sพุ่งเกิน เวลาขึ้น เวลายอด เวลาเข้าที่overshoot, rise, peak, settling time
Kp, Kv, KaK_p,\ K_v,\ K_aค่าคงตัวความผิดพลาดตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่งstatic error constants
σa, θa\sigma_a,\ \theta_aจุดตัดและมุมของเส้นกำกับรูทโลคัสasymptote centroid, angle
ωgc, ωpc\omega_{gc},\ \omega_{pc}ความถี่ครอสโอเวอร์ของเกน และของเฟสgain / phase crossover frequency
GM, PMเกนมาร์จิน เฟสมาร์จินgain margin, phase margin
KP, KI, KD, Ti, TdK_P,\ K_I,\ K_D,\ T_i,\ T_dเกนและค่าคงเวลาของ PIDPID gains, integral / derivative time
x, A, B, C, D\mathbf x,\ A,\ B,\ C,\ Dเวกเตอร์สถานะและเมทริกซ์ในปริภูมิสถานะstate vector, state-space matrices
jjหน่วยจินตภาพ j2=−1j^2 = -1imaginary unit

ต้องรู้อะไรมาก่อน

ดูวิดีโอประกอบ

G(s)

Control Systems Engineering

ระบบควบคุม (Control Systems Engineering) · เพลย์ลิสต์บน YouTube

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยเปิดใน YouTube ↗

คำถามที่พบบ่อย

Control Engineering กับ Control Systems ต่างกันอย่างไร?

ใช้แทนกันได้เกือบทั้งหมด Control Systems มักหมายถึงตัวระบบและทฤษฎีที่ใช้วิเคราะห์ (ชื่อวิชาในมหาวิทยาลัยส่วนใหญ่) ส่วน Control Engineering หมายถึงสาขาวิชาชีพที่ออกแบบระบบเหล่านั้น หน้านี้ใช้ชื่อเต็ม Control Systems Engineering เพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองคำ คำค้นที่เกี่ยวข้องคือ feedback control, automatic control และ control theory

ควรเรียน classical control หรือ modern control ก่อน?

แนะนำ classical ก่อน (ฟังก์ชันถ่ายโอน เสถียรภาพ รูทโลคัส โบด PID) เพราะให้ภาพทางกายภาพชัด ใช้ออกแบบงานจริงส่วนใหญ่ได้ และเป็นภาษาที่ datasheet กับวิศวกรใช้คุยกัน จากนั้นต่อ modern control (ปริภูมิสถานะ) ซึ่งต่อยอดจากพีชคณิตเชิงเส้นและจำเป็นกับระบบหลายอินพุตหลายเอาต์พุต หุ่นยนต์ และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

ต้องมีพื้นฐานอะไรก่อนเรียนระบบควบคุม?

การแปลงลาปลาซ จำนวนเชิงซ้อน สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสอง และวงจรไฟฟ้าเบื้องต้น ถ้าจะเรียน modern control ต้องมีพีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะค่าเฉพาะ ทุกหัวข้อนี้มีหน้าอธิบายในคลังความรู้ของเว็บนี้

ระบบควบคุมเกี่ยวกับอิเล็กทรอนิกส์กำลังอย่างไร?

สวิตชิงพาวเวอร์ซัพพลายทุกตัวคือระบบควบคุมป้อนกลับ ตัวแปลงบั๊ก บูสต์ คือพลานต์ ไอซีควบคุม PWM คือแอคชูเอเตอร์ และตัวชดเชย Type II หรือ Type III คือตัวควบคุม การเลือกความถี่ครอสโอเวอร์และเฟสมาร์จินใช้โบดไดอะแกรมชุดเดียวกับในหน้านี้ทุกประการ

แล็บในหน้านี้ใช้แทน MATLAB ได้ไหม?

สำหรับการเรียนและตรวจการบ้านระดับปริญญาตรีใช้แทนได้: วาดรูทโลคัส โบด ไนควิสต์ ผลตอบสนองขั้นบันได และคำนวณมาร์จินให้ ตัวเลขทุกตัวตรวจเทียบกับ python-control แล้ว แต่สิ่งสำคัญกว่าคือฝึกวาดด้วยมือให้ได้ก่อน แล้วใช้แล็บตรวจ ซึ่งเป็นจุดประสงค์หลักของชุดบทเรียนนี้

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์