หน้าแรก คลังความรู้ พีชคณิตเชิงเส้น Linear Algebra // บทที่ 7 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Linear Algebra
พีชคณิตเชิงเส้น (Linear Algebra): เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส คราเมอร์ และค่าเฉพาะ
พื้นฐานที่วิศวกรไฟฟ้าใช้ทุกวันโดยไม่รู้ตัว ตั้งแต่แก้กระแสในวงจรหลายลูป ไปจนถึงหาขั้วของระบบควบคุมและวิเคราะห์ฟอลต์ในระบบสามเฟส ชุดบทเรียนนี้มี 12 หน้า ไล่จากระดับ ม.ปลาย ถึงระดับบัณฑิตศึกษา รวมหน้าแรงก์ ผลเฉลยเชิงตัวเลข แนวข้อสอบ 45 ข้อ การประยุกต์ในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา และแล็บเมทริกซ์ ทุกสูตรมีรหัสอ้างอิงถาวร ค้นได้ทั้งหมดจากหน้านี้ และมีเครื่องคิดเลขที่แสดงวิธีทำทีละขั้นให้ตรวจการบ้านของตัวเอง
เริ่มตามระดับของคุณ
ทุกหัวข้อในชุดนี้ติดป้ายระดับไว้ เลือกเส้นทางที่ตรงกับตัวเอง แล้วกดไปที่หัวข้อได้ทันที
พื้นฐาน
ม.ปลาย · เตรียมสอบ · ปี 1
ขั้นสูง
ป.โท · งานวิจัย · งานจริง
ทั้ง 12 หน้าในชุดนี้
อ่านตามเส้นทางด้านบน แต่ละหน้าต่อยอดจากหน้าก่อน ตัวอักษรท้ายการ์ดคือรหัสสูตรของหน้านั้น
รวมทุกสูตรจากทุกหน้า พิมพ์ได้ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ หรือพิมพ์รหัสสูตรตรง ๆ เช่น D4 กดที่ชื่อสูตรเพื่อไปยังคำอธิบายและตัวอย่างวิธีทำของสูตรนั้น
ค้นหาสูตร
ทั้งหมด 176 สูตร
ทุกหน้า M · เมทริกซ์ D · ดีเทอร์มิแนนต์ L · ระบบสมการ I · อินเวอร์ส C · คราเมอร์ E · ค่าเฉพาะ λ A · งานไฟฟ้า G · ประยุกต์ ไฟฟ้า · เครื่องกล · โยธา R · แรงก์ (ค่าลำดับขั้น) N · ผลเฉลยเชิงตัวเลข X · แนวข้อสอบ 45 ข้อ
M1 Matrix and its entries นิยามและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์ A = [ a i j ] m × n = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A = [a_{ij}]_{m\times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} A = [ a ij ] m × n = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a mn M2 Equality of matrices การเท่ากันของเมทริกซ์ A = B ⟺ ขนาดเท่ากัน และ a i j = b i j ทุก i , j A = B \iff \text{ขนาดเท่ากัน และ } a_{ij} = b_{ij} \ \text{ทุก } i, j A = B ⟺ ขนาดเท่ากัน และ a ij = b ij ทุก i , j M3 Identity matrix เมทริกซ์เอกลักษณ์ I n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) , A I = I A = A I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}, \quad AI = IA = A I n = 1 0 ⋮ 0 0 1 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ 1 , A I = I A = A M4 Symmetric + skew-symmetric split แยกเป็นส่วนสมมาตรและสมมาตรเสมือน A = 1 2 ( A + A T ) ⏟ สมมาตร + 1 2 ( A − A T ) ⏟ สมมาตรเสมือน A = \underbrace{\tfrac12(A + A^T)}_{\text{สมมาตร}} + \underbrace{\tfrac12(A - A^T)}_{\text{สมมาตรเสมือน}} A = สมมาตร 2 1 ( A + A T ) + สมมาตรเสมือน 2 1 ( A − A T ) M5 Orthogonal matrix เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก Q T Q = Q Q T = I ⟺ Q − 1 = Q T Q^TQ = QQ^T = I \iff Q^{-1} = Q^T Q T Q = Q Q T = I ⟺ Q − 1 = Q T M6 Conjugate transpose ทรานสโพสสังยุค (สำหรับเมทริกซ์เชิงซ้อน) A H = A ‾ T , ( A H ) i j = a j i ‾ A^H = \overline{A}^{\,T}, \qquad (A^H)_{ij} = \overline{a_{ji}} A H = A T , ( A H ) ij = a ji M7 Matrix addition การบวกและลบ ( A ± B ) i j = a i j ± b i j (A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} ( A ± B ) ij = a ij ± b ij M8 Scalar multiplication การคูณด้วยสเกลาร์ ( k A ) i j = k a i j (kA)_{ij} = k\,a_{ij} ( k A ) ij = k a ij M9 Properties of addition and scalar multiplication สมบัติการบวกและการคูณสเกลาร์ A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A + O = A k ( A + B ) = k A + k B ( k + l ) A = k A + l A k ( l A ) = ( k l ) A \begin{gathered} A + B = B + A \qquad (A + B) + C = A + (B + C) \qquad A + O = A \\ k(A + B) = kA + kB \qquad (k + l)A = kA + lA \qquad k(lA) = (kl)A \end{gathered} A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A + O = A k ( A + B ) = k A + k B ( k + l ) A = k A + l A k ( l A ) = ( k l ) A M10 Matrix product นิยามการคูณเมทริกซ์ ( A B ) i j = ∑ k = 1 n a i k b k j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} ( A B ) ij = k = 1 ∑ n a ik b kj = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a in b nj M11 Properties of matrix multiplication สมบัติที่ใช้ได้ ( A B ) C = A ( B C ) A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A C + B C k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) I m A = A I n = A \begin{gathered} (AB)C = A(BC) \qquad A(B + C) = AB + AC \qquad (A + B)C = AC + BC \\ k(AB) = (kA)B = A(kB) \qquad I_mA = AI_n = A \end{gathered} ( A B ) C = A ( BC ) A ( B + C ) = A B + A C ( A + B ) C = A C + BC k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) I m A = A I n = A M12 What does NOT hold สิ่งที่ใช้กับเมทริกซ์ไม่ได้ (ต่างจากตัวเลข) A B ≠ B A (โดยทั่วไป) A B = O ⇏ A = O หรือ B = O A B = A C ⇏ B = C ( A + B ) 2 = A 2 + A B + B A + B 2 ≠ A 2 + 2 A B + B 2 \begin{gathered} AB \ne BA \ \text{(โดยทั่วไป)} \qquad AB = O \not\Rightarrow A = O \text{ หรือ } B = O \\ AB = AC \not\Rightarrow B = C \qquad (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \ne A^2 + 2AB + B^2 \end{gathered} A B = B A ( โดยทั่วไป ) A B = O ⇒ A = O หรือ B = O A B = A C ⇒ B = C ( A + B ) 2 = A 2 + A B + B A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2 a x a\mathbf x a x M13 Column view: Ax is a combination of columns A x A\mathbf x A x A x = ( ∣ ∣ ∣ a 1 a 2 ⋯ a n ∣ ∣ ∣ ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n A\mathbf x = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \mathbf a_1 & \mathbf a_2 & \cdots & \mathbf a_n \\ | & | & & | \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = x_1\mathbf a_1 + x_2\mathbf a_2 + \cdots + x_n\mathbf a_n A x = ∣ a 1 ∣ ∣ a 2 ∣ ⋯ ∣ a n ∣ x 1 x 2 ⋮ x n = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n M14 Row view มุมมองแถว ( A x ) i = r i ⋅ x (A\mathbf x)_i = \mathbf r_i \cdot \mathbf x ( A x ) i = r i ⋅ x M15 Outer-product view ผลรวมผลคูณภายนอก A B = ∑ k = 1 n ( หลัก k ของ A ) ( แถว k ของ B ) AB = \sum_{k=1}^{n} (\text{หลัก } k \text{ ของ } A)(\text{แถว } k \text{ ของ } B) A B = k = 1 ∑ n ( หลัก k ของ A ) ( แถว k ของ B ) M16 Transpose นิยามทรานสโพส ( A T ) i j = a j i , ( 1 2 3 4 5 6 ) T = ( 1 4 2 5 3 6 ) (A^T)_{ij} = a_{ji}, \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^{\!T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} ( A T ) ij = a ji , ( 1 4 2 5 3 6 ) T = 1 2 3 4 5 6 M17 Properties of transpose สมบัติของทรานสโพส ( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T \begin{gathered} (A^T)^T = A \qquad (A + B)^T = A^T + B^T \\ (kA)^T = kA^T \qquad \hlF{(AB)^T = B^TA^T} \end{gathered} ( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T ( k A ) T = k A T ( A B ) T = B T A T M18 Trace นิยามเทรซ tr A = ∑ i = 1 n a i i = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n \operatorname{tr}A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} tr A = i = 1 ∑ n a ii = a 11 + a 22 + ⋯ + a nn M19 Properties of trace สมบัติของเทรซ tr ( A + B ) = tr A + tr B tr ( k A ) = k tr A tr ( A T ) = tr A tr ( A B ) = tr ( B A ) \begin{gathered} \operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B \qquad \operatorname{tr}(kA) = k\operatorname{tr}A \\ \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}A \qquad \hlF{\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)} \end{gathered} tr ( A + B ) = tr A + tr B tr ( k A ) = k tr A tr ( A T ) = tr A tr ( A B ) = tr ( B A ) M20 Matrix power กำลังของเมทริกซ์จัตุรัส A 0 = I , A k = A A ⋯ A ⏟ k ตัว , A m A n = A m + n , ( A m ) n = A m n A^0 = I, \quad A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k \text{ ตัว}}, \quad A^mA^n = A^{m+n}, \quad (A^m)^n = A^{mn} A 0 = I , A k = k ตัว AA ⋯ A , A m A n = A m + n , ( A m ) n = A mn M21 Power of a diagonal matrix กำลังของเมทริกซ์ทแยงมุม ( d 1 ⋱ d n ) k = ( d 1 k ⋱ d n k ) \begin{pmatrix} d_1 & & \\ & \ddots & \\ & & d_n \end{pmatrix}^{\!k} = \begin{pmatrix} d_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & d_n^k \end{pmatrix} d 1 ⋱ d n k = d 1 k ⋱ d n k M22 Block multiplication การคูณแบบบล็อก ( A B C D ) ( E F G H ) = ( A E + B G A F + B H C E + D G C F + D H ) \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E & F \\ G & H \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE + BG & AF + BH \\ CE + DG & CF + DH \end{pmatrix} ( A C B D ) ( E G F H ) = ( A E + BG CE + D G A F + B H CF + DH ) M23 Inner product, norm and outer product ผลคูณภายใน ความยาว และผลคูณภายนอก x T y = ∑ i x i y i , ∥ x ∥ = x T x , x ⊥ y ⟺ x T y = 0 , x y T = [ x i y j ] \mathbf x^T\mathbf y = \sum_{i} x_iy_i, \qquad \lVert\mathbf x\rVert = \sqrt{\mathbf x^T\mathbf x}, \qquad \mathbf x \perp \mathbf y \iff \mathbf x^T\mathbf y = 0, \qquad \mathbf x\mathbf y^T = [x_iy_j] x T y = i ∑ x i y i , ∥ x ∥ = x T x , x ⊥ y ⟺ x T y = 0 , x y T = [ x i y j ] D13 Geometric meaning ความหมายเชิงเรขาคณิต พื้นที่ (หรือปริมาตร) หลังแปลง = ∣ det A ∣ × พื้นที่ (หรือปริมาตร) เดิม \text{พื้นที่ (หรือปริมาตร) หลังแปลง} = |\det A| \times \text{พื้นที่ (หรือปริมาตร) เดิม} พื้นที่ ( หรือปริมาตร ) หลังแปลง = ∣ det A ∣ × พื้นที่ ( หรือปริมาตร ) เดิม D1 2×2 determinant ดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 2×2 det ( a b c d ) = ∣ a b c d ∣ = a d − b c \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \hlF{ad} - \hlP{bc} det ( a c b d ) = a c b d = a d − b c D2 Rule of Sarrus (3×3 only) กฎของซาร์รัส det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 \det A = \hlP{a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}} - \hlF{a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}} det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 D3 Minor and cofactor ไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ M i j = det ( A ที่ตัดแถว i และหลัก j ออก ) , C i j = ( − 1 ) i + j M i j , เครื่องหมาย: ( + − + ⋯ − + − + − + ⋮ ⋱ ) M_{ij} = \det(A \text{ ที่ตัดแถว } i \text{ และหลัก } j \text{ ออก}), \qquad C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}, \qquad \text{เครื่องหมาย: } \begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \\ + & - & + & \\ \vdots & & & \ddots \end{pmatrix} M ij = det ( A ที่ตัดแถว i และหลัก j ออก ) , C ij = ( − 1 ) i + j M ij , เครื่องหมาย : + − + ⋮ − + − + − + ⋯ ⋱ D4 Laplace (cofactor) expansion การกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือหลักใดก็ได้ det A = ∑ j = 1 n a i j C i j ( ตามแถว i ) = ∑ i = 1 n a i j C i j ( ตามหลัก j ) \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \ \ (\text{ตามแถว } i) \qquad = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij} \ \ (\text{ตามหลัก } j) det A = j = 1 ∑ n a ij C ij ( ตามแถว i ) = i = 1 ∑ n a ij C ij ( ตามหลัก j ) D5 Transpose ทรานสโพสไม่เปลี่ยนค่า det ( A T ) = det A \det(A^T) = \det A det ( A T ) = det A D6 Row swap สลับสองแถว R i ↔ R j ⇒ det → − det R_i \leftrightarrow R_j \ \Rightarrow\ \det \to -\det R i ↔ R j ⇒ det → − det D7 Row scaling คูณแถวเดียวด้วย k R i ← k R i ⇒ det → k det , det ( k A ) = k n det A R_i \leftarrow kR_i \Rightarrow \det \to k\det, \qquad \hlF{\det(kA) = k^n\det A} R i ← k R i ⇒ det → k det , det ( k A ) = k n det A D8 Row replacement บวกพหุคูณของแถวอื่น R i ← R i + k R j ( i ≠ j ) ⇒ det เท่าเดิม R_i \leftarrow R_i + kR_j \ (i \ne j) \Rightarrow \det \text{ เท่าเดิม} R i ← R i + k R j ( i = j ) ⇒ det เท่าเดิม D9 Zero determinant tests กรณีที่ได้ศูนย์ทันที det A = 0 ถ้ามีแถว (หลัก) ศูนย์ทั้งแถว หรือสองแถวเท่ากัน หรือเป็นสัดส่วนกัน \det A = 0 \ \text{ถ้ามีแถว (หลัก) ศูนย์ทั้งแถว หรือสองแถวเท่ากัน หรือเป็นสัดส่วนกัน} det A = 0 ถ้ามีแถว ( หลัก ) ศูนย์ทั้งแถว หรือสองแถวเท่ากัน หรือเป็นสัดส่วนกัน D10 Triangular matrix เมทริกซ์สามเหลี่ยมและทแยงมุม det ( a 11 ∗ ∗ 0 a 22 ∗ 0 0 a 33 ) = a 11 a 22 ⋯ a n n \det\begin{pmatrix} a_{11} & * & * \\ 0 & a_{22} & * \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} det a 11 0 0 ∗ a 22 0 ∗ ∗ a 33 = a 11 a 22 ⋯ a nn D11 Product, inverse and power ผลคูณ อินเวอร์ส และกำลัง det ( A B ) = det A det B , det ( A − 1 ) = 1 det A , det ( A k ) = ( det A ) k \det(AB) = \det A\,\det B, \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}, \qquad \det(A^k) = (\det A)^k det ( A B ) = det A det B , det ( A − 1 ) = det A 1 , det ( A k ) = ( det A ) k D12 Linear in one row, NOT additive เชิงเส้นทีละแถว แต่บวกทั้งเมทริกซ์ไม่ได้ ∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ , แต่ det ( A + B ) ≠ det A + det B \begin{vmatrix} a + a' & b + b' \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a' & b' \\ c & d \end{vmatrix}, \qquad \text{แต่ } \det(A + B) \ne \det A + \det B a + a ′ c b + b ′ d = a c b d + a ′ c b ′ d , แต่ det ( A + B ) = det A + det B det \det det adj a \operatorname{adj}a adj a D22 Determinant of the adjugate det \det det adj A \operatorname{adj}A adj A det ( adj A ) = ( det A ) n − 1 \det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1} det ( adj A ) = ( det A ) n − 1 D23 Adjugate of kA and adj(adj A) แอดจอยต์ซ้อนและคูณค่าคงที่ adj ( k A ) = k n − 1 adj A , adj ( adj A ) = ( det A ) n − 2 A , det ( adj ( adj A ) ) = ( det A ) ( n − 1 ) 2 \operatorname{adj}(kA) = k^{n-1}\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A,\qquad \det\bigl(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A)\bigr) = (\det A)^{(n-1)^2} adj ( k A ) = k n − 1 adj A , adj ( adj A ) = ( det A ) n − 2 A , det ( adj ( adj A ) ) = ( det A ) ( n − 1 ) 2 D24 Adjugate of products แอดจอยต์ของผลคูณ adj ( A B ) = adj B adj A , adj ( A T ) = ( adj A ) T , adj ( A − 1 ) = A det A \operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}B\,\operatorname{adj}A,\qquad \operatorname{adj}(A^T) = (\operatorname{adj}A)^T,\qquad \operatorname{adj}(A^{-1}) = \frac{A}{\det A} adj ( A B ) = adj B adj A , adj ( A T ) = ( adj A ) T , adj ( A − 1 ) = det A A a a a b b b D25 Constant-diagonal pattern แนวทแยงเป็น a a a b b b det ( a b ⋯ b b a ⋯ b ⋮ ⋱ ⋮ b b ⋯ a ) n × n = ( a − b ) n − 1 ( a + ( n − 1 ) b ) \det\begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{pmatrix}_{n\times n} = (a - b)^{n-1}\bigl(a + (n - 1)b\bigr) det a b ⋮ b b a b ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ b b ⋮ a n × n = ( a − b ) n − 1 ( a + ( n − 1 ) b ) D20 Determinant test เกณฑ์ดีเทอร์มิแนนต์ det A ≠ 0 ⟺ A − 1 มีจริง ⟺ A x = b มีคำตอบเดียวทุก b ⟺ rank A = n \det A \ne 0 \iff A^{-1} \text{ มีจริง} \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \iff \operatorname{rank}A = n det A = 0 ⟺ A − 1 มีจริง ⟺ A x = b มีคำตอบเดียวทุก b ⟺ rank A = n D17 Area of a triangle พื้นที่สามเหลี่ยมจากพิกัดจุดยอด พื้นที่ = 1 2 ∣ det ( x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ) ∣ \text{พื้นที่} = \frac12\left|\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}\right| พื้นที่ = 2 1 det x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 1 1 1 D18 Collinearity and line equation สามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ∣ x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 ∣ = 0 \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0 x x 1 x 2 y y 1 y 2 1 1 1 = 0 D19 Cross product as a determinant ผลคูณไขว้ A ⃗ × B ⃗ = ∣ i ^ j ^ k ^ A x A y A z B x B y B z ∣ , A ⃗ ⋅ ( B ⃗ × C ⃗ ) = ∣ A x A y A z B x B y B z C x C y C z ∣ \vec A \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}, \qquad \vec A\cdot(\vec B\times\vec C) = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \\ C_x & C_y & C_z \end{vmatrix} A × B = i ^ A x B x j ^ A y B y k ^ A z B z , A ⋅ ( B × C ) = A x B x C x A y B y C y A z B z C z D14 Block triangular and Schur complement เมทริกซ์บล็อก det ( A B O D ) = det A det D , det ( A B C D ) = det A ⋅ det ( D − C A − 1 B ) ( A − 1 มีจริง ) \det\begin{pmatrix} A & B \\ O & D \end{pmatrix} = \det A\,\det D, \qquad \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det A\cdot\det(D - CA^{-1}B) \ \ (A^{-1} \text{ มีจริง}) det ( A O B D ) = det A det D , det ( A C B D ) = det A ⋅ det ( D − C A − 1 B ) ( A − 1 มีจริง ) D15 Vandermonde determinant ดีเทอร์มิแนนต์แวนเดอร์มอนด์ ∣ 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 ∣ = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) D16 Determinant and eigenvalues ผลคูณค่าเฉพาะ det A = λ 1 λ 2 ⋯ λ n \det A = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n det A = λ 1 λ 2 ⋯ λ n D21 Leibniz formula (definition) นิยามแบบการเรียงสับเปลี่ยน det A = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) \det A = \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)} det A = σ ∈ S n ∑ sgn ( σ ) i = 1 ∏ n a i , σ ( i ) L1 Matrix form and augmented matrix รูปเมทริกซ์และเมทริกซ์แต่งเติม a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 ⋮ a m 1 x 1 + ⋯ + a m n x n = b m ⟺ A x = b ⟺ [ a 11 ⋯ a 1 n b 1 ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 ⋯ a m n b m ] \begin{aligned} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ &\ \,\vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} \iff A\mathbf x = \mathbf b \iff \left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right] a 11 x 1 + ⋯ + a 1 n x n a m 1 x 1 + ⋯ + a mn x n = b 1 ⋮ = b m ⟺ A x = b ⟺ a 11 ⋮ a m 1 ⋯ ⋯ a 1 n ⋮ a mn b 1 ⋮ b m L2 Elementary row operations การดำเนินการตามแถวเบื้องต้น (1) R i ↔ R j (2) R i ← k R i ( k ≠ 0 ) (3) R i ← R i + k R j ( i ≠ j ) \text{(1) } R_i \leftrightarrow R_j \qquad \text{(2) } R_i \leftarrow kR_i \ (k \ne 0) \qquad \text{(3) } R_i \leftarrow R_i + kR_j \ (i \ne j) (1) R i ↔ R j (2) R i ← k R i ( k = 0 ) (3) R i ← R i + k R j ( i = j ) L3 Row echelon form (REF) รูปแบบขั้นบันไดแถว ( ■ ∗ ∗ ∗ 0 ■ ∗ ∗ 0 0 0 ■ 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} \hlP{\blacksquare} & * & * & * \\ 0 & \hlP{\blacksquare} & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \hlP{\blacksquare} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ■ 0 0 0 ∗ ■ 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ ■ 0 L4 Reduced row echelon form (RREF) รูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป ( 1 0 ∗ 0 0 1 ∗ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} \hlP{1} & 0 & * & 0 \\ 0 & \hlP{1} & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \hlP{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 1 0 0 0 0 1 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 1 0 L8 Gaussian elimination + back substitution ขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์ [ A ∣ b ] → สร้างศูนย์ใต้ตัวหลักทีละหลัก [ U ∣ c ] → แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน x [A\mid\mathbf b] \ \xrightarrow{\text{สร้างศูนย์ใต้ตัวหลักทีละหลัก}} \ [U\mid\mathbf c] \ \xrightarrow{\text{แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน}} \ \mathbf x [ A ∣ b ] สร้างศูนย์ใต้ตัวหลักทีละหลัก [ U ∣ c ] แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน x L5 Rank แรงก์ rank A = จำนวนตัวหลักใน REF ของ A \operatorname{rank}A = \text{จำนวนตัวหลักใน REF ของ } A rank A = จำนวนตัวหลักใน REF ของ A L7 Homogeneous system and rank–nullity ระบบเอกพันธ์ A x = 0 มีคำตอบไม่ชัด ⟺ rank A < n , dim N ( A ) = n − rank A A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีคำตอบไม่ชัด} \iff \operatorname{rank}A \lt n, \qquad \dim N(A) = n - \operatorname{rank}A A x = 0 มีคำตอบไม่ชัด ⟺ rank A < n , dim N ( A ) = n − rank A n n n L6 Rouché–Capelli theorem เงื่อนไขการมีคำตอบ (ตัวแปร n n n { rank A < rank [ A ∣ b ] ไม่มีคำตอบ (inconsistent) rank A = rank [ A ∣ b ] = n มีคำตอบเดียว rank A = rank [ A ∣ b ] = r < n มีคำตอบไม่จำกัด มีพารามิเตอร์อิสระ n − r ตัว \begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ (inconsistent)} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{มีคำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{มีคำตอบไม่จำกัด มีพารามิเตอร์อิสระ } n - r \text{ ตัว} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ rank A < rank [ A ∣ b ] rank A = rank [ A ∣ b ] = n rank A = rank [ A ∣ b ] = r < n ไม่มีคำตอบ (inconsistent) มีคำตอบเดียว มีคำตอบไม่จำกัด มีพารามิเตอร์อิสระ n − r ตัว L12 Structure of the general solution โครงสร้างของคำตอบทั่วไป x = x p + x h , A x p = b , A x h = 0 \mathbf x = \mathbf x_p + \mathbf x_h, \qquad A\mathbf x_p = \mathbf b, \quad A\mathbf x_h = \mathbf 0 x = x p + x h , A x p = b , A x h = 0 L9 LU decomposition การแยก LU (แบบ Doolittle) A = L U ⇒ A x = b ⟺ { L y = b (แทนค่าไปข้างหน้า บน → ล่าง) U x = y (แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน) A = LU \quad\Rightarrow\quad A\mathbf x = \mathbf b \iff \begin{cases} L\mathbf y = \mathbf b & \text{(แทนค่าไปข้างหน้า บน → ล่าง)} \\ U\mathbf x = \mathbf y & \text{(แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน)} \end{cases} A = LU ⇒ A x = b ⟺ { L y = b U x = y ( แทนค่าไปข้างหน้า บน → ล่าง ) ( แทนค่าย้อนกลับ ล่าง → บน ) L11 Condition number เลขเงื่อนไข κ ( A ) = ∥ A ∥ ∥ A − 1 ∥ , ∥ δ x ∥ ∥ x ∥ ≤ κ ( A ) ∥ δ b ∥ ∥ b ∥ \kappa(A) = \lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert, \qquad \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\,\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert} κ ( A ) = ∥ A ∥ ∥ A − 1 ∥ , ∥ x ∥ ∥ δ x ∥ ≤ κ ( A ) ∥ b ∥ ∥ δ b ∥ L10 Least squares (normal equations) สมการปกติ min x ∥ A x − b ∥ 2 ⟺ A T A x ^ = A T b ⟺ x ^ = ( A T A ) − 1 A T b \min_{\mathbf x}\lVert A\mathbf x - \mathbf b\rVert^2 \iff A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b \iff \hat{\mathbf x} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf b x min ∥ A x − b ∥ 2 ⟺ A T A x ^ = A T b ⟺ x ^ = ( A T A ) − 1 A T b I1 Definition of the inverse นิยามอินเวอร์ส A A − 1 = A − 1 A = I , A − 1 มีจริง ⟺ det A ≠ 0 AA^{-1} = A^{-1}A = I, \qquad A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0 A A − 1 = A − 1 A = I , A − 1 มีจริง ⟺ det A = 0 I2 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2 ( a b c d ) − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) , a d − b c ≠ 0 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} \hlF{d} & \hlP{-b} \\ \hlP{-c} & \hlF{a} \end{pmatrix}, \qquad ad - bc \ne 0 ( a c b d ) − 1 = a d − b c 1 ( d − c − b a ) , a d − b c = 0 I3 Adjugate formula สูตรเมทริกซ์ผูกพัน adj A = C T = [ C j i ] , A − 1 = 1 det A adj A , A adj A = ( det A ) I \operatorname{adj}A = C^T = [C_{ji}], \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A, \qquad A\operatorname{adj}A = (\det A)\,I adj A = C T = [ C ji ] , A − 1 = det A 1 adj A , A adj A = ( det A ) I I4 Gauss–Jordan inversion หาอินเวอร์สด้วยการลดแถว [ A ∣ I ] → การดำเนินการตามแถว [ I ∣ A − 1 ] [\,A \mid I\,] \ \xrightarrow{\text{การดำเนินการตามแถว}}\ [\,I \mid A^{-1}\,] [ A ∣ I ] การดำเนินการตามแถว [ I ∣ A − 1 ] I7 Why it works: elementary matrices ทำไมวิธีนี้ได้ผล E k ⋯ E 2 E 1 A = I ⇒ A − 1 = E k ⋯ E 2 E 1 = E k ⋯ E 2 E 1 I E_k\cdots E_2E_1A = I \ \Rightarrow\ A^{-1} = E_k\cdots E_2E_1 = E_k\cdots E_2E_1\,I E k ⋯ E 2 E 1 A = I ⇒ A − 1 = E k ⋯ E 2 E 1 = E k ⋯ E 2 E 1 I I5 Properties of the inverse สมบัติของอินเวอร์ส ( A − 1 ) − 1 = A ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 ( k ≠ 0 ) ( A k ) − 1 = ( A − 1 ) k det ( A − 1 ) = 1 det A \begin{gathered} (A^{-1})^{-1} = A \qquad \hlF{(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}} \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \\ (kA)^{-1} = \tfrac1k A^{-1}\ (k \ne 0) \qquad (A^k)^{-1} = (A^{-1})^k \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} \end{gathered} ( A − 1 ) − 1 = A ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ( k A ) − 1 = k 1 A − 1 ( k = 0 ) ( A k ) − 1 = ( A − 1 ) k det ( A − 1 ) = det A 1 I6 Inverses you can write immediately อินเวอร์สที่เขียนได้ทันที diag ( d 1 , … , d n ) − 1 = diag ( 1 d 1 , … , 1 d n ) Q − 1 = Q T ( เชิงตั้งฉาก ) ( A O O D ) − 1 = ( A − 1 O O D − 1 ) ( 1 k 0 1 ) − 1 = ( 1 − k 0 1 ) \begin{gathered} \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)^{-1} = \operatorname{diag}\!\left(\tfrac{1}{d_1}, \dots, \tfrac{1}{d_n}\right) \qquad Q^{-1} = Q^T \ (\text{เชิงตั้งฉาก}) \\ \begin{pmatrix} A & O \\ O & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & D^{-1} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{gathered} diag ( d 1 , … , d n ) − 1 = diag ( d 1 1 , … , d n 1 ) Q − 1 = Q T ( เชิงตั้งฉาก ) ( A O O D ) − 1 = ( A − 1 O O D − 1 ) ( 1 0 k 1 ) − 1 = ( 1 0 − k 1 ) a a a n × n n\times n n × n I10 Invertible matrix theorem ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ (สำหรับ A A A n × n n\times n n × n A − 1 มีจริง ⟺ det A ≠ 0 ⟺ rank A = n ⟺ RREF ( A ) = I ⟺ A x = 0 มีแต่คำตอบ 0 ⟺ A x = b มีคำตอบเดียวทุก b ⟺ หลัก (แถว) ของ A อิสระเชิงเส้น ⟺ 0 ไม่เป็นค่าเฉพาะของ A \begin{gathered} A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n \iff \operatorname{RREF}(A) = I \\ \iff A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีแต่คำตอบ } \mathbf 0 \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \\ \iff \text{หลัก (แถว) ของ } A \text{ อิสระเชิงเส้น} \iff 0 \text{ ไม่เป็นค่าเฉพาะของ } A \end{gathered} A − 1 มีจริง ⟺ det A = 0 ⟺ rank A = n ⟺ RREF ( A ) = I ⟺ A x = 0 มีแต่คำตอบ 0 ⟺ A x = b มีคำตอบเดียวทุก b ⟺ หลัก ( แถว ) ของ A อิสระเชิงเส้น ⟺ 0 ไม่เป็นค่าเฉพาะของ A I8 Solving with the inverse แก้ระบบด้วยอินเวอร์ส A x = b ⇒ x = A − 1 b A\mathbf x = \mathbf b \ \Rightarrow\ \mathbf x = A^{-1}\mathbf b A x = b ⇒ x = A − 1 b I9 Matrix equations สมการเมทริกซ์ A X = B ⇒ X = A − 1 B , X A = B ⇒ X = B A − 1 AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B, \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1} A X = B ⇒ X = A − 1 B , X A = B ⇒ X = B A − 1 I11 Sherman–Morrison formula อัปเดตอินเวอร์สเมื่อเมทริกซ์เปลี่ยนแรงก์หนึ่ง ( A + u v T ) − 1 = A − 1 − A − 1 u v T A − 1 1 + v T A − 1 u , 1 + v T A − 1 u ≠ 0 (A + \mathbf u\mathbf v^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\mathbf u\,\mathbf v^TA^{-1}}{1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u \ne 0 ( A + u v T ) − 1 = A − 1 − 1 + v T A − 1 u A − 1 u v T A − 1 , 1 + v T A − 1 u = 0 I12 Block inverse (Schur complement) อินเวอร์สแบบบล็อก ( A B C D ) − 1 = ( A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 − A − 1 B S − 1 − S − 1 C A − 1 S − 1 ) , S = D − C A − 1 B \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}, \qquad S = D - CA^{-1}B ( A C B D ) − 1 = ( A − 1 + A − 1 B S − 1 C A − 1 − S − 1 C A − 1 − A − 1 B S − 1 S − 1 ) , S = D − C A − 1 B I13 Neumann series อนุกรมนอยมันน์ ( I − A ) − 1 = I + A + A 2 + A 3 + ⋯ (I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots ( I − A ) − 1 = I + A + A 2 + A 3 + ⋯ I14 Inverse from Cayley–Hamilton (2×2) อินเวอร์สจากพหุนามลักษณะเฉพาะ A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I = O ⇒ A − 1 = ( tr A ) I − A det A A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O \ \Rightarrow\ A^{-1} = \frac{(\operatorname{tr}A)I - A}{\det A} A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I = O ⇒ A − 1 = det A ( tr A ) I − A I15 Moore–Penrose pseudo-inverse อินเวอร์สเทียม (เมทริกซ์ไม่จัตุรัส) A + = ( A T A ) − 1 A T ( หลักอิสระ ) , A + = A T ( A A T ) − 1 ( แถวอิสระ ) , A + = V Σ + U T ( ทั่วไป ผ่าน SVD ) A^{+} = (A^TA)^{-1}A^T \ \ (\text{หลักอิสระ}), \qquad A^{+} = A^T(AA^T)^{-1} \ \ (\text{แถวอิสระ}), \qquad A^{+} = V\Sigma^{+}U^T \ \ (\text{ทั่วไป ผ่าน SVD}) A + = ( A T A ) − 1 A T ( หลักอิสระ ) , A + = A T ( A A T ) − 1 ( แถวอิสระ ) , A + = V Σ + U T ( ทั่วไป ผ่าน SVD ) C1 Cramer's rule กฎของคราเมอร์ x i = Δ i Δ = det A i det A , Δ = det A ≠ 0 x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} = \frac{\det A_i}{\det A}, \qquad \Delta = \det A \ne 0 x i = Δ Δ i = det A det A i , Δ = det A = 0 C2 Cramer's rule for 2×2 สูตรสำเร็จสองตัวแปร a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 ⇒ x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = c 1 b 2 − b 1 c 2 a 1 b 2 − b 1 a 2 , y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ = a 1 c 2 − c 1 a 2 a 1 b 2 − b 1 a 2 \begin{aligned} a_1x + b_1y &= c_1 \\ a_2x + b_2y &= c_2 \end{aligned} \ \Rightarrow\ x = \frac{\begin{vmatrix} \hlU{c_1} & b_1 \\ \hlU{c_2} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1b_2 - b_1c_2}{a_1b_2 - b_1a_2}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & \hlU{c_1} \\ a_2 & \hlU{c_2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1c_2 - c_1a_2}{a_1b_2 - b_1a_2} a 1 x + b 1 y a 2 x + b 2 y = c 1 = c 2 ⇒ x = a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 b 1 b 2 = a 1 b 2 − b 1 a 2 c 1 b 2 − b 1 c 2 , y = a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 a 2 c 1 c 2 = a 1 b 2 − b 1 a 2 a 1 c 2 − c 1 a 2 C3 Cramer's rule for 3×3 สามตัวแปร x = Δ x Δ , y = Δ y Δ , z = Δ z Δ , Δ x = ∣ b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 ∣ , … x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} \hlU{b_1} & a_{12} & a_{13} \\ \hlU{b_2} & a_{22} & a_{23} \\ \hlU{b_3} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix},\ \dots x = Δ Δ x , y = Δ Δ y , z = Δ Δ z , Δ x = b 1 b 2 b 3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 , … C4 Proof sketch ที่มาของสูตร A X i = A i ⇒ det A ⋅ det X i = det A i , det X i = x i ( กระจายตามแถว i ) ⇒ x i = det A i det A AX_i = A_i \ \Rightarrow\ \det A\cdot\det X_i = \det A_i, \qquad \det X_i = x_i \ (\text{กระจายตามแถว } i) \ \Rightarrow\ x_i = \frac{\det A_i}{\det A} A X i = A i ⇒ det A ⋅ det X i = det A i , det X i = x i ( กระจายตามแถว i ) ⇒ x i = det A det A i C6 Relation to the adjugate คราเมอร์คือแอดจอยต์คูณ b x = A − 1 b = adj A b det A , x i = ∑ j C j i b j det A = det A i det A \mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \frac{\operatorname{adj}A\,\mathbf b}{\det A}, \qquad x_i = \frac{\sum_j C_{ji}b_j}{\det A} = \frac{\det A_i}{\det A} x = A − 1 b = det A adj A b , x i = det A ∑ j C ji b j = det A det A i C5 When Δ = 0 กรณีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ Δ = 0 ⇒ คราเมอร์ใช้ไม่ได้: ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด \Delta = 0 \ \Rightarrow\ \text{คราเมอร์ใช้ไม่ได้: ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด} Δ = 0 ⇒ คราเมอร์ใช้ไม่ได้ : ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด C10 Cramer with a parameter คราเมอร์เมื่อมีพารามิเตอร์ Δ ( k ) ≠ 0 ⇒ x i = Δ i ( k ) Δ ( k ) ; Δ ( k 0 ) = 0 ⇒ แทน k 0 แล้วลดแถว (ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด) \Delta(k) \ne 0 \Rightarrow x_i = \frac{\Delta_i(k)}{\Delta(k)};\qquad \Delta(k_0) = 0 \Rightarrow \text{แทน } k_0 \text{ แล้วลดแถว (ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด)} Δ ( k ) = 0 ⇒ x i = Δ ( k ) Δ i ( k ) ; Δ ( k 0 ) = 0 ⇒ แทน k 0 แล้วลดแถว ( ไม่มีคำตอบหรือไม่จำกัด ) C7 Works over complex numbers and in s ใช้กับเชิงซ้อนและตัวแปร s ได้ Z I = V ⇒ I k = Δ k Δ , Δ , Δ k ∈ C หรือเป็นพหุนามของ s \mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V \ \Rightarrow\ I_k = \frac{\Delta_k}{\Delta}, \qquad \Delta,\ \Delta_k \in \mathbb C \ \text{หรือเป็นพหุนามของ } s Z I = V ⇒ I k = Δ Δ k , Δ , Δ k ∈ C หรือเป็นพหุนามของ s C8 Transfer function and natural frequencies ฟังก์ชันถ่ายโอนและความถี่ธรรมชาติ H ( s ) = X k ( s ) U ( s ) = Δ k ( s ) / U ( s ) Δ ( s ) , Δ ( s ) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร H(s) = \frac{X_k(s)}{U(s)} = \frac{\Delta_k(s)/U(s)}{\Delta(s)}, \qquad \Delta(s) = 0 \ \text{คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร} H ( s ) = U ( s ) X k ( s ) = Δ ( s ) Δ k ( s ) / U ( s ) , Δ ( s ) = 0 คือสมการลักษณะเฉพาะ ให้ขั้วของวงจร C9 Computational cost ต้นทุนการคำนวณ คราเมอร์ครบทุกตัวแปร = ( n + 1 ) ดีเทอร์มิแนนต์ n × n เทียบ เกาส์ ≈ n 3 3 การคูณ \text{คราเมอร์ครบทุกตัวแปร} = (n + 1) \text{ ดีเทอร์มิแนนต์ } n\times n \qquad \text{เทียบ} \qquad \text{เกาส์} \approx \tfrac{n^3}{3} \text{ การคูณ} คราเมอร์ครบทุกตัวแปร = ( n + 1 ) ดีเทอร์มิแนนต์ n × n เทียบ เกาส์ ≈ 3 n 3 การคูณ E1 Eigenvalue and eigenvector นิยามค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ A v = λ v , v ≠ 0 A\mathbf v = \hlC{\lambda}\mathbf v, \qquad \mathbf v \ne \mathbf 0 A v = λ v , v = 0 E2 Characteristic equation สมการลักษณะเฉพาะ det ( A − λ I ) = 0 , p ( λ ) = det ( λ I − A ) = λ n − ( tr A ) λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n det A \det(A - \lambda I) = 0, \qquad p(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \lambda^n - (\operatorname{tr}A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n\det A det ( A − λ I ) = 0 , p ( λ ) = det ( λ I − A ) = λ n − ( tr A ) λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n det A E3 2×2 shortcut สูตรลัด 2×2 λ 2 − ( tr A ) λ + det A = 0 ⇒ λ = tr A ± ( tr A ) 2 − 4 det A 2 \lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2} λ 2 − ( tr A ) λ + det A = 0 ⇒ λ = 2 tr A ± ( tr A ) 2 − 4 det A E4 2×2 eigenvector shortcut เวกเตอร์เฉพาะ 2×2 แบบเร็ว v = ( b λ − a ) ( b ≠ 0 ) หรือ v = ( λ − d c ) ( c ≠ 0 ) \mathbf v = \begin{pmatrix} b \\ \lambda - a \end{pmatrix} \ (b \ne 0) \qquad \text{หรือ} \qquad \mathbf v = \begin{pmatrix} \lambda - d \\ c \end{pmatrix} \ (c \ne 0) v = ( b λ − a ) ( b = 0 ) หรือ v = ( λ − d c ) ( c = 0 ) E6 Trace and determinant ผลบวกและผลคูณของค่าเฉพาะ λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = tr A , λ 1 λ 2 ⋯ λ n = det A \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n = \det A λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n = tr A , λ 1 λ 2 ⋯ λ n = det A v \mathbf v v a t a^t a t E7 Eigenvalues of related matrices ค่าเฉพาะของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง (v \mathbf v v A T A^T A T เมทริกซ์ A A k A − 1 A + c I k A p ( A ) A T ค่าเฉพาะ λ λ k 1 / λ λ + c k λ p ( λ ) λ \begin{array}{c|ccccccc} \text{เมทริกซ์} & A & A^k & A^{-1} & A + cI & kA & p(A) & A^T \\ \hline \text{ค่าเฉพาะ} & \lambda & \lambda^k & 1/\lambda & \lambda + c & k\lambda & p(\lambda) & \lambda \end{array} เมทริกซ์ ค่าเฉพาะ A λ A k λ k A − 1 1/ λ A + c I λ + c k A kλ p ( A ) p ( λ ) A T λ E13 Similarity invariance เมทริกซ์คล้ายมีค่าเฉพาะเท่ากัน B = P − 1 A P ⇒ det ( B − λ I ) = det ( A − λ I ) B = P^{-1}AP \ \Rightarrow\ \det(B - \lambda I) = \det(A - \lambda I) B = P − 1 A P ⇒ det ( B − λ I ) = det ( A − λ I ) E5 Algebraic vs geometric multiplicity ภาวะรากซ้ำเชิงพีชคณิตและเชิงเรขาคณิต 1 ≤ dim N ( A − λ I ) ⏟ เชิงเรขาคณิต ≤ จำนวนครั้งที่ราก λ ซ้ำ ⏟ เชิงพีชคณิต 1 \le \underbrace{\dim N(A - \lambda I)}_{\text{เชิงเรขาคณิต}} \le \underbrace{\text{จำนวนครั้งที่ราก } \lambda \text{ ซ้ำ}}_{\text{เชิงพีชคณิต}} 1 ≤ เชิงเรขาคณิต dim N ( A − λ I ) ≤ เชิงพีชคณิต จำนวนครั้งที่ราก λ ซ้ำ E8 Complex eigenvalues of a real matrix ค่าเฉพาะเชิงซ้อนของเมทริกซ์จริง λ = σ ± j ω , v λ ˉ = v λ ‾ , ( σ − ω ω σ ) = r ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) \lambda = \sigma \pm j\omega, \qquad \mathbf v_{\bar\lambda} = \overline{\mathbf v_\lambda}, \qquad \begin{pmatrix} \sigma & -\omega \\ \omega & \sigma \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} λ = σ ± jω , v λ ˉ = v λ , ( σ ω − ω σ ) = r ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) E9 Diagonalization การทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม A = P D P − 1 , P = ( ∣ ∣ v 1 ⋯ v n ∣ ∣ ) , D = ( λ 1 ⋱ λ n ) A = PDP^{-1}, \qquad P = \begin{pmatrix} | & & | \\ \mathbf v_1 & \cdots & \mathbf v_n \\ | & & | \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} A = P D P − 1 , P = ∣ v 1 ∣ ⋯ ∣ v n ∣ , D = λ 1 ⋱ λ n E10 Powers via diagonalization ยกกำลังผ่านทแยงมุม A k = P D k P − 1 = P ( λ 1 k ⋱ λ n k ) P − 1 A^k = PD^kP^{-1} = P\begin{pmatrix} \lambda_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^k \end{pmatrix}P^{-1} A k = P D k P − 1 = P λ 1 k ⋱ λ n k P − 1 a = a t a = a^t a = a t E11 Spectral theorem ทฤษฎีบทสเปกตรัม (A = A T A = A^T A = A T A = Q Λ Q T = ∑ i = 1 n λ i q i q i T , Q T Q = I A = Q\Lambda Q^T = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\,\mathbf q_i\mathbf q_i^T, \qquad Q^TQ = I A = Q Λ Q T = i = 1 ∑ n λ i q i q i T , Q T Q = I E12 Definiteness test ความเป็นบวกแน่นอน x T A x > 0 ∀ x ≠ 0 ⟺ ค่าเฉพาะทุกตัวของ A = A T เป็นบวก \mathbf x^TA\mathbf x \gt 0 \ \ \forall\mathbf x \ne \mathbf 0 \iff \text{ค่าเฉพาะทุกตัวของ } A = A^T \text{ เป็นบวก} x T A x > 0 ∀ x = 0 ⟺ ค่าเฉพาะทุกตัวของ A = A T เป็นบวก E14 Cayley–Hamilton theorem เมทริกซ์ทุกตัวเป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะของตัวเอง p ( λ ) = det ( λ I − A ) ⇒ p ( A ) = O , 2×2: A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I = O p(\lambda) = \det(\lambda I - A) \ \Rightarrow\ p(A) = O, \qquad \text{2×2: } A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O p ( λ ) = det ( λ I − A ) ⇒ p ( A ) = O , 2×2: A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I = O E15 Solution of ẋ = Ax by modes คำตอบในรูปโหมด x ( t ) = e A t x ( 0 ) = ∑ i = 1 n c i e λ i t v i , x ( 0 ) = ∑ c i v i ( c = P − 1 x ( 0 ) ) \mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x(0) = \sum_{i=1}^{n}c_i\,e^{\lambda_it}\,\mathbf v_i, \qquad \mathbf x(0) = \sum c_i\mathbf v_i \ \ (\mathbf c = P^{-1}\mathbf x(0)) x ( t ) = e A t x ( 0 ) = i = 1 ∑ n c i e λ i t v i , x ( 0 ) = ∑ c i v i ( c = P − 1 x ( 0 )) E16 Stability criterion เกณฑ์เสถียรภาพ x ˙ = A x เสถียรเชิงเส้นกำกับ ⟺ Re λ i < 0 ทุก i \dot{\mathbf x} = A\mathbf x \text{ เสถียรเชิงเส้นกำกับ} \iff \operatorname{Re}\lambda_i \lt 0 \ \text{ทุก } i x ˙ = A x เสถียรเชิงเส้นกำกับ ⟺ Re λ i < 0 ทุก i E18 Jordan form (defective case) รูปแบบจอร์แดน A = P J P − 1 , J = ( λ 1 0 λ ) ⇒ e J t = e λ t ( 1 t 0 1 ) A = PJP^{-1}, \quad J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ e^{Jt} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A = P J P − 1 , J = ( λ 0 1 λ ) ⇒ e J t = e λ t ( 1 0 t 1 ) E17 Power iteration วิธีกำลัง (หาค่าเฉพาะเด่นเชิงตัวเลข) x k + 1 = A x k ∥ A x k ∥ ⟶ v max , λ max ≈ x k T A x k x k T x k \mathbf x_{k+1} = \frac{A\mathbf x_k}{\lVert A\mathbf x_k\rVert} \ \longrightarrow\ \mathbf v_{\max}, \qquad \lambda_{\max} \approx \frac{\mathbf x_k^TA\mathbf x_k}{\mathbf x_k^T\mathbf x_k} x k + 1 = ∥ A x k ∥ A x k ⟶ v m a x , λ m a x ≈ x k T x k x k T A x k A1 Mesh equations by inspection สมการเมชด้วยการมอง (วงจรตัวต้านทาน + แหล่งแรงดันอิสระ) R I = V , r k k = ∑ R รอบเมช k , r k j = − ∑ R ที่ใช้ร่วมระหว่าง k , j , V k = ∑ แหล่งจ่ายที่ดันตามทิศ I k R\,\mathbf I = \mathbf V, \qquad r_{kk} = \sum R \text{ รอบเมช } k, \quad r_{kj} = -\sum R \text{ ที่ใช้ร่วมระหว่าง } k, j, \quad V_k = \sum \text{แหล่งจ่ายที่ดันตามทิศ } I_k R I = V , r kk = ∑ R รอบเมช k , r kj = − ∑ R ที่ใช้ร่วมระหว่าง k , j , V k = ∑ แหล่งจ่ายที่ดันตามทิศ I k A2 Nodal equations by inspection สมการโนดด้วยการมอง (ตัวต้านทาน + แหล่งกระแสอิสระ) G V = I , g k k = ∑ G ที่ต่อกับโนด k , g k j = − ∑ G ระหว่างโนด k , j , I k = ∑ กระแสที่ฉีดเข้าโนด k G\,\mathbf V = \mathbf I, \qquad g_{kk} = \sum G \text{ ที่ต่อกับโนด } k, \quad g_{kj} = -\sum G \text{ ระหว่างโนด } k, j, \quad I_k = \sum \text{กระแสที่ฉีดเข้าโนด } k G V = I , g kk = ∑ G ที่ต่อกับโนด k , g kj = − ∑ G ระหว่างโนด k , j , I k = ∑ กระแสที่ฉีดเข้าโนด k A11 Modified nodal analysis (MNA) การวิเคราะห์โนดดัดแปลง (สิ่งที่ SPICE ทำ) ( G B C D ) ( v i V ) = ( i s e ) \begin{pmatrix} G & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf v \\ \mathbf i_V \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf i_s \\ \mathbf e \end{pmatrix} ( G C B D ) ( v i V ) = ( i s e ) A3 Dependent sources แหล่งจ่ายไม่อิสระทำให้เมทริกซ์ไม่สมมาตร เขียน KVL/KCL ตามปกติ → ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรควบคุมไปซ้าย → R I = V แต่ R ≠ R T \text{เขียน KVL/KCL ตามปกติ} \to \text{ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรควบคุมไปซ้าย} \to R\mathbf I = \mathbf V \text{ แต่ } R \ne R^T เขียน KVL/KCL ตามปกติ → ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรควบคุมไปซ้าย → R I = V แต่ R = R T A4 Phasor mesh/nodal equations สมการเมช/โนดแบบเฟเซอร์ Z I = V , Z R = R , Z L = j ω L , Z C = 1 j ω C = − j ω C \mathbf Z\,\mathbf I = \mathbf V, \qquad Z_R = R,\quad Z_L = j\omega L,\quad Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\frac{j}{\omega C} Z I = V , Z R = R , Z L = jω L , Z C = jω C 1 = − ω C j A5 Series RLC in state space RLC อนุกรมในปริภูมิสถานะ d d t ( i L v C ) = ( − R / L − 1 / L 1 / C 0 ) ⏟ A ( i L v C ) + ( 1 / L 0 ) u , λ 2 + R L λ + 1 L C = 0 \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} -R/L & -1/L \\ 1/C & 0 \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix} i_L \\ v_C \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/L \\ 0 \end{pmatrix}u, \qquad \lambda^2 + \frac{R}{L}\lambda + \frac{1}{LC} = 0 d t d ( i L v C ) = A ( − R / L 1/ C − 1/ L 0 ) ( i L v C ) + ( 1/ L 0 ) u , λ 2 + L R λ + L C 1 = 0 r 1 = r 2 = r , c 1 = c 2 = c , τ = r c r_1 = r_2 = r,\ c_1 = c_2 = c,\ \tau = rc r 1 = r 2 = r , c 1 = c 2 = c , τ = rc A6 Two-stage RC ladder RC สองชั้น (R 1 = R 2 = R , C 1 = C 2 = C , τ = R C R_1 = R_2 = R,\ C_1 = C_2 = C,\ \tau = RC R 1 = R 2 = R , C 1 = C 2 = C , τ = RC v ˙ = 1 τ ( − 2 1 1 − 1 ) v + 1 τ ( 1 0 ) u , λ τ = − 3 ± 5 2 = − 0.382 , − 2.618 \dot{\mathbf v} = \frac{1}{\tau}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbf v + \frac{1}{\tau}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}u, \qquad \lambda\tau = \frac{-3 \pm \sqrt5}{2} = -0.382,\ -2.618 v ˙ = τ 1 ( − 2 1 1 − 1 ) v + τ 1 ( 1 0 ) u , λ τ = 2 − 3 ± 5 = − 0.382 , − 2.618 A7 ABCD (transmission) matrix เมทริกซ์ ABCD ( V 1 I 1 ) = ( A B C D ) ( V 2 I 2 ) , ( 1 Z 0 1 ) ⏟ อนุกรม Z , ( 1 0 Y 1 ) ⏟ ขนาน Y , T รวม = T 1 T 2 ⋯ T k \begin{pmatrix} V_1 \\ I_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_2 \\ I_2 \end{pmatrix}, \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & Z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{อนุกรม } Z}, \quad \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ Y & 1 \end{pmatrix}}_{\text{ขนาน } Y}, \quad T_{\text{รวม}} = T_1T_2\cdots T_k ( V 1 I 1 ) = ( A C B D ) ( V 2 I 2 ) , อนุกรม Z ( 1 0 Z 1 ) , ขนาน Y ( 1 Y 0 1 ) , T รวม = T 1 T 2 ⋯ T k A8 Symmetrical components (Fortescue) การแปลงองค์ประกอบสมมาตร ( V a V b V c ) = ( 1 1 1 1 a 2 a 1 a a 2 ) ( V 0 V 1 V 2 ) , ( V 0 V 1 V 2 ) = 1 3 ( 1 1 1 1 a a 2 1 a 2 a ) ( V a V b V c ) \begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{pmatrix} V a V b V c = 1 1 1 1 a 2 a 1 a a 2 V 0 V 1 V 2 , V 0 V 1 V 2 = 3 1 1 1 1 1 a a 2 1 a 2 a V a V b V c A12 Why it works: eigenvectors of the phase-impedance matrix เหตุผลเบื้องหลัง: เวกเตอร์เฉพาะ Z a b c = ( Z s Z m Z m Z m Z s Z m Z m Z m Z s ) ⇒ A − 1 Z a b c A = ( Z s + 2 Z m Z s − Z m Z s − Z m ) \mathbf Z_{abc} = \begin{pmatrix} Z_s & Z_m & Z_m \\ Z_m & Z_s & Z_m \\ Z_m & Z_m & Z_s \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ \mathbf A^{-1}\mathbf Z_{abc}\mathbf A = \begin{pmatrix} Z_s + 2Z_m & & \\ & Z_s - Z_m & \\ & & Z_s - Z_m \end{pmatrix} Z ab c = Z s Z m Z m Z m Z s Z m Z m Z m Z s ⇒ A − 1 Z ab c A = Z s + 2 Z m Z s − Z m Z s − Z m A9 Clarke and Park transforms การแปลงคลาร์ก (abc → αβ) และพาร์ก (αβ → dq) ( v α v β ) = 2 3 ( 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ) ( v a v b v c ) , ( v d v q ) = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( v α v β ) \begin{pmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{pmatrix} = \frac23\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12 \\ 0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_a \\ v_b \\ v_c \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} v_d \\ v_q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_\alpha \\ v_\beta \end{pmatrix} ( v α v β ) = 3 2 ( 1 0 − 2 1 2 3 − 2 1 − 2 3 ) v a v b v c , ( v d v q ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( v α v β ) A10 Bus admittance matrix เมทริกซ์แอดมิตแตนซ์บัส I bus = Y bus V bus , Y k k = ∑ ต่อกับบัส k y , Y k j = − y k j , Z bus = Y bus − 1 \mathbf I_{\text{bus}} = \mathbf Y_{\text{bus}}\mathbf V_{\text{bus}}, \qquad Y_{kk} = \sum_{\text{ต่อกับบัส } k} y, \quad Y_{kj} = -y_{kj}, \qquad \mathbf Z_{\text{bus}} = \mathbf Y_{\text{bus}}^{-1} I bus = Y bus V bus , Y kk = ต่อกับบัส k ∑ y , Y kj = − y kj , Z bus = Y bus − 1 G1 Incidence matrix formulation เมทริกซ์อุบัติการณ์ KCL: A i = 0 , KVL: v = A T e , i = Y v + j s ⇒ A Y A T ⏟ G e = − A j s \text{KCL: } A\mathbf i = \mathbf 0,\quad \text{KVL: } \mathbf v = A^T\mathbf e,\quad \mathbf i = Y\mathbf v + \mathbf j_s \ \Rightarrow\ \underbrace{AYA^T}_{G}\,\mathbf e = -A\mathbf j_s KCL: A i = 0 , KVL: v = A T e , i = Y v + j s ⇒ G A Y A T e = − A j s G2 DC power flow การไหลของกำลังแบบ DC P = B ′ θ , P i j = θ i − θ j X i j \mathbf P = B'\boldsymbol\theta,\qquad P_{ij} = \frac{\theta_i - \theta_j}{X_{ij}} P = B ′ θ , P ij = X ij θ i − θ j G3 Least squares กำลังสองน้อยสุด min ∥ A x − b ∥ 2 ⇒ A T A x ^ = A T b \min\|A\mathbf x - \mathbf b\|^2 \Rightarrow A^TA\,\hat{\mathbf x} = A^T\mathbf b min ∥ A x − b ∥ 2 ⇒ A T A x ^ = A T b G4 Free vibration of MDOF systems การสั่นอิสระหลายองศาอิสระ M x ¨ + K x = 0 , x = ϕ sin ω t ⇒ ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 , det ( K − ω 2 M ) = 0 M\ddot{\mathbf x} + K\mathbf x = \mathbf 0,\quad \mathbf x = \boldsymbol\phi\sin\omega t \ \Rightarrow\ (K - \omega^2M)\boldsymbol\phi = \mathbf 0,\quad \det(K - \omega^2M) = 0 M x ¨ + K x = 0 , x = ϕ sin ω t ⇒ ( K − ω 2 M ) ϕ = 0 , det ( K − ω 2 M ) = 0 G5 Spring / bar element ชิ้นส่วนสปริงหรือแท่งรับแรงตามแกน k e = E A L [ 1 − 1 − 1 1 ] , K = ∑ e ( วาง k e ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง ) k_e = \frac{EA}{L}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix},\qquad K = \sum_e (\text{วาง } k_e \text{ ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง}) k e = L E A [ 1 − 1 − 1 1 ] , K = e ∑ ( วาง k e ลงตำแหน่งของโนดตัวเอง ) G6 Stiffness equation สมการสติฟเนส K u = F K\mathbf u = \mathbf F K u = F G7 Truss by the method of joints โครงถักด้วยวิธีจุดต่อ ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 ทุกจุดต่อ ⇒ A f = b , m + r = 2 j ( ดีเทอร์มิเนตสถิต ) \sum F_x = 0,\ \sum F_y = 0 \text{ ทุกจุดต่อ} \Rightarrow A\mathbf f = \mathbf b,\qquad m + r = 2j \ (\text{ดีเทอร์มิเนตสถิต}) ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 ทุกจุดต่อ ⇒ A f = b , m + r = 2 j ( ดีเทอร์มิเนตสถิต ) G8 Leveling adjustment ปรับแก้งานระดับ H j − H i = Δ h i j + v i j , min ∑ v 2 ⇒ A T A H ^ = A T b H_j - H_i = \Delta h_{ij} + v_{ij},\quad \min\sum v^2 \Rightarrow A^TA\hat{\mathbf H} = A^T\mathbf b H j − H i = Δ h ij + v ij , min ∑ v 2 ⇒ A T A H ^ = A T b G9 Network flow balance สมดุลเครือข่ายจราจร/ท่อ เข้า = ออก ทุกทางแยก ⇒ A x = b , rank A < n ⇒ มีตัวแปรอิสระ \text{เข้า} = \text{ออก ทุกทางแยก} \Rightarrow A\mathbf x = \mathbf b,\ \operatorname{rank}A < n \Rightarrow \text{มีตัวแปรอิสระ} เข้า = ออก ทุกทางแยก ⇒ A x = b , rank A < n ⇒ มีตัวแปรอิสระ R1 Definition of rank นิยามแรงก์ rank A = จำนวนแถวอิสระเชิงเส้น = จำนวนหลักอิสระเชิงเส้น = จำนวนตัวหลักในรูปขั้นบันได \operatorname{rank}A = \text{จำนวนแถวอิสระเชิงเส้น} = \text{จำนวนหลักอิสระเชิงเส้น} = \text{จำนวนตัวหลักในรูปขั้นบันได} rank A = จำนวนแถวอิสระเชิงเส้น = จำนวนหลักอิสระเชิงเส้น = จำนวนตัวหลักในรูปขั้นบันได R2 Basic bounds ขอบเขตของแรงก์ 0 ≤ rank A ≤ min ( m , n ) , rank A T = rank A 0 \le \operatorname{rank}A \le \min(m, n), \qquad \operatorname{rank}A^T = \operatorname{rank}A 0 ≤ rank A ≤ min ( m , n ) , rank A T = rank A R3 Row operations keep the rank ลดแถวแล้วแรงก์ไม่เปลี่ยน A ∼ B ( ด้วย R i ↔ R j , k R i , R i + k R j ) ⇒ rank A = rank B A \sim B \ (\text{ด้วย } R_i \leftrightarrow R_j,\ kR_i,\ R_i + kR_j) \Rightarrow \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}B A ∼ B ( ด้วย R i ↔ R j , k R i , R i + k R j ) ⇒ rank A = rank B R4 Determinantal rank แรงก์จากไมเนอร์ rank A = r ⟺ มีไมเนอร์อันดับ r ที่ไม่เป็นศูนย์ และไมเนอร์อันดับ r + 1 ทุกตัวเป็นศูนย์ \operatorname{rank}A = r \iff \text{มีไมเนอร์อันดับ } r \text{ ที่ไม่เป็นศูนย์ และไมเนอร์อันดับ } r + 1 \text{ ทุกตัวเป็นศูนย์} rank A = r ⟺ มีไมเนอร์อันดับ r ที่ไม่เป็นศูนย์ และไมเนอร์อันดับ r + 1 ทุกตัวเป็นศูนย์ R5 Square matrices เมทริกซ์จัตุรัส A n × n : rank A = n ⟺ det A ≠ 0 ⟺ A − 1 มีอยู่ A_{n\times n}:\quad \operatorname{rank}A = n \iff \det A \ne 0 \iff A^{-1} \text{ มีอยู่} A n × n : rank A = n ⟺ det A = 0 ⟺ A − 1 มีอยู่ R6 Procedure for a parameter ขั้นตอนโจทย์พารามิเตอร์ ① หา det A ( k ) แยกตัวประกอบ → ② k ที่ det ≠ 0 ⇒ rank = n → ③ แทน k ที่ทำให้ det = 0 ทีละค่า แล้วลดแถว \text{① หา } \det A(k) \text{ แยกตัวประกอบ} \ \rightarrow\ \text{② } k \text{ ที่ } \det \ne 0 \Rightarrow \operatorname{rank} = n \ \rightarrow\ \text{③ แทน } k \text{ ที่ทำให้ } \det = 0 \text{ ทีละค่า แล้วลดแถว} ① หา det A ( k ) แยกตัวประกอบ → ② k ที่ det = 0 ⇒ rank = n → ③ แทน k ที่ทำให้ det = 0 ทีละค่า แล้วลดแถว R7 Rouché–Capelli theorem ทฤษฎีบทรูเช-กาเปลลี (โครเนกเกอร์-กาเปลลี) A x = b , A m × n : { rank A < rank [ A ∣ b ] ไม่มีคำตอบ (inconsistent) rank A = rank [ A ∣ b ] = n คำตอบเดียว rank A = rank [ A ∣ b ] = r < n คำตอบไม่จำกัด A\mathbf x = \mathbf b,\ A_{m\times n}: \quad \begin{cases} \operatorname{rank}A \lt \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] & \text{ไม่มีคำตอบ (inconsistent)} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = n & \text{คำตอบเดียว} \\ \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}[A\mid\mathbf b] = r \lt n & \text{คำตอบไม่จำกัด} \end{cases} A x = b , A m × n : ⎩ ⎨ ⎧ rank A < rank [ A ∣ b ] rank A = rank [ A ∣ b ] = n rank A = rank [ A ∣ b ] = r < n ไม่มีคำตอบ (inconsistent) คำตอบเดียว คำตอบไม่จำกัด R8 Free variables จำนวนตัวแปรอิสระ จำนวนตัวแปรอิสระ = n − rank A \text{จำนวนตัวแปรอิสระ} = n - \operatorname{rank}A จำนวนตัวแปรอิสระ = n − rank A a x = 0 a\mathbf x = \mathbf 0 a x = 0 R9 Homogeneous systems ระบบเอกพันธ์ A x = 0 A\mathbf x = \mathbf 0 A x = 0 มีคำตอบไม่ชัด ( x ≠ 0 ) ⟺ rank A < n ⟺ n × n det A = 0 \text{มีคำตอบไม่ชัด } (\mathbf x \ne \mathbf 0) \iff \operatorname{rank}A \lt n \ \overset{n\times n}{\iff}\ \det A = 0 มีคำตอบไม่ชัด ( x = 0 ) ⟺ rank A < n ⟺ n × n det A = 0 R10 Rank–nullity theorem ทฤษฎีบทแรงก์-ภาวะศูนย์ rank A + nullity A = n , nullity A = dim N ( A ) \operatorname{rank}A + \operatorname{nullity}A = n, \qquad \operatorname{nullity}A = \dim N(A) rank A + nullity A = n , nullity A = dim N ( A ) R11 Bases from row reduction หาฐานจากการลดแถว C ( A ) : หลักของ A เดิม ที่ตำแหน่งตัวหลัก R ( A ) : แถวไม่เป็นศูนย์ของ REF N ( A ) : แก้ RREF ( A ) x = 0 C(A):\ \text{หลักของ } \hlP{A \text{ เดิม}} \text{ ที่ตำแหน่งตัวหลัก} \qquad R(A):\ \text{แถวไม่เป็นศูนย์ของ REF} \qquad N(A):\ \text{แก้ } \operatorname{RREF}(A)\,\mathbf x = \mathbf 0 C ( A ) : หลักของ A เดิม ที่ตำแหน่งตัวหลัก R ( A ) : แถวไม่เป็นศูนย์ของ REF N ( A ) : แก้ RREF ( A ) x = 0 R12 Products · Sylvester's inequality ผลคูณ rank A + rank B − n ≤ rank ( A B ) ≤ min ( rank A , rank B ) \operatorname{rank}A + \operatorname{rank}B - n \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}A, \operatorname{rank}B) rank A + rank B − n ≤ rank ( A B ) ≤ min ( rank A , rank B ) a t a a^ta a t a R13 Sums and Gram matrices ผลบวกและ A T A A^TA A T A rank ( A + B ) ≤ rank A + rank B , rank ( A T A ) = rank ( A A T ) = rank A \operatorname{rank}(A + B) \le \operatorname{rank}A + \operatorname{rank}B, \qquad \operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(AA^T) = \operatorname{rank}A rank ( A + B ) ≤ rank A + rank B , rank ( A T A ) = rank ( A A T ) = rank A R14 Rank-one matrices เมทริกซ์แรงก์ 1 rank A = 1 ⟺ A = u v T , u ≠ 0 , v ≠ 0 \operatorname{rank}A = 1 \iff A = \mathbf u\mathbf v^T,\ \mathbf u \ne \mathbf 0,\ \mathbf v \ne \mathbf 0 rank A = 1 ⟺ A = u v T , u = 0 , v = 0 adj a \operatorname{adj}a adj a R15 Rank of the adjugate แรงก์ของ adj A \operatorname{adj}A adj A rank ( adj A ) = { n rank A = n 1 rank A = n − 1 0 rank A ≤ n − 2 \operatorname{rank}(\operatorname{adj}A) = \begin{cases} n & \operatorname{rank}A = n \\ 1 & \operatorname{rank}A = n - 1 \\ 0 & \operatorname{rank}A \le n - 2 \end{cases} rank ( adj A ) = ⎩ ⎨ ⎧ n 1 0 rank A = n rank A = n − 1 rank A ≤ n − 2 R16 Incidence matrix of a circuit เมทริกซ์อุบัติการณ์ของวงจร rank A inc = n node − 1 ⇒ KCL อิสระ n − 1 สมการ , KVL อิสระ b − n + 1 สมการ (= จำนวนเมช) \operatorname{rank}A_{\text{inc}} = n_{\text{node}} - 1 \ \Rightarrow\ \text{KCL อิสระ } n - 1 \text{ สมการ},\quad \text{KVL อิสระ } b - n + 1 \text{ สมการ (= จำนวนเมช)} rank A inc = n node − 1 ⇒ KCL อิสระ n − 1 สมการ , KVL อิสระ b − n + 1 สมการ (= จำนวนเมช ) R17 Kalman controllability test ทดสอบการควบคุมได้ x ˙ = A x + B u ควบคุมได้ ⟺ rank [ B A B ⋯ A n − 1 B ] = n \dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B u \ \text{ควบคุมได้} \iff \operatorname{rank}\begin{bmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{bmatrix} = n x ˙ = A x + B u ควบคุมได้ ⟺ rank [ B A B ⋯ A n − 1 B ] = n R18 Numerical rank แรงก์เชิงตัวเลข (ข้อมูลจริงมีความคลาดเคลื่อน) rank ε A = # { σ i > ε } , ε = max ( m , n ) σ 1 ϵ mach ( ค่าเริ่มต้นของ NumPy/MATLAB ) \operatorname{rank}_\varepsilon A = \#\{\sigma_i \gt \varepsilon\},\qquad \varepsilon = \max(m, n)\,\sigma_1\,\epsilon_{\text{mach}} \ (\text{ค่าเริ่มต้นของ NumPy/MATLAB}) rank ε A = # { σ i > ε } , ε = max ( m , n ) σ 1 ϵ mach ( ค่าเริ่มต้นของ NumPy/MATLAB ) n × n n\times n n × n N1 Operation counts จำนวนการคำนวณ (ระบบ n × n n\times n n × n เกาส์ / LU ≈ 2 3 n 3 flops , แทนค่าย้อนกลับ ≈ n 2 , เกาส์-จอร์แดน ≈ n 3 , คราเมอร์ (โคแฟกเตอร์) ≈ ( n + 1 ) ! \text{เกาส์ / LU} \approx \tfrac23 n^3 \text{ flops},\quad \text{แทนค่าย้อนกลับ} \approx n^2,\quad \text{เกาส์-จอร์แดน} \approx n^3,\quad \text{คราเมอร์ (โคแฟกเตอร์)} \approx (n + 1)! เกาส์ / LU ≈ 3 2 n 3 flops , แทนค่าย้อนกลับ ≈ n 2 , เกาส์ - จอร์แดน ≈ n 3 , คราเมอร์ ( โคแฟกเตอร์ ) ≈ ( n + 1 )! N2 Machine epsilon ความละเอียดของเลขทศนิยม ϵ mach = 2 − 52 ≈ 2.22 × 10 − 16 ( double, IEEE 754 ) \epsilon_{\text{mach}} = 2^{-52} \approx 2.22\times10^{-16} \ (\text{double, IEEE 754}) ϵ mach = 2 − 52 ≈ 2.22 × 1 0 − 16 ( double, IEEE 754 ) N3 Direct vs iterative วิธีตรงกับวิธีทำซ้ำ ตรง: A = L U → x ( จำนวนขั้นแน่นอน ) , ทำซ้ำ: x ( k + 1 ) = T x ( k ) + c \text{ตรง: } A = LU \to \mathbf x \ (\text{จำนวนขั้นแน่นอน}),\qquad \text{ทำซ้ำ: } \mathbf x^{(k+1)} = T\mathbf x^{(k)} + \mathbf c ตรง : A = LU → x ( จำนวนขั้นแน่นอน ) , ทำซ้ำ : x ( k + 1 ) = T x ( k ) + c N4 Forward elimination & back substitution กำจัดไปข้างหน้าและแทนค่าย้อนกลับ m i k = a i k a k k , a i j ← a i j − m i k a k j , b i ← b i − m i k b k ( i > k ) m_{ik} = \frac{a_{ik}}{\hlP{a_{kk}}},\quad a_{ij} \leftarrow a_{ij} - m_{ik}a_{kj},\quad b_i \leftarrow b_i - m_{ik}b_k \qquad (i \gt k) m ik = a kk a ik , a ij ← a ij − m ik a kj , b i ← b i − m ik b k ( i > k ) N5 Partial pivoting การสลับแถวบางส่วน p = arg max i ≥ k ∣ a i k ∣ , R k ↔ R p ⇒ ∣ m i k ∣ ≤ 1 p = \arg\max_{i \ge k}|a_{ik}|,\quad R_k \leftrightarrow R_p \ \Rightarrow\ |m_{ik}| \le 1 p = arg i ≥ k max ∣ a ik ∣ , R k ↔ R p ⇒ ∣ m ik ∣ ≤ 1 N6 Scaled & complete pivoting ปรับสเกลและสลับเต็ม s i = max j ∣ a i j ∣ , p = arg max i ≥ k ∣ a i k ∣ s i s_i = \max_j |a_{ij}|,\quad p = \arg\max_{i \ge k}\frac{|a_{ik}|}{s_i} s i = j max ∣ a ij ∣ , p = arg i ≥ k max s i ∣ a ik ∣ ℓ i i = 1 \ell_{ii} = 1 ℓ ii = 1 N7 Doolittle factorisation การแยกแบบดูลิตเติล (ℓ i i = 1 \ell_{ii} = 1 ℓ ii = 1 u i j = a i j − ∑ k = 1 i − 1 ℓ i k u k j ( j ≥ i ) , ℓ i j = 1 u j j ( a i j − ∑ k = 1 j − 1 ℓ i k u k j ) ( i > j ) u_{ij} = a_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1}\ell_{ik}u_{kj}\ (j \ge i),\qquad \ell_{ij} = \frac{1}{u_{jj}}\Bigl(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}u_{kj}\Bigr)\ (i \gt j) u ij = a ij − k = 1 ∑ i − 1 ℓ ik u kj ( j ≥ i ) , ℓ ij = u jj 1 ( a ij − k = 1 ∑ j − 1 ℓ ik u kj ) ( i > j ) N8 Solving with LU แก้ระบบด้วย LU A x = b ⟺ L y = b ( ไปข้างหน้า ) , U x = y ( ย้อนกลับ ) A\mathbf x = \mathbf b \iff L\mathbf y = \mathbf b \ (\text{ไปข้างหน้า}),\quad U\mathbf x = \mathbf y \ (\text{ย้อนกลับ}) A x = b ⟺ L y = b ( ไปข้างหน้า ) , U x = y ( ย้อนกลับ ) p a = l u pa = lu p a = l u N9 LU with pivoting P A = L U PA = LU P A = LU P A = L U , L y = P b , U x = y PA = LU,\qquad L\mathbf y = P\mathbf b,\quad U\mathbf x = \mathbf y P A = LU , L y = P b , U x = y N10 Determinant from LU ดีเทอร์มิแนนต์ฟรีจาก LU det A = ( − 1 ) จำนวนการสลับแถว ∏ i = 1 n u i i \det A = (-1)^{\text{จำนวนการสลับแถว}}\prod_{i=1}^{n}u_{ii} det A = ( − 1 ) จำนวนการสลับแถว i = 1 ∏ n u ii a = l l t a = ll^t a = l l t N11 Cholesky factorisation A = L L T A = LL^T A = L L T ℓ j j = a j j − ∑ k = 1 j − 1 ℓ j k 2 , ℓ i j = 1 ℓ j j ( a i j − ∑ k = 1 j − 1 ℓ i k ℓ j k ) ( i > j ) \ell_{jj} = \sqrt{a_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{jk}^2},\qquad \ell_{ij} = \frac{1}{\ell_{jj}}\Bigl(a_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1}\ell_{ik}\ell_{jk}\Bigr)\ (i \gt j) ℓ jj = a jj − k = 1 ∑ j − 1 ℓ jk 2 , ℓ ij = ℓ jj 1 ( a ij − k = 1 ∑ j − 1 ℓ ik ℓ jk ) ( i > j ) a i x i − 1 + b i x i + c i x i + 1 = d i a_ix_{i-1} + b_ix_i + c_ix_{i+1} = d_i a i x i − 1 + b i x i + c i x i + 1 = d i N12 Thomas algorithm (TDMA) สำหรับ a i x i − 1 + b i x i + c i x i + 1 = d i a_ix_{i-1} + b_ix_i + c_ix_{i+1} = d_i a i x i − 1 + b i x i + c i x i + 1 = d i c 1 ′ = c 1 b 1 , d 1 ′ = d 1 b 1 ; c i ′ = c i b i − a i c i − 1 ′ , d i ′ = d i − a i d i − 1 ′ b i − a i c i − 1 ′ ; x n = d n ′ , x i = d i ′ − c i ′ x i + 1 c_1' = \frac{c_1}{b_1},\ d_1' = \frac{d_1}{b_1};\quad c_i' = \frac{c_i}{b_i - a_ic_{i-1}'},\ d_i' = \frac{d_i - a_id_{i-1}'}{b_i - a_ic_{i-1}'};\quad x_n = d_n',\ x_i = d_i' - c_i'x_{i+1} c 1 ′ = b 1 c 1 , d 1 ′ = b 1 d 1 ; c i ′ = b i − a i c i − 1 ′ c i , d i ′ = b i − a i c i − 1 ′ d i − a i d i − 1 ′ ; x n = d n ′ , x i = d i ′ − c i ′ x i + 1 N13 Jacobi method วิธีจาโคบี x i ( k + 1 ) = 1 a i i ( b i − ∑ j ≠ i a i j x j ( k ) ) x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j \ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr) x i ( k + 1 ) = a ii 1 ( b i − j = i ∑ a ij x j ( k ) ) N14 Gauss–Seidel method วิธีเกาส์-ไซเดล x i ( k + 1 ) = 1 a i i ( b i − ∑ j < i a i j x j ( k + 1 ) − ∑ j > i a i j x j ( k ) ) x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j \lt i} a_{ij}\,\hlU{x_j^{(k+1)}} - \sum_{j \gt i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr) x i ( k + 1 ) = a ii 1 ( b i − j < i ∑ a ij x j ( k + 1 ) − j > i ∑ a ij x j ( k ) ) N15 Successive over-relaxation (SOR) ผ่อนปรนเกินต่อเนื่อง x i ( k + 1 ) = ( 1 − ω ) x i ( k ) + ω x ~ i GS , 0 < ω < 2 x_i^{(k+1)} = (1 - \omega)\,x_i^{(k)} + \omega\,\tilde x_i^{\text{GS}},\qquad 0 \lt \omega \lt 2 x i ( k + 1 ) = ( 1 − ω ) x i ( k ) + ω x ~ i GS , 0 < ω < 2 a = d + l + u a = d + l + u a = d + l + u N16 Matrix form รูปเมทริกซ์ A = D + L + U A = D + L + U A = D + L + U T J = − D − 1 ( L + U ) , T G S = − ( D + L ) − 1 U , T ω = ( D + ω L ) − 1 [ ( 1 − ω ) D − ω U ] T_J = -D^{-1}(L + U),\qquad T_{GS} = -(D + L)^{-1}U,\qquad T_\omega = (D + \omega L)^{-1}\bigl[(1 - \omega)D - \omega U\bigr] T J = − D − 1 ( L + U ) , T GS = − ( D + L ) − 1 U , T ω = ( D + ω L ) − 1 [ ( 1 − ω ) D − ω U ] N17 Stopping criteria เกณฑ์หยุด ∥ x ( k + 1 ) − x ( k ) ∥ ∞ ∥ x ( k + 1 ) ∥ ∞ < ε หรือ ∣ ε a , i ∣ = ∣ x i ( k + 1 ) − x i ( k ) x i ( k + 1 ) ∣ × 100 % < ε s = ( 0.5 × 10 2 − n ) % \frac{\lVert\mathbf x^{(k+1)} - \mathbf x^{(k)}\rVert_\infty}{\lVert\mathbf x^{(k+1)}\rVert_\infty} \lt \varepsilon \quad\text{หรือ}\quad \lvert\varepsilon_{a,i}\rvert = \Bigl|\frac{x_i^{(k+1)} - x_i^{(k)}}{x_i^{(k+1)}}\Bigr|\times100\% \lt \varepsilon_s = (0.5\times10^{2-n})\% ∥ x ( k + 1 ) ∥ ∞ ∥ x ( k + 1 ) − x ( k ) ∥ ∞ < ε หรือ ∣ ε a , i ∣ = x i ( k + 1 ) x i ( k + 1 ) − x i ( k ) × 100% < ε s = ( 0.5 × 1 0 2 − n ) % N18 Diagonal dominance ทแยงเด่นแท้ (เงื่อนไขพอเพียง) ∣ a i i ∣ > ∑ j ≠ i ∣ a i j ∣ ทุกแถว ⇒ จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าทุกค่าเริ่มต้น |a_{ii}| \gt \sum_{j \ne i}|a_{ij}|\ \ \text{ทุกแถว} \ \Rightarrow\ \text{จาโคบีและเกาส์-ไซเดลลู่เข้าทุกค่าเริ่มต้น} ∣ a ii ∣ > j = i ∑ ∣ a ij ∣ ทุกแถว ⇒ จาโคบีและเกาส์ - ไซเดลลู่เข้าทุกค่าเริ่มต้น N19 Spectral radius test เงื่อนไขจำเป็นและพอเพียง x ( k ) → x ทุก x ( 0 ) ⟺ ρ ( T ) = max i ∣ λ i ( T ) ∣ < 1 \mathbf x^{(k)} \to \mathbf x \ \text{ทุก } \mathbf x^{(0)} \iff \rho(T) = \max_i|\lambda_i(T)| \lt 1 x ( k ) → x ทุก x ( 0 ) ⟺ ρ ( T ) = i max ∣ λ i ( T ) ∣ < 1 N20 Rate of convergence จำนวนรอบที่ต้องใช้ ∥ e ( k ) ∥ ≈ ρ k ∥ e ( 0 ) ∥ ⇒ k ≈ d − log 10 ρ รอบ เพื่อเพิ่มความแม่น d หลัก \lVert\mathbf e^{(k)}\rVert \approx \rho^k\lVert\mathbf e^{(0)}\rVert \ \Rightarrow\ k \approx \frac{d}{-\log_{10}\rho} \ \text{รอบ เพื่อเพิ่มความแม่น } d \text{ หลัก} ∥ e ( k ) ∥ ≈ ρ k ∥ e ( 0 ) ∥ ⇒ k ≈ − log 10 ρ d รอบ เพื่อเพิ่มความแม่น d หลัก ω \omega ω N21 Optimal ω (Young) ω \omega ω ρ G S = ρ J 2 , ω ∗ = 2 1 + 1 − ρ J 2 , ρ ( T ω ∗ ) = ω ∗ − 1 \rho_{GS} = \rho_J^2,\qquad \omega^* = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_J^2}},\qquad \rho(T_{\omega^*}) = \omega^* - 1 ρ GS = ρ J 2 , ω ∗ = 1 + 1 − ρ J 2 2 , ρ ( T ω ∗ ) = ω ∗ − 1 N22 Vector & matrix norms นอร์ม ∥ x ∥ ∞ = max i ∣ x i ∣ , ∥ x ∥ 1 = ∑ ∣ x i ∣ , ∥ x ∥ 2 = ∑ x i 2 ; ∥ A ∥ ∞ = max i ∑ j ∣ a i j ∣ , ∥ A ∥ 1 = max j ∑ i ∣ a i j ∣ , ∥ A ∥ 2 = σ max \lVert\mathbf x\rVert_\infty = \max_i|x_i|,\quad \lVert\mathbf x\rVert_1 = \sum|x_i|,\quad \lVert\mathbf x\rVert_2 = \sqrt{\textstyle\sum x_i^2};\qquad \lVert A\rVert_\infty = \max_i\sum_j|a_{ij}|,\quad \lVert A\rVert_1 = \max_j\sum_i|a_{ij}|,\quad \lVert A\rVert_2 = \sigma_{\max} ∥ x ∥ ∞ = i max ∣ x i ∣ , ∥ x ∥ 1 = ∑ ∣ x i ∣ , ∥ x ∥ 2 = ∑ x i 2 ; ∥ A ∥ ∞ = i max j ∑ ∣ a ij ∣ , ∥ A ∥ 1 = j max i ∑ ∣ a ij ∣ , ∥ A ∥ 2 = σ m a x N23 Condition number เลขเงื่อนไข κ ( A ) = ∥ A ∥ ∥ A − 1 ∥ ≥ 1 , κ 2 ( A ) = σ max σ min \kappa(A) = \lVert A\rVert\,\lVert A^{-1}\rVert \ge 1,\qquad \kappa_2(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}} κ ( A ) = ∥ A ∥ ∥ A − 1 ∥ ≥ 1 , κ 2 ( A ) = σ m i n σ m a x N24 Error amplification ขยายความคลาดเคลื่อน ∥ δ x ∥ ∥ x ∥ ≤ κ ( A ) ∥ δ b ∥ ∥ b ∥ , หลักที่เสีย ≈ log 10 κ ( A ) \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert},\qquad \text{หลักที่เสีย} \approx \log_{10}\kappa(A) ∥ x ∥ ∥ δ x ∥ ≤ κ ( A ) ∥ b ∥ ∥ δ b ∥ , หลักที่เสีย ≈ log 10 κ ( A ) N25 Residual vs error ส่วนเหลือไม่ใช่ความคลาดเคลื่อน r = b − A x ~ , ∥ x − x ~ ∥ ∥ x ∥ ≤ κ ( A ) ∥ r ∥ ∥ b ∥ \mathbf r = \mathbf b - A\tilde{\mathbf x},\qquad \frac{\lVert\mathbf x - \tilde{\mathbf x}\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa(A)\frac{\lVert\mathbf r\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert} r = b − A x ~ , ∥ x ∥ ∥ x − x ~ ∥ ≤ κ ( A ) ∥ b ∥ ∥ r ∥ N26 Iterative refinement ปรับปรุงผลเฉลยซ้ำ r = b − A x ~ ( ความละเอียดสูงขึ้น ) , L U δ = r , x ~ ← x ~ + δ \mathbf r = \mathbf b - A\tilde{\mathbf x}\ (\text{ความละเอียดสูงขึ้น}),\quad LU\,\boldsymbol\delta = \mathbf r,\quad \tilde{\mathbf x} \leftarrow \tilde{\mathbf x} + \boldsymbol\delta r = b − A x ~ ( ความละเอียดสูงขึ้น ) , LU δ = r , x ~ ← x ~ + δ X1 Determinant rules สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ det ( k A ) = k n det A , det A T = det A , det ( A B ) = det A det B , det A − 1 = 1 det A \det(kA) = k^n\det A,\quad \det A^T = \det A,\quad \det(AB) = \det A\det B,\quad \det A^{-1} = \tfrac{1}{\det A} det ( k A ) = k n det A , det A T = det A , det ( A B ) = det A det B , det A − 1 = d e t A 1 adj \operatorname{adj} adj X2 Adjugate shortcuts สูตรลัด adj \operatorname{adj} adj A adj A = ( det A ) I , det ( adj A ) = ( det A ) n − 1 , adj ( adj A ) = ( det A ) n − 2 A A\operatorname{adj}A = (\det A)I,\quad \det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-1},\quad \operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A A adj A = ( det A ) I , det ( adj A ) = ( det A ) n − 1 , adj ( adj A ) = ( det A ) n − 2 A X3 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2 ( a b c d ) − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ( a c b d ) − 1 = a d − b c 1 ( d − c − b a ) X4 Cramer's rule กฎของคราเมอร์ x i = Δ i Δ , Δ = det A ≠ 0 x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta},\quad \Delta = \det A \ne 0 x i = Δ Δ i , Δ = det A = 0 X5 Solutions by rank จำนวนคำตอบจากแรงก์ r ( A ) < r ( [ A ∣ b ] ) : ไม่มี r ( A ) = r ( [ A ∣ b ] ) = n : เดียว = r < n : ไม่จำกัด r(A) \lt r([A\mid\mathbf b]): \text{ไม่มี} \quad r(A) = r([A\mid\mathbf b]) = n: \text{เดียว} \quad = r \lt n: \text{ไม่จำกัด} r ( A ) < r ([ A ∣ b ]) : ไม่มี r ( A ) = r ([ A ∣ b ]) = n : เดียว = r < n : ไม่จำกัด X6 Cayley–Hamilton for 2×2 ลัดยกกำลัง 2×2 A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I = O A^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O A 2 − ( tr A ) A + ( det A ) I = O X7 Iterative methods จาโคบีและเกาส์-ไซเดล x i ใหม่ = b i − ∑ j ≠ i a i j x j a i i x_i^{\text{ใหม่}} = \frac{b_i - \sum_{j\ne i}a_{ij}x_j}{a_{ii}} x i ใหม่ = a ii b i − ∑ j = i a ij x j X8 Condition number เลขเงื่อนไข κ ∞ = ∥ A ∥ ∞ ∥ A − 1 ∥ ∞ , ∥ δ x ∥ ∥ x ∥ ≤ κ ∥ δ b ∥ ∥ b ∥ \kappa_\infty = \lVert A\rVert_\infty\lVert A^{-1}\rVert_\infty,\quad \frac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le \kappa\frac{\lVert\delta\mathbf b\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert} κ ∞ = ∥ A ∥ ∞ ∥ A − 1 ∥ ∞ , ∥ x ∥ ∥ δ x ∥ ≤ κ ∥ b ∥ ∥ δ b ∥
ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue
แล็บเมทริกซ์: เครื่องคิดเลขแสดงวิธีทำ
เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 ที่แสดงวิธีทำแบบเศษส่วนแม่นตรง ตัวช่วยดูการคูณทีละช่อง และแล็บลากเมทริกซ์ 2×2 ย้ายไปอยู่รวมกันในหน้าแล็บเมทริกซ์ แล้ว พร้อมโจทย์ตัวอย่างจากงานวงจร ระบบไฟฟ้ากำลัง การสั่น และโครงสร้าง กดครั้งเดียวใส่ให้ทันที
งงตรงไหน คลิกตรงนั้น
อาการที่นักศึกษาเจอบ่อยที่สุด พร้อมทางแก้ กดแล้วไปที่คำอธิบายนั้นทันที
สัญลักษณ์ที่ใช้ในชุดนี้
สัญลักษณ์ อ่านว่า / ความหมาย English
A , a i j A,\ a_{ij} A , a ij เมทริกซ์ และสมาชิกแถว i i i j j j matrix, entry x , b \mathbf x,\ \mathbf b x , b เวกเตอร์หลัก (ตัวหนา) column vector I n , O I_n,\ O I n , O เมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ศูนย์ identity, zero matrix A T , A H A^T,\ A^H A T , A H ทรานสโพส ทรานสโพสสังยุค transpose, conjugate transpose det A = ∣ A ∣ \det A = |A| det A = ∣ A ∣ ดีเทอร์มิแนนต์ (ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์) determinant M i j , C i j M_{ij},\ C_{ij} M ij , C ij ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ minor, cofactor adj A \operatorname{adj}A adj A เมทริกซ์ผูกพัน adjugate (classical adjoint) A − 1 A^{-1} A − 1 อินเวอร์ส เมทริกซ์ผกผัน inverse tr A , rank A \operatorname{tr}A,\ \operatorname{rank}A tr A , rank A เทรซ แรงก์ trace, rank [ A ∣ b ] [A\mid\mathbf b] [ A ∣ b ] เมทริกซ์แต่งเติม augmented matrix N ( A ) , C ( A ) N(A),\ C(A) N ( A ) , C ( A ) ปริภูมิศูนย์ ปริภูมิหลัก · nullity A = dim N ( A ) \operatorname{nullity}A = \dim N(A) nullity A = dim N ( A ) null space, column space L , U , P L,\ U,\ P L , U , P สามเหลี่ยมล่าง สามเหลี่ยมบน เมทริกซ์สลับแถว ใน P A = L U PA = LU P A = LU LU factorisation x ( k ) , ω \mathbf x^{(k)},\ \omega x ( k ) , ω ค่าประมาณรอบที่ k k k iterate, relaxation factor ρ ( T ) , κ ( A ) \rho(T),\ \kappa(A) ρ ( T ) , κ ( A ) รัศมีสเปกตรัม · เลขเงื่อนไข spectral radius, condition number R i ↔ R j , R i ← R i + k R j R_i \leftrightarrow R_j,\ R_i \leftarrow R_i + kR_j R i ↔ R j , R i ← R i + k R j สลับแถว · แทนแถว i i i i i i k k k j j j row operations Δ , Δ i \Delta,\ \Delta_i Δ , Δ i ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ และของเมทริกซ์ที่แทนหลัก i i i b \mathbf b b Cramer determinants λ , v \lambda,\ \mathbf v λ , v ค่าเฉพาะ เวกเตอร์เฉพาะ eigenvalue, eigenvector j j j หน่วยจินตภาพ j 2 = − 1 j^2 = -1 j 2 = − 1 j j j i i i imaginary unit
ดูวิดีโอประกอบ
⊞
Linear Algebra พีชคณิตเชิงเส้น · เพลย์ลิสต์บน YouTube
สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทย เปิดใน YouTube ↗
คำถามที่พบบ่อย พีชคณิตเชิงเส้นเรียนอะไรบ้าง? แกนหลักคือเมทริกซ์และเวกเตอร์ การดำเนินการของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้น (ลดแถว อินเวอร์ส คราเมอร์) แรงก์ ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ และการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ในวิศวกรรมไฟฟ้าใช้กับการวิเคราะห์วงจร ระบบควบคุม สัญญาณ และระบบไฟฟ้ากำลัง
ควรเริ่มเรียนจากหน้าไหน? ถ้าเพิ่งเริ่ม ให้อ่านตามเส้นทาง 7.1 → 7.2 → 7.3 → 7.10 (แรงก์) → 7.4 → 7.5 → 7.11 (วิธีเชิงตัวเลข) แล้วฝึกด้วยแนวข้อสอบ 7.12 ดูงานจริงใน 7.7–7.8 และใช้แล็บเมทริกซ์ 7.9 ตรวจการบ้าน ถ้ากำลังติดโจทย์อยู่ ใช้ช่องค้นหาสูตรหรือหัวข้อ “งงตรงไหน” ในหน้านี้ แล้วกระโดดไปที่สูตรนั้นได้เลย แต่ละหัวข้อมีป้ายบอกระดับ พื้นฐาน กลาง หรือขั้นสูง
เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ในหน้านี้แม่นยำแค่ไหน? ดีเทอร์มิแนนต์ อินเวอร์ส การแก้ระบบ และพหุนามลักษณะเฉพาะคำนวณด้วยเศษส่วนแม่นตรงทุกขั้น ไม่มีการปัดเศษ ค่าเฉพาะที่เป็นจำนวนตรรกยะได้แบบแม่นตรง ค่าที่เป็นรากที่สองแสดงในรูปราก ส่วนกรณีอื่นแสดงเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง รวมค่าเชิงซ้อน
อ้างอิงสูตรจากเว็บนี้ในรายงานได้อย่างไร? ทุกสูตรมีรหัสถาวร เช่น D4 คือการกระจายโคแฟกเตอร์ E2 คือสมการลักษณะเฉพาะ อ้างอิงได้ในรูป Mod's Engineering Mathematics (อาจารย์มด), สูตร D4, พร้อมลิงก์ เช่น modsengineeringmath.com/learn/linear-algebra/determinants/#D4
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →