// บทที่ 14.6 · อนุกรมฟูเรียร์ · Fourier Series Table

ตารางอนุกรมฟูเรียร์ของรูปคลื่นในงานไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์กำลัง

Q: อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสี่เหลี่ยมคืออะไร?

คลื่นสี่เหลี่ยมสูง ±A เริ่มขาขึ้นที่ t = 0 คือ frac{4A}{pi}big[sinomega_0t + frac13sin3omega_0t + frac15sin5omega_0t + cdotsbig] มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ลดลงตาม 1/n ค่า RMS เท่ากับ A และ THD 48.3 %

Q: กระแสของเรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์มีฮาร์มอนิกอะไร?

ถ้ากระแส DC เรียบ กระแสไลน์เป็นบล็อกกว้าง 120° มีเฉพาะ h = 6k pm 1 คือ 5, 7, 11, 13, … ขนาด I_h = I_1/h โดย I_1 = (sqrt6/pi)I_d = 0.780I_d ค่า RMS 0.816I_d THD 31.1 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3

Q: THD ของรูปคลื่นมาตรฐานเท่าไร?

สี่เหลี่ยม 48.3 % ฟันเลื่อย 80.3 % สามเหลี่ยม 12.1 % six-step และกระแส 6 พัลส์ 31.1 % ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น (ไม่นับ DC) 43.5 % กระแส SMPS ไม่มี PFC ทั่วไป 100–150 %

Q: ใช้ตารางนี้อ้างอิงในรายงานได้อย่างไร?

ทุกสูตรมีรหัสถาวร W1 ถึง W18 อ้างเป็น Mod's Engineering Mathematics, ตารางอนุกรมฟูเรียร์ W12 พร้อมลิงก์ /learn/fourier-series/waveform-table/#W12 ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดในแล็บแล้ว

งานจริงไม่มีเวลาอินทิเกรตใหม่ทุกครั้ง ตารางนี้รวบรวมรูปคลื่นที่วิศวกรไฟฟ้าเจอซ้ำ ๆ พร้อมอนุกรม ค่า RMS THD และ crest factor ทุกสูตรตรวจกับการอินทิเกรตแบบปิดของแล็บในชุดนี้แล้ว เลือกจุด t = 0 ตามที่ระบุในแต่ละการ์ด ถ้าวางต่างไป ใช้สมบัติการเลื่อน (S6) ขนาดเท่าเดิม เปลี่ยนแค่เฟส

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

ตารางสรุป พื้นฐาน เรียงกระแส อินเวอร์เตอร์ สวิตชิ่ง

วิธีใช้

หาสูตรจากรหัส W ในกล่องค้นหา หรือพิมพ์ชื่อ เช่น six-step, triac, ripple
$A_n$ คือค่ายอดของฮาร์มอนิก ค่า RMS ของฮาร์มอนิก = $A_n/\sqrt2$
รูปซับซ้อน = ผลรวมของรูปในตาราง (เชิงเส้น C8)
ทุกรูปเปิดดูในแล็บได้ทันที เลือกจากรายการรูปคลื่นท้ายหน้า

ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปวส. · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย

ตารางสรุปในหน้าเดียว พื้นฐาน

รหัส	รูปคลื่น	ฮาร์มอนิกที่มี	ขนาด $A_n$	RMS	THD	CF
W1	สี่เหลี่ยม ±A	คี่	$4A/(n\pi)$	$A$	48.3 %	1.00
W2	สี่เหลี่ยม 0–A	DC + คี่	$2A/(n\pi)$	$A/\sqrt2$	48.3 %*	1.41
W3	พัลส์ดิวตี้ D	DC + ทุก n ยกเว้น $k/D$	$2AD\|\mathrm{sinc}\,nD\|$	$A\sqrt D$	ขึ้นกับ D	$1/\sqrt D$
W5	สามเหลี่ยม ±A	คี่	$8A/(\pi^2n^2)$	$A/\sqrt3$	12.1 %	1.73
W6	ฟันเลื่อย ±A	ทุก n	$2A/(n\pi)$	$A/\sqrt3$	80.3 %	1.73
W7	เรียงกระแสครึ่งคลื่น	DC, 1, คู่	$2V_m/(\pi(n^2 - 1))$	$V_m/2$	43.5 %*	2.00
W8	เรียงกระแสเต็มคลื่น	DC + คู่	$4V_m/(\pi(n^2 - 1))$	$V_m/\sqrt2$	ริปเปิล 48.3 %	1.41
W9	quasi-square มุม α	คี่	$4A\|\cos n\alpha\|/(n\pi)$	$A\sqrt{1 - 2\alpha/\pi}$	ขึ้นกับ α	—
W10	six-step แรงดันเฟส	$6k\pm1$	$2V_{dc}/(n\pi)$	$0.471V_{dc}$	31.1 %	1.41
W11	six-step แรงดันไลน์	$6k\pm1$	$2\sqrt3V_{dc}/(n\pi)$	$0.816V_{dc}$	31.1 %	1.22
W12	กระแส 6 พัลส์ (อุดมคติ)	$6k\pm1$	$2\sqrt3I_d/(n\pi)$	$0.816I_d$	31.1 %	1.22
W13	SPWM ไบโพลาร์	1 + ไซด์แบนด์รอบ $jm_f$	$m_aV_{dc}/2$ (หลัก)	$V_{dc}/2$	สูง (ก่อนกรอง)	1.00
W14	พัลส์คางหมู	เหมือน W3	$\times\|\mathrm{sinc}(nt_r/T)\|$	—	—	—
W15	ไตรแอกตัดเฟส α	คี่	ดูการ์ด	ดูการ์ด	64 % (α = 90°)	—
W16	ไซน์ตัดยอดสมมาตร	คี่	ดูการ์ด	—	13.8 % (ตัดที่ 70 %)	—
W17	กระแส SMPS ไม่มี PFC	คี่	ไม่มีรูปปิด	—	100–150 %	2.5–3.5
W18	สามเหลี่ยมไม่สมมาตร (ริปเปิล L)	ทุก n	$\Delta I\|\sin n\pi D\|/(\pi^2n^2D(1-D))$	$\Delta I/\sqrt{12}$ (AC)	—	—

* ไม่นับ DC · CF = crest factor = ค่ายอด/RMS · ไซน์บริสุทธิ์ CF = 1.414 THD = 0

รูปคลื่นพื้นฐาน: สี่เหลี่ยม พัลส์ สามเหลี่ยม ฟันเลื่อย พื้นฐาน

W1 Square wave ±A สี่เหลี่ยม (ขาขึ้นที่ t = 0)

x(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}

RMS = A · $X_1 = 0.900A$ · THD 48.3 % · ที่มา T-1

W2 Square wave 0 to A (50 %) สี่เหลี่ยมลอจิก

x(t) = \frac{A}{2} + \frac{2A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\sin n\omega_0 t}{n}

= W1 ที่ A/2 บวก DC A/2 (S9) · RMS $A/\sqrt2$ · นาฬิกา 3.3 V 10 MHz มีฮาร์มอนิกที่ 30, 50 MHz ขนาด 0.70, 0.42 V

W3 Pulse train, duty D พัลส์สูง A กว้าง DT เริ่มที่ t = 0

a_0 = AD,\quad a_n = \frac{A}{n\pi}\sin 2\pi nD,\quad b_n = \frac{A}{n\pi}(1 - \cos 2\pi nD),\quad A_n = \frac{2A}{n\pi}|\sin n\pi D|

RMS $A\sqrt D$ · ไม่มีฮาร์มอนิกที่ $n = k/D$ · ที่มา T-2 C7

W4 Pulse train, centred at t = 0 พัลส์วางกึ่งกลาง (ฟังก์ชันคู่)

x(t) = AD + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2A}{n\pi}\sin(n\pi D)\cos n\omega_0 t

ขนาดเท่า W3 ทุกตัว แต่เป็นโคไซน์ล้วน สะดวกเมื่อคูณกับฟังก์ชันคู่อื่น

W5 Triangle wave ±A สามเหลี่ยม (ขาขึ้นผ่าน 0 ที่ t = 0)

x(t) = \frac{8A}{\pi^2}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n^2}\sin n\omega_0 t

RMS $A/\sqrt3$ · THD 12.1 % · CF 1.73 · ที่มา S-1

W6 Sawtooth ±A ฟันเลื่อย (ผ่าน 0 ขาขึ้นที่ t = 0)

x(t) = \frac{2A}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin n\omega_0 t

RMS $A/\sqrt3$ · THD 80.3 % · มีทั้งคู่และคี่ · ที่มา T-3

วงจรเรียงกระแสและโหลดไม่เชิงเส้น กลาง

W7 Half-wave rectified sine ไซน์เรียงกระแสครึ่งคลื่น

v = \frac{V_m}{\pi} + \frac{V_m}{2}\sin\omega_0 t - \frac{2V_m}{\pi}\sum_{n=2,4,6}^{\infty}\frac{\cos n\omega_0 t}{n^2 - 1}

RMS $V_m/2$ · DC $0.318V_m$ · THD (ไม่นับ DC) 43.5 % · ที่มา T-4

W8 Full-wave rectified sine ไซน์เรียงกระแสเต็มคลื่น (ω₀ = ความถี่แหล่งจ่าย)

v = \frac{2V_m}{\pi} - \frac{4V_m}{\pi}\sum_{n=2,4,6}^{\infty}\frac{\cos n\omega_0 t}{n^2 - 1}

DC $0.637V_m$ · ฮาร์มอนิกที่ 2 (100 Hz) $0.424V_m$ · RMS ริปเปิล/DC = 48.3 % (ripple factor)

W12 6-pulse rectifier line current (ideal) กระแสไลน์ของบริดจ์ 3 เฟส (I_d เรียบ, วางกึ่งกลางบล็อกที่ t = 0)

i_a = \frac{2\sqrt3 I_d}{\pi}\Big[\cos\omega t - \tfrac15\cos5\omega t + \tfrac17\cos7\omega t - \tfrac1{11}\cos11\omega t + \tfrac1{13}\cos13\omega t - \cdots\Big]

$I_1 = \frac{\sqrt6}{\pi}I_d = 0.780I_d$ (RMS) · $I_h = I_1/h$ · RMS $\sqrt{2/3}\,I_d = 0.816I_d$ · THD 31.1 % · รายละเอียดและผลของช่วงทับซ้อนที่ R7

W15 Phase-controlled (TRIAC) current, R load ไตรแอกตัดเฟส $i = I_m\sin\theta$ เมื่อ $\alpha \lt \theta \lt \pi$ (และครึ่งลบ)

a_1 = \frac{I_m}{2\pi}(\cos 2\alpha - 1),\quad b_1 = \frac{I_m}{2\pi}\big(2(\pi - \alpha) + \sin 2\alpha\big)

a_n = \frac{I_m}{\pi}\Big[\frac{\cos(n+1)\alpha - 1}{n+1} - \frac{\cos(n-1)\alpha - 1}{n-1}\Big],\quad b_n = \frac{I_m}{\pi}\Big[\frac{\sin(n+1)\alpha}{n+1} - \frac{\sin(n-1)\alpha}{n-1}\Big]\;\;(n\text{ คี่} \ge 3)

$I_{rms} = I_m\sqrt{\frac{\pi - \alpha}{2\pi} + \frac{\sin 2\alpha}{4\pi}}$ · $a_1 \ne 0$ → ฮาร์มอนิกหลักล้าหลัง DPF < 1 แม้โหลดเป็นตัวต้านทาน · α = 90°: THD 64 % PF 0.707

W16 Symmetrically clipped sine ไซน์ตัดยอดที่ระดับ $cA$ , $\theta_c = \sin^{-1}c$

b_1 = \frac{2A}{\pi}\big(\theta_c + \sin\theta_c\cos\theta_c\big),\quad b_n = \frac{2A}{\pi}\Big[\frac{\sin(n-1)\theta_c}{n-1} - \frac{\sin(n+1)\theta_c}{n+1}\Big] + \frac{4cA}{n\pi}\cos n\theta_c

n คี่ (n ≥ 3) · c = 0.7: $b_1 = 0.812A$ , $b_3 = 0.108A$ THD 13.8 % · ตัดไม่สมมาตรดู S-4

W17 Capacitor-input rectifier current (SMPS without PFC) กระแสของบริดจ์ + ตัวเก็บประจุ

I_3 \approx 0.8\text{–}0.95\,I_1,\quad I_5 \approx 0.6\text{–}0.85\,I_1,\quad I_7 \approx 0.4\text{–}0.7\,I_1,\quad \text{THD} \approx 100\text{–}150\,\%

ไม่มีรูปปิด ขึ้นกับ C อิมพีแดนซ์สายและ NTC จำลองในแล็บ (300 W, 220 µF, อิมพีแดนซ์ปลั๊ก 0.35 Ω): 90.8 / 74.3 / 53.7 / 33.0 % ของ $I_1$ ที่ h = 3, 5, 7, 9 THD 134 % PF 0.59 CF 3.0 R4

อินเวอร์เตอร์ กลาง

W9 Quasi-square (3-level) wave สี่เหลี่ยมสามระดับ มุมศูนย์ α ที่ขอบแต่ละด้าน

x(t) = \frac{4A}{\pi}\sum_{n=1,3,5}^{\infty}\frac{\cos n\alpha}{n}\sin n\omega_0 t

RMS $A\sqrt{1 - 2\alpha/\pi}$ · α = 30° ไม่มี 3, 9, 15 · α = 18° ไม่มี 5 · ที่มา S-2

W10 Six-step inverter, phase voltage แรงดันเฟส (ขั้น $V_{dc}/3$ , $2V_{dc}/3$ )

v_{aN} = \frac{2V_{dc}}{\pi}\Big[\sin\omega t + \tfrac15\sin5\omega t + \tfrac17\sin7\omega t + \tfrac1{11}\sin11\omega t + \cdots\Big]

RMS $\frac{\sqrt2}{3}V_{dc} = 0.471V_{dc}$ · ฮาร์มอนิกหลัก (RMS) $0.450V_{dc}$ · THD 31.1 %

W11 Six-step inverter, line voltage แรงดันไลน์ = quasi-square α = 30° สูง $V_{dc}$

|V_{ab,n}| = \frac{2\sqrt3\,V_{dc}}{n\pi}\;\;(n = 6k\pm1),\qquad V_{ab,1,rms} = \frac{\sqrt6}{\pi}V_{dc} = 0.780V_{dc}

RMS $0.816V_{dc}$ · หน้าตาเดียวกับกระแส 6 พัลส์ (W12) จึงมีสเปกตรัมเดียวกัน

W13 Sinusoidal PWM (bipolar, ±V_dc/2) SPWM แบบไบโพลาร์

V_1 = m_a\frac{V_{dc}}{2}\;(m_a \le 1),\qquad h = j\,m_f \pm k\;\;(j \text{ คี่ → } k \text{ คู่},\; j \text{ คู่ → } k \text{ คี่})

ตารางขนาดไซด์แบนด์และแบบยูนิโพลาร์ที่ V6 · เปิดในแล็บ: “SPWM”

คอนเวอร์เตอร์สวิตชิ่งและ EMI กลาง

W14 Trapezoidal pulse พัลส์คางหมู: ดิวตี้ D (วัดที่ 50 %) เวลาขึ้น = ลง = $t_r$

A_n = 2AD\,\big|\mathrm{sinc}(nD)\big|\,\Big|\mathrm{sinc}\Big(\frac{n t_r}{T}\Big)\Big|

เอนเวโลปหักมุมที่ $1/(\pi\tau)$ และ $1/(\pi t_r)$ · ใช้ประเมิน EMI B9

W18 Asymmetric triangle (inductor ripple) ขึ้นช่วง DT ลงช่วง (1−D)T ยอดถึงยอด ΔI

A_n = \frac{\Delta I\,|\sin n\pi D|}{\pi^2 n^2 D(1 - D)},\qquad I_{ac,rms} = \frac{\Delta I}{\sqrt{12}}

D = 0.5 ได้สามเหลี่ยมสมมาตร (W5 ที่ $A = \Delta I/2$ ) · ใช้หาความสูญเสียแกนและทองแดงที่ความถี่สวิตชิ่ง B7

ใช้ตารางแก้โจทย์จริง กลาง

ตัวอย่าง W-1 · กระแสไดรฟ์ 6 พัลส์

เรกติไฟเออร์ 6 พัลส์กระแส DC 100 A (เรียบ) หากระแสไลน์ RMS ฮาร์มอนิกหลัก ที่ 5, 7, 11, 13 และ THD

W12: $I_{rms} = 0.816 \times 100 = 81.6$ A · $I_1 = 0.780 \times 100 = 78.0$ A
$I_5 = 78.0/5 = 15.6$ A · $I_7 = 11.1$ A · $I_{11} = 7.09$ A · $I_{13} = 6.00$ A
THD จากพาร์เซวาล P7: $\sqrt{81.65^2 - 77.97^2}/77.97 = 31.1$ %

81.6 A RMS, หลัก 78.0 A, ฮาร์มอนิก 15.6 / 11.1 / 7.1 / 6.0 A, THD 31.1 % (ค่าจริงต่ำกว่านี้เล็กน้อยเพราะช่วงทับซ้อน R9)

ตัวอย่าง W-2 · รวมรูปจากตาราง

แรงดันมีสี่เหลี่ยม ±10 V ซ้อนกับ DC 4 V หา DC, $A_1$ , $A_3$ และ RMS

เชิงเส้น: DC = 4 V · W1: $A_1 = 40/\pi = 12.73$ V · $A_3 = 4.24$ V
RMS: DC กับ AC ตั้งฉากกัน $\sqrt{4^2 + 10^2} = 10.77$ V

DC 4 V, $A_1$ 12.73 V, $A_3$ 4.24 V, RMS 10.77 V

แล็บ: เปิดทุกรูปในตาราง พื้นฐาน

เลือกรูปคลื่นจากรายการ ตัวเลขในแผงวิธีคิดคำนวณด้วยการอินทิเกรตแบบปิดของแต่ละช่วง ไม่ใช่ FFT จึงตรงกับสูตรในตารางทุกหลัก

คำถามที่พบบ่อย

อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสี่เหลี่ยมคืออะไร?

คลื่นสี่เหลี่ยมสูง ±A เริ่มขาขึ้นที่ t = 0 คือ $\frac{4A}{\pi}\big[\sin\omega_0t + \frac13\sin3\omega_0t + \frac15\sin5\omega_0t + \cdots\big]$ มีเฉพาะฮาร์มอนิกคี่ ลดลงตาม 1/n ค่า RMS เท่ากับ A และ THD 48.3 %

กระแสของเรกติไฟเออร์ 3 เฟส 6 พัลส์มีฮาร์มอนิกอะไร?

ถ้ากระแส DC เรียบ กระแสไลน์เป็นบล็อกกว้าง 120° มีเฉพาะ $h = 6k \pm 1$ คือ 5, 7, 11, 13, … ขนาด $I_h = I_1/h$ โดย $I_1 = (\sqrt6/\pi)I_d = 0.780I_d$ ค่า RMS $0.816I_d$ THD 31.1 % ไม่มีฮาร์มอนิกที่ 3

THD ของรูปคลื่นมาตรฐานเท่าไร?