หน้าแรก คลังความรู้ พีชคณิตเชิงเส้น การประยุกต์ ไฟฟ้า · เครื่องกล · โยธา Linear Algebra // บทที่ 7.8 · พีชคณิตเชิงเส้น · Engineering Applications
การประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา
ทุกครั้งที่วิศวกรมีหลายสิ่งที่ผูกกันเป็นเครือข่าย ไม่ว่าจะเป็นโนดในวงจร บัสในระบบไฟฟ้า มวลในเครื่องจักร จุดต่อในโครงถัก หรือหมุดในงานสำรวจ ผลลัพธ์คือระบบสมการเชิงเส้น หน้านี้รวบรวมงานจริงจากสามสาขาที่ใช้เครื่องมือในชุดนี้ทั้งหมด: การลดแถว อินเวอร์ส ค่าเฉพาะ และกำลังสองน้อยสุด พร้อมแล็บโครงถักและแล็บโหมดการสั่นให้ลองเปลี่ยนค่าเอง สูตรใช้รหัส G
สรุปใน 30 วินาที
เครือข่าย + สมดุลทุกจุด = A x = b A\mathbf x = \mathbf b A x = b
เมทริกซ์ความนำ G = A Y A T G = AYA^T G = A Y A T K = A T k A K = A^TkA K = A T k A
การสั่น: ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 (K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = 0 ( K − ω 2 M ) ϕ = 0
ข้อมูลเกิน: A T A x ^ = A T b A^TA\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b A T A x ^ = A T b
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
วิศวกรรมไฟฟ้า: เมทริกซ์อุบัติการณ์ การไหลของกำลัง และการสอบเทียบ กลาง
หน้าประยุกต์ในวิศวกรรมไฟฟ้า มีเมช โนด เฟสเซอร์ สองพอร์ต และ Y-bus ครบแล้ว หัวข้อนี้เพิ่มมุมมองที่เป็นระบบที่สุด คือเขียนวงจรทั้งวงด้วยเมทริกซ์อุบัติการณ์ ซึ่งเป็นวิธีที่โปรแกรมจำลองวงจรอย่าง SPICE ใช้จริง
G1 Incidence matrix formulation
KCL: A i = 0 , KVL: v = A T e , i = Y v + j s ⇒ A Y A T ⏟ G e = − A j s \text{KCL: } A\mathbf i = \mathbf 0,\quad \text{KVL: } \mathbf v = A^T\mathbf e,\quad \mathbf i = Y\mathbf v + \mathbf j_s \ \Rightarrow\ \underbrace{AYA^T}_{G}\,\mathbf e = -A\mathbf j_s KCL: A i = 0 , KVL: v = A T e , i = Y v + j s ⇒ G A Y A T e = − A j s A A A Y Y Y e \mathbf e e
G2 DC power flow
P = B ′ θ , P i j = θ i − θ j X i j \mathbf P = B'\boldsymbol\theta,\qquad P_{ij} = \frac{\theta_i - \theta_j}{X_{ij}} P = B ′ θ , P ij = X ij θ i − θ j ประมาณจากสมการโหลดโฟลว์จริง (แรงดัน 1 pu, ไม่คิด R, มุมเล็ก) ใช้วางแผนระบบส่งและวิเคราะห์ความมั่นคง N−1
G3 Least squares
min ∥ A x − b ∥ 2 ⇒ A T A x ^ = A T b \min\|A\mathbf x - \mathbf b\|^2 \Rightarrow A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b min ∥ A x − b ∥ 2 ⇒ A T A x ^ = A T b
ตัวอย่าง G-1 · สร้าง G = AYAᵀ แหล่งกระแส 2 A ป้อนโนด 1 · กิ่ง: G a = 1 G_a = 1 G a = 1 G b = 0.5 G_b = 0.5 G b = 0.5 G c = 0.25 G_c = 0.25 G c = 0.25 ลองในเครื่องคิดเลข
เมทริกซ์อุบัติการณ์ (แถว = โนด 1, 2 · หลัก = กิ่ง a, b, c โดยกำหนดทิศกระแสจากโนดเลขน้อยไปมาก/กราวด์)
A = [ 1 1 0 0 − 1 1 ] , Y = diag ( 1 , 0.5 , 0.25 ) A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix},\quad Y = \operatorname{diag}(1,\ 0.5,\ 0.25) A = [ 1 0 1 − 1 0 1 ] , Y = diag ( 1 , 0.5 , 0.25 ) G = A Y A T = [ 1 + 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 + 0.25 ] = [ 1.5 − 0.5 − 0.5 0.75 ] G = AYA^T = \begin{bmatrix} 1 + 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 + 0.25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.75 \end{bmatrix} G = A Y A T = [ 1 + 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 + 0.25 ] = [ 1.5 − 0.5 − 0.5 0.75 ] แก้ G e = i s = ( 2 , 0 ) G\mathbf e = \mathbf i_s = (2, 0) G e = i s = ( 2 , 0 ) det G = 0.875 \det G = 0.875 det G = 0.875
e 1 = 2 ( 0.75 ) 0.875 = 1.714 V , e 2 = 0.5 ( 2 ) 0.875 = 1.143 V e_1 = \frac{2(0.75)}{0.875} = 1.714\ \text{V},\qquad e_2 = \frac{0.5(2)}{0.875} = 1.143\ \text{V} e 1 = 0.875 2 ( 0.75 ) = 1.714 V , e 2 = 0.875 0.5 ( 2 ) = 1.143 V
e 1 = 1.714 e_1 = 1.714 e 1 = 1.714 e 2 = 1.143 e_2 = 1.143 e 2 = 1.143 A1
ตรวจ KCL โนด 2: 0.5 ( 1.714 − 1.143 ) = 0.286 = 0.25 ( 1.143 ) 0.5(1.714 - 1.143) = 0.286 = 0.25(1.143) 0.5 ( 1.714 − 1.143 ) = 0.286 = 0.25 ( 1.143 )
ตัวอย่าง G-2 · การไหลของกำลังแบบ DC ระบบ 3 บัส บัส 1 เป็นสแล็ก (θ₁ = 0) · X 12 = 0.1 , X 13 = 0.2 , X 23 = 0.25 X_{12} = 0.1,\ X_{13} = 0.2,\ X_{23} = 0.25 X 12 = 0.1 , X 13 = 0.2 , X 23 = 0.25 ลองในเครื่องคิดเลข
ตัดแถว-หลักของสแล็กออก B 22 ′ = 1 0.1 + 1 0.25 = 14 B'_{22} = \tfrac1{0.1} + \tfrac1{0.25} = 14 B 22 ′ = 0.1 1 + 0.25 1 = 14 B 33 ′ = 1 0.2 + 1 0.25 = 9 B'_{33} = \tfrac1{0.2} + \tfrac1{0.25} = 9 B 33 ′ = 0.2 1 + 0.25 1 = 9 B 23 ′ = − 4 B'_{23} = -4 B 23 ′ = − 4
[ 14 − 4 − 4 9 ] [ θ 2 θ 3 ] = [ − 0.8 − 0.6 ] \begin{bmatrix} 14 & -4 \\ -4 & 9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_2\\\theta_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.8\\-0.6\end{bmatrix} [ 14 − 4 − 4 9 ] [ θ 2 θ 3 ] = [ − 0.8 − 0.6 ] θ 2 = − 0.8 ( 9 ) − ( − 4 ) ( − 0.6 ) 110 = − 0.0873 , θ 3 = 14 ( − 0.6 ) − ( − 4 ) ( − 0.8 ) 110 = − 0.1055 rad \theta_2 = \frac{-0.8(9) - (-4)(-0.6)}{110} = -0.0873,\qquad \theta_3 = \frac{14(-0.6) - (-4)(-0.8)}{110} = -0.1055\ \text{rad} θ 2 = 110 − 0.8 ( 9 ) − ( − 4 ) ( − 0.6 ) = − 0.0873 , θ 3 = 110 14 ( − 0.6 ) − ( − 4 ) ( − 0.8 ) = − 0.1055 rad P 12 = 0 + 0.0873 0.1 = 0.873 , P 13 = 0.1055 0.2 = 0.527 , P 23 = − 0.0873 + 0.1055 0.25 = 0.073 pu P_{12} = \frac{0 + 0.0873}{0.1} = 0.873,\quad P_{13} = \frac{0.1055}{0.2} = 0.527,\quad P_{23} = \frac{-0.0873 + 0.1055}{0.25} = 0.073\ \text{pu} P 12 = 0.1 0 + 0.0873 = 0.873 , P 13 = 0.2 0.1055 = 0.527 , P 23 = 0.25 − 0.0873 + 0.1055 = 0.073 pu
สแล็กจ่าย 1.4 pu แยกไปสายต่าง ๆ ตามความต้านทานไฟฟ้าจินตภาพ ไม่ใช่เส้นทางที่สั้นที่สุด
ตรวจบัส 2: เข้า 0.873 − ออก 0.073 = 0.8 ✓ · บัส 3: 0.527 + 0.073 = 0.6 ✓
ตัวอย่าง G-3 · สอบเทียบเทอร์โมคัปเปิลด้วยกำลังสองน้อยสุด อุณหภูมิ 0, 25, 50, 75, 100 °C อ่านได้ 0.02, 1.02, 2.05, 3.03, 4.10 mV หาเส้นตรง y = a x + b y = ax + b y = a x + b
5 สมการ 2 ตัวไม่รู้ A = [ x i 1 ] A = \begin{bmatrix} x_i & 1\end{bmatrix} A = [ x i 1 ]
A T A = [ ∑ x 2 ∑ x ∑ x n ] = [ 18750 250 250 5 ] , A T y = [ 765.25 10.22 ] A^TA = \begin{bmatrix} \sum x^2 & \sum x \\ \sum x & n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18750 & 250 \\ 250 & 5\end{bmatrix},\quad A^T\mathbf y = \begin{bmatrix} 765.25 \\ 10.22\end{bmatrix} A T A = [ ∑ x 2 ∑ x ∑ x n ] = [ 18750 250 250 5 ] , A T y = [ 765.25 10.22 ] a = 5 ( 765.25 ) − 250 ( 10.22 ) 5 ( 18750 ) − 250 2 = 1271.25 31250 = 0.04068 , b = 10.22 − 250 a 5 = 0.010 a = \frac{5(765.25) - 250(10.22)}{5(18750) - 250^2} = \frac{1271.25}{31250} = 0.04068,\qquad b = \frac{10.22 - 250a}{5} = 0.010 a = 5 ( 18750 ) − 25 0 2 5 ( 765.25 ) − 250 ( 10.22 ) = 31250 1271.25 = 0.04068 , b = 5 10.22 − 250 a = 0.010
y = 0.04068 x + 0.010 y = 0.04068x + 0.010 y = 0.04068 x + 0.010
วิศวกรรมเครื่องกล: การสั่นหลายองศาอิสระและวิธีสติฟเนส ขั้นสูง
G4 Free vibration of MDOF systems
M x ¨ + K x = 0 , x = ϕ sin ω t ⇒ ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 , det ( K − ω 2 M ) = 0 M\ddot{\mathbf x} + K\mathbf x = \mathbf 0,\quad \mathbf x = \boldsymbol\phi\sin\omega t \ \Rightarrow\ (K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = \mathbf 0,\quad \det(K - \omega^2M) = 0 M x ¨ + K x = 0 , x = ϕ sin ω t ⇒ ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 , det ( K − ω 2 M ) = 0 ค่าเฉพาะ ω 2 \omega^2 ω 2 f = ω / 2 π f = \omega/2\pi f = ω /2 π ϕ \boldsymbol\phi ϕ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ
G5 Spring / bar element
k e = E A L [ 1 − 1 − 1 1 ] , K = ∑ e ( วาง k e ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง ) k_e = \frac{EA}{L}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix},\qquad K = \sum_e (\text{วาง } k_e \text{ ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง}) k e = L E A [ 1 − 1 − 1 1 ] , K = e ∑ ( วาง k e ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง )
G6 Stiffness equation
K u = F K\mathbf u = \mathbf F K u = F ตัดแถว-หลักของจุดยึดออกก่อนแก้ (K เต็มเป็นเอกฐานเพราะโครงสร้างลอยตัวได้) · เป็นหัวใจของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์
ตัวอย่าง G-4 · มวล-สปริง 2 องศาอิสระ m 1 = m 2 = 1 m_1 = m_2 = 1 m 1 = m 2 = 1 k 1 = k 2 = 100 k_1 = k_2 = 100 k 1 = k 2 = 100 k 1 k_1 k 1 m 1 m_1 m 1 k 2 k_2 k 2 m 2 m_2 m 2 ลองในเครื่องคิดเลข
K = [ k 1 + k 2 − k 2 − k 2 k 2 ] = [ 200 − 100 − 100 100 ] , M = I K = \begin{bmatrix} k_1 + k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 200 & -100 \\ -100 & 100\end{bmatrix},\quad M = I K = [ k 1 + k 2 − k 2 − k 2 k 2 ] = [ 200 − 100 − 100 100 ] , M = I det ( K − λ I ) = λ 2 − 300 λ + 10000 = 0 ⇒ λ = 150 ∓ 50 5 = 38.20 , 261.80 \det(K - \lambda I) = \lambda^2 - 300\lambda + 10000 = 0 \Rightarrow \lambda = 150 \mp 50\sqrt5 = 38.20,\ 261.80 det ( K − λ I ) = λ 2 − 300 λ + 10000 = 0 ⇒ λ = 150 ∓ 50 5 = 38.20 , 261.80 ω = λ \omega = \sqrt\lambda ω = λ ω 1 = 6.18 \omega_1 = 6.18 ω 1 = 6.18 ω 2 = 16.18 \omega_2 = 16.18 ω 2 = 16.18
รูปโหมดจากแถวแรก ( 200 − λ ) ϕ 1 = 100 ϕ 2 (200 - \lambda)\phi_1 = 100\phi_2 ( 200 − λ ) ϕ 1 = 100 ϕ 2 ϕ 1 = [ 1 , 1.618 ] \boldsymbol\phi_1 = [1,\ 1.618] ϕ 1 = [ 1 , 1.618 ] ϕ 2 = [ 1 , − 0.618 ] \boldsymbol\phi_2 = [1,\ -0.618] ϕ 2 = [ 1 , − 0.618 ]
โหมด 1: เคลื่อนทิศเดียวกัน มวลบนแกว่งมากกว่า 1.618 เท่า · โหมด 2: สวนทางกัน (อัตราส่วนทองคำปรากฏเพราะค่าเฉพาะมี √5)
ตัวอย่าง G-5 · ประกอบเมทริกซ์สติฟเนส แท่งสองท่อนต่ออนุกรม ยึดที่โนด 1 · k 1 = E A / L = 2000 k_1 = EA/L = 2000 k 1 = E A / L = 2000 k 2 = 1000 k_2 = 1000 k 2 = 1000
ประกอบ (G5)
K = [ 2000 − 2000 0 − 2000 3000 − 1000 0 − 1000 1000 ] K = \begin{bmatrix} 2000 & -2000 & 0 \\ -2000 & 3000 & -1000 \\ 0 & -1000 & 1000\end{bmatrix} K = 2000 − 2000 0 − 2000 3000 − 1000 0 − 1000 1000 ตัดแถว-หลักที่ 1 (u 1 = 0 u_1 = 0 u 1 = 0
[ 3000 − 1000 − 1000 1000 ] [ u 2 u 3 ] = [ 0 30 ] ⇒ u 2 = 0.015 , u 3 = 0.045 m \begin{bmatrix} 3000 & -1000 \\ -1000 & 1000\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_2\\u_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\30\end{bmatrix} \Rightarrow u_2 = 0.015,\ u_3 = 0.045\ \text{m} [ 3000 − 1000 − 1000 1000 ] [ u 2 u 3 ] = [ 0 30 ] ⇒ u 2 = 0.015 , u 3 = 0.045 m
ยืด 15 mm และ 45 mm · แรงในแท่ง: 2000 ( 0.015 ) = 30 2000(0.015) = 30 2000 ( 0.015 ) = 30 1000 ( 0.03 ) = 30 1000(0.03) = 30 1000 ( 0.03 ) = 30 30 / 0.045 = 667 30/0.045 = 667 30/0.045 = 667 ( 1 / k 1 + 1 / k 2 ) − 1 (1/k_1 + 1/k_2)^{-1} ( 1/ k 1 + 1/ k 2 ) − 1
แล็บโหมดการสั่น: มวล-สปริง และอาคาร 3 ชั้นแบบง่าย
ปรับมวลและความแข็งของสปริง แล็บจะแก้ det ( K − ω 2 M ) = 0 \det(K - \omega^2M) = 0 det ( K − ω 2 M ) = 0 M − 1 / 2 K M − 1 / 2 M^{-1/2}KM^{-1/2} M − 1/2 K M − 1/2
วิศวกรรมโยธา: โครงถัก งานระดับ และเครือข่ายจราจร กลาง
G7 Truss by the method of joints
∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 ทุกจุดต่อ ⇒ A f = b , m + r = 2 j ( ดีเทอร์มิเนตสถิต ) \sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0 \text{ ทุกจุดต่อ} \Rightarrow A\mathbf f = \mathbf b,\qquad m + r = 2j \ (\text{ดีเทอร์มิเนตสถิต}) ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 ทุกจุดต่อ ⇒ A f = b , m + r = 2 j ( ดีเทอร์มิเนตสถิต ) หลักของชิ้นส่วนมีโคไซน์แสดงทิศ ( cos θ , sin θ ) (\cos\theta, \sin\theta) ( cos θ , sin θ ) m + r > 2 j m + r > 2j m + r > 2 j
G8 Leveling adjustment
H j − H i = Δ h i j + v i j , min ∑ v 2 ⇒ A T A H ^ = A T b H_j - H_i = \Delta h_{ij} + v_{ij},\quad \min\sum v^2 \Rightarrow A^TA\hat{\mathbf H} = A^T\mathbf b H j − H i = Δ h ij + v ij , min ∑ v 2 ⇒ A T A H ^ = A T b
G9 Network flow balance
เข้า = ออก ทุกทางแยก ⇒ A x = b , rank A < n ⇒ มีตัวแปรอิสระ \text{เข้า} = \text{ออก ทุกทางแยก} \Rightarrow A\mathbf x = \mathbf b,\ \operatorname{rank}A < n \Rightarrow \text{มีตัวแปรอิสระ} เข้า = ออก ทุกทางแยก ⇒ A x = b , rank A < n ⇒ มีตัวแปรอิสระ
ตัวอย่าง G-6 · โครงถักสามเหลี่ยม
A(0,0) หมุด · C(6,0) ลูกกลิ้ง · B(3,4) รับแรง 10 kN ลง หาแรงในชิ้นส่วน
ทิศของ AB: ( 3 , 4 ) / 5 (3, 4)/5 ( 3 , 4 ) /5 ( 3 , − 4 ) / 5 (3, -4)/5 ( 3 , − 4 ) /5 ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 ) F A B , F B C , F A C , A x , A y , C y F_{AB}, F_{BC}, F_{AC}, A_x, A_y, C_y F A B , F BC , F A C , A x , A y , C y
จุด A: 0.6 F A B + F A C + A x = 0 0.6F_{AB} + F_{AC} + A_x = 0 0.6 F A B + F A C + A x = 0 0.8 F A B + A y = 0 0.8F_{AB} + A_y = 0 0.8 F A B + A y = 0 − 0.6 F A B + 0.6 F B C = 0 -0.6F_{AB} + 0.6F_{BC} = 0 − 0.6 F A B + 0.6 F BC = 0 − 0.8 F A B − 0.8 F B C = 10 -0.8F_{AB} - 0.8F_{BC} = 10 − 0.8 F A B − 0.8 F BC = 10 − 0.6 F B C − F A C = 0 -0.6F_{BC} - F_{AC} = 0 − 0.6 F BC − F A C = 0 0.8 F B C + C y = 0 0.8F_{BC} + C_y = 0 0.8 F BC + C y = 0
จากจุด B: F A B = F B C = − 6.25 F_{AB} = F_{BC} = -6.25 F A B = F BC = − 6.25 F A C = 3.75 F_{AC} = 3.75 F A C = 3.75 A y = C y = 5 A_y = C_y = 5 A y = C y = 5 A x = 0 A_x = 0 A x = 0
AB และ BC อัด 6.25 kN · AC ดึง 3.75 kN · ลองในแล็บด้านล่าง (เลือกสามเหลี่ยม ตั้ง P = 10)
แล็บโครงถัก: วิธีจุดต่อในรูปเมทริกซ์
แล็บสร้างเมทริกซ์ [ A ∣ b ] [A\,|\,\mathbf b] [ A ∣ b ]
ตัวอย่าง G-7 · ปรับแก้งานระดับ
หมุด A สูง 100.000 m วัดได้ A→B +2.003, B→C +1.498, A→C +3.506 m หาระดับ B และ C
3 สมการ 2 ตัวไม่รู้ (ปิดวงคลาด 2.003 + 1.498 − 3.506 = − 0.005 2.003 + 1.498 - 3.506 = -0.005 2.003 + 1.498 − 3.506 = − 0.005
A = [ 1 0 − 1 1 0 1 ] , b = [ 102.003 1.498 103.506 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\ \mathbf b = \begin{bmatrix} 102.003 \\ 1.498 \\ 103.506\end{bmatrix} A = 1 − 1 0 0 1 1 , b = 102.003 1.498 103.506 A T A = [ 2 − 1 − 1 2 ] , A T b = [ 100.505 105.004 ] A^TA = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2\end{bmatrix},\quad A^T\mathbf b = \begin{bmatrix} 100.505 \\ 105.004\end{bmatrix} A T A = [ 2 − 1 − 1 2 ] , A T b = [ 100.505 105.004 ] H B = 2 ( 100.505 ) + 105.004 3 = 102.0047 , H C = 100.505 + 2 ( 105.004 ) 3 = 103.5043 m H_B = \frac{2(100.505) + 105.004}{3} = 102.0047,\qquad H_C = \frac{100.505 + 2(105.004)}{3} = 103.5043\ \text{m} H B = 3 2 ( 100.505 ) + 105.004 = 102.0047 , H C = 3 100.505 + 2 ( 105.004 ) = 103.5043 m
H B = 102.0047 H_B = 102.0047 H B = 102.0047 H C = 103.5043 H_C = 103.5043 H C = 103.5043
ตัวอย่าง G-8 · เครือข่ายจราจรมีคำตอบไม่จำกัด
วงเดินรถทางเดียว A→B→C→D→A รถเข้า-ออกที่ทางแยก (คัน/ชม.): A เข้า 300 ออก 100 · B เข้า 200 ออก 400 · C เข้า 350 ออก 150 · D เข้า 100 ออก 300 ลองในเครื่องคิดเลข
ให้ x 1 = A B , x 2 = B C , x 3 = C D , x 4 = D A x_1 = AB,\ x_2 = BC,\ x_3 = CD,\ x_4 = DA x 1 = A B , x 2 = BC , x 3 = C D , x 4 = D A
x 1 − x 4 = 200 , x 1 − x 2 = 200 , x 2 − x 3 = − 200 , x 3 − x 4 = 200 x_1 - x_4 = 200,\quad x_1 - x_2 = 200,\quad x_2 - x_3 = -200,\quad x_3 - x_4 = 200 x 1 − x 4 = 200 , x 1 − x 2 = 200 , x 2 − x 3 = − 200 , x 3 − x 4 = 200 ลดแถวแล้วพบแถวศูนย์ (แรงก์ 3) → ตัวแปรอิสระหนึ่งตัว ให้ x 4 = t x_4 = t x 4 = t
x 1 = t + 200 , x 2 = t , x 3 = t + 200 x_1 = t + 200,\quad x_2 = t,\quad x_3 = t + 200 x 1 = t + 200 , x 2 = t , x 3 = t + 200
ปริมาณรถในวงหมุนเวียนได้อิสระ (t ≥ 0) ข้อมูลแค่นี้หาไม่ได้ว่าถนน DA มีรถกี่คัน ต้องติดตั้งเครื่องนับเพิ่มหนึ่งจุด · ถ้าปิดถนน DA (t = 0) BC ก็ว่างด้วย ขณะที่ AB และ CD ต้องรับ 200 คัน/ชม.
คำถามที่พบบ่อย ทำไมงานโครงสร้างและงานวงจรใช้เมทริกซ์เหมือนกัน? เพราะทั้งคู่คือเครือข่ายที่ต้องสมดุลทุกจุดต่อ วงจรใช้ KCL (ผลรวมกระแสเป็นศูนย์) โครงสร้างใช้ผลรวมแรงเป็นศูนย์ เมื่อเขียนครบทุกจุดได้ระบบสมการ Ax = b และเมทริกซ์ความนำของวงจรกับเมทริกซ์สติฟเนสของโครงสร้างมีรูปแบบเดียวกัน คือสมมาตร ทแยงเด่น และสร้างจาก AᵀKA
ค่าเฉพาะเกี่ยวกับการสั่นอย่างไร? ระบบมวล-สปริงหลายองศาอิสระมีสมการ Mẍ + Kx = 0 ลองคำตอบ x = φ sin ωt ได้ (K − ω²M)φ = 0 ซึ่งคือปัญหาค่าเฉพาะ ค่าเฉพาะ ω² ให้ความถี่ธรรมชาติ และเวกเตอร์เฉพาะ φ คือรูปโหมดการสั่น อาคารหลายชั้นและเพลาเครื่องจักรวิเคราะห์ด้วยวิธีนี้
ระบบสมการที่มีสมการมากกว่าตัวไม่รู้ใช้ทำอะไร? ใช้กับข้อมูลที่วัดซ้ำและมีความคลาดเคลื่อน เช่น งานระดับที่วัดเกินจำนวนหมุด หรือสอบเทียบเซนเซอร์หลายจุด ไม่มีคำตอบที่ตรงทุกสมการ จึงหาคำตอบที่ผลรวมกำลังสองของความคลาดเคลื่อนน้อยสุดด้วยสมการปกติ AᵀAx = Aᵀb
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →