// บทที่ 14.7 · อนุกรมฟูเรียร์ · Circuit Analysis

วิเคราะห์วงจรด้วยอนุกรมฟูเรียร์: ซูเปอร์โพซิชันทีละฮาร์มอนิก

Q: วิเคราะห์วงจรที่ป้อนด้วยคลื่นสี่เหลี่ยมอย่างไร?

เขียนคลื่นสี่เหลี่ยมเป็นอนุกรมฟูเรียร์ แต่ละฮาร์มอนิกคือแหล่งจ่าย AC ความถี่ nf_0 หาเฟเซอร์ขาออกด้วยอิมพีแดนซ์ที่ความถี่นั้น Y_n = H(jnomega_0)X_n แล้วรวมผลในโดเมนเวลา ใช้ได้เพราะวงจร RLC เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันจึงใช้ได้

Q: ทำไมกระแสในมอเตอร์ที่ป้อนด้วยอินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมเกือบเป็นไซน์?

รีแอกแตนซ์ของขดลวด nomega L โตตาม n ฮาร์มอนิกที่ 3 จึงเจออิมพีแดนซ์ราว 3 เท่า แรงดันฮาร์มอนิกที่ 3 มีขนาด 1/3 กระแสจึงเหลือราว 1/9 ของฮาร์มอนิกหลัก ตัวอย่างในหน้านี้แรงดัน THD 48 % แต่กระแส THD เหลือราว 13 %

Q: วิธีอนุกรมฟูเรียร์ใช้กับวงจรไดโอดได้ไหม?

ใช้กับวงจรทั้งก้อนไม่ได้ เพราะไดโอดไม่เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันไม่จริง แต่ถ้ารู้รูปคลื่นที่จุดใดจุดหนึ่งแล้ว (เช่นแรงดันหลังบริดจ์ที่นำกระแสต่อเนื่อง) ส่วนที่ตามหลังซึ่งเป็นเชิงเส้นใช้วิธีนี้ได้ ส่วนวงจรไม่เชิงเส้นต้องจำลองในโดเมนเวลาหรือใช้ harmonic balance

Q: กำลังเฉลี่ยเมื่อแรงดันและกระแสมีหลายฮาร์มอนิกคำนวณอย่างไร?

P = V_0I_0 + sum V_nI_ncostheta_n โดย V_n, I_n เป็นค่า RMS และ theta_n คือมุมระหว่างแรงดันกับกระแสของฮาร์มอนิกเดียวกัน แรงดันกับกระแสต่างความถี่ไม่ให้กำลังเฉลี่ย

วิชาวงจรไฟฟ้าสอนเฟเซอร์ที่ใช้ได้กับไซน์ความถี่เดียว แต่วงจรจริงถูกป้อนด้วยคลื่นสี่เหลี่ยม แรงดันเรียงกระแส และ PWM อนุกรมฟูเรียร์ทำให้ปัญหาเหล่านี้กลายเป็นปัญหาเฟเซอร์ธรรมดาหลายปัญหา ความถี่ละหนึ่งข้อ หน้านี้ใช้วิธีเดียวแก้ห้าวงจรที่เจอบ่อยที่สุด และตรวจทุกคำตอบด้วยการจำลองในโดเมนเวลา

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

วิธี 3 ขั้น สี่เหลี่ยม → RC อินเวอร์เตอร์ → RL ฟิลเตอร์ LC กำลังเฉลี่ย

สรุปใน 30 วินาที

แยก: $x(t) \to \mathbf X_n = a_n - jb_n$ · คูณ: $\mathbf Y_n = H(jn\omega_0)\,\mathbf X_n$ · รวม: $y = Y_0 + \sum |\mathbf Y_n|\cos(n\omega_0 t + \angle\mathbf Y_n)$
ที่ฮาร์มอนิก n: $Z_L = jn\omega_0 L$ โตขึ้น $Z_C = 1/(jn\omega_0 C)$ เล็กลง
ตัวเหนี่ยวนำกรองกระแส ตัวเก็บประจุกรองแรงดัน ฮาร์มอนิกที่ |H| ≈ 0 หายไป
$P = V_0I_0 + \sum V_nI_n\cos\theta_n$ (RMS) ต่างความถี่ไม่ให้กำลัง

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

หลักการ: แยก คูณ รวม พื้นฐาน

วงจรที่มีแต่ R, L, C และแหล่งจ่ายควบคุมเชิงเส้นเป็นระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา ไซน์เข้าแล้วได้ไซน์ความถี่เดิมออก ขนาดและเฟสเปลี่ยนตาม $H(j\omega)$ และผลรวมของอินพุตให้ผลรวมของเอาต์พุต (ซูเปอร์โพซิชัน) สองข้อนี้รวมกับอนุกรมฟูเรียร์ได้วิธีที่ใช้ได้กับทุกอินพุตที่เป็นคาบ

A1 Step 1 · Decompose แยกอินพุตเป็นเฟเซอร์ของแต่ละฮาร์มอนิก

x(t) = a_0 + \sum_n \mathrm{Re}\{\mathbf X_n e^{jn\omega_0 t}\},\qquad \mathbf X_n = a_n - jb_n

ใช้ตาราง W แทนการอินทิเกรตใหม่ เฟเซอร์นิยามตาม C13

A2 Step 2 · Multiply by H(jnω₀) คูณผลตอบสนองความถี่ที่ความถี่ของแต่ละตัว

\mathbf Y_n = H(jn\omega_0)\,\mathbf X_n, \qquad Y_0 = H(0)\,a_0

$H$ หาจากวงจรแบบเดียวกับที่ทำในวิชาวงจร AC แค่แทน $\omega$ ด้วย $n\omega_0$ ทุกครั้ง ทบทวน $H(s)$ ที่ลาปลาซ

A3 Step 3 · Reconstruct รวมกลับในโดเมนเวลา

y(t) = Y_0 + \sum_{n=1}^{\infty} |\mathbf Y_n|\cos\big(n\omega_0 t + \angle\mathbf Y_n\big)

ห้ามบวกเฟเซอร์ของต่างความถี่เข้าด้วยกัน เฟเซอร์ใช้ได้ที่ความถี่ของตัวเองเท่านั้น รวมกันได้เฉพาะในโดเมนเวลา หรือใช้พาร์เซวาลหาค่า RMS

A4 Impedance at the n-th harmonic อิมพีแดนซ์ที่ฮาร์มอนิกที่ n

Z_R = R,\qquad Z_L(n) = jn\omega_0 L = jnX_{L1},\qquad Z_C(n) = \frac{1}{jn\omega_0 C} = \frac{X_{C1}}{jn}

รู้รีแอกแตนซ์ที่ฮาร์มอนิกหลักแล้ว คูณหรือหารด้วย n ได้ทันที เป็นหัวใจของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกในระบบไฟฟ้ากำลัง

A5 The DC term พจน์ DC

n = 0:\quad L \to \text{ลัดวงจร},\quad C \to \text{เปิดวงจร},\quad Y_0 = H(0)\,a_0

ฟิลเตอร์ LC ของแหล่งจ่ายไฟให้ DC ผ่านเต็มที่ $H(0) = 1$ ตัวเก็บประจุคัปปลิงตัด DC ทิ้ง $H(0) = 0$

แผนภาพของวิธี: อินพุตที่ไม่ใช่ไซน์ถูกแยกเป็นไซน์หลายความถี่ แต่ละตัวผ่าน

H(jn\omega_0)

ของตัวเอง แล้วรวมกันที่ขาออก

คลื่นสี่เหลี่ยมเข้าวงจร RC กรองผ่านต่ำ พื้นฐาน

นี่คือการทดลองแรกของทุกแล็บวงจร (ดูแล็บ RC) ในโดเมนเวลาเห็นขอบที่โค้งเป็นเอกซ์โพเนนเชียล ในโดเมนความถี่คือฮาร์มอนิกสูงถูกลดทอนมากกว่าฮาร์มอนิกต่ำ

A6 Square wave through RC: exact peak ค่ายอดในสถานะคงตัว (ใช้ตรวจคำตอบ)

v_{C,peak} = A\tanh\frac{T}{4\tau},\qquad \tau = RC

ได้จากการแก้ในโดเมนเวลาแบบคาบ ใช้เทียบกับผลรวมฮาร์มอนิกว่ารวมกี่ตัวจึงพอ

ตัวอย่าง A-1 · สี่เหลี่ยม 1 kHz เข้า RC

สี่เหลี่ยม ±5 V 1 kHz ป้อน R = 1 kΩ, C = 100 nF หาแรงดันตัวเก็บประจุของฮาร์มอนิกที่ 1, 3, 5, 7 แล้วเทียบค่ายอดถึงยอดกับคำตอบจริง

$f_c = \frac{1}{2\pi RC} = 1592$ Hz · $H(jn\omega_0) = \frac{1}{1 + j(nf_0/f_c)}$ · อินพุต $A_n = \frac{20}{n\pi}$ W1

A2 ทีละตัว

n	$A_n$ เข้า (V)	$\|H\|$	$\angle H$	$A_n$ ออก (V)
1	6.366	0.8467	−32.1°	5.390
3	2.122	0.4686	−62.1°	0.994
5	1.273	0.3033	−72.3°	0.386
7	0.909	0.2217	−77.2°	0.202

รวมสี่ตัวในโดเมนเวลา A3 ได้ยอดถึงยอด 10.21 V
คำตอบจริง A6: $2 \times 5\tanh\frac{1\ \text{ms}}{4(0.1\ \text{ms})} = 10\tanh 2.5 = 9.866$ V

ฮาร์มอนิกที่ 3 ลดเหลือ 18 % ของหลัก (อินพุต 33 %) ขาออกจึงใกล้ไซน์ขึ้น สี่ตัวแรกให้ยอดถึงยอดเกินจริง 3.5 % เพราะยังมีมุมหักที่ต้องใช้ฮาร์มอนิกสูง รวม 1,000 ตัวได้ 9.868 V ตรงกับ 9.866 V

ในแล็บด้านล่าง เลือก “สี่เหลี่ยม 1 kHz → RC” แล้วเลื่อน N ดูเส้นส้มเข้าหาเส้นประ (คำตอบจริงจาก ODE) ✓

อินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมป้อนโหลด RL กลาง

อินเวอร์เตอร์ราคาประหยัดหรือ UPS แบบ square wave จ่ายแรงดันสี่เหลี่ยม ถ้าโหลดเป็นมอเตอร์หรือหม้อแปลง (มีความเหนี่ยวนำ) กระแสจะดูดีกว่าแรงดันมาก เพราะตัวเหนี่ยวนำ “กรองกระแส”

ตัวอย่าง A-2 · สี่เหลี่ยม ±311 V 50 Hz เข้า R = 10 Ω, L = 100 mH

หากระแสฮาร์มอนิก 1, 3, 5, 7 THD ของกระแส ค่ายอด และกำลังที่ตัวต้านทาน

แรงดัน $A_n = \frac{4(311)}{n\pi}$ : 396.0, 132.0, 79.2, 56.6 V · $X_{L1} = 2\pi(50)(0.1) = 31.42\ \Omega$
A4: $|Z_n| = \sqrt{10^2 + (31.42n)^2}$ = 32.97, 94.78, 157.4, 220.1 Ω
กระแสค่ายอด $A_n/|Z_n|$ : 12.01, 1.393, 0.503, 0.257 A ลดลงตาม $1/n^2$ โดยประมาณ
THD กระแส (แรงดัน 48.3 %)
$\mathrm{THD}_i = \frac{\sqrt{1.393^2 + 0.503^2 + 0.257^2 + \cdots}}{12.01} = 12.6\ \%$
กำลัง: $I_{rms}^2 R$ รวมทุกฮาร์มอนิก $I_{rms} = 8.56$ A → $P = 733$ W (ฮาร์มอนิกหลักอย่างเดียว 721 W)

กระแสเกือบเป็นไซน์ (THD 12.6 %) ค่ายอดจริงจากการจำลอง 14.37 A (ไม่ใช่ 12.01 A เพราะฮาร์มอนิกเสริมกันที่ยอด) ฮาร์มอนิกที่เหลือยังสร้างความร้อนในมอเตอร์ 12 W และแรงบิดกระเพื่อม ผลต่อมอเตอร์

ฟิลเตอร์ LC หลังวงจรเรียงกระแสเต็มคลื่น กลาง

แหล่งจ่ายไฟเชิงเส้นแบบ choke-input ใช้ L อนุกรมกับ C ขนานโหลด ถ้ากระแสในตัวเหนี่ยวนำไม่เคยลดถึงศูนย์ แรงดันหลังบริดจ์จะเป็นไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่นพอดี (W8) วงจรที่เหลือเป็นเชิงเส้น วิเคราะห์ด้วยฟูเรียร์ได้

A7 Continuous-conduction condition เงื่อนไขกระแสต่อเนื่องของ choke-input

L \ge L_{crit} = \frac{R}{3\omega}

มาจากให้กระแส DC $\frac{2V_m}{\pi R}$ มากกว่าค่ายอดของกระแสฮาร์มอนิกที่ 2 $\frac{4V_m}{3\pi(2\omega L)}$ ถ้าไม่ผ่าน ไดโอดหยุดนำบางช่วง วิธีนี้ใช้ไม่ได้

ตัวอย่าง A-3 · ริปเปิล 100 Hz

ไฟ 230 V เรียงกระแสเต็มคลื่น ฟิลเตอร์ L = 100 mH, C = 1000 µF โหลด R = 50 Ω หาแรงดัน DC และริปเปิล

ตรวจ A7: $L_{crit} = 50/(3 \times 314.2) = 53$ mH < 100 mH ✓
อินพุต W8 ( $V_m = 325.3$ V): DC 207.1 V · ที่ 2 (100 Hz) 138.0 V · ที่ 4 (200 Hz) 27.6 V
$H = \frac{Z_p}{j\omega L + Z_p}$ , $Z_p = R \parallel \frac{1}{j\omega C}$ · ที่ 100 Hz $|H| = 0.0260$ · ที่ 200 Hz $|H| = 0.00637$ (ลดลงราว 4 เท่าต่อการเพิ่มความถี่ 2 เท่า คือ −40 dB/dec)
ขาออก: DC 207.0 V · ริปเปิลที่ 100 Hz $138.0 \times 0.0260 = 3.59$ V ยอด · ที่ 200 Hz 0.18 V

DC ≈ 207 V ริปเปิล ≈ 7.2 V ยอดถึงยอด (การจำลองจริง 7.25 V) เกือบทั้งหมดมาจาก 100 Hz ฮาร์มอนิกเดียว นี่คือเหตุผลที่สูตรออกแบบฟิลเตอร์แหล่งจ่ายไฟคิดแค่ฮาร์มอนิกที่ 2

เรโซแนนซ์คัดฮาร์มอนิก: วงจรจูน และเรโซแนนซ์ที่ไม่ต้องการ กลาง

ถ้า $H$ มียอดแหลมที่ความถี่หนึ่ง ฮาร์มอนิกที่ตกตรงยอดจะถูกขยายเทียบกับตัวอื่น ใช้ประโยชน์ได้ (คูณความถี่ ฟิลเตอร์ดักฮาร์มอนิก) และเป็นอันตรายได้ (คาปาซิเตอร์แก้ PF เรโซแนนซ์กับหม้อแปลง M2)

A8 Series RLC band-pass คัดเลือกฮาร์มอนิกด้วยเรโซแนนซ์

H(j\omega) = \frac{R}{R + j\big(\omega L - \frac{1}{\omega C}\big)},\quad f_r = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\quad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}

จูน $f_r = kf_0$ ได้ฮาร์มอนิกที่ k ออกมาเกือบเต็ม ตัวอื่นถูกลดทอนตาม Q

ตัวอย่าง A-4 · ตัวคูณความถี่ 3 เท่า

สี่เหลี่ยม ±5 V 1 kHz ป้อน RLC อนุกรม R = 10 Ω, L = 10 mH, C = 281.4 nF วัดแรงดันที่ R ได้อะไร

$f_r = 3000$ Hz, $Q = 18.9$ A8
n = 3: $|H| = 1.00$ → 2.122 V · n = 1: $\omega L - \frac{1}{\omega C} = -502.7\ \Omega$ → $|H| = 0.0199$ → 0.127 V · n = 5: $|H| = 0.0497$ → 0.063 V

ขาออกเป็นไซน์ 3 kHz ยอด 2.12 V มีฮาร์มอนิกหลักปนเพียง 6 % ได้ “ตัวคูณความถี่” จากคลื่นสี่เหลี่ยม · ลองเปลี่ยน C ให้ $f_r$ = 5 kHz (C = 101.3 nF) จะได้ฮาร์มอนิกที่ 5 แทน

กำลังเฉลี่ยและค่า RMS จากฮาร์มอนิก พื้นฐาน

A9 Average power with harmonics กำลังเฉลี่ยเมื่อมีหลายฮาร์มอนิก

P = \frac{1}{T}\int_T v\,i\,dt = V_0I_0 + \sum_{n=1}^{\infty} V_nI_n\cos(\theta_{v,n} - \theta_{i,n}) \quad (V_n, I_n \text{ เป็นค่า RMS})

ผลคูณของแรงดันกับกระแสต่างความถี่เฉลี่ยเป็นศูนย์ (ความตั้งฉาก T1) ใช้ต่อในงานไฟฟ้ากำลังที่ H4

ตัวอย่าง A-5 · โจทย์มาตรฐานในข้อสอบ

$v = 10 + 20\sin\omega t + 8\sin(3\omega t + 30^\circ)$ V, $i = 2 + 3\sin(\omega t - 40^\circ) + \sin(3\omega t - 20^\circ)$ A หา P, $V_{rms}$ , $I_{rms}$ , S และ PF

A9 (แปลงค่ายอดเป็น RMS: $V_nI_n = \frac{V_{mn}I_{mn}}{2}$ )
$P = 10(2) + \frac{20(3)}{2}\cos 40^\circ + \frac{8(1)}{2}\cos 50^\circ = 20 + 22.98 + 2.57 = 45.55\ \text{W}$
P6: $V_{rms} = \sqrt{10^2 + \frac{20^2}{2} + \frac{8^2}{2}} = 18.22$ V · $I_{rms} = \sqrt{2^2 + \frac{3^2}{2} + \frac{1^2}{2}} = 3.00$ A
$S = 18.22 \times 3.00 = 54.66$ VA · PF = 45.55/54.66 = 0.833

P = 45.6 W, $V_{rms}$ = 18.2 V, $I_{rms}$ = 3.00 A, S = 54.7 VA, PF = 0.833 · สังเกตว่า PF ไม่เท่ากับ cos ของมุมใดมุมหนึ่ง เมื่อมีฮาร์มอนิก PF ต้องนิยามจาก P/S

ใช้ได้เมื่อไร และใช้ไม่ได้เมื่อไร กลาง

ต้องเป็นเชิงเส้น ไดโอด ทรานซิสเตอร์อิ่มตัว แกนเหล็กอิ่มตัว ใช้ตรง ๆ ไม่ได้ แต่ถ้ารู้รูปคลื่นที่ขาเข้าของส่วนเชิงเส้นแล้ว (เช่น A-3) ใช้กับส่วนนั้นได้
ได้เฉพาะสถานะคงตัว ช่วงเปิดเครื่องใช้ลาปลาซหรือจำลอง ODE (แล็บด้านล่างใช้ ODE เป็นคำตอบอ้างอิง)
โหลดไม่เชิงเส้นในระบบไฟฟ้า นิยมแทนด้วย “แหล่งจ่ายกระแสฮาร์มอนิก” แล้วใช้ A2 กับโครงข่ายที่เหลือ เรียก harmonic load flow ซึ่งเป็นวิธีของแล็บในหน้า 12.14
อยากได้ฮาร์มอนิกหลักอย่างเดียว ในระบบไม่เชิงเส้นที่ส่วนเชิงเส้นกรองฮาร์มอนิกสูงทิ้ง ใช้ฟังก์ชันพรรณนา (describing function) U1

แล็บ: แยก คูณ รวม ทีละขั้น พื้นฐาน

เลือกการทดลองสำเร็จรูป (สี่เหลี่ยม → RC, อินเวอร์เตอร์ → RL, เรียงกระแส → LC, RLC คัดฮาร์มอนิก, บั๊ก 12 → 5 V) ตารางในแผงวิธีคิดคือขั้น A1–A3 ของทุกฮาร์มอนิก เส้นประคือคำตอบจริงจากการแก้สมการอนุพันธ์ ใช้ตรวจว่ารวมฮาร์มอนิกพอหรือยัง

คำถามที่พบบ่อย

วิเคราะห์วงจรที่ป้อนด้วยคลื่นสี่เหลี่ยมอย่างไร?

เขียนคลื่นสี่เหลี่ยมเป็นอนุกรมฟูเรียร์ แต่ละฮาร์มอนิกคือแหล่งจ่าย AC ความถี่ $nf_0$ หาเฟเซอร์ขาออกด้วยอิมพีแดนซ์ที่ความถี่นั้น $Y_n = H(jn\omega_0)X_n$ แล้วรวมผลในโดเมนเวลา ใช้ได้เพราะวงจร RLC เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันจึงใช้ได้

ทำไมกระแสในมอเตอร์ที่ป้อนด้วยอินเวอร์เตอร์คลื่นสี่เหลี่ยมเกือบเป็นไซน์?

รีแอกแตนซ์ของขดลวด $n\omega L$ โตตาม n ฮาร์มอนิกที่ 3 จึงเจออิมพีแดนซ์ราว 3 เท่า แรงดันฮาร์มอนิกที่ 3 มีขนาด 1/3 กระแสจึงเหลือราว 1/9 ของฮาร์มอนิกหลัก ตัวอย่างในหน้านี้แรงดัน THD 48 % แต่กระแส THD เหลือราว 13 %

วิธีอนุกรมฟูเรียร์ใช้กับวงจรไดโอดได้ไหม?

ใช้กับวงจรทั้งก้อนไม่ได้ เพราะไดโอดไม่เป็นเชิงเส้น ซูเปอร์โพซิชันไม่จริง แต่ถ้ารู้รูปคลื่นที่จุดใดจุดหนึ่งแล้ว (เช่นแรงดันหลังบริดจ์ที่นำกระแสต่อเนื่อง) ส่วนที่ตามหลังซึ่งเป็นเชิงเส้นใช้วิธีนี้ได้ ส่วนวงจรไม่เชิงเส้นต้องจำลองในโดเมนเวลาหรือใช้ harmonic balance

กำลังเฉลี่ยเมื่อแรงดันและกระแสมีหลายฮาร์มอนิกคำนวณอย่างไร?

$P = V_0I_0 + \sum V_nI_n\cos\theta_n$ โดย $V_n, I_n$ เป็นค่า RMS และ $\theta_n$ คือมุมระหว่างแรงดันกับกระแสของฮาร์มอนิกเดียวกัน แรงดันกับกระแสต่างความถี่ไม่ให้กำลังเฉลี่ย

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์