พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. เวกเตอร์
  4. บวก ลบ และคูณสเกลาร์

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Vector operations

การบวก ลบเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์ใน 2D/3D

การรวมแรงจากหลายสายเคเบิล การหาความเร็วสัมพัทธ์ และการคำนวณตำแหน่งใหม่ของหุ่นยนต์ ใช้สามการดำเนินการพื้นฐานเดียวกัน: บวก ลบ และคูณสเกลาร์ เราจะเห็นจากภาพว่าลูกศรประกอบกันอย่างไร แล้วคำนวณทีละองค์ประกอบ พร้อมแยก “เวกเตอร์ผลลัพธ์” ออกจาก “ขนาดผลลัพธ์” ให้ชัด

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
บวกเวกเตอร์ลบเวกเตอร์คูณสเกลาร์ตัวอย่างวิศวกรรม
สรุปใน 30 วินาที
  • บวกหรือลบองค์ประกอบแกนเดียวกัน: (ax±bx,ay±by,az±bz)(a_x\pm b_x,a_y\pm b_y,a_z\pm b_z)
  • a−b=a+(−b)\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b): กลับทิศตัวที่ถูกลบ แล้วใช้กฎหัวต่อหาง
  • ca=(cax,cay,caz)c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z) และ ∥ca∥=∣c∣∥a∥\|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|
  • ต้องใช้กรอบแกนเดียวกัน หน่วยเข้ากัน และรวมองค์ประกอบก่อนหาขนาด

1. ก่อนคำนวณ: แกน หน่วย และชนิดของปริมาณ

เวกเตอร์ (3,4)(3,4) ที่วัดในแกนของเซนเซอร์อาจชี้คนละทิศกับ (3,4)(3,4) ในแกนของห้องทดลอง ถ้าจะรวมกันต้องแปลงเป็นกรอบเดียวกันก่อน นอกจากนี้แรงหน่วย N รวมกับแรงหน่วย N ได้ แต่รวมแรงกับความเร็ว m/s ไม่ได้ แม้ทั้งคู่มีองค์ประกอบสองตัว

สำหรับเวกเตอร์บนระนาบ xyxy เราฝังไว้ใน 3D ได้เป็น (ax,ay,0)(a_x,a_y,0) เมื่อบริบทกำหนดระนาบนั้นชัดเจน จึงรวมกับเวกเตอร์ 3D ได้อย่างมีความหมาย อย่าเติมองค์ประกอบ 0 โดยไม่ทราบว่าเวกเตอร์สองมิติเดิมอยู่ในระนาบใด ถ้าต้องทบทวนพิกัดและเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ให้เริ่มจาก พื้นฐานเวกเตอร์ 2D/3D

2. บวกเวกเตอร์: หัวต่อหางและสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นฐาน

เดินตาม a\mathbf a ก่อน แล้วเดินตาม b\mathbf b การกระจัดรวมคือ a+b\mathbf a+\mathbf b ภาพหัวต่อหาง (head-to-tail) วางหางของ b\mathbf b ที่หัวของ a\mathbf a โดยไม่หมุนหรือย่อขยาย ลูกศรผลบวกลากจากจุดเริ่มแรกไปจุดสุดท้าย ถ้าวางทั้งสองเวกเตอร์ให้มีหางร่วมกัน จะได้ผลบวกเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การบวกเวกเตอร์แบบหัวต่อหางและกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานเวกเตอร์ a เท่ากับ 3, 1 และ b เท่ากับ 1, 2 เมื่อวาง b ต่อที่ปลาย a จุดสุดท้ายเป็น 4, 3 ลูกศรผลบวกจากจุดเริ่มไปจุดสุดท้ายคือ a บวก b เส้นประแสดงอีกลำดับหนึ่งที่ให้จุดสุดท้ายเดียวกัน xyO a = (3, 1)ba + b(4, 3)ba เส้นทึบ: a แล้ว bเส้นประ: b แล้ว aa + b = (4, 3)จุดปลายตรงกันจึงสลับที่การบวกได้
เวกเตอร์ย้ายขนานได้โดยขนาดและทิศคงเดิม การเดินคนละลำดับยังลงท้ายที่จุดเดียวกัน

V1 Component-wise addition บวกทีละองค์ประกอบ

a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz),R=∑k=1nFk\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z),\qquad \mathbf R=\sum_{k=1}^{n}\mathbf F_k

ใน 2D ใช้เฉพาะ x,yx,y การรวมหลายเวกเตอร์ใช้ Rx=∑FkxR_x=\sum F_{kx}, Ry=∑FkyR_y=\sum F_{ky}, Rz=∑FkzR_z=\sum F_{kz} แล้วค่อยหาขนาด

V2 Properties of vector addition สมบัติของการบวก

a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=a,a+(−a)=0\mathbf a+\mathbf b=\mathbf b+\mathbf a,\quad(\mathbf a+\mathbf b)+\mathbf c=\mathbf a+(\mathbf b+\mathbf c),\quad\mathbf a+\mathbf0=\mathbf a,\quad\mathbf a+(-\mathbf a)=\mathbf0

พิสูจน์ได้จากการใช้สมบัติของจำนวนจริงในแต่ละองค์ประกอบ การหาผลรวมแรงสลับลำดับได้ แต่จุดกระทำของแรงยังสำคัญเมื่อพิจารณาโมเมนต์ต่อวัตถุ

ตัวอย่าง V-1 · แรงลัพธ์สองมิติ

แรงสองแรงที่จุดเดียวกันเป็น F1=(120,−40)\mathbf F_1=(120,-40) N และ F2=(−30,80)\mathbf F_2=(-30,80) N จงหาเวกเตอร์แรงลัพธ์ ขนาด และทิศ

  1. รวมแกน xx: Rx=120−30=90R_x=120-30=90 N รวมแกน yy: Ry=−40+80=40R_y=-40+80=40 N จึงได้ R=(90,40)\mathbf R=(90,40) N

  2. คำนวณขนาดหลังรวมองค์ประกอบ: R=902+402=9700=1097≈98.489R=\sqrt{90^2+40^2}=\sqrt{9700}=10\sqrt{97}\approx98.489 N

  3. องค์ประกอบทั้งสองเป็นบวก จึงอยู่ควอดแรนต์ I: θ=atan2⁡(40,90)≈23.962∘\theta=\operatorname{atan2}(40,90)\approx23.962^\circ จาก +x ทวนเข็มนาฬิกา

  4. ตรวจคร่าว ๆ: แรงลัพธ์ชี้ขวาและขึ้น ขนาดเล็กกว่า ∥F1∥+∥F2∥\|\mathbf F_1\|+\|\mathbf F_2\| เพราะสองแรงไม่ได้ชี้ทิศเดียวกัน

R=(90,40)\mathbf R=(90,40) N · R≈98.489R\approx98.489 N · θ≈23.962∘\theta\approx23.962^\circ

3. ลบเวกเตอร์: กลับทิศก่อนบวก พื้นฐาน

จำนวนลบของเวกเตอร์ −b-\mathbf b มีความยาวเท่าเดิม แต่ชี้สวนทาง ดังนั้น a−b\mathbf a-\mathbf b เท่ากับเดินตาม −b-\mathbf b และ a\mathbf a ต่อกัน ถ้าวาง a\mathbf a กับ b\mathbf b ให้หางอยู่ที่จุดเดียวกัน ลูกศรจากหัวของ b ไปหัวของ a คือผลต่าง a−b\mathbf a-\mathbf b

V3 Vector subtraction การลบเวกเตอร์

−b=(−bx,−by,−bz),a−b=a+(−b)=(ax−bx,ay−by,az−bz)-\mathbf b=(-b_x,-b_y,-b_z),\qquad \mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)

ทั่วไป a−b≠b−a\mathbf a-\mathbf b\ne\mathbf b-\mathbf a แต่ b−a=−(a−b)\mathbf b-\mathbf a=-(\mathbf a-\mathbf b) และผลต่างสองทิศมีขนาดเท่ากัน

ความหมายของผลต่างเวกเตอร์เวกเตอร์ a จากจุดกำเนิดไป 4, 1 และ b ไป 1, 3 ลูกศรจากปลาย b ไปปลาย a คือ a ลบ b เท่ากับ 3, ลบ 2 xyO a = (4, 1)b(1, 3)(4, 1)a − b จากหัว b ไปหัว a(4 − 1, 1 − 3)= (3, −2)ไปขวา 3 ลง 2
ผลต่างจากหัว b ไปหัว a: ปลายลบต้นให้ (4,1)−(1,3)=(3,−2)(4,1)-(1,3)=(3,-2)
ตัวอย่าง V-2 · ความเร็วสัมพัทธ์ของรถตรวจสอบ

ในกรอบพื้น รถ A มี vA=(12,3)\mathbf v_A=(12,3) m/s และรถ B มี vB=(5,−1)\mathbf v_B=(5,-1) m/s จงหาความเร็วของ A ที่ผู้สังเกตบน B เห็น

  1. ภายใต้กรอบที่เลื่อนที่โดยไม่หมุน ใช้ vA/B=vA−vB\mathbf v_{A/B}=\mathbf v_A-\mathbf v_B โดยความเร็วทั้งคู่ต้องอยู่ในแกนเดียวกัน

  2. ลบองค์ประกอบ: vA/B=(12−5,3−(−1))=(7,4)\mathbf v_{A/B}=(12-5,3-(-1))=(7,4) m/s

  3. อัตราเร็วสัมพัทธ์ 72+42=65≈8.062\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}\approx8.062 m/s ไม่ใช่ ∥vA∥−∥vB∥\|\mathbf v_A\|-\|\mathbf v_B\|

vA/B=(7,4)\mathbf v_{A/B}=(7,4) m/s · ถ้าเปลี่ยนเป็น B เทียบกับ A จะได้ (−7,−4)(-7,-4) m/s

ถ้ากรอบผู้สังเกตหมุน

การลบความเร็วอย่างเดียวไม่พอ ต้องรวมการเปลี่ยนกรอบและเทอมจากการหมุน เช่น ω×r\boldsymbol\omega\times\mathbf r ตามสมการการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ รายละเอียดเชิงกายภาพเชื่อมกับ cross product

4. คูณด้วยสเกลาร์: ย่อ ขยาย กลับทิศ พื้นฐาน

ถ้า c>0c>0 เวกเตอร์ cac\mathbf a ชี้ทิศเดิม ถ้า c<0c<0 ชี้สวนทาง ขนาดใหม่คือ ∣c∣|c| เท่าของขนาดเดิม ถ้า c=0c=0 ได้เวกเตอร์ศูนย์ ตัวอย่าง 0.5a0.5\mathbf a ยาวครึ่งหนึ่ง ส่วน −2a-2\mathbf a ยาวสองเท่าและกลับทิศ

V4 Scalar multiplication คูณทุกองค์ประกอบด้วยสเกลาร์

ca=(cax,cay,caz),∥ca∥=∣c∣∥a∥c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z),\qquad \|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|

ใช้ค่าสัมบูรณ์เมื่อหาขนาด ถ้า cc มีหน่วย หน่วยผลลัพธ์คูณกันด้วย เช่น mam\mathbf a มีหน่วย kg·m/s² = N เมื่อ mm เป็นมวลและ a\mathbf a เป็นความเร่ง

V5 Distributive laws and linear combinations การแจกแจงและผลรวมเชิงเส้น

c(a+b)=ca+cb,(c+d)a=ca+da,c(da)=(cd)a,w=ca+dbc(\mathbf a+\mathbf b)=c\mathbf a+c\mathbf b,\qquad(c+d)\mathbf a=c\mathbf a+d\mathbf a,\qquad c(d\mathbf a)=(cd)\mathbf a,\qquad\mathbf w=c\mathbf a+d\mathbf b

นิพจน์สุดท้ายเรียกผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ตรวจหน่วยของทุกพจน์ให้เหมือนกันก่อนรวม สเกลาร์ทั้งสองอาจมีค่าต่างกันและติดลบได้

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์บวกและลบลูกศร a ไปทางขวายาวหนึ่งหน่วย ลูกศรครึ่ง a ทิศเดิมยาวครึ่งหนึ่ง ลูกศรลบสอง a ชี้ซ้ายยาวสองเท่า a 0.5a −2a ขนาดเดิมครึ่งหนึ่ง ทิศเดิมสองเท่า ทิศตรงข้าม
ขนาดเปลี่ยนด้วย ∣c∣|c| ส่วนเครื่องหมายของ cc กำหนดว่าจะคงทิศหรือกลับทิศ
ตัวอย่าง V-3 · ผลรวมเชิงเส้นสามมิติ

ให้ a=(2,−1,3)\mathbf a=(2,-1,3), b=(−1,4,2)\mathbf b=(-1,4,2) จงหา 2a−3b2\mathbf a-3\mathbf b

  1. คูณเข้าทุกองค์ประกอบ: 2a=(4,−2,6)2\mathbf a=(4,-2,6), 3b=(−3,12,6)3\mathbf b=(-3,12,6)

  2. ลบทีละแกน: (4−(−3),−2−12,6−6)=(7,−14,0)(4-(-3),-2-12,6-6)=(7,-14,0)

  3. ตรวจด้วยการแจกแจงตรง: 2(2)−3(−1)=72(2)-3(-1)=7, 2(−1)−3(4)=−142(-1)-3(4)=-14, 2(3)−3(2)=02(3)-3(2)=0

  4. ถ้าถามขนาดด้วย จะได้ 72+(−14)2=245=75≈15.652\sqrt{7^2+(-14)^2}=\sqrt{245}=7\sqrt5\approx15.652

2a−3b=(7,−14,0)2\mathbf a-3\mathbf b=(7,-14,0) · องค์ประกอบ z หักล้างกันพอดี

5. ทำไมขนาดผลบวกไม่เท่ากับผลบวกของขนาด?

เวกเตอร์ (3,0)(3,0) และ (0,4)(0,4) มีขนาด 3 และ 4 แต่ผลบวก (3,4)(3,4) ยาว 5 การนำ 3 + 4 = 7 เป็นแรงลัพธ์จึงผิด เพราะข้อมูลทิศทางหายไป ถ้าสองเวกเตอร์ชี้ทิศเดียวกันจึงบวกขนาดได้ตรง ๆ ถ้าชี้ตรงข้าม ขนาดต่างกันจะหักล้างกัน

V6 Triangle and reverse triangle inequalities ขอบเขตของขนาดผลบวก

∣∥a∥−∥b∥∣≤∥a+b∥≤∥a∥+∥b∥\big|\|\mathbf a\|-\|\mathbf b\|\big|\le\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\|

ขอบบนเกิดเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ขอบล่างเกิดเมื่อชี้ตรงข้าม หากเวกเตอร์ใดเป็นศูนย์ทั้งสองขอบเท่ากัน ใช้ตรวจคำตอบแรงลัพธ์ได้ทันที

V7 Magnitude from the included angle ขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์

∥a+b∥=a2+b2+2abcos⁡θ,∥a−b∥=a2+b2−2abcos⁡θ\|\mathbf a+\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta},\qquad\|\mathbf a-\mathbf b\|=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\theta}

a=∥a∥a=\|\mathbf a\|, b=∥b∥b=\|\mathbf b\|; θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์เมื่อวางหางร่วมกัน ถ้าตัวใดเป็นศูนย์ มุมไม่กำหนดแต่ใช้สูตรองค์ประกอบหาขนาดได้ ดูที่มาจาก dot product

ตรวจกรณีสำคัญ: θ=0∘\theta=0^\circ ได้ a+ba+b; θ=90∘\theta=90^\circ ได้ a2+b2\sqrt{a^2+b^2}; θ=180∘\theta=180^\circ ได้ ∣a−b∣|a-b| อย่าสับสนมุมระหว่างลูกศรหางร่วมกับมุมภายในสามเหลี่ยมหัวต่อหาง ซึ่งอาจเป็นมุมเสริมกัน

ต่อยอด: กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

สูตรขนาดผลบวกจากมุมระหว่างเวกเตอร์คือกฎของโคไซน์ ส่วนทิศของผลบวกหาด้วยกฎของไซน์ ดูวิธีใช้แบบวิศวกร กรณีมุมป้าน การแตกแรงตามแนวเฉียง และโต๊ะแรงเสมือนใน แรงลัพธ์ด้วยกฎไซน์-โคไซน์

6. ใช้จริง: แรงสมดุล การเคลื่อนที่ และ interpolation กลาง

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงว่าพีชคณิตเวกเตอร์เป็นเครื่องมืออ่านสถานการณ์ทางกายภาพ ไม่ใช่เพียงการจับตัวเลขใส่วงเล็บ แต่ละตัวอย่างจึงระบุว่าเวกเตอร์แทนอะไรและมีสมมติฐานใด

V8 Force balance for a particle สมดุลแรงของอนุภาค

∑kFk=0  ⟺  ∑kFkx=0, ∑kFky=0, ∑kFkz=0;Fbalance=−∑kFk\sum_k\mathbf F_k=\mathbf0\iff\sum_k F_{kx}=0,\ \sum_k F_{ky}=0,\ \sum_k F_{kz}=0;\qquad\mathbf F_{\rm balance}=-\sum_k\mathbf F_k

ใช้กับอนุภาคหรือแรงที่กระทำร่วมจุดเดียวกัน สำหรับวัตถุแข็งต้องตรวจ ∑τ=0\sum\boldsymbol\tau=\mathbf0 เพิ่มเติมด้วย แรงลัพธ์ศูนย์เพียงอย่างเดียวไม่ได้รับประกันว่าไม่หมุน

ตัวอย่าง V-4 · แรงที่ต้องเพิ่มเพื่อให้ห่วงอยู่สมดุล

แรงทั้งหมดที่ห่วงร่วมจุดเป็น F1=(200,100,300)\mathbf F_1=(200,100,300) N, F2=(−50,150,−100)\mathbf F_2=(-50,150,-100) N และน้ำหนัก W=(0,0,−400)\mathbf W=(0,0,-400) N ต้องเพิ่มแรงใด?

  1. กำหนด +z+z ขึ้น น้ำหนักจึงมีองค์ประกอบ z ติดลบ รวมแรงเดิม R=(200−50+0,100+150+0,300−100−400)=(150,250,−200)\mathbf R=(200-50+0,100+150+0,300-100-400)=(150,250,-200) N

  2. แรงสมดุลต้องตรงข้ามกับผลรวม: F3=−R=(−150,−250,200)\mathbf F_3=-\mathbf R=(-150,-250,200) N

  3. ขนาด ∥F3∥=1502+2502+2002=125000=2502≈353.553\|\mathbf F_3\|=\sqrt{150^2+250^2+200^2}=\sqrt{125000}=250\sqrt2\approx353.553 N

  4. ตรวจสมดุลทั้งสามแกน: 150−150=0150-150=0, 250−250=0250-250=0, −200+200=0-200+200=0 หากใช้สายเคเบิล แรงนี้ต้องมีทิศเข้าหาจุดยึดจริงและสายรับได้เฉพาะแรงดึง

ต้องเพิ่มแรง (−150,−250,200)(-150,-250,200) N ขนาด 353.553353.553 N ณ จุดร่วมเดียวกัน

ตัวอย่าง V-5 · ตำแหน่งรถอัตโนมัติเมื่อความเร่งคงที่

กำหนด r0=(1,2)\mathbf r_0=(1,2) m, v0=(3,−1)\mathbf v_0=(3,-1) m/s และ a=(0,2)\mathbf a=(0,2) m/s² คงที่ จงหา r,v\mathbf r,\mathbf v ที่ t=2t=2 s

  1. ใช้สมการคงความเร่งในกรอบเฉื่อยเดียวกัน: v=v0+ta\mathbf v=\mathbf v_0+t\mathbf a และ r=r0+tv0+12t2a\mathbf r=\mathbf r_0+t\mathbf v_0+\tfrac12t^2\mathbf a

  2. ta=2(0,2)=(0,4)t\mathbf a=2(0,2)=(0,4) m/s จึงได้ v=(3,−1)+(0,4)=(3,3)\mathbf v=(3,-1)+(0,4)=(3,3) m/s

  3. tv0=(6,−2)t\mathbf v_0=(6,-2) m และ 12t2a=2(0,2)=(0,4)\tfrac12t^2\mathbf a=2(0,2)=(0,4) m จึงได้ r=(1,2)+(6,−2)+(0,4)=(7,4)\mathbf r=(1,2)+(6,-2)+(0,4)=(7,4) m

  4. ตรวจด้วยสมการรายแกน: x=1+3(2)=7x=1+3(2)=7, y=2−1(2)+12(2)(22)=4y=2-1(2)+\tfrac12(2)(2^2)=4 การกระจัดเป็น (6,2)(6,2) m ซึ่งต่างจากตำแหน่ง (7,4)(7,4) m

ที่ 2 s ตำแหน่ง (7,4)(7,4) m และความเร็ว (3,3)(3,3) m/s · ทุกพจน์ในสมการตำแหน่งมีหน่วย m

V9 Linear interpolation between points จุดบนส่วนของเส้นตรง

r(t)=(1−t)rA+trB=rA+t(rB−rA),0≤t≤1\mathbf r(t)=(1-t)\mathbf r_A+t\mathbf r_B=\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A),\qquad0\le t\le1

tt ในสูตรนี้เป็นพารามิเตอร์ไร้หน่วย ไม่ใช่เวลาโดยอัตโนมัติ t=0t=0 ได้ A, t=1t=1 ได้ B; ถ้าอยู่นอกช่วงนี้เป็น extrapolation บนเส้นตรงเดียวกัน ผลรวมค่าน้ำหนักเท่ากับ 1 จึงใช้กับตำแหน่งได้โดยไม่ขึ้นกับการเลื่อนจุดกำเนิด

ตัวอย่าง V-6 · กำหนด waypoint ให้แขนหุ่นยนต์

จาก A=(1,−2,0)A=(1,-2,0) m ไป B=(5,2,8)B=(5,2,8) m ต้องการจุดที่เดินทางไปแล้ว 25% ของระยะตรง

  1. การกระจัด rB−rA=(4,4,8)\mathbf r_B-\mathbf r_A=(4,4,8) m เลือกพารามิเตอร์ t=0.25t=0.25

  2. r(0.25)=(1,−2,0)+0.25(4,4,8)=(1,−2,0)+(1,1,2)=(2,−1,2)\mathbf r(0.25)=(1,-2,0)+0.25(4,4,8)=(1,-2,0)+(1,1,2)=(2,-1,2) m

  3. ตรวจระยะ: จาก A ไป waypoint ยาว 1+1+4=6\sqrt{1+1+4}=\sqrt6 m ส่วน AB ยาว 16+16+64=46\sqrt{16+16+64}=4\sqrt6 m อัตราส่วนเท่ากับ 1/4

waypoint คือ (2,−1,2)(2,-1,2) m · สูตรระบุตำแหน่งบนเส้นตรง ส่วนความเร็วและความเร่งต้องออกแบบแยกต่างหาก

งานที่มีมุมระหว่างแรง การแยกแรงตามแนวเอียง งาน และกำลัง ใช้ dot product ส่วนโมเมนต์ ความเร็วจากการหมุน และแรงแม่เหล็ก ใช้ cross product ตัวอย่างต่อเนื่องอยู่ใน การประยุกต์ทางวิศวกรรม

7. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจคำตอบ

ข้อผิดพลาดตัวอย่าง/วิธีแก้
รวมขนาดแทนรวมเวกเตอร์(3,0)+(0,4)=(3,4)(3,0)+(0,4)=(3,4) ขนาด 5 ไม่ใช่ 7
ลบจำนวนลบแล้วเครื่องหมายผิด3−(−1)=43-(-1)=4; เขียนวงเล็บก่อนแทนค่า
คูณสเกลาร์แค่องค์ประกอบเดียว2(1,−3,4)=(2,−6,8)2(1,-3,4)=(2,-6,8) ต้องคูณทั้งสามตัว
ใช้ cc แทน ∣c∣|c| ในสูตรขนาด∥−2a∥=2∥a∥\|-2\mathbf a\|=2\|\mathbf a\| ขนาดไม่ติดลบ
คิดว่าผลต่างสลับที่ได้b−a=−(a−b)\mathbf b-\mathbf a=-(\mathbf a-\mathbf b)
บวกเวกเตอร์ต่างกรอบแกนหมุนองค์ประกอบสู่กรอบเดียวกันก่อน ดู การเปลี่ยนฐาน
เห็นแรงรวมศูนย์แล้วสรุปวัตถุแข็งสมดุลทั้งหมดต้องตรวจโมเมนต์รวมด้วย แรงคู่ควบอาจทำให้หมุน
เขียน “คูณเวกเตอร์” โดยไม่ระบุชนิดคูณสเกลาร์ให้เวกเตอร์; dot ให้สเกลาร์; cross ใน 3D ให้เวกเตอร์ ทั้งสามต่างกัน
ตรวจคำตอบสี่ข้อ

องค์ประกอบตรงกับทิศที่วาดหรือไม่? ทุกพจน์มีหน่วยเดียวกันหรือไม่? ขนาดผลบวกอยู่ในขอบเขต V6 หรือไม่? ถ้าบวกตัวตรงข้ามกลับเข้าไป ได้เวกเตอร์ต้นหรือไม่?

8. สรุปสูตรบวก ลบ และคูณสเกลาร์

การดำเนินการสูตรภาพ/การใช้งาน
V1 บวกa+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)หัวต่อหาง · รวมแรง
V3 ลบa−b=(ax−bx,ay−by,az−bz)\mathbf a-\mathbf b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)จากหัว b ไปหัว a · ความเร็วสัมพัทธ์
V4 คูณสเกลาร์ca=(cax,cay,caz)c\mathbf a=(ca_x,ca_y,ca_z)ย่อ ขยาย หรือกลับทิศ
V4 ขนาดหลังคูณ∥ca∥=∣c∣∥a∥\|c\mathbf a\|=|c|\|\mathbf a\|ตรวจขนาดไม่ติดลบ
V7 ขนาดผลบวกa2+b2+2abcos⁡θ\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\theta}รู้ขนาดและมุมระหว่างเวกเตอร์
V8 แรงสมดุลFbalance=−∑Fk\mathbf F_{\rm balance}=-\sum\mathbf F_kอนุภาคหรือแรงร่วมจุด
V9 จุดระหว่าง A และ BrA+t(rB−rA)\mathbf r_A+t(\mathbf r_B-\mathbf r_A)0≤t≤10\le t\le1, waypoint บนส่วนเส้นตรง

9. แบบฝึกเพื่อเช็กความเข้าใจ

  1. ให้ a=(3,−2)\mathbf a=(3,-2), b=(−1,5)\mathbf b=(-1,5) หา a+b\mathbf a+\mathbf b, a−b\mathbf a-\mathbf b, −2a-2\mathbf a
  2. ให้ p=(1,2,−2)\mathbf p=(1,2,-2), q=(3,0,1)\mathbf q=(3,0,1) หา 3p+2q3\mathbf p+2\mathbf q และขนาด
  3. แรงร่วมจุด (40,0)(40,0) N กับ (0,30)(0,30) N ต้องเพิ่มแรงใดจึงสมดุล? ขนาดเท่าไร?
  4. เวกเตอร์ยาว 5 และ 8 ทำมุม 60° กัน ผลบวกมีขนาดเท่าไร? ถ้ากลับทิศตัวหลัง ขนาดใหม่เท่าไร?
  5. หา midpoint ระหว่าง A=(2,0,−1)A=(2,0,-1) กับ B=(6,4,3)B=(6,4,3)
เปิดเฉลยพร้อมวิธีตรวจ
  1. ผลบวก (2,3)(2,3); ผลต่าง (4,−7)(4,-7); −2a=(−6,4)-2\mathbf a=(-6,4) ตรวจว่าตัวสุดท้ายขนาดเป็นสองเท่าและกลับทิศ
  2. 3p+2q=(3,6,−6)+(6,0,2)=(9,6,−4)3\mathbf p+2\mathbf q=(3,6,-6)+(6,0,2)=(9,6,-4); ขนาด 81+36+16=133≈11.533\sqrt{81+36+16}=\sqrt{133}\approx11.533
  3. แรงลัพธ์ (40,30)(40,30) N จึงเพิ่ม (−40,−30)(-40,-30) N ขนาด 50 N
  4. ผลบวก 25+64+2(5)(8)cos⁡60∘=129≈11.358\sqrt{25+64+2(5)(8)\cos60^\circ}=\sqrt{129}\approx11.358; กลับทิศตัวหลังได้ผลต่างขนาด 25+64−40=7\sqrt{25+64-40}=7 ทั้งสองอยู่ระหว่าง 3 กับ 13
  5. ใช้ t=0.5t=0.5: (A+B)/2=(4,2,1)(A+B)/2=(4,2,1); การกระจัดจาก A ถึง midpoint เป็นครึ่งของ B−AB-A

เปิด Vector Lab ทดลองให้สองเวกเตอร์ชี้ทิศเดียวกัน ตั้งฉาก และตรงข้าม แล้วเปรียบเทียบขนาดกับสูตรก่อนดูคำตอบ

10. เอกสารอ้างอิงและอ่านต่อ

ไปต่อที่ components และ projection เพื่อแยกแรงตามแนวเอียง ต่อด้วย dot product สำหรับมุม งาน และกำลัง และ cross product สำหรับโมเมนต์และการหมุน ก่อนรวมทุกเครื่องมือใน ตัวอย่างวิศวกรรม ดูสารบัญและสูตรทั้งหมดที่ หน้าหลักพีชคณิตเวกเตอร์

คำถามที่พบบ่อย

บวกเวกเตอร์ 2D และ 3D อย่างไร?

เมื่อเวกเตอร์อยู่ในกรอบแกนเดียวกันและมีหน่วยเดียวกัน ให้บวกองค์ประกอบที่ตรงกัน เช่น (ax, ay, az) + (bx, by, bz) = (ax + bx, ay + by, az + bz) ภาพเรขาคณิตใช้กฎหัวต่อหางหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลบเวกเตอร์หมายความว่าอย่างไร?

a − b คือ a + (−b) โดย −b มีขนาดเท่า b แต่กลับทิศ ถ้าวาง a และ b ที่จุดต้นเดียวกัน ลูกศรจากปลาย b ไปปลาย a คือ a − b

คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ติดลบเกิดอะไรขึ้น?

สเกลาร์ติดลบกลับทิศเวกเตอร์และปรับขนาดด้วยค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ เช่น −2a มีทิศตรงข้าม a และยาวเป็นสองเท่า ถ้าคูณด้วยศูนย์จะได้เวกเตอร์ศูนย์

ขนาดผลบวกเท่ากับผลบวกของขนาดไหม?

ไม่เสมอไป ขนาดของ a + b ไม่เกินขนาด a บวกขนาด b และจะเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ชี้ทิศเดียวกัน ถ้าชี้สวนกันบางส่วนจะหักล้างกัน

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์