หน้าแรก คลังความรู้ เวกเตอร์ Vectors: Forces, Fields & Phasors ดูครบทุกส่วน · 20 หน้า 1 · พื้นฐานเวกเตอร์ 2D / 3D 4 · ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ 5 · ห้องแล็บและเครื่องมือ // บทที่ 6 · Vectors: Forces, Fields & Phasors · 20 หน้า
เวกเตอร์: จากแรงลัพธ์ถึงเฟสเซอร์
เวกเตอร์คือภาษาเดียวกันของแรงในโครงสร้าง ข้อต่อของแขนกล สนามไฟฟ้ารอบประจุ แรงที่หมุนมอเตอร์ และแรงดันในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ชุดบทเรียนนี้เริ่มจากลูกศรบนกระดาษ ไปจนถึงการวิเคราะห์ระดับวิศวกร: แตกแรงสามมิติด้วยทิศทางโคไซน์ รวมแรงด้วยกฎไซน์-โคไซน์ หาโมเมนต์และแรงปฏิกิริยา หมุนแกนพิกัด คำนวณแขนกล แล้วข้ามมาสู่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าและเฟสเซอร์ ทุกหน้ามีแล็บ 3 มิติที่ลากหมุนได้
เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ
ในชุดนี้มีอะไร
20 หน้า 5 ส่วน : พื้นฐาน · ผลคูณ · แรงและกลศาสตร์ · ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ · ห้องแล็บ149 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 105 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว
แล็บ 3 มิติ 13 ฉาก สตูดิโอเวกเตอร์ แล็บกลศาสตร์ 6 การทดลอง แล็บสนาม 8 การทดลอง แล็บวงจร AC 6 การทดลอง
เชื่อมเครื่องมือระดับโลก PhET · GeoGebra · Falstad · MATLAB · Python
เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย
ทุกคนเริ่มที่นี่ แกนกลาง: เวกเตอร์ 2D / 3D ฟิสิกส์ 1 · สแตติกส์ · เครื่องกล เส้นทางแรงและกลศาสตร์ ฟิสิกส์ 2 · วิศวกรรมไฟฟ้า เส้นทางสนามและวงจร AC
ลูกศร (F, V, P) → มุมกับสามแกน (K) → กฎไซน์-โคไซน์ (R) → r × F (S, A) → E, B, v × B (M) → ไซน์ (W) → เฟสเซอร์ (H) → วงจร AC (Z)
ทุกหน้าในชุดเวกเตอร์
ส่วนที่ 1 พื้นฐานเวกเตอร์ 2D / 3D Vector Basics ขนาด ทิศทาง พิกัด บวก ลบ คูณสเกลาร์ แตกองค์ประกอบ การฉาย และทิศทางโคไซน์ของแรงสามมิติ
ส่วนที่ 2 ผลคูณของเวกเตอร์ Dot & Cross Products Dot product สำหรับมุม งาน และการฉาย · Cross product สำหรับพื้นที่ แรงบิด และทิศตั้งฉาก
ส่วนที่ 3 แรงและกลศาสตร์ Forces & Mechanics แรงลัพธ์ด้วยกฎของไซน์-โคไซน์ ระบบแรงและโมเมนต์ การหมุนแกนพิกัด และเวกเตอร์ในแขนกล
ส่วนที่ 4 ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ Fields & Phasors สนามไฟฟ้า สนามแม่เหล็ก แรงลอเรนซ์ ความสัมพันธ์ sin–cos เฟสเซอร์ และการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้ากระแสสลับ
ส่วนที่ 5 ห้องแล็บและเครื่องมือ Labs & Tools สตูดิโอเวกเตอร์ 3 มิติ แล็บกลศาสตร์แบบฟิสิกส์ 1 แล็บสนามแบบฟิสิกส์ 2 แล็บวงจร AC และเครื่องมือระดับโลก
เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม
ห้องแล็บและเครื่องมือ
รหัส F พื้นฐาน · V การดำเนินการ · P องค์ประกอบ/การฉาย · K ทิศทางโคไซน์ · D Dot · C Cross · R แรงลัพธ์ · S ระบบแรง · T หมุนแกน · A แขนกล · E งานวิศวกรรม · M สนาม · W ไซน์ · H เฟสเซอร์ · Z วงจร AC คลิกสูตรเพื่ออ่านเงื่อนไขและตัวอย่างเต็ม
ค้นหาสูตร
ทั้งหมด 149 สูตร
ทุกหน้า F · พื้นฐาน 2D/3D V · บวก ลบ สเกลาร์ P · Component · Projection K · ทิศทางโคไซน์ D · Dot product C · Cross product R · แรงลัพธ์ · กฎไซน์-โคไซน์ S · ระบบแรง · โมเมนต์ T · หมุนแกนพิกัด A · แขนกล E · งานวิศวกรรม M · สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก W · sin · cos ไฟฟ้า AC H · เฟสเซอร์ Z · วิเคราะห์วงจร AC
F1 Cartesian vector representation รูปองค์ประกอบในแกนฉาก a = ( a x , a y ) = a x i ^ + a y j ^ , a = ( a x , a y , a z ) = a x i ^ + a y j ^ + a z k ^ \mathbf a=(a_x,a_y)=a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j},\qquad \mathbf a=(a_x,a_y,a_z)=a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j}+a_z\hat{\mathbf k} a = ( a x , a y ) = a x i ^ + a y j ^ , a = ( a x , a y , a z ) = a x i ^ + a y j ^ + a z k ^ F2 Equality and the zero vector ความเท่ากันและเวกเตอร์ศูนย์ a = b ⟺ a x = b x , a y = b y , a z = b z ; 0 = ( 0 , 0 , 0 ) \mathbf a=\mathbf b\iff a_x=b_x,\ a_y=b_y,\ a_z=b_z;\qquad \mathbf0=(0,0,0) a = b ⟺ a x = b x , a y = b y , a z = b z ; 0 = ( 0 , 0 , 0 ) F3 Column-vector notation เวกเตอร์ในรูปเมทริกซ์หลัก a = ( a x a y a z ) , a T = ( a x a y a z ) \mathbf a=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix},\qquad \mathbf a^T=\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\end{pmatrix} a = a x a y a z , a T = ( a x a y a z ) F4 Vector between two points เวกเตอร์จากจุด A ไปจุด B A B → = r B − r A = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A ) , B A → = − A B → \overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A),\qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} A B = r B − r A = ( x B − x A , y B − y A , z B − z A ) , B A = − A B F5 Euclidean magnitude ขนาดของเวกเตอร์ 2D/3D ∥ a ∥ 2 D = a x 2 + a y 2 , ∥ a ∥ 3 D = a x 2 + a y 2 + a z 2 ≥ 0 \|\mathbf a\|_{2D}=\sqrt{a_x^2+a_y^2},\qquad \|\mathbf a\|_{3D}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\ge0 ∥ a ∥ 2 D = a x 2 + a y 2 , ∥ a ∥ 3 D = a x 2 + a y 2 + a z 2 ≥ 0 F6 Distance between points ระยะตรงระหว่างจุด d ( A , B ) = ∥ A B → ∥ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} d ( A , B ) = ∥ A B ∥ = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2 F7 Normalization เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศเดียวกัน a ^ = a ∥ a ∥ , ∥ a ^ ∥ = 1 , a ≠ 0 \hat{\mathbf a}=\frac{\mathbf a}{\|\mathbf a\|},\qquad \|\hat{\mathbf a}\|=1,\qquad \mathbf a\ne\mathbf0 a ^ = ∥ a ∥ a , ∥ a ^ ∥ = 1 , a = 0 F8 Magnitude times direction สร้างเวกเตอร์จากขนาดและทิศ F = F u ^ , F = ∥ F ∥ ≥ 0 , ∥ u ^ ∥ = 1 \mathbf F=F\hat{\mathbf u},\qquad F=\|\mathbf F\|\ge0,\quad\|\hat{\mathbf u}\|=1 F = F u ^ , F = ∥ F ∥ ≥ 0 , ∥ u ^ ∥ = 1 F9 Two-dimensional direction ขนาดและมุมใน 2D a x = a cos θ , a y = a sin θ , θ = atan2 ( a y , a x ) , a = ∥ a ∥ > 0 a_x=a\cos\theta,\qquad a_y=a\sin\theta,\qquad \theta=\operatorname{atan2}(a_y,a_x),\qquad a=\|\mathbf a\|>0 a x = a cos θ , a y = a sin θ , θ = atan2 ( a y , a x ) , a = ∥ a ∥ > 0 F10 Direction cosines โคไซน์ทิศทางในสามมิติ cos α = a x ∥ a ∥ , cos β = a y ∥ a ∥ , cos γ = a z ∥ a ∥ , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos\alpha=\frac{a_x}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos\beta=\frac{a_y}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_z}{\|\mathbf a\|},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos α = ∥ a ∥ a x , cos β = ∥ a ∥ a y , cos γ = ∥ a ∥ a z , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 V1 Component-wise addition บวกทีละองค์ประกอบ a + b = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) , R = ∑ k = 1 n F k \mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z),\qquad \mathbf R=\sum_{k=1}^{n}\mathbf F_k a + b = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) , R = k = 1 ∑ n F k V2 Properties of vector addition สมบัติของการบวก a + b = b + a , ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , a + 0 = a , a + ( − a ) = 0 \mathbf a+\mathbf b=\mathbf b+\mathbf a,\quad(\mathbf a+\mathbf b)+\mathbf c=\mathbf a+(\mathbf b+\mathbf c),\quad\mathbf a+\mathbf0=\mathbf a,\quad\mathbf a+(-\mathbf a)=\mathbf0 a + b = b + a , ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , a + 0 = a , a + ( − a ) = 0 V3 Vector subtraction การลบเวกเตอร์ − b = ( − b x , − b y , − b z ) , a − b = a + ( − b ) = ( a x − b x , a y − b y , a z − b z ) -\mathbf b=(-b_x,-b_y,-b_z),\qquad \mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) − b = ( − b x , − b y , − b z ) , a − b = a + ( − b ) = ( a x − b x , a y − b y , a z − b z ) V4 Scalar multiplication คูณทุกองค์ประกอบด้วยสเกลาร์ c a = ( c a x , c a y , c a z ) , ∥ c a ∥ = ∣ c ∣ ∥ a ∥ c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z),\qquad \|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\| c a = ( c a x , c a y , c a z ) , ∥ c a ∥ = ∣ c ∣∥ a ∥ V5 Distributive laws and linear combinations การแจกแจงและผลรวมเชิงเส้น c ( a + b ) = c a + c b , ( c + d ) a = c a + d a , c ( d a ) = ( c d ) a , w = c a + d b c(\mathbf a+\mathbf b)=c\mathbf a+c\mathbf b,\qquad(c+d)\mathbf a=c\mathbf a+d\mathbf a,\qquad c(d\mathbf a)=(cd)\mathbf a,\qquad\mathbf w=c\mathbf a+d\mathbf b c ( a + b ) = c a + c b , ( c + d ) a = c a + d a , c ( d a ) = ( c d ) a , w = c a + d b V6 Triangle and reverse triangle inequalities ขอบเขตของขนาดผลบวก ∣ ∥ a ∥ − ∥ b ∥ ∣ ≤ ∥ a + b ∥ ≤ ∥ a ∥ + ∥ b ∥ \big|\|\mathbf a\|-\|\mathbf b\|\big|\le\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\| ∥ a ∥ − ∥ b ∥ ≤ ∥ a + b ∥ ≤ ∥ a ∥ + ∥ b ∥ V7 Magnitude from the included angle ขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์ ∥ a + b ∥ = a 2 + b 2 + 2 a b cos θ , ∥ a − b ∥ = a 2 + b 2 − 2 a b cos θ \|\mathbf a+\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta},\qquad\|\mathbf a-\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\theta} ∥ a + b ∥ = a 2 + b 2 + 2 ab cos θ , ∥ a − b ∥ = a 2 + b 2 − 2 ab cos θ V8 Force balance for a particle สมดุลแรงของอนุภาค ∑ k F k = 0 ⟺ ∑ k F k x = 0 , ∑ k F k y = 0 , ∑ k F k z = 0 ; F b a l a n c e = − ∑ k F k \sum_k\mathbf F_k=\mathbf0\iff\sum_k F_{kx}=0,\ \sum_k F_{ky}=0,\ \sum_k F_{kz}=0;\qquad\mathbf F_{\rm balance}=-\sum_k\mathbf F_k k ∑ F k = 0 ⟺ k ∑ F k x = 0 , k ∑ F k y = 0 , k ∑ F k z = 0 ; F balance = − k ∑ F k V9 Linear interpolation between points จุดบนส่วนของเส้นตรง r ( t ) = ( 1 − t ) r A + t r B = r A + t ( r B − r A ) , 0 ≤ t ≤ 1 \mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_A+t\mathbf r_B=\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A),\qquad0\le t\le1 r ( t ) = ( 1 − t ) r A + t r B = r A + t ( r B − r A ) , 0 ≤ t ≤ 1 P1 Cartesian components องค์ประกอบในฐานตั้งฉากมาตรฐาน a = a x i + a y j ( 2 D ) , a = a x i + a y j + a z k ( 3 D ) \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j\quad(2D),\qquad \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k\quad(3D) a = a x i + a y j ( 2 D ) , a = a x i + a y j + a z k ( 3 D ) P2 Resolving a 2D vector เมื่อรู้ขนาดและมุม a x = A cos θ , a y = A sin θ , A = a x 2 + a y 2 a_x=A\cos\theta,\qquad a_y=A\sin\theta,\qquad A=\sqrt{a_x^2+a_y^2} a x = A cos θ , a y = A sin θ , A = a x 2 + a y 2 P3 Unit direction vector แยกขนาดออกจากทิศ b ^ = b ∥ b ∥ , ∥ b ^ ∥ = 1 , b ≠ 0 \widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \|\widehat{\mathbf b}\|=1,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0 b = ∥ b ∥ b , ∥ b ∥ = 1 , b = 0 P4 Direction cosines มุมกับแกน +x, +y, +z cos α = a x A , cos β = a y A , cos γ = a z A , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos\alpha=\frac{a_x}{A},\quad\cos\beta=\frac{a_y}{A},\quad\cos\gamma=\frac{a_z}{A},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos α = A a x , cos β = A a y , cos γ = A a z , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 P5 Components in an orthonormal basis เปลี่ยนเป็นแกนที่หมุนแล้ว a r = a ⋅ e r , a = ∑ r = 1 n a r e r เมื่อ e r ⋅ e s = δ r s a_r=\mathbf a\cdot\mathbf e_r,\qquad\mathbf a=\sum_{r=1}^{n}a_r\mathbf e_r\quad\text{เมื่อ }\mathbf e_r\cdot\mathbf e_s=\delta_{rs} a r = a ⋅ e r , a = r = 1 ∑ n a r e r เมื่อ e r ⋅ e s = δ rs P6 Signed scalar projection ค่าฉายสเกลาร์ที่มีเครื่องหมาย comp b a = a ⋅ b ^ = a ⋅ b ∥ b ∥ = ∥ a ∥ cos θ , b ≠ 0 \operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\mathbf a\cdot\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}=\|\mathbf a\|\cos\theta,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0 comp b a = a ⋅ b = ∥ b ∥ a ⋅ b = ∥ a ∥ cos θ , b = 0 P7 Vector projection ฉาย a ลงบนแนว b proj b a = ( comp b a ) b ^ = a ⋅ b ∥ b ∥ 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\left(\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a\right)\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\mathbf b=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b proj b a = ( comp b a ) b = ∥ b ∥ 2 a ⋅ b b = b ⋅ b a ⋅ b b P8 Parallel–perpendicular decomposition แยกขนานและตั้งฉาก a ∥ = proj b a , a ⊥ = a − a ∥ , a = a ∥ + a ⊥ \mathbf a_\parallel=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a,\quad\mathbf a_\perp=\mathbf a-\mathbf a_\parallel,\quad\mathbf a=\mathbf a_\parallel+\mathbf a_\perp a ∥ = proj b a , a ⊥ = a − a ∥ , a = a ∥ + a ⊥ P9 Nearest point on an infinite line เท้าฉากและระยะถึงเส้น t ∗ = ( p − q ) ⋅ b b ⋅ b , h = q + t ∗ b , d = ∥ p − h ∥ t_* =\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b},\quad \mathbf h=\mathbf q+t_*\mathbf b,\quad d=\|\mathbf p-\mathbf h\| t ∗ = b ⋅ b ( p − q ) ⋅ b , h = q + t ∗ b , d = ∥ p − h ∥ P10 Projection onto a plane ฉายจุดลงระนาบ n ⋅ ( x − q ) = 0 , h = p − ( p − q ) ⋅ n n ⋅ n n , d = ∣ ( p − q ) ⋅ n ∣ ∥ n ∥ \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)=0,\quad\mathbf h=\mathbf p-\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n,\quad d=\frac{|(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n|}{\|\mathbf n\|} n ⋅ ( x − q ) = 0 , h = p − n ⋅ n ( p − q ) ⋅ n n , d = ∥ n ∥ ∣ ( p − q ) ⋅ n ∣ P11 Orthogonal projection matrix ตัวดำเนินการฉายลงหนึ่งทิศ P = b b T b T b , a ∥ = P a , P T = P , P 2 = P , b ≠ 0 P=\frac{\mathbf b\mathbf b^T}{\mathbf b^T\mathbf b},\quad\mathbf a_\parallel=P\mathbf a,\quad P^T=P,\quad P^2=P,\quad \mathbf b\ne\mathbf0 P = b T b b b T , a ∥ = P a , P T = P , P 2 = P , b = 0 K1 Direction cosines ทิศทางโคไซน์ cos α = F x F , cos β = F y F , cos γ = F z F , F = ∥ F ∥ = F x 2 + F y 2 + F z 2 \cos\alpha=\frac{F_x}{F},\qquad \cos\beta=\frac{F_y}{F},\qquad \cos\gamma=\frac{F_z}{F},\qquad F=\lVert\mathbf F\rVert=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2} cos α = F F x , cos β = F F y , cos γ = F F z , F = ∥ F ∥ = F x 2 + F y 2 + F z 2 K2 Unit vector from direction cosines เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือชุดทิศทางโคไซน์ u F = F F = cos α i + cos β j + cos γ k , F = F u F \mathbf u_F=\frac{\mathbf F}{F}=\cos\alpha\,\mathbf i+\cos\beta\,\mathbf j+\cos\gamma\,\mathbf k,\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_F u F = F F = cos α i + cos β j + cos γ k , F = F u F K3 Fundamental identity ผลบวกกำลังสองของทิศทางโคไซน์ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 K4 Components from magnitude and direction angles องค์ประกอบจากขนาดและมุม F = F cos α i + F cos β j + F cos γ k \mathbf F=F\cos\alpha\,\mathbf i+F\cos\beta\,\mathbf j+F\cos\gamma\,\mathbf k F = F cos α i + F cos β j + F cos γ k K5 The third angle มุมที่สามมีสองคำตอบ cos γ = ± 1 − cos 2 α − cos 2 β , γ 2 = 180 ∘ − γ 1 \cos\gamma=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta},\qquad \gamma_2=180^\circ-\gamma_1 cos γ = ± 1 − cos 2 α − cos 2 β , γ 2 = 18 0 ∘ − γ 1 K6 Two-step resolution (azimuth θ, elevation φ) แตกแรงสองขั้น F h = F cos φ , F z = F sin φ , F x = F h cos θ = F cos φ cos θ , F y = F cos φ sin θ F_h=F\cos\varphi,\quad F_z=F\sin\varphi,\quad F_x=F_h\cos\theta=F\cos\varphi\cos\theta,\quad F_y=F\cos\varphi\sin\theta F h = F cos φ , F z = F sin φ , F x = F h cos θ = F cos φ cos θ , F y = F cos φ sin θ K7 Force directed along a line แรงตามแนวเส้นจาก A ไป B r A B = ( x B − x A ) i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A ) k , u A B = r A B ∥ r A B ∥ , F = F u A B \mathbf r_{AB}=(x_B-x_A)\mathbf i+(y_B-y_A)\mathbf j+(z_B-z_A)\mathbf k,\qquad \mathbf u_{AB}=\frac{\mathbf r_{AB}}{\lVert\mathbf r_{AB}\rVert},\qquad \mathbf F=F\,\mathbf u_{AB} r A B = ( x B − x A ) i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A ) k , u A B = ∥ r A B ∥ r A B , F = F u A B K8 Resultant of 3D forces แรงลัพธ์สามมิติและทิศของมัน R = ( ∑ F x ) i + ( ∑ F y ) j + ( ∑ F z ) k , cos α R = R x R , cos β R = R y R , cos γ R = R z R \mathbf R=\Big(\sum F_x\Big)\mathbf i+\Big(\sum F_y\Big)\mathbf j+\Big(\sum F_z\Big)\mathbf k,\qquad \cos\alpha_R=\frac{R_x}{R},\ \cos\beta_R=\frac{R_y}{R},\ \cos\gamma_R=\frac{R_z}{R} R = ( ∑ F x ) i + ( ∑ F y ) j + ( ∑ F z ) k , cos α R = R R x , cos β R = R R y , cos γ R = R R z K9 Direction cosine matrix เมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง [ F x ′ F y ′ F z ′ ] = [ cos θ x ′ x cos θ x ′ y cos θ x ′ z cos θ y ′ x cos θ y ′ y cos θ y ′ z cos θ z ′ x cos θ z ′ y cos θ z ′ z ] [ F x F y F z ] \begin{bmatrix}F_{x'}\\F_{y'}\\F_{z'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta_{x'x}&\cos\theta_{x'y}&\cos\theta_{x'z}\\\cos\theta_{y'x}&\cos\theta_{y'y}&\cos\theta_{y'z}\\\cos\theta_{z'x}&\cos\theta_{z'y}&\cos\theta_{z'z}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{bmatrix} F x ′ F y ′ F z ′ = cos θ x ′ x cos θ y ′ x cos θ z ′ x cos θ x ′ y cos θ y ′ y cos θ z ′ y cos θ x ′ z cos θ y ′ z cos θ z ′ z F x F y F z D1 Dot product in Cartesian coordinates ผลคูณจุด 2D และ 3D a ⋅ b = a x b x + a y b y ( 2 D ) , a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z ( 3 D ) \mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y\quad(2D),\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\quad(3D) a ⋅ b = a x b x + a y b y ( 2 D ) , a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z ( 3 D ) D2 Euclidean inner product in n dimensions สูตรเดียวกันในหลายมิติ a ⋅ b = ∑ r = 1 n a r b r = a T b \mathbf a\cdot\mathbf b=\sum_{r=1}^{n}a_rb_r=\mathbf a^T\mathbf b a ⋅ b = r = 1 ∑ n a r b r = a T b D3 Geometric meaning of the dot product ขนาดและมุม a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ \mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta a ⋅ b = ∥ a ∥∥ b ∥ cos θ D4 Angle between two nonzero vectors หามุมระหว่างเวกเตอร์ θ = cos − 1 ( a ⋅ b ∥ a ∥ ∥ b ∥ ) , 0 ≤ θ ≤ π \theta=\cos^{-1}\!\left(\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|}\right),\qquad 0\le\theta\le\pi θ = cos − 1 ( ∥ a ∥∥ b ∥ a ⋅ b ) , 0 ≤ θ ≤ π D5 Orthogonality test ทดสอบตั้งฉาก a ⋅ b = 0 ⟺ a ⊥ b \mathbf a\cdot\mathbf b=0\iff\mathbf a\perp\mathbf b a ⋅ b = 0 ⟺ a ⊥ b D6 Commutativity and bilinearity สลับที่และแจกแจง a ⋅ b = b ⋅ a , a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a,\qquad \mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c a ⋅ b = b ⋅ a , a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c D7 Norm and squared-distance identities ความยาวและการกระจายกำลังสอง a ⋅ a = ∥ a ∥ 2 ≥ 0 , a ⋅ a = 0 ⟺ a = 0 \mathbf a\cdot\mathbf a=\|\mathbf a\|^2\ge0,\qquad\mathbf a\cdot\mathbf a=0\iff\mathbf a=\mathbf0 a ⋅ a = ∥ a ∥ 2 ≥ 0 , a ⋅ a = 0 ⟺ a = 0 D8 Cauchy–Schwarz inequality ขอบเขตของดอท ∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∥ a ∥ ∥ b ∥ , ∥ a + b ∥ ≤ ∥ a ∥ + ∥ b ∥ |\mathbf a\cdot\mathbf b|\le\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|,\qquad\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\| ∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∥ a ∥∥ b ∥ , ∥ a + b ∥ ≤ ∥ a ∥ + ∥ b ∥ D9 From dot product to projection ค่าตามทิศและเวกเตอร์ฉาย comp b a = a ⋅ b ∥ b ∥ , proj b a = a ⋅ b b ⋅ b b , b ≠ 0 \operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0 comp b a = ∥ b ∥ a ⋅ b , proj b a = b ⋅ b a ⋅ b b , b = 0 D10 Work by a constant force งานจากแรงคงที่ W = F ⋅ Δ r = ∥ F ∥ ∥ Δ r ∥ cos θ W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta W = F ⋅ Δ r = ∥ F ∥∥Δ r ∥ cos θ D11 Instantaneous mechanical power กำลังกลขณะหนึ่ง P = d W d t = F ⋅ v P=\frac{dW}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v P = d t d W = F ⋅ v D12 Normal component and oriented flux ส่วนตั้งฉากกับพื้นผิว v n = v ⋅ n ^ , Φ = B ⋅ A = B A cos θ , A = A n ^ v_n=\mathbf v\cdot\widehat{\mathbf n},\qquad\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\theta,\qquad\mathbf A=A\widehat{\mathbf n} v n = v ⋅ n , Φ = B ⋅ A = B A cos θ , A = A n D13 Cosine similarity ดอทที่ปรับขนาดออก s = x ⋅ y ∥ x ∥ ∥ y ∥ , − 1 ≤ s ≤ 1 , x , y ≠ 0 s=\frac{\mathbf x\cdot\mathbf y}{\|\mathbf x\|\|\mathbf y\|},\qquad -1\le s\le1,\qquad\mathbf x,\mathbf y\ne\mathbf0 s = ∥ x ∥∥ y ∥ x ⋅ y , − 1 ≤ s ≤ 1 , x , y = 0 C1 Geometric cross product ขนาดและทิศ a × b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ n ^ , ∥ a × b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ \mathbf a\times\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta\,\hat{\mathbf n},\qquad \|\mathbf a\times\mathbf b\|=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta a × b = ∥ a ∥∥ b ∥ sin θ n ^ , ∥ a × b ∥ = ∥ a ∥∥ b ∥ sin θ C2 Basis products ผลคูณฐานที่ต้องจำ i ^ × j ^ = k ^ , j ^ × k ^ = i ^ , k ^ × i ^ = j ^ \hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf k}=\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf i}=\hat{\mathbf j} i ^ × j ^ = k ^ , j ^ × k ^ = i ^ , k ^ × i ^ = j ^ C3 Component formula คำนวณสามองค์ประกอบ a × b = ( a y b z − a z b y ) i ^ + ( a z b x − a x b z ) j ^ + ( a x b y − a y b x ) k ^ = ∣ i ^ j ^ k ^ a x a y a z b x b y b z ∣ \begin{aligned}\mathbf a\times\mathbf b&=(a_yb_z-a_zb_y)\hat{\mathbf i}+(a_zb_x-a_xb_z)\hat{\mathbf j}+(a_xb_y-a_yb_x)\hat{\mathbf k}\\&=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\end{aligned} a × b = ( a y b z − a z b y ) i ^ + ( a z b x − a x b z ) j ^ + ( a x b y − a y b x ) k ^ = i ^ a x b x j ^ a y b y k ^ a z b z C4 Orthogonality checks ตรวจคำตอบด้วย Dot product ( a × b ) ⋅ a = 0 , ( a × b ) ⋅ b = 0 (\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=0,\qquad(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0 ( a × b ) ⋅ a = 0 , ( a × b ) ⋅ b = 0 C5 Planar signed cross ครอสบนระนาบ ( a x , a y , 0 ) × ( b x , b y , 0 ) = ( 0 , 0 , a x b y − a y b x ) , A t r i a n g l e = 1 2 ∣ a x b y − a y b x ∣ (a_x,a_y,0)\times(b_x,b_y,0)=(0,0,a_xb_y-a_yb_x),\qquad A_{\rm triangle}=\tfrac12|a_xb_y-a_yb_x| ( a x , a y , 0 ) × ( b x , b y , 0 ) = ( 0 , 0 , a x b y − a y b x ) , A triangle = 2 1 ∣ a x b y − a y b x ∣ C6 Algebraic properties สมบัติพีชคณิต a × b = − b × a , a × a = 0 a × ( b + c ) = a × b + a × c ( a + b ) × c = a × c + b × c ( α a ) × ( β b ) = α β ( a × b ) \begin{gathered}\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a,\qquad \mathbf a\times\mathbf a=\mathbf0\\\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c\\(\mathbf a+\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf c+\mathbf b\times\mathbf c\\(\alpha\mathbf a)\times(\beta\mathbf b)=\alpha\beta(\mathbf a\times\mathbf b)\end{gathered} a × b = − b × a , a × a = 0 a × ( b + c ) = a × b + a × c ( a + b ) × c = a × c + b × c ( α a ) × ( β b ) = α β ( a × b ) C7 Lagrange's identity ตรวจขนาดโดยไม่หามุม ∥ a × b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 − ( a ⋅ b ) 2 \|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2 ∥ a × b ∥ 2 = ∥ a ∥ 2 ∥ b ∥ 2 − ( a ⋅ b ) 2 C8 Normal and plane ปกติหนึ่งหน่วยและสมการระนาบ n ^ = a × b ∥ a × b ∥ , n ⋅ ( x − p ) = 0 , n = a × b ≠ 0 \hat{\mathbf n}=\frac{\mathbf a\times\mathbf b}{\|\mathbf a\times\mathbf b\|},\qquad \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0,\quad \mathbf n=\mathbf a\times\mathbf b\ne\mathbf0 n ^ = ∥ a × b ∥ a × b , n ⋅ ( x − p ) = 0 , n = a × b = 0 C9 Scalar triple product ปริมาตรมีเครื่องหมาย s = a ⋅ ( b × c ) = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ , V p a r a l l e l e p i p e d = ∣ s ∣ , V t e t r a h e d r o n = ∣ s ∣ 6 s=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix},\qquad V_{\rm parallelepiped}=|s|,\qquad V_{\rm tetrahedron}=\frac{|s|}{6} s = a ⋅ ( b × c ) = a x b x c x a y b y c y a z b z c z , V parallelepiped = ∣ s ∣ , V tetrahedron = 6 ∣ s ∣ C10 Vector triple product BAC–CAB และวงเล็บอีกด้าน a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) \mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b) a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) C11 Double cross and projection ดึงส่วนตั้งฉากกับแนวหนึ่งหน่วย u ^ × ( a × u ^ ) = a − ( a ⋅ u ^ ) u ^ = a ⊥ , ∥ u ^ ∥ = 1 \hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})=\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u}=\mathbf a_\perp,\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1 u ^ × ( a × u ^ ) = a − ( a ⋅ u ^ ) u ^ = a ⊥ , ∥ u ^ ∥ = 1 R1 Parallelogram law (angle between the forces) ขนาดแรงลัพธ์จากมุมระหว่างแรง R = F 1 2 + F 2 2 + 2 F 1 F 2 cos θ , ∣ F 1 − F 2 ∣ ≤ R ≤ F 1 + F 2 R=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta},\qquad |F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2 R = F 1 2 + F 2 2 + 2 F 1 F 2 cos θ , ∣ F 1 − F 2 ∣ ≤ R ≤ F 1 + F 2 R2 Law of cosines (force triangle) กฎของโคไซน์ในสามเหลี่ยมแรง R 2 = F 1 2 + F 2 2 − 2 F 1 F 2 cos β , β = 180 ∘ − θ , cos β = F 1 2 + F 2 2 − R 2 2 F 1 F 2 R^2=F_1^2+F_2^2-2F_1F_2\cos\beta,\qquad \beta=180^\circ-\theta,\qquad \cos\beta=\frac{F_1^2+F_2^2-R^2}{2F_1F_2} R 2 = F 1 2 + F 2 2 − 2 F 1 F 2 cos β , β = 18 0 ∘ − θ , cos β = 2 F 1 F 2 F 1 2 + F 2 2 − R 2 R3 Law of sines กฎของไซน์ F 1 sin γ = F 2 sin α = R sin β \frac{F_1}{\sin\gamma}=\frac{F_2}{\sin\alpha}=\frac{R}{\sin\beta} sin γ F 1 = sin α F 2 = sin β R R4 Ambiguity of arcsin arcsin ให้มุมแหลมเท่านั้น α = { arcsin ( F 2 sin β R ) , F 2 2 ≤ F 1 2 + R 2 180 ∘ − arcsin ( F 2 sin β R ) , F 2 2 > F 1 2 + R 2 \alpha=\begin{cases}\arcsin\!\Big(\dfrac{F_2\sin\beta}{R}\Big), & F_2^2\le F_1^2+R^2\\[2mm] 180^\circ-\arcsin\!\Big(\dfrac{F_2\sin\beta}{R}\Big), & F_2^2>F_1^2+R^2\end{cases} α = ⎩ ⎨ ⎧ arcsin ( R F 2 sin β ) , 18 0 ∘ − arcsin ( R F 2 sin β ) , F 2 2 ≤ F 1 2 + R 2 F 2 2 > F 1 2 + R 2 R5 Components along two oblique lines แตกแรงตามแนว u และ v F u = F sin ( θ v − θ F ) sin ( θ v − θ u ) , F v = F sin ( θ F − θ u ) sin ( θ v − θ u ) F_u=F\,\frac{\sin(\theta_v-\theta_F)}{\sin(\theta_v-\theta_u)},\qquad F_v=F\,\frac{\sin(\theta_F-\theta_u)}{\sin(\theta_v-\theta_u)} F u = F sin ( θ v − θ u ) sin ( θ v − θ F ) , F v = F sin ( θ v − θ u ) sin ( θ F − θ u ) R6 Minimum second force แรงที่สองน้อยที่สุดเมื่อกำหนดแนวของแรงลัพธ์ F 2 , min = F 1 sin ϕ เมื่อ F 2 ⊥ R , R = F 1 cos ϕ F_{2,\min}=F_1\sin\phi\quad\text{เมื่อ }\mathbf F_2\perp\mathbf R,\qquad R=F_1\cos\phi F 2 , m i n = F 1 sin ϕ เมื่อ F 2 ⊥ R , R = F 1 cos ϕ R7 Resultant by rectangular components แรงลัพธ์จากองค์ประกอบ R x = ∑ i F i cos θ i , R y = ∑ i F i sin θ i , R = R x 2 + R y 2 , θ R = atan2 ( R y , R x ) R_x=\sum_i F_i\cos\theta_i,\quad R_y=\sum_i F_i\sin\theta_i,\quad R=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad \theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x) R x = i ∑ F i cos θ i , R y = i ∑ F i sin θ i , R = R x 2 + R y 2 , θ R = atan2 ( R y , R x ) R8 Lami's theorem ทฤษฎีของลามี F 1 sin α 23 = F 2 sin α 31 = F 3 sin α 12 \frac{F_1}{\sin\alpha_{23}}=\frac{F_2}{\sin\alpha_{31}}=\frac{F_3}{\sin\alpha_{12}} sin α 23 F 1 = sin α 31 F 2 = sin α 12 F 3 R9 Two cables holding a weight แรงตึงในเชือกสองเส้น T 1 = W cos θ 2 sin ( θ 1 + θ 2 ) , T 2 = W cos θ 1 sin ( θ 1 + θ 2 ) T_1=\frac{W\cos\theta_2}{\sin(\theta_1+\theta_2)},\qquad T_2=\frac{W\cos\theta_1}{\sin(\theta_1+\theta_2)} T 1 = sin ( θ 1 + θ 2 ) W cos θ 2 , T 2 = sin ( θ 1 + θ 2 ) W cos θ 1 S1 Scalar moment โมเมนต์แบบสเกลาร์ M O = F d = F r sin θ [ N ⋅ m ] M_O=F\,d=F\,r\sin\theta \qquad[\text{N}\cdot\text{m}] M O = F d = F r sin θ [ N ⋅ m ] S2 Vector moment โมเมนต์เชิงเวกเตอร์ M O = r × F = ∣ i j k r x r y r z F x F y F z ∣ \mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} M O = r × F = i r x F x j r y F y k r z F z S3 Planar moment from components โมเมนต์ในระนาบจากองค์ประกอบ M O = x F y − y F x M_O=x\,F_y-y\,F_x M O = x F y − y F x S4 Varignon's theorem ทฤษฎีวาริยอง r × ( F 1 + F 2 + ⋯ ) = r × F 1 + r × F 2 + ⋯ \mathbf r\times(\mathbf F_1+\mathbf F_2+\cdots)=\mathbf r\times\mathbf F_1+\mathbf r\times\mathbf F_2+\cdots r × ( F 1 + F 2 + ⋯ ) = r × F 1 + r × F 2 + ⋯ S5 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกน a M a = u a ⋅ ( r × F ) = ∣ u x u y u z r x r y r z F x F y F z ∣ M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)=\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} M a = u a ⋅ ( r × F ) = u x r x F x u y r y F y u z r z F z S6 Couple moment โมเมนต์ของแรงคู่ควบ M = r A B × F , M = F d \mathbf M=\mathbf r_{AB}\times\mathbf F,\qquad M=F\,d M = r A B × F , M = F d S7 Equivalent force–couple system ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูลที่จุด O F R = ∑ F i , ( M R ) O = ∑ r i × F i + ∑ M couple \mathbf F_R=\sum\mathbf F_i,\qquad (\mathbf M_R)_O=\sum\mathbf r_{i}\times\mathbf F_i+\sum\mathbf M_{\text{couple}} F R = ∑ F i , ( M R ) O = ∑ r i × F i + ∑ M couple S8 Single resultant (coplanar) ตำแหน่งของแรงลัพธ์เดี่ยว x ˉ = ( M R ) O R y ( จุดตัดแกน x ) , d = ∣ ( M R ) O ∣ R ( ระยะตั้งฉากจาก O ) \bar x=\frac{(M_R)_O}{R_y}\quad(\text{จุดตัดแกน }x),\qquad d=\frac{|(M_R)_O|}{R}\quad(\text{ระยะตั้งฉากจาก }O) x ˉ = R y ( M R ) O ( จุดตัดแกน x ) , d = R ∣ ( M R ) O ∣ ( ระยะตั้งฉากจาก O ) S9 Distributed load แรงลัพธ์ของแรงกระจาย W = ∫ 0 L w ( x ) d x , x ˉ = ∫ 0 L x w ( x ) d x W ; สม่ำเสมอ: W = w L , x ˉ = L 2 ; สามเหลี่ยม: W = 1 2 w 0 L , x ˉ = L 3 จากด้านสูง W=\int_0^L w(x)\,dx,\qquad \bar x=\frac{\int_0^L x\,w(x)\,dx}{W};\qquad \text{สม่ำเสมอ: }W=wL,\ \bar x=\tfrac L2;\quad \text{สามเหลี่ยม: }W=\tfrac12w_0L,\ \bar x=\tfrac L3\ \text{จากด้านสูง} W = ∫ 0 L w ( x ) d x , x ˉ = W ∫ 0 L x w ( x ) d x ; สม่ำเสมอ : W = w L , x ˉ = 2 L ; สามเหลี่ยม : W = 2 1 w 0 L , x ˉ = 3 L จากด้านสูง S10 Equilibrium of a rigid body เงื่อนไขสมดุล ∑ F = 0 , ∑ M O = 0 ⟹ ระนาบ: ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 , ∑ M O = 0 \sum\mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum\mathbf M_O=\mathbf 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{ระนาบ: }\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_O=0 ∑ F = 0 , ∑ M O = 0 ⟹ ระนาบ : ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 , ∑ M O = 0 T1 Rotation of axes (2D) องค์ประกอบในแกนที่หมุน θ x ′ = v ⋅ e 1 ′ = x cos θ + y sin θ , y ′ = v ⋅ e 2 ′ = − x sin θ + y cos θ x'=\mathbf v\cdot\mathbf e_1'=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad y'=\mathbf v\cdot\mathbf e_2'=-x\sin\theta+y\cos\theta x ′ = v ⋅ e 1 ′ = x cos θ + y sin θ , y ′ = v ⋅ e 2 ′ = − x sin θ + y cos θ T2 Active vs passive rotation หมุนเวกเตอร์กับหมุนแกน หมุนเวกเตอร์ (active): v new = R ( θ ) v , หมุนแกน (passive): v ′ = R ( θ ) T v = R ( − θ ) v , R ( θ ) = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] \text{หมุนเวกเตอร์ (active): }\mathbf v_{\text{new}}=R(\theta)\mathbf v,\qquad \text{หมุนแกน (passive): }\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v=R(-\theta)\mathbf v,\qquad R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} หมุนเวกเตอร์ (active): v new = R ( θ ) v , หมุนแกน (passive): v ′ = R ( θ ) T v = R ( − θ ) v , R ( θ ) = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] T3 Properties of rotation matrices สมบัติของเมทริกซ์หมุน R T R = R R T = I , R − 1 = R T , det R = + 1 , ∥ R v ∥ = ∥ v ∥ , ( R a ) ⋅ ( R b ) = a ⋅ b R^{\mathsf T}R=RR^{\mathsf T}=I,\qquad R^{-1}=R^{\mathsf T},\qquad \det R=+1,\qquad \lVert R\mathbf v\rVert=\lVert\mathbf v\rVert,\qquad (R\mathbf a)\cdot(R\mathbf b)=\mathbf a\cdot\mathbf b R T R = R R T = I , R − 1 = R T , det R = + 1 , ∥ R v ∥ = ∥ v ∥ , ( R a ) ⋅ ( R b ) = a ⋅ b T4 Elementary rotations (active, right-hand rule) เมทริกซ์หมุนรอบแกนหลัก R x ( ϕ ) = [ 1 0 0 0 cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ ] , R y ( θ ) = [ cos θ 0 sin θ 0 1 0 − sin θ 0 cos θ ] , R z ( ψ ) = [ cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1 ] R_x(\phi)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\phi&-\sin\phi\\0&\sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix},\quad R_y(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix},\quad R_z(\psi)=\begin{bmatrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{bmatrix} R x ( ϕ ) = 1 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ , R y ( θ ) = cos θ 0 − sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ , R z ( ψ ) = cos ψ sin ψ 0 − sin ψ cos ψ 0 0 0 1 T5 Composition is not commutative ลำดับการหมุนสำคัญ R z ( 90 ∘ ) R x ( 90 ∘ ) i = j แต่ R x ( 90 ∘ ) R z ( 90 ∘ ) i = k R_z(90^\circ)R_x(90^\circ)\,\mathbf i=\mathbf j\qquad\text{แต่}\qquad R_x(90^\circ)R_z(90^\circ)\,\mathbf i=\mathbf k R z ( 9 0 ∘ ) R x ( 9 0 ∘ ) i = j แต่ R x ( 9 0 ∘ ) R z ( 9 0 ∘ ) i = k T6 Z-Y-X Euler angles มุมออยเลอร์แบบ yaw-pitch-roll R = R z ( ψ ) R y ( θ ) R x ( ϕ ) , v world = R v body , v body = R T v world R=R_z(\psi)\,R_y(\theta)\,R_x(\phi),\qquad \mathbf v_{\text{world}}=R\,\mathbf v_{\text{body}},\qquad \mathbf v_{\text{body}}=R^{\mathsf T}\mathbf v_{\text{world}} R = R z ( ψ ) R y ( θ ) R x ( ϕ ) , v world = R v body , v body = R T v world T7 Tilt from gravity (accelerometer at rest) หามุมเอียงจากแรงโน้มถ่วง f body = R T [ 0 0 g ] = g [ − sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ ] ⇒ θ = atan2 ( − f x , f y 2 + f z 2 ) , ϕ = atan2 ( f y , f z ) \mathbf f_{\text{body}}=R^{\mathsf T}\begin{bmatrix}0\\0\\g\end{bmatrix}=g\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi\cos\theta\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \theta=\operatorname{atan2}\!\big(-f_x,\sqrt{f_y^2+f_z^2}\big),\quad \phi=\operatorname{atan2}(f_y,f_z) f body = R T 0 0 g = g − sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ cos θ ⇒ θ = atan2 ( − f x , f y 2 + f z 2 ) , ϕ = atan2 ( f y , f z ) T8 Rodrigues' rotation formula หมุนรอบแกนหนึ่งหน่วย k ด้วยมุม θ v rot = v cos θ + ( k × v ) sin θ + k ( k ⋅ v ) ( 1 − cos θ ) \mathbf v_{\text{rot}}=\mathbf v\cos\theta+(\mathbf k\times\mathbf v)\sin\theta+\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v)(1-\cos\theta) v rot = v cos θ + ( k × v ) sin θ + k ( k ⋅ v ) ( 1 − cos θ ) T9 Clarke and Park transforms (amplitude-invariant) การแปลง Clarke และ Park i α = 2 3 ( i a − 1 2 i b − 1 2 i c ) , i β = 1 3 ( i b − i c ) ; [ i d i q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ i α i β ] i_\alpha=\tfrac23\big(i_a-\tfrac12 i_b-\tfrac12 i_c\big),\quad i_\beta=\tfrac{1}{\sqrt3}(i_b-i_c);\qquad \begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} i α = 3 2 ( i a − 2 1 i b − 2 1 i c ) , i β = 3 1 ( i b − i c ) ; [ i d i q ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i α i β ] A1 Forward kinematics (2R planar) ตำแหน่งปลายแขนจากมุมข้อต่อ p = L 1 [ cos θ 1 sin θ 1 ] + L 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) sin ( θ 1 + θ 2 ) ] \mathbf p=L_1\begin{bmatrix}\cos\theta_1\\\sin\theta_1\end{bmatrix}+L_2\begin{bmatrix}\cos(\theta_1+\theta_2)\\\sin(\theta_1+\theta_2)\end{bmatrix} p = L 1 [ cos θ 1 sin θ 1 ] + L 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) sin ( θ 1 + θ 2 ) ] A2 Workspace พื้นที่ทำงาน ∣ L 1 − L 2 ∣ ≤ ∥ p ∥ ≤ L 1 + L 2 |L_1-L_2|\le\lVert\mathbf p\rVert\le L_1+L_2 ∣ L 1 − L 2 ∣ ≤ ∥ p ∥ ≤ L 1 + L 2 A3 Inverse kinematics (2R planar) หามุมข้อต่อจากตำแหน่ง cos θ 2 = x 2 + y 2 − L 1 2 − L 2 2 2 L 1 L 2 , θ 2 = ± arccos ( ⋅ ) , θ 1 = atan2 ( y , x ) − atan2 ( L 2 sin θ 2 , L 1 + L 2 cos θ 2 ) \cos\theta_2=\frac{x^2+y^2-L_1^2-L_2^2}{2L_1L_2},\qquad \theta_2=\pm\arccos(\cdot),\qquad \theta_1=\operatorname{atan2}(y,x)-\operatorname{atan2}\big(L_2\sin\theta_2,\ L_1+L_2\cos\theta_2\big) cos θ 2 = 2 L 1 L 2 x 2 + y 2 − L 1 2 − L 2 2 , θ 2 = ± arccos ( ⋅ ) , θ 1 = atan2 ( y , x ) − atan2 ( L 2 sin θ 2 , L 1 + L 2 cos θ 2 ) A4 Jacobian and tip velocity Jacobian และความเร็วปลายแขน v = J θ ˙ , J = ∂ p ∂ θ = [ − L 1 s 1 − L 2 s 12 − L 2 s 12 L 1 c 1 + L 2 c 12 L 2 c 12 ] , J : , i = k × ( p − p i ) \mathbf v=J\dot{\boldsymbol\theta},\qquad J=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\theta}=\begin{bmatrix}-L_1s_1-L_2s_{12}&-L_2s_{12}\\L_1c_1+L_2c_{12}&L_2c_{12}\end{bmatrix},\qquad J_{:,i}=\mathbf k\times(\mathbf p-\mathbf p_i) v = J θ ˙ , J = ∂ θ ∂ p = [ − L 1 s 1 − L 2 s 12 L 1 c 1 + L 2 c 12 − L 2 s 12 L 2 c 12 ] , J : , i = k × ( p − p i ) A5 Kinematic singularity ภาวะเอกฐาน det J = L 1 L 2 sin θ 2 = 0 ⟺ θ 2 = 0 ∘ (เหยียดสุด) หรือ 180 ∘ (พับสุด) \det J=L_1L_2\sin\theta_2=0\ \Longleftrightarrow\ \theta_2=0^\circ\ \text{(เหยียดสุด)}\ \text{หรือ}\ 180^\circ\ \text{(พับสุด)} det J = L 1 L 2 sin θ 2 = 0 ⟺ θ 2 = 0 ∘ ( เหยียดสุด ) หรือ 18 0 ∘ ( พับสุด ) A6 Static joint torques แรงบิดข้อต่อจากแรงที่ปลายแขน τ = J T F ⟺ τ i = ( ( p − p i ) × F ) ⋅ k \boldsymbol\tau=J^{\mathsf T}\mathbf F\qquad\Longleftrightarrow\qquad \tau_i=\big((\mathbf p-\mathbf p_i)\times\mathbf F\big)\cdot\mathbf k τ = J T F ⟺ τ i = ( ( p − p i ) × F ) ⋅ k A7 Motor sizing through a gearbox เลือกมอเตอร์ผ่านเกียร์ τ motor = τ joint N η , i ≈ τ motor K t , ω motor = N θ ˙ \tau_{\text{motor}}=\frac{\tau_{\text{joint}}}{N\,\eta},\qquad i\approx\frac{\tau_{\text{motor}}}{K_t},\qquad \omega_{\text{motor}}=N\,\dot\theta τ motor = N η τ joint , i ≈ K t τ motor , ω motor = N θ ˙ A8 3-DOF articulated arm แขน 3 ข้อต่อ (ฐาน-ไหล่-ศอก) ρ = L 2 cos q 2 + L 3 cos ( q 2 + q 3 ) , p = ( ρ cos q 1 , ρ sin q 1 , h + L 2 sin q 2 + L 3 sin ( q 2 + q 3 ) ) \rho=L_2\cos q_2+L_3\cos(q_2+q_3),\quad \mathbf p=\big(\rho\cos q_1,\ \rho\sin q_1,\ h+L_2\sin q_2+L_3\sin(q_2+q_3)\big) ρ = L 2 cos q 2 + L 3 cos ( q 2 + q 3 ) , p = ( ρ cos q 1 , ρ sin q 1 , h + L 2 sin q 2 + L 3 sin ( q 2 + q 3 ) ) A9 Homogeneous transforms เมทริกซ์แปลงเอกพันธ์ (หมุน + เลื่อน) T = [ R d 0 T 1 ] , T 0 → n = T 1 T 2 ⋯ T n , [ p 1 ] = T 0 → n [ p n 1 ] T=\begin{bmatrix}R&\mathbf d\\\mathbf 0^{\mathsf T}&1\end{bmatrix},\qquad T_{0\to n}=T_1T_2\cdots T_n,\qquad \begin{bmatrix}\mathbf p\\1\end{bmatrix}=T_{0\to n}\begin{bmatrix}\mathbf p_n\\1\end{bmatrix} T = [ R 0 T d 1 ] , T 0 → n = T 1 T 2 ⋯ T n , [ p 1 ] = T 0 → n [ p n 1 ] E1 Force resultant รวมแรงและอ่านมุมให้ถูกควอดแรนต์ R = ∑ i F i , R x = ∑ i F i x , R y = ∑ i F i y , ∥ R ∥ = R x 2 + R y 2 , θ R = atan2 ( R y , R x ) \mathbf R=\sum_i\mathbf F_i,\quad R_x=\sum_iF_{ix},\quad R_y=\sum_iF_{iy},\quad\|\mathbf R\|=\sqrt{R_x^2+R_y^2},\quad\theta_R=\operatorname{atan2}(R_y,R_x) R = i ∑ F i , R x = i ∑ F i x , R y = i ∑ F i y , ∥ R ∥ = R x 2 + R y 2 , θ R = atan2 ( R y , R x ) E2 Cable force from two points แรงจากตำแหน่งปลายสาย d A B = r B − r A , u ^ A B = d A B ∥ d A B ∥ , F A B = T A B u ^ A B , T A B ≥ 0 \mathbf d_{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A,\qquad\hat{\mathbf u}_{AB}=\frac{\mathbf d_{AB}}{\|\mathbf d_{AB}\|},\qquad\mathbf F_{AB}=T_{AB}\hat{\mathbf u}_{AB},\quad T_{AB}\ge0 d A B = r B − r A , u ^ A B = ∥ d A B ∥ d A B , F A B = T A B u ^ A B , T A B ≥ 0 E3 Resolve force along a direction แยกแรงขนานและตั้งฉาก F ∥ = F ⋅ u ^ , F ∥ = ( F ⋅ u ^ ) u ^ , F ⊥ = F − F ∥ F_{\parallel}=\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\parallel}=(\mathbf F\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u},\qquad\mathbf F_{\perp}=\mathbf F-\mathbf F_{\parallel} F ∥ = F ⋅ u ^ , F ∥ = ( F ⋅ u ^ ) u ^ , F ⊥ = F − F ∥ E4 Work by a constant force งานของเวกเตอร์แรงคงที่ W = F ⋅ Δ r = ∥ F ∥ ∥ Δ r ∥ cos θ , Δ r = r 2 − r 1 W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta,\qquad\Delta\mathbf r=\mathbf r_2-\mathbf r_1 W = F ⋅ Δ r = ∥ F ∥∥Δ r ∥ cos θ , Δ r = r 2 − r 1 E5 Work along a path งานเมื่อแรงเปลี่ยนตามเส้นทาง W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ t 1 t 2 F ( r ( t ) , t ) ⋅ d r d t d t W=\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf F(\mathbf r(t),t)\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}\,dt W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ t 1 t 2 F ( r ( t ) , t ) ⋅ d t d r d t E6 Moment about a point โมเมนต์รอบจุด τ O = r O P × F , ∥ τ O ∥ = r F sin θ = F d ⊥ \boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf F,\qquad\|\boldsymbol\tau_O\|=rF\sin\theta=F d_\perp τ O = r OP × F , ∥ τ O ∥ = r F sin θ = F d ⊥ E7 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกนเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย τ u ^ = u ^ ⋅ τ O = u ^ ⋅ ( r O P × F ) , ∥ u ^ ∥ = 1 \tau_{\hat{\mathbf u}}=\hat{\mathbf u}\cdot\boldsymbol\tau_O=\hat{\mathbf u}\cdot(\mathbf r_{OP}\times\mathbf F),\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1 τ u ^ = u ^ ⋅ τ O = u ^ ⋅ ( r OP × F ) , ∥ u ^ ∥ = 1 E8 Magnetic force on a charge แรงแม่เหล็กต่อประจุเคลื่อนที่ F B = q v × B , ∥ F B ∥ = ∣ q ∣ v B sin θ , F B ⋅ v = 0 \mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,\qquad \|\mathbf F_B\|=|q|vB\sin\theta,\qquad \mathbf F_B\cdot\mathbf v=0 F B = q v × B , ∥ F B ∥ = ∣ q ∣ v B sin θ , F B ⋅ v = 0 E9 Magnetic force on a conductor สายตรงและรูปอินทิกรัล F B = I L × B (สายตรง สนามสม่ำเสมอ) , F B = I ∫ C d ℓ × B ( r ) (กระแสคงที่) \mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf B\quad\text{(สายตรง สนามสม่ำเสมอ)},\qquad\mathbf F_B=I\int_Cd\boldsymbol\ell\times\mathbf B(\mathbf r)\quad\text{(กระแสคงที่)} F B = I L × B ( สายตรง สนามสม่ำเสมอ ) , F B = I ∫ C d ℓ × B ( r ) ( กระแสคงที่ ) E10 Rotation and revolute-joint Jacobian ความเร็วจากข้อต่อหมุน v P = v O + ω × r O P , J v , i = z ^ i × ( p − o i ) , v P , i = J v , i q ˙ i \mathbf v_P=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{OP},\qquad\mathbf J_{v,i}=\hat{\mathbf z}_i\times(\mathbf p-\mathbf o_i),\qquad\mathbf v_{P,i}=\mathbf J_{v,i}\dot q_i v P = v O + ω × r OP , J v , i = z ^ i × ( p − o i ) , v P , i = J v , i q ˙ i E11 Static equilibrium เงื่อนไขสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง ∑ F = 0 , ∑ τ O = 0 \sum\mathbf F=\mathbf0,\qquad\sum\boldsymbol\tau_O=\mathbf0 ∑ F = 0 , ∑ τ O = 0 M1 Coulomb's law (vector form) แรงที่ q₁ กระทำต่อ q₂ F 12 = k q 1 q 2 ∥ r 2 − r 1 ∥ 2 r ^ 12 = k q 1 q 2 r 2 − r 1 ∥ r 2 − r 1 ∥ 3 , k = 1 4 π ε 0 = 8.988 × 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 \mathbf F_{12}=k\frac{q_1q_2}{\lVert\mathbf r_2-\mathbf r_1\rVert^2}\,\hat{\mathbf r}_{12}=k\,q_1q_2\,\frac{\mathbf r_2-\mathbf r_1}{\lVert\mathbf r_2-\mathbf r_1\rVert^3},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8.988\times10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 F 12 = k ∥ r 2 − r 1 ∥ 2 q 1 q 2 r ^ 12 = k q 1 q 2 ∥ r 2 − r 1 ∥ 3 r 2 − r 1 , k = 4 π ε 0 1 = 8.988 × 1 0 9 N ⋅ m 2 / C 2 M2 Electric field of a point charge สนามไฟฟ้าของประจุจุด E = F q 0 = k q r 2 r ^ , F = q 0 E \mathbf E=\frac{\mathbf F}{q_0}=k\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf r},\qquad \mathbf F=q_0\mathbf E E = q 0 F = k r 2 q r ^ , F = q 0 E M3 Superposition หลักการซ้อนทับ E ( r ) = ∑ i k q i r − r i ∥ r − r i ∥ 3 ⟹ E x = ∑ E i x , E y = ∑ E i y , E z = ∑ E i z \mathbf E(\mathbf r)=\sum_{i}k\,q_i\,\frac{\mathbf r-\mathbf r_i}{\lVert\mathbf r-\mathbf r_i\rVert^3}\qquad\Longrightarrow\qquad E_x=\sum E_{ix},\ E_y=\sum E_{iy},\ E_z=\sum E_{iz} E ( r ) = i ∑ k q i ∥ r − r i ∥ 3 r − r i ⟹ E x = ∑ E i x , E y = ∑ E i y , E z = ∑ E i z M4 Electric potential (scalar) ศักย์ไฟฟ้าและความสัมพันธ์กับสนาม V = ∑ i k q i r i , E = − ∇ V , W A → B = q ( V A − V B ) V=\sum_i k\frac{q_i}{r_i},\qquad \mathbf E=-\nabla V,\qquad W_{A\to B}=q\,(V_A-V_B) V = i ∑ k r i q i , E = − ∇ V , W A → B = q ( V A − V B ) M5 Point of zero field (two charges) จุดที่สนามเป็นศูนย์ ∣ q 1 ∣ d 1 2 = ∣ q 2 ∣ d 2 2 บนเส้นที่ผ่านประจุทั้งสอง \frac{|q_1|}{d_1^2}=\frac{|q_2|}{d_2^2}\quad\text{บนเส้นที่ผ่านประจุทั้งสอง} d 1 2 ∣ q 1 ∣ = d 2 2 ∣ q 2 ∣ บนเส้นที่ผ่านประจุทั้งสอง M6 Flux through a flat surface ฟลักซ์ผ่านผิวราบ Φ B = B ⋅ A = B A cos θ , Φ E = E ⋅ A , E = − N d Φ B d t \Phi_B=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\theta,\qquad \Phi_E=\mathbf E\cdot\mathbf A,\qquad \mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt} Φ B = B ⋅ A = B A cos θ , Φ E = E ⋅ A , E = − N d t d Φ B M7 Lorentz force แรงลอเรนซ์ F = q ( E + v × B ) \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) F = q ( E + v × B ) M8 Motion in a uniform B วงกลม เกลียว และคาบ r = m v ⊥ ∣ q ∣ B , T = 2 π m ∣ q ∣ B , p = v ∥ T , v d = E × B B 2 r=\frac{mv_\perp}{|q|B},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B},\qquad p=v_\parallel T,\qquad \mathbf v_d=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{B^2} r = ∣ q ∣ B m v ⊥ , T = ∣ q ∣ B 2 πm , p = v ∥ T , v d = B 2 E × B M9 Force on a straight wire แรงบนลวดตรงในสนามสม่ำเสมอ F = I L × B , F = I L B sin θ \mathbf F=I\,\mathbf L\times\mathbf B,\qquad F=ILB\sin\theta F = I L × B , F = I L B sin θ M10 Field of a long straight wire สนามแม่เหล็กรอบลวดยาว B = μ 0 I 2 π r ϕ ^ , ϕ ^ = z ^ × r ^ , μ 0 = 4 π × 10 − 7 T ⋅ m/A \mathbf B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\phi},\qquad \hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf r},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A} B = 2 π r μ 0 I ϕ ^ , ϕ ^ = z ^ × r ^ , μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 T ⋅ m/A M11 Force between parallel conductors แรงต่อความยาวระหว่างลวดขนาน F L = μ 0 I 1 I 2 2 π d = 2 × 10 − 7 I 1 I 2 d N/m \frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\frac{2\times10^{-7}\,I_1I_2}{d}\ \ \text{N/m} L F = 2 π d μ 0 I 1 I 2 = d 2 × 1 0 − 7 I 1 I 2 N/m M12 Torque on a current loop แรงบิดบนขดลวด m = N I A n ^ , τ = m × B , τ = N I A B sin θ , U = − m ⋅ B \mathbf m=NIA\,\hat{\mathbf n},\qquad \boldsymbol\tau=\mathbf m\times\mathbf B,\qquad \tau=NIAB\sin\theta,\qquad U=-\mathbf m\cdot\mathbf B m = N I A n ^ , τ = m × B , τ = N I A B sin θ , U = − m ⋅ B W1 General sinusoid รูปทั่วไปของสัญญาณไซน์ v ( t ) = V m sin ( ω t + φ ) , ω = 2 π f = 2 π T [ rad/s ] , T = 1 f v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi),\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}\ \ [\text{rad/s}],\qquad T=\frac1f v ( t ) = V m sin ( ω t + φ ) , ω = 2 π f = T 2 π [ rad/s ] , T = f 1 W2 Conversion identities เอกลักษณ์ที่ใช้แปลงรูป sin θ = cos ( θ − 90 ∘ ) , cos θ = sin ( θ + 90 ∘ ) , − sin θ = sin ( θ ± 180 ∘ ) , − cos θ = cos ( θ ± 180 ∘ ) \sin\theta=\cos(\theta-90^\circ),\quad \cos\theta=\sin(\theta+90^\circ),\quad -\sin\theta=\sin(\theta\pm180^\circ),\quad -\cos\theta=\cos(\theta\pm180^\circ) sin θ = cos ( θ − 9 0 ∘ ) , cos θ = sin ( θ + 9 0 ∘ ) , − sin θ = sin ( θ ± 18 0 ∘ ) , − cos θ = cos ( θ ± 18 0 ∘ ) W3 Phase difference ความต่างเฟส v = V m sin ( ω t + φ v ) , i = I m sin ( ω t + φ i ) : Δ φ = φ v − φ i { > 0 i ตามหลัง v ( inductive ) < 0 i นำหน้า v ( capacitive ) v=V_m\sin(\omega t+\varphi_v),\ i=I_m\sin(\omega t+\varphi_i):\qquad \Delta\varphi=\varphi_v-\varphi_i\ \begin{cases}>0 & i\ \text{ตามหลัง}\ v\ (\text{inductive})\\<0 & i\ \text{นำหน้า}\ v\ (\text{capacitive})\end{cases} v = V m sin ( ω t + φ v ) , i = I m sin ( ω t + φ i ) : Δ φ = φ v − φ i { > 0 < 0 i ตามหลัง v ( inductive ) i นำหน้า v ( capacitive ) W4 Phase from a time shift แปลงเวลาเลื่อนเป็นมุมเฟส Δ φ = ω Δ t = 360 ∘ ⋅ Δ t T \Delta\varphi=\omega\,\Delta t=360^\circ\cdot\frac{\Delta t}{T} Δ φ = ω Δ t = 36 0 ∘ ⋅ T Δ t W5 Combining cos and sin of the same frequency รวมเป็นไซน์เดียว A cos ω t + B sin ω t = C cos ( ω t − δ ) = C sin ( ω t + 90 ∘ − δ ) , C = A 2 + B 2 , δ = atan2 ( B , A ) A\cos\omega t+B\sin\omega t=C\cos(\omega t-\delta)=C\sin(\omega t+90^\circ-\delta),\qquad C=\sqrt{A^2+B^2},\quad \delta=\operatorname{atan2}(B,A) A cos ω t + B sin ω t = C cos ( ω t − δ ) = C sin ( ω t + 9 0 ∘ − δ ) , C = A 2 + B 2 , δ = atan2 ( B , A ) W6 RMS value ค่า RMS (ค่ายังผล) V rms = 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t = V m 2 T ∫ 0 T sin 2 ω t d t = V m 2 V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac1T\int_0^T v^2(t)\,dt}=\sqrt{\frac{V_m^2}{T}\int_0^T\sin^2\omega t\,dt}=\frac{V_m}{\sqrt2} V rms = T 1 ∫ 0 T v 2 ( t ) d t = T V m 2 ∫ 0 T sin 2 ω t d t = 2 V m W7 Average values ค่าเฉลี่ย 1 T ∫ 0 T v d t = 0 , V avg,half = 2 V m π ≈ 0.637 V m , form factor = V rms V avg,half = 1.111 \frac1T\int_0^T v\,dt=0,\qquad V_{\text{avg,half}}=\frac{2V_m}{\pi}\approx0.637V_m,\qquad \text{form factor}=\frac{V_{\text{rms}}}{V_{\text{avg,half}}}=1.111 T 1 ∫ 0 T v d t = 0 , V avg,half = π 2 V m ≈ 0.637 V m , form factor = V avg,half V rms = 1.111 W8 Calculus shifts phase by 90° อนุพันธ์และปริพันธ์ของไซน์ d d t sin ( ω t + φ ) = ω sin ( ω t + φ + 90 ∘ ) , ∫ sin ( ω t + φ ) d t = 1 ω sin ( ω t + φ − 90 ∘ ) \frac{d}{dt}\sin(\omega t+\varphi)=\omega\sin(\omega t+\varphi+90^\circ),\qquad \int\sin(\omega t+\varphi)\,dt=\frac1\omega\sin(\omega t+\varphi-90^\circ) d t d sin ( ω t + φ ) = ω sin ( ω t + φ + 9 0 ∘ ) , ∫ sin ( ω t + φ ) d t = ω 1 sin ( ω t + φ − 9 0 ∘ ) H1 Euler's formula สูตรออยเลอร์ e j θ = cos θ + j sin θ , cos θ = Re { e j θ } , sin θ = Im { e j θ } , j 2 = − 1 e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta,\qquad \cos\theta=\operatorname{Re}\{e^{j\theta}\},\quad \sin\theta=\operatorname{Im}\{e^{j\theta}\},\quad j^2=-1 e j θ = cos θ + j sin θ , cos θ = Re { e j θ } , sin θ = Im { e j θ } , j 2 = − 1 H2 Phasor definition นิยามเฟสเซอร์ v ( t ) = V m cos ( ω t + φ ) = Re { V m e j φ ⏟ V e j ω t } ⟹ V = V m e j φ = V m ∠ φ v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\big\{\underbrace{V_me^{j\varphi}}_{\mathbf V}\,e^{j\omega t}\big\}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf V=V_me^{j\varphi}=V_m\angle\varphi v ( t ) = V m cos ( ω t + φ ) = Re { V V m e j φ e jω t } ⟹ V = V m e j φ = V m ∠ φ H3 Rectangular ↔ polar แปลงรูป a + j b = r ∠ θ , r = a 2 + b 2 , θ = atan2 ( b , a ) ; a = r cos θ , b = r sin θ a+jb=r\angle\theta,\qquad r=\sqrt{a^2+b^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(b,a);\qquad a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta a + jb = r ∠ θ , r = a 2 + b 2 , θ = atan2 ( b , a ) ; a = r cos θ , b = r sin θ H4 Addition / subtraction บวกลบในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ( a 1 + j b 1 ) ± ( a 2 + j b 2 ) = ( a 1 ± a 2 ) + j ( b 1 ± b 2 ) (a_1+jb_1)\pm(a_2+jb_2)=(a_1\pm a_2)+j(b_1\pm b_2) ( a 1 + j b 1 ) ± ( a 2 + j b 2 ) = ( a 1 ± a 2 ) + j ( b 1 ± b 2 ) H5 Multiplication / division คูณหารในรูปเชิงขั้ว ( r 1 ∠ θ 1 ) ( r 2 ∠ θ 2 ) = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 ) , r 1 ∠ θ 1 r 2 ∠ θ 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 − θ 2 ) , z ∗ = r ∠ − θ (r_1\angle\theta_1)(r_2\angle\theta_2)=r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\qquad \frac{r_1\angle\theta_1}{r_2\angle\theta_2}=\frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\qquad \mathbf z^*=r\angle-\theta ( r 1 ∠ θ 1 ) ( r 2 ∠ θ 2 ) = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 ) , r 2 ∠ θ 2 r 1 ∠ θ 1 = r 2 r 1 ∠ ( θ 1 − θ 2 ) , z ∗ = r ∠ − θ H6 Multiplying by j คูณด้วย j คือหมุน 90° j = 1 ∠ 90 ∘ , − j = 1 j = 1 ∠ − 90 ∘ , j ( a + j b ) = − b + j a j=1\angle90^\circ,\qquad -j=\frac1j=1\angle-90^\circ,\qquad j\,(a+jb)=-b+ja j = 1∠9 0 ∘ , − j = j 1 = 1∠ − 9 0 ∘ , j ( a + jb ) = − b + ja H7 Sum of two sinusoids ผลบวกของไซน์ความถี่เดียวกัน A 1 ∠ φ 1 + A 2 ∠ φ 2 = A ∠ φ , A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ( φ 2 − φ 1 ) A_1\angle\varphi_1+A_2\angle\varphi_2=A\angle\varphi,\qquad A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} A 1 ∠ φ 1 + A 2 ∠ φ 2 = A ∠ φ , A = A 1 2 + A 2 2 + 2 A 1 A 2 cos ( φ 2 − φ 1 ) H8 Calculus in the phasor domain อนุพันธ์และปริพันธ์ d v d t ⟷ j ω V , ∫ v d t ⟷ V j ω \frac{dv}{dt}\ \longleftrightarrow\ j\omega\mathbf V,\qquad \int v\,dt\ \longleftrightarrow\ \frac{\mathbf V}{j\omega} d t d v ⟷ jω V , ∫ v d t ⟷ jω V H9 Peak vs RMS phasors สองธรรมเนียมการเขียน V peak = V m ∠ φ , V rms = V m 2 ∠ φ , S = V rms I rms ∗ = 1 2 V peak I peak ∗ \mathbf V_{\text{peak}}=V_m\angle\varphi,\qquad \mathbf V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt2}\angle\varphi,\qquad \mathbf S=\mathbf V_{\text{rms}}\mathbf I_{\text{rms}}^*=\tfrac12\mathbf V_{\text{peak}}\mathbf I_{\text{peak}}^* V peak = V m ∠ φ , V rms = 2 V m ∠ φ , S = V rms I rms ∗ = 2 1 V peak I peak ∗ Z1 Element impedances อิมพีแดนซ์ของ R L C Z R = R , Z L = j ω L = j X L , Z C = 1 j ω C = − j X C , X L = 2 π f L , X C = 1 2 π f C Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L=jX_L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-jX_C,\qquad X_L=2\pi fL,\quad X_C=\frac{1}{2\pi fC} Z R = R , Z L = jω L = j X L , Z C = jω C 1 = − j X C , X L = 2 π f L , X C = 2 π f C 1 Z2 Combining impedances อนุกรม ขนาน และแอดมิตแตนซ์ Z series = ∑ Z k , 1 Z par = ∑ 1 Z k , Z = R + j X = ∣ Z ∣ ∠ θ Z , Y = 1 Z = G + j B Z_{\text{series}}=\sum Z_k,\qquad \frac{1}{Z_{\text{par}}}=\sum\frac{1}{Z_k},\qquad Z=R+jX=|Z|\angle\theta_Z,\qquad Y=\frac1Z=G+jB Z series = ∑ Z k , Z par 1 = ∑ Z k 1 , Z = R + j X = ∣ Z ∣∠ θ Z , Y = Z 1 = G + j B Z3 Series RLC วงจร RLC อนุกรม Z = R + j ( X L − X C ) , I = V s Z , V s = V R + V L + V C ( บวกเวกเตอร์ ) , V k = V s Z k Z Z=R+j(X_L-X_C),\qquad \mathbf I=\frac{\mathbf V_s}{Z},\qquad \mathbf V_s=\mathbf V_R+\mathbf V_L+\mathbf V_C\ \ (\text{บวกเวกเตอร์}),\qquad \mathbf V_k=\mathbf V_s\frac{Z_k}{Z} Z = R + j ( X L − X C ) , I = Z V s , V s = V R + V L + V C ( บวกเวกเตอร์ ) , V k = V s Z Z k Z4 Parallel branches วงจรขนาน I = I R + I L + I C = V ( 1 R + 1 j ω L + j ω C ) = V Y \mathbf I=\mathbf I_R+\mathbf I_L+\mathbf I_C=\mathbf V\Big(\frac1R+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C\Big)=\mathbf V\,Y I = I R + I L + I C = V ( R 1 + jω L 1 + jω C ) = V Y Z5 Complex power กำลังเชิงซ้อน (เฟสเซอร์ RMS) S = V I ∗ = P + j Q , P = V I cos θ , Q = V I sin θ , ∣ S ∣ = V I , PF = P ∣ S ∣ = cos θ , θ = φ v − φ i \mathbf S=\mathbf V\mathbf I^*=P+jQ,\qquad P=VI\cos\theta,\quad Q=VI\sin\theta,\quad |\mathbf S|=VI,\quad \text{PF}=\frac{P}{|\mathbf S|}=\cos\theta,\ \ \theta=\varphi_v-\varphi_i S = V I ∗ = P + j Q , P = V I cos θ , Q = V I sin θ , ∣ S ∣ = V I , PF = ∣ S ∣ P = cos θ , θ = φ v − φ i Z6 Power-factor correction แก้ PF ด้วยตัวเก็บประจุขนาน Q C = P ( tan φ 1 − tan φ 2 ) , C = Q C ω V 2 Q_C=P(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2),\qquad C=\frac{Q_C}{\omega V^2} Q C = P ( tan φ 1 − tan φ 2 ) , C = ω V 2 Q C Z7 Series resonance เรโซแนนซ์อนุกรม ω 0 = 1 L C , f 0 = 1 2 π L C , Q = ω 0 L R = 1 R L C , BW = f 0 Q = R 2 π L , ∣ V L ∣ = ∣ V C ∣ = Q ∣ V s ∣ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\quad Q=\frac{\omega_0L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac LC},\quad \text{BW}=\frac{f_0}{Q}=\frac{R}{2\pi L},\quad |\mathbf V_L|=|\mathbf V_C|=Q|\mathbf V_s| ω 0 = L C 1 , f 0 = 2 π L C 1 , Q = R ω 0 L = R 1 C L , BW = Q f 0 = 2 π L R , ∣ V L ∣ = ∣ V C ∣ = Q ∣ V s ∣ Z8 RC low-pass filter ตัวแบ่งแรงดันเชิงซ้อน H ( j ω ) = V o V i = Z C R + Z C = 1 1 + j ω R C , f c = 1 2 π R C , ∣ H ( f c ) ∣ = 1 2 , ∠ H ( f c ) = − 45 ∘ H(j\omega)=\frac{\mathbf V_o}{\mathbf V_i}=\frac{Z_C}{R+Z_C}=\frac{1}{1+j\omega RC},\qquad f_c=\frac{1}{2\pi RC},\qquad |H(f_c)|=\frac{1}{\sqrt2},\ \angle H(f_c)=-45^\circ H ( jω ) = V i V o = R + Z C Z C = 1 + jω RC 1 , f c = 2 π RC 1 , ∣ H ( f c ) ∣ = 2 1 , ∠ H ( f c ) = − 4 5 ∘ Z9 Balanced three-phase set เฟสเซอร์สามเฟสสมดุล V a = V ∠ 0 ∘ , V b = V ∠ − 120 ∘ , V c = V ∠ 120 ∘ , V a + V b + V c = 0 , V a b = 3 V ∠ 30 ∘ \mathbf V_a=V\angle0^\circ,\ \mathbf V_b=V\angle-120^\circ,\ \mathbf V_c=V\angle120^\circ,\qquad \mathbf V_a+\mathbf V_b+\mathbf V_c=\mathbf 0,\qquad \mathbf V_{ab}=\sqrt3\,V\angle30^\circ V a = V ∠ 0 ∘ , V b = V ∠ − 12 0 ∘ , V c = V ∠12 0 ∘ , V a + V b + V c = 0 , V ab = 3 V ∠3 0 ∘
ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue
วิธีตรวจคำตอบที่ใช้ได้ทุกบท
วาดก่อนคำนวณ — ลูกศรคร่าว ๆ บอกเครื่องหมายขององค์ประกอบและควอดแรนต์ล่วงหน้าสองวิธีต้องตรงกัน — ตรีโกณมิติ (กฎไซน์-โคไซน์) กับองค์ประกอบ หรือรูปเชิงขั้วกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากตรวจขอบเขต — ∣ F 1 − F 2 ∣ ≤ R ≤ F 1 + F 2 |F_1-F_2|\le R\le F_1+F_2 ∣ F 1 − F 2 ∣ ≤ R ≤ F 1 + F 2 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 det R = 1 \det R=1 det R = 1 ตรวจหน่วย — โมเมนต์ N·m, งาน J, สนาม N/C หรือ T, กำลัง W var VAตรวจด้วยแล็บ — ทุกตัวอย่างในชุดนี้ตั้งค่าในแล็บได้ ตัวเลขต้องตรงกันเอกสารค้นคว้าต่อ
ต่อยอดจากเวกเตอร์
เขียนเวกเตอร์เป็นคอลัมน์แล้วต่อยอดสู่ พีชคณิตเชิงเส้น สมการสมดุลหลายตัวแปรแก้ด้วย ระบบสมการเชิงเส้น เฟสเซอร์ต่อยอดสู่ เพาเวอร์แฟกเตอร์ และ ระบบสามเฟส ส่วนแขนกลต่อยอดสู่ ระบบควบคุมหุ่นยนต์
คำถามที่พบบ่อย ควรเริ่มเรียนเวกเตอร์จากตรงไหน? เริ่มที่พื้นฐาน 2D/3D การบวกลบ และองค์ประกอบ แล้วเลือกเส้นทางตามสาขา: สายกลศาสตร์ไปต่อทิศทางโคไซน์ แรงลัพธ์ ระบบแรง และแขนกล สายไฟฟ้าไปต่อ Dot/Cross สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก sin/cos เฟสเซอร์ และวงจร AC ทุกหน้ามีแล็บให้ทดลองควบคู่
เวกเตอร์เกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับอย่างไร? สัญญาณไซน์ความถี่เดียวกันแทนได้ด้วยเวกเตอร์สองมิติที่เรียกว่าเฟสเซอร์ การบวกแรงดันหรือกระแส AC จึงเป็นการบวกเวกเตอร์ ใช้กฎโคไซน์เดียวกับการหาแรงลัพธ์ KVL และ KCL ของวงจร AC คือรูปหลายเหลี่ยมเวกเตอร์ที่ปิด
แล็บ 3 มิติใช้อย่างไร? ลากบนภาพเพื่อหมุนมุมมอง กดปุ่ม xy xz yz เพื่อมองจากบน หน้า ข้าง ปุ่ม ⟳ หมุนอัตโนมัติ และปรับแถบเลื่อนเพื่อเปลี่ยนค่า ตัวเลขด้านข้างแสดงวิธีคำนวณทีละขั้น สตูดิโอเวกเตอร์ยังส่งออกคำสั่งไป GeoGebra MATLAB และ Python ได้
Dot product กับ Cross product เลือกใช้อย่างไร? Dot product ให้สเกลาร์ ใช้หามุม งาน การฉาย และฟลักซ์ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉาก ใช้หาพื้นที่ โมเมนต์ แรงแม่เหล็ก F = IL × B และแรงบิดของมอเตอร์ τ = m × B
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →