// บทที่ 5 · แคลคูลัส · สูตรและวิธีทำ

อินทิกรัล (Integral Calculus): สูตร คุณสมบัติ และวิธีทำทีละขั้น

Q: ทำไมอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต้องบวก C?

เพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ฟังก์ชัน x^2, x^2+5 และ x^2-3 จึงมีอนุพันธ์เท่ากันคือ 2x เมื่อย้อนกลับจาก 2x จึงบอกได้แค่ว่าคำตอบคือ x^2 + C โดย C เป็นค่าคงที่ใดก็ได้

Q: อินทิเกรตทีละพจน์แล้วได้ C1, C2, C3 ทำไมเขียน C ตัวเดียว?

ผลบวกของค่าคงที่ก็ยังเป็นค่าคงที่ จึงรวม C_1 + C_2 + C_3 เป็นค่าคงที่ตัวใหม่ชื่อ C แล้วเขียนครั้งเดียวท้ายคำตอบ

Q: การเปลี่ยนตัวแปร u ควรเลือก u อย่างไร?

มองหาก้อนข้างใน (ในวงเล็บ ใต้รากที่สอง ในเลขชี้กำลัง หรือในตัวส่วน) ที่อนุพันธ์ของมันอยู่นอกก้อนนั้น เช่น int x(x^2+1)^4 dx ให้ u = x^2+1 เพราะ du = 2x dx และมี x อยู่ข้างนอกแล้ว ถ้าแทนแล้วยังเหลือ x แปลว่าต้องเลือก u ใหม่

Q: เมื่อไหร่ต้องหารยาวพหุนามก่อนอินทิเกรต?

เมื่อเป็นเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน ให้หารยาวก่อนจะได้ผลหาร + เศษ/ตัวส่วน แล้วอินทิเกรตทีละส่วน

Q: อินทิกรัลจำกัดเขตทำไมไม่มี C?

เพราะ (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) ค่า C ถูกลบหายไปเสมอ จึงไม่ต้องเขียน

Q: เปลี่ยนตัวแปร u ในอินทิกรัลจำกัดเขต ต้องเปลี่ยนขอบเขตไหม?

ต้องเปลี่ยน ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ให้แทนขอบเขตเป็น u(a) และ u(b) หรือจะแทนกลับเป็น x ก่อนแล้วใช้ขอบเขตเดิมก็ได้ ห้ามผสมสองแบบ

รวมสูตรอินทิเกรตตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงระดับกลาง ทุกสูตรและทุกคุณสมบัติมีรหัสและชื่อสากลกำกับไว้ให้อ้างอิงได้ ตัวอย่างเขียนแบบจดเลกเชอร์ บอกทุกขั้นว่าใช้สูตรไหน ใช้คุณสมบัติข้อใด ส่วนไหนตัดกันได้ก็ขีดเส้นสีแดงให้เห็น ปิดท้ายด้วยอินทิกรัลจำกัดเขตตั้งแต่นิยามผลบวกรีมันน์ไปจนถึงการแทนค่าขอบบนขอบล่าง

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

สูตรพื้นฐาน เปลี่ยนตัวแปร u หารยาวพหุนาม อินทิกรัลจำกัดเขต

สรุปใน 30 วินาที

อินทิเกรตคือการย้อนอนุพันธ์: ถ้า $F'(x) = f(x)$ แล้ว $\int f(x)\,dx = F(x) + C$
สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดคือกฎยกกำลัง $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ใช้ได้ทุก n ยกเว้น $-1$ ซึ่งให้ $\ln|x|$
ถ้าเห็นก้อนข้างในพร้อมอนุพันธ์ของมัน ให้เปลี่ยนตัวแปร u ถ้าเป็นเศษส่วนที่ตัวเศษดีกรีสูงกว่า ให้หารยาวก่อน
อินทิกรัลจำกัดเขต $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ ค่า C ตัดกันหายไป

อ่านวิธีทำ สูตรที่ใช้ (F, G, H, S) คุณสมบัติที่ใช้ (P, Q) ตัวแปร u ค่าคงที่ C เส้นแดง = ตัดกันได้ · ตัวเลขแดงด้านบน = ทดค่าที่เหลือ

อินทิกรัลคืออะไร (Antiderivative)

อนุพันธ์ตอบคำถามว่า “เปลี่ยนเร็วแค่ไหน” ส่วนอินทิกรัลถามกลับว่า “รู้อัตราการเปลี่ยนแล้ว ของจริงเป็นอย่างไร” เช่น รู้กระแส $i(t)$ ที่ไหลเข้าตัวเก็บประจุ แล้วอยากรู้ประจุสะสม $q(t)$ งานนี้คือการหาปฏิยานุพันธ์ (antiderivative)

ฟังก์ชัน

F(x) = x^3 + C

อนุพันธ์

f(x) = 3x^2

เขียนเป็นอินทิกรัล

\int 3x^2\,dx = x^3 + C

D1 Indefinite integral (antiderivative) นิยามอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x) = f(x)

อ่านว่า “อินทิกรัลของ f(x) เทียบกับ x” · $\int$ เครื่องหมายอินทิกรัล (integral sign) · $f(x)$ ตัวถูกอินทิเกรต (integrand) · $dx$ บอกตัวแปร (differential) · $C$ ค่าคงที่ของการอินทิเกรต (constant of integration)

ตรวจคำตอบทุกครั้งได้ฟรี: หาอนุพันธ์ของคำตอบ ถ้าได้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาแสดงว่าถูก ตัวอย่างทุกข้อในหน้านี้มีบรรทัด “ตรวจคำตอบ” ปิดท้าย

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดเขต (Properties)

คุณสมบัติทั้งหมดนี้ได้มาจากกฎของอนุพันธ์ ใช้รหัส P กำกับไว้ เวลาเห็น P2 ในวิธีทำ คลิกกลับมาดูได้ทันที

P1 Constant multiple rule กฎตัวคูณค่าคงที่

\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx

ดึงค่าคงที่ออกมานอกเครื่องหมายอินทิกรัลได้ (k ต้องไม่ใช่ฟังก์ชันของ x)

P2 Sum and difference rule กฎผลบวกและผลต่าง

\begin{aligned} &\int [f(x) \pm g(x)]\,dx \\ &= \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx \end{aligned}

อินทิเกรตแยกทีละพจน์ (term by term) ได้

P3 Linearity ความเป็นเชิงเส้น (P1 + P2 รวมกัน)

\begin{aligned} &\int [a\,f(x) + b\,g(x)]\,dx \\ &= a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx \end{aligned}

P4 Derivative of an integral อนุพันธ์หักล้างอินทิกรัล

\frac{d}{dx}\int f(x)\,dx = f(x)

P5 Integral of a derivative อินทิกรัลหักล้างอนุพันธ์

\int F'(x)\,dx = F(x) + C

P6 No product or quotient rule ข้อควรระวัง: ไม่มีกฎผลคูณและผลหาร

\begin{gathered} \int f(x)\,g(x)\,dx \ne \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx \\ \int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx \ne \frac{\int f(x)\,dx}{\int g(x)\,dx} \end{gathered}

ผลคูณต้องกระจายก่อน เปลี่ยนตัวแปร u หรืออินทิเกรตทีละส่วน (by parts) ส่วนเศษส่วนต้องจัดรูป หารยาว หรือแยกเศษส่วนย่อย

ค่าคงที่ C₁ + C₂ + C₃ รวมเป็น C ตัวเดียวได้อย่างไร

เวลาใช้ P2 อินทิเกรตแยกทีละพจน์ แต่ละพจน์จะได้ค่าคงที่ของตัวเอง ผลบวกของค่าคงที่หลายตัวก็ยังเป็นค่าคงที่ตัวเดียว จึงตั้งชื่อใหม่ว่า C แล้วเขียนครั้งเดียวท้ายคำตอบ

ตัวอย่าง 1 · อินทิเกรตทีละพจน์

หา $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$

แยกเป็นสามพจน์ด้วยกฎผลบวกผลต่าง แล้วดึงค่าคงที่ออก P2 Sum rule P1 Constant multiple
$\begin{aligned} &\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx \\ &= \hlP{3\int x^2\,dx} - \hlP{4\int x\,dx} + \hlP{5\int 1\,dx} \end{aligned}$
อินทิเกรตแต่ละพจน์ด้วยกฎยกกำลัง แต่ละพจน์มีค่าคงที่ของตัวเอง F2 Power rule F1 Constant rule
$\begin{aligned} 3\int x^2\,dx &= 3\cdot\hlF{\frac{x^3}{3}} + \hlC{C_1} = x^3 + \hlC{C_1} \\ 4\int x\,dx &= 4\cdot\hlF{\frac{x^2}{2}} + \hlC{C_2} = 2x^2 + \hlC{C_2} \\ 5\int 1\,dx &= 5\hlF{x} + \hlC{C_3} \end{aligned}$
นำมารวมกันตามเครื่องหมายเดิม แล้วจับค่าคงที่ไว้ด้วยกัน
$\begin{aligned} &(x^3 + \hlC{C_1}) - (2x^2 + \hlC{C_2}) + (5x + \hlC{C_3}) \\ &= x^3 - 2x^2 + 5x + \hlC{(C_1 - C_2 + C_3)} \end{aligned}$
$C_1 - C_2 + C_3$ เป็นตัวเลขคงที่ตัวหนึ่ง ตั้งชื่อใหม่ว่า $C$
$\hlC{C_1 - C_2 + C_3 = C}$

$\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5$ ✓ ในทางปฏิบัติจึงไม่ต้องเขียน $C_1, C_2, C_3$ แยก เขียน + C ครั้งเดียวตอนจบได้เลย

สูตรอินทิเกรตพื้นฐาน (Basic Integration Formulas)

ทุกสูตรได้จากการอ่านตารางอนุพันธ์ย้อนกลับ ละ + C ไว้ทุกบรรทัดเพื่อให้อ่านง่าย มุมในฟังก์ชันตรีโกณต้องเป็นเรเดียน

F1 Constant rule อินทิกรัลของค่าคงที่

\int k\,dx = kx + C

F2 Power rule กฎยกกำลัง

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1

“บวกเลขชี้กำลังหนึ่ง แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่” ใช้ได้กับ n ที่เป็นเศษส่วนและติดลบด้วย

F3 Reciprocal rule กรณี n = −1 ได้ลอการิทึม

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

ใส่ค่าสัมบูรณ์เพราะ ln ของจำนวนลบไม่นิยาม

F4 Exponential rule เอกซ์โพเนนเชียลฐาน e

\int e^x\,dx = e^x + C

F5 General exponential เอกซ์โพเนนเชียลฐาน a

\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a \gt 0,\ a \ne 1

F6 Sine and cosine sin และ cos

\begin{gathered} \int \sin x\,dx = -\cos x + C \\ \int \cos x\,dx = \sin x + C \end{gathered}

จำเครื่องหมาย: อนุพันธ์ของ cos มีลบ อินทิกรัลของ sin จึงมีลบ

F7 sec² and csc²

\begin{gathered} \int \sec^2 x\,dx = \tan x + C \\ \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C \end{gathered}

F8 sec·tan and csc·cot

\begin{gathered} \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C \\ \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C \end{gathered}

F9 tan and cot

\begin{gathered} \int \tan x\,dx = \ln|\sec x| + C \\ \int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C \end{gathered}

$\ln|\sec x| = -\ln|\cos x|$ เขียนแบบไหนก็ได้

F10 sec and csc

\begin{gathered} \int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \\ \int \csc x\,dx = \ln|\csc x - \cot x| + C \end{gathered}

F11 Inverse tangent form ได้ arctan

\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C

F12 Inverse sine form ได้ arcsin

\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C

F13 Hyperbolic functions ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

\begin{gathered} \int \sinh x\,dx = \cosh x + C \\ \int \cosh x\,dx = \sinh x + C \end{gathered}

ก่อนใช้กฎยกกำลัง: เปลี่ยนรากและเศษส่วนเป็นเลขชี้กำลัง

เห็นแบบนี้	เขียนใหม่เป็น	แล้วอินทิเกรตได้
$\sqrt{x}$	$x^{1/2}$	$\dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$
$\sqrt[3]{x^2}$	$x^{2/3}$	$\dfrac{3}{5}x^{5/3}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$x^{-2}$	$\dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$x^{-1/2}$	$\dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}$
$\dfrac{5}{x^3}$	$5x^{-3}$	$5\cdot\dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{5}{2x^2}$
$x\sqrt{x}$	$x^{1}\cdot x^{1/2} = x^{3/2}$	$\dfrac{2}{5}x^{5/2}$

สูตรเมื่อข้างในเป็น ax + b (Linear Substitution Forms)

ถ้าข้างในเป็นเชิงเส้น $ax + b$ ให้ใช้สูตรพื้นฐานได้เลย แล้วหารด้วย a ซึ่งคืออนุพันธ์ของข้างใน กลุ่มนี้คือการเปลี่ยนตัวแปร u ที่ทำไว้ให้แล้ว

G1 Power of a linear term พจน์เชิงเส้นยกกำลัง

\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a\,(n+1)} + C, \quad n \ne -1

G2 Reciprocal of a linear term

\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C

G3 Exponential of a linear term

\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C

G4 Sine and cosine of a linear term

\begin{gathered} \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \\ \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \end{gathered}

งานไฟฟ้าใช้บ่อยมาก: $\int \sin\omega t\,dt = -\dfrac{1}{\omega}\cos\omega t + C$

G5 sec² of a linear term

\begin{aligned} &\int \sec^2(ax+b)\,dx \\ &= \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C \end{aligned}

ใช้ได้เฉพาะข้างในเป็นเชิงเส้นเท่านั้น:

\int (x^2+1)^3\,dx \ne \dfrac{(x^2+1)^4}{4\cdot 2x}

เพราะ

2x

ไม่ใช่ค่าคงที่ หารออกไม่ได้ ข้อนี้ต้องกระจายกำลังสามแล้วอินทิเกรตทีละพจน์

รูปแบบที่โจทย์มักซ่อนไว้: f(x) คู่กับ f′(x)

หลังคุ้นกับสูตรพื้นฐานแล้ว ให้ฝึกมองโจทย์เป็น “ก้อน” ถ้าก้อนหนึ่งคือ $f(x)$ และมีอนุพันธ์ $f'(x)$ คูณอยู่ด้วย จะอินทิเกรตได้ทันทีตามตารางนี้ (ทุกสูตรคือการเปลี่ยนตัวแปร $u = f(x)$ ที่ทำเสร็จแล้ว)

H1 Generalized power rule ก้อนยกกำลัง

\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C

H2 Logarithmic form ตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วน

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

H3 Exponential form

\int e^{f(x)} f'(x)\,dx = e^{f(x)} + C

H4 Square-root form

\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\,dx = 2\sqrt{f(x)} + C

H5 Trigonometric forms

\begin{gathered} \int \cos(f)\,f'\,dx = \sin f + C \\ \int \sin(f)\,f'\,dx = -\cos f + C \end{gathered}

H6 Inverse-trig forms

\begin{gathered} \int \frac{f'}{1+f^2}\,dx = \arctan f + C \\ \int \frac{f'}{\sqrt{1-f^2}}\,dx = \arcsin f + C \end{gathered}

ตารางมองโจทย์: เห็นแบบนี้ ให้ u เป็นอะไร

โจทย์หน้าตาแบบนี้	ให้ u =	เพราะเจอ du นี้ข้างนอก	รูปที่ได้
$\int x(x^2+1)^4\,dx$	$x^2+1$	$du = 2x\,dx$	H1
$\int \dfrac{2x+3}{x^2+3x-1}\,dx$	$x^2+3x-1$	$du = (2x+3)\,dx$	H2
$\int x^2 e^{x^3}\,dx$	$x^3$	$du = 3x^2\,dx$	H3
$\int \sin^4 x\cos x\,dx$	$\sin x$	$du = \cos x\,dx$	H1
$\int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx$	$\ln x$	$du = \dfrac{1}{x}\,dx$	H1
$\int \dfrac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$	$e^x$	$du = e^x\,dx$	H6
$\int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx$	$\cos x$	$du = -\sin x\,dx$	H2

สูตรสำเร็จ (Standard Integrals)

สูตรที่พิสูจน์ครั้งเดียวแล้วใช้ซ้ำได้ตลอด ตรวจทุกสูตรด้วยการหาอนุพันธ์กลับแล้ว ให้ $a \gt 0$

S1 Sum of squares ผลบวกกำลังสอง

\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C

S2 Difference of squares ผลต่างกำลังสอง

\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C

S3 a² − x² in the denominator

\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C

S4 Inverse sine, scaled

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C

S5 Inverse hyperbolic forms

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C

S6 Square root of a² − x² (พื้นที่ส่วนของวงกลม)

\begin{aligned} &\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx \\ &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \end{aligned}

S7 Square root of x² + a²

\begin{aligned} &\int \sqrt{x^2+a^2}\,dx \\ &= \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C \end{aligned}

S8 x·e^(ax)

\int x e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C

S9 Natural logarithm

\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C

S10 xⁿ·ln x

\begin{gathered} \int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x - \frac{1}{n+1}\right) + C \\ n \ne -1 \end{gathered}

S11 Exponential times sine / cosine (คลื่นหน่วง damped oscillation)

\begin{gathered} \int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx - b\cos bx) + C \\ \int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx + b\sin bx) + C \end{gathered}

S12 sin² and cos² (จากสูตรลดกำลัง)

\begin{gathered} \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \\ \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C \end{gathered}

S13 tan² (ใช้ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ )

\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C

S14 Reduction formulas สูตรลดทอนกำลัง

\begin{gathered} \int \sin^n x\,dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\,dx \\ \int \cos^n x\,dx = \frac{\cos^{n-1}x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\,dx \\ \int x^n e^{ax}\,dx = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,dx \end{gathered}

เลือกวิธีอินทิเกรตอย่างไร (Strategy)

จัดรูปก่อน กระจายวงเล็บ แยกเศษส่วนทีละพจน์ ตัดตัวร่วม เปลี่ยนรากเป็นเลขชี้กำลัง ดูตัวอย่าง
ตรงสูตรหรือไม่ เทียบกับ F, G, S สูตรพื้นฐาน
มีก้อน f(x) กับ f′(x) ไหม ถ้ามี เปลี่ยนตัวแปร u ดูวิธี
เป็นเศษส่วนพหุนาม ดีกรีบน ≥ ดีกรีล่าง → หารยาว · ดีกรีบน < ดีกรีล่าง → แยกเศษส่วนย่อย
เป็นผลคูณของฟังก์ชันต่างชนิด เช่น $x e^x$ , $x\cos x$ , $\ln x$ → อินทิเกรตทีละส่วน

การเปลี่ยนตัวแปร u (Integration by Substitution)

การเปลี่ยนตัวแปรคือกฎลูกโซ่ (chain rule) ที่ทำย้อนกลับ เวลาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซ้อน เราได้ “อนุพันธ์ข้างนอก × อนุพันธ์ข้างใน” ดังนั้นถ้าเห็นตัวถูกอินทิเกรตที่มี “ฟังก์ชันของก้อนข้างใน × อนุพันธ์ของก้อนข้างใน” ก็ย้อนกลับได้

T1 Substitution rule สูตรการเปลี่ยนตัวแปร

\begin{gathered} \int f\big(\hlU{g(x)}\big)\,\hlU{g'(x)\,dx} = \int f(\hlU{u})\,\hlU{du} \\ \hlU{u = g(x)} \\ \hlU{du = g'(x)\,dx} \end{gathered}

ก้อนข้างใน

\displaystyle\int x\,(\underbrace{\hlU{x^2+1}}_{u})^4\,dx

เลือกก้อนที่ “ถ้าหาอนุพันธ์แล้ว ได้ของที่เหลืออยู่ข้างนอก”

อนุพันธ์ของก้อน

\hlU{du} = \dfrac{d}{dx}(x^2+1)\,dx = \hlU{2x\,dx}

ข้างนอกมี $x\,dx$ อยู่แล้ว ขาดแค่ 2 ซึ่งเป็นค่าคงที่ ปรับได้

หลังแทน

\displaystyle\frac{1}{2}\int \hlU{u}^4\,\hlU{du}

x หายหมด เหลือแต่ u แปลว่าเลือกถูก

ห้าขั้นตอนที่ใช้ทุกข้อ

เลือก u เป็นก้อนข้างใน (ในวงเล็บที่ยกกำลัง ใต้ราก ในเลขชี้กำลัง หรือตัวส่วน)
หา du = (อนุพันธ์ของ u) × dx แล้วจัดให้ตรงกับของที่อยู่ข้างนอก
แทนให้หมด ทุก x และ dx ต้องหายไป ถ้ายังเหลือ x ให้แสดง x เป็นฟังก์ชันของ u หรือเลือก u ใหม่
อินทิเกรตในตัวแปร u ด้วยสูตรพื้นฐาน
แทนกลับ u = ก้อนเดิม แล้วบวก C

ปรับได้เฉพาะค่าคงที่: ถ้า du ขาดตัวคูณที่เป็นตัวเลข (เช่น ต้องการ

2x\,dx

แต่มีแค่

x\,dx

) ให้คูณและหารด้วยตัวเลขนั้น แต่ถ้าขาด x หรือฟังก์ชันอื่น ห้ามเติมเอง

ตัวอย่าง U1 · พจน์เชิงเส้นยกกำลัง

หา $\displaystyle\int (3x+2)^5\,dx$

ก้อนข้างในคือ $3x+2$ ให้เป็น u แล้วหา du
$\hlU{u = 3x+2} \;\Rightarrow\; \hlU{du = 3\,dx} \;\Rightarrow\; \hlU{dx = \tfrac{1}{3}\,du}$
แทนค่าทั้ง u และ dx แล้วดึง $\tfrac13$ ออก P1 Constant multiple
$\begin{aligned} \int (\hlU{3x+2})^5\,\hlU{dx} &= \int \hlU{u}^5\cdot\hlU{\tfrac{1}{3}\,du} \\ &= \hlP{\frac{1}{3}}\int u^5\,du \end{aligned}$
อินทิเกรตด้วยกฎยกกำลัง F2 Power rule
$\frac{1}{3}\cdot\hlF{\frac{u^6}{6}} + C = \frac{u^6}{18} + C$
แทนกลับ $u = 3x+2$
$\frac{(3x+2)^6}{18} + C$

$\displaystyle\int (3x+2)^5\,dx = \frac{(3x+2)^6}{18} + C$ ตรงกับสูตร G1 ที่ a = 3, n = 5

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{(3x+2)^6}{18} = \dfrac{6(3x+2)^5\cdot 3}{18} = (3x+2)^5$ ✓

ตัวอย่าง U2 · พหุนามยกกำลัง

หา $\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx$

ถ้ากระจาย $(x^2+1)^4$ จะยาวมาก ให้มองก้อน $x^2+1$ ซึ่งอนุพันธ์คือ $2x$ และมี x อยู่ข้างนอกพอดี
$\begin{gathered} \hlU{u = x^2+1} \\ \Rightarrow \hlU{du = 2x\,dx} \\ \Rightarrow \hlU{x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du} \end{gathered}$
แทนค่า สังเกตว่า x กับ dx หายไปพร้อมกัน P1
$\begin{aligned} \int (\hlU{x^2+1})^4\,\hlU{x\,dx} &= \int \hlU{u}^4\cdot\hlU{\tfrac{1}{2}\,du} \\ &= \frac{1}{2}\int u^4\,du \end{aligned}$
กฎยกกำลัง F2 แล้วแทนกลับ
$\frac{1}{2}\cdot\hlF{\frac{u^5}{5}} + C = \frac{(x^2+1)^5}{10} + C$

$\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx = \frac{(x^2+1)^5}{10} + C$

ตรวจคำตอบ: $\dfrac{d}{dx}\dfrac{(x^2+1)^5}{10} = \dfrac{5(x^2+1)^4\cdot 2x}{10} = x(x^2+1)^4$ ✓

ตัวอย่าง U3 · du ตรงพอดี

หา $\displaystyle\int (2x+3)(x^2+3x-1)^3\,dx$

อนุพันธ์ของ $x^2+3x-1$ คือ $2x+3$ ซึ่งอยู่ข้างนอกครบ ไม่ต้องปรับค่าคงที่
$\hlU{u = x^2+3x-1} \;\Rightarrow\; \hlU{du = (2x+3)\,dx}$
แทนค่าแล้วใช้กฎยกกำลัง F2 (หรือมองเป็นสูตร H1 ได้เลย)
$\int \hlU{u}^3\,\hlU{du} = \hlF{\frac{u^4}{4}} + C = \frac{(x^2+3x-1)^4}{4} + C$

$\displaystyle\int (2x+3)(x^2+3x-1)^3\,dx = \frac{(x^2+3x-1)^4}{4} + C$

ตัวอย่าง U4 · ก้อนใต้รากที่สอง

หา $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+5}\,dx$

เขียนรากเป็นเลขชี้กำลัง $\sqrt{\ } = (\ )^{1/2}$ แล้วเลือกก้อนใต้ราก
$\begin{gathered} \hlU{u = x^3+5} \\ \Rightarrow \hlU{du = 3x^2\,dx} \\ \Rightarrow \hlU{x^2\,dx = \tfrac{1}{3}\,du} \end{gathered}$
แทนค่า P1
$\int (\hlU{x^3+5})^{1/2}\,\hlU{x^2\,dx} = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du$
กฎยกกำลังกับเลขชี้กำลังเศษส่วน: $\tfrac12 + 1 = \tfrac32$ แล้วหารด้วย $\tfrac32$ คือคูณ $\tfrac23$ F2
$\begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot\hlF{\frac{u^{3/2}}{3/2}} + C &= \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C \\ &= \frac{2}{9}(x^3+5)^{3/2} + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+5}\,dx = \frac{2}{9}(x^3+5)^{3/2} + C$

ตัวอย่าง U5 · ก้อนอยู่ที่ตัวส่วน (เลขชี้กำลังติดลบ)

หา $\displaystyle\int \frac{6x}{(x^2+4)^3}\,dx$

ย้ายตัวส่วนขึ้นมาเป็นเลขชี้กำลังลบ แล้วเลือก u
$\begin{gathered} \int 6x\,(x^2+4)^{-3}\,dx \\ \hlU{u = x^2+4},\ \hlU{du = 2x\,dx} \;\Rightarrow\; \hlU{6x\,dx = 3\,du} \end{gathered}$
แทนค่า แล้วใช้กฎยกกำลังที่ n = −3: บวกหนึ่งได้ −2 F2
$3\int u^{-3}\,du = 3\cdot\hlF{\frac{u^{-2}}{-2}} + C = -\frac{3}{2u^2} + C$
แทนกลับ
$-\frac{3}{2(x^2+4)^2} + C$

$\displaystyle\int \frac{6x}{(x^2+4)^3}\,dx = -\frac{3}{2(x^2+4)^2} + C$

ตัวอย่าง U6 · ก้อนอยู่ในเลขชี้กำลัง

หา $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$

ก้อนในเลขชี้กำลังคือ $x^2$ อนุพันธ์ $2x$ อยู่ข้างนอกแล้ว
$\hlU{u = x^2},\quad \hlU{du = 2x\,dx}$
แทนค่า F4 Exponential (หรือสูตร H3)
$\int e^{\hlU{u}}\,\hlU{du} = \hlF{e^u} + C = e^{x^2} + C$

$\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$

ตัวอย่าง U7 · ตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วน

หา $\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\,dx$

อนุพันธ์ของตัวส่วน $x^3+2x$ คือ $3x^2+2$ ซึ่งเป็นตัวเศษพอดี
$\hlU{u = x^3+2x},\quad \hlU{du = (3x^2+2)\,dx}$
แทนค่า F3 Reciprocal (สูตร H2)
$\int \frac{\hlU{du}}{\hlU{u}} = \hlF{\ln|u|} + C = \ln|x^3+2x| + C$

$\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\,dx = \ln|x^3+2x| + C$

ตัวอย่าง U8 · ฟังก์ชันตรีโกณยกกำลัง

หา $\displaystyle\int \sin^4 x\cos x\,dx$

$\sin^4 x$ คือ $(\sin x)^4$ ก้อนข้างในคือ $\sin x$ และอนุพันธ์ $\cos x$ อยู่ข้างนอก
$\hlU{u = \sin x},\quad \hlU{du = \cos x\,dx}$
แทนค่าแล้วใช้กฎยกกำลัง F2
$\int \hlU{u}^4\,\hlU{du} = \hlF{\frac{u^5}{5}} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C$

$\displaystyle\int \sin^4 x\cos x\,dx = \frac{\sin^5 x}{5} + C$

ตัวอย่าง U9 · แทนแล้วยังเหลือ x (ระดับกลาง)

หา $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$

เลือกก้อนใต้ราก $u = x+1$ จะได้ $du = dx$ แต่ยังเหลือ x ข้างหน้า ให้แสดง x ในรูป u จาก $u = x+1$
$\hlU{u = x+1} \;\Rightarrow\; \hlU{x = u-1},\quad \hlU{dx = du}$
แทนให้หมด แล้วกระจาย P2 Sum rule
$\int (\hlU{u-1})\,\hlU{u}^{1/2}\,\hlU{du} = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du$
กฎยกกำลังทีละพจน์ F2
$\hlF{\frac{u^{5/2}}{5/2}} - \hlF{\frac{u^{3/2}}{3/2}} + C = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$
แทนกลับ $u = x+1$
$\frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

$\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$

ตัวอย่าง U10 · ก้อนเป็นลอการิทึม

หา $\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$

มองให้เห็นว่า $\dfrac{1}{x}\,dx$ คืออนุพันธ์ของ $\ln x$
$\hlU{u = \ln x},\quad \hlU{du = \tfrac{1}{x}\,dx}$
แทนค่าแล้วใช้กฎยกกำลัง F2
$\int \hlU{u}^2\,\hlU{du} = \hlF{\frac{u^3}{3}} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$

$\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$

จัดรูปและตัดเศษส่วนก่อนอินทิเกรต

หลายข้อดูยาก แต่พอตัดตัวร่วมหรือแยกทีละพจน์แล้วเหลือแค่กฎยกกำลัง เส้นสีแดงคือส่วนที่ตัดกัน ตัวเลขสีแดงเหนือเส้นคือค่าที่เหลือหลังตัด (ทดไว้)

ตัวอย่าง A1 · หารทีละพจน์แล้วตัด

หา $\displaystyle\int \frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x}\,dx$

ตัวส่วนเป็นพจน์เดียว ให้แยกหารทีละพจน์
$\frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x} = \frac{6x^5}{3x} - \frac{9x^3}{3x} + \frac{3x}{3x}$
ตัดตัวเลขและ x ทีละพจน์: 6 ÷ 3 เหลือ 2 (ทดไว้), $x^5 = x^4\cdot x$ ตัด x ได้หนึ่งตัว
$\frac{\carry{2}{6}\,x^4\,\rc{x}}{\rc{3}\,\rc{x}} - \frac{\carry{3}{9}\,x^2\,\rc{x}}{\rc{3}\,\rc{x}} + \frac{\rc{3}\,\rc{x}}{\rc{3}\,\rc{x}} = 2x^4 - 3x^2 + 1$
อินทิเกรตทีละพจน์ P2 F2 F1
$\begin{aligned} &\int (2x^4 - 3x^2 + 1)\,dx \\ &= 2\cdot\hlF{\frac{x^5}{5}} - 3\cdot\hlF{\frac{x^3}{3}} + \hlF{x} + C \\ &= \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x + C\end{aligned}$

$\displaystyle\int \frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x}\,dx = \frac{2}{5}x^5 - x^3 + x + C$

ตัวอย่าง A2 · แยกตัวประกอบแล้วตัด

หา $\displaystyle\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx$

แยกตัวประกอบผลต่างกำลังสาม $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$
ตัด $(x-1)$ บนและล่าง (ใช้ได้เมื่อ $x \ne 1$ )
$\frac{\rc{(x-1)}\,(x^2+x+1)}{\rc{(x-1)}} = x^2 + x + 1$
อินทิเกรตทีละพจน์ P2 F2
$\int (x^2 + x + 1)\,dx = \hlF{\frac{x^3}{3}} + \hlF{\frac{x^2}{2}} + \hlF{x} + C$

$\displaystyle\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$

ตัวอย่าง A3 · กระจายแล้วเปลี่ยนเป็นเลขชี้กำลัง

หา $\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,dx$

กระจายกำลังสองด้วย $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(\sqrt{x}+1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1$
หารทีละพจน์ แล้วตัด: $\dfrac{x}{x} = 1$ และ $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{x^{1/2}}{x^1} = x^{-1/2}$
$\frac{\rc{x}}{\rc{x}} + \frac{2x^{1/2}}{x} + \frac{1}{x} = 1 + 2x^{-1/2} + \frac{1}{x}$
อินทิเกรตทีละพจน์ F1 F2 F3
$\begin{aligned} &\hlF{x} + 2\cdot\hlF{\frac{x^{1/2}}{1/2}} + \hlF{\ln|x|} + C \\ &= x + 4\sqrt{x} + \ln|x| + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,dx = x + 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$

เศษส่วนพหุนามที่ต้องหารยาว (Polynomial Long Division)

เมื่อดีกรีของตัวเศษ ≥ ดีกรีของตัวส่วน (improper rational function) ให้หารยาวก่อน จะได้ผลหารซึ่งเป็นพหุนาม บวกกับเศษส่วนที่ตัวเศษดีกรีต่ำกว่า

T2 Division algorithm ผลการหารยาว

\frac{N(x)}{D(x)} = \underbrace{Q(x)}_{\text{ผลหาร}} + \frac{\overbrace{R(x)}^{\text{เศษ}}}{D(x)}, \qquad \deg R \lt \deg D

วิธีหารยาวเหมือนหารเลขยาวในชั้นประถม: (1) เอาพจน์หน้าสุดของตัวตั้งหารด้วยพจน์หน้าสุดของตัวหาร (2) คูณกลับ (3) ลบ พจน์หน้าจะตัดกันเป็นศูนย์ (เส้นแดง) (4) ทดพจน์ถัดไปลงมา แล้ววนจนดีกรีของเศษต่ำกว่าตัวหาร

ตัวอย่าง D1 · หารด้วยพจน์เชิงเส้น

หา $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx$

ดีกรีบน 2 ≥ ดีกรีล่าง 1 จึงหารยาว

ผลหาร → $x$ $+\,2$ $x+1$ $x^2$ $+\,3x$ $+\,5$ $x(x+1)$ $-(x^2$ $+\,x)$ $2x$ $+\,5$ ↓ ทด $2(x+1)$ $-(2x$ $+\,2)$ $3$ เศษ
- $x^2 \div x = \color{#2a78d6}{x}$ คูณกลับ $x(x+1) = x^2 + x$ ลบออก $x^2$ ตัดกัน เหลือ $3x - x = 2x$ แล้วทด $+5$ ลงมา
- $2x \div x = \color{#2a78d6}{2}$ คูณกลับ $2(x+1) = 2x + 2$ ลบออก $2x$ ตัดกัน เหลือ $5 - 2 = 3$
- เศษ 3 มีดีกรี 0 ต่ำกว่าตัวหาร จึงหยุด
เขียนผลตามรูป ผลหาร + เศษ/ตัวหาร T2
$\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} = x + 2 + \frac{3}{x+1}$
อินทิเกรตทีละพจน์ P2 F2 F1 G2
$\begin{aligned} &\int \left(x + 2 + \frac{3}{x+1}\right)dx \\ &= \hlF{\frac{x^2}{2}} + \hlF{2x} + 3\hlF{\ln|x+1|} + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x+1| + C$

ตรวจการหาร: $(x+1)(x+2) + 3 = x^2 + 3x + 2 + 3 = x^2 + 3x + 5$ ✓

ตัวอย่าง D2 · ตัวหารกำลังสอง (เติม 0x ให้ครบ)

หา $\displaystyle\int \frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1}\,dx$

ตัวหาร $x^2 + 1$ ไม่มีพจน์ x ให้เขียนเป็น $x^2 + 0x + 1$ เพื่อให้คอลัมน์ตรงกัน แล้วหารยาว

ผลหาร → $2x$ $+\,3$ $x^2+0x+1$ $2x^3$ $+\,3x^2$ $-\,x$ $+\,1$ $2x(\cdots)$ $-(2x^3$ $+\,0x^2$ $+\,2x)$ $3x^2$ $-\,3x$ $+\,1$ ↓ ทด $3(\cdots)$ $-(3x^2$ $+\,0x$ $+\,3)$ $-\,3x$ $-\,2$ เศษ
- $2x^3 \div x^2 = \color{#2a78d6}{2x}$ คูณกลับได้ $2x^3 + 0x^2 + 2x$ ลบออก: $2x^3$ ตัดกัน, $3x^2 - 0 = 3x^2$ , $-x - 2x = -3x$ แล้วทด $+1$
- $3x^2 \div x^2 = \color{#2a78d6}{3}$ คูณกลับได้ $3x^2 + 0x + 3$ ลบออก: $3x^2$ ตัดกัน, $-3x - 0 = -3x$ , $1 - 3 = -2$
- เศษ $-3x - 2$ ดีกรี 1 ต่ำกว่าตัวหารดีกรี 2 จึงหยุด
เขียนผล แล้วแยกเศษส่วนที่เหลือเป็นสองพจน์ T2
$\begin{aligned} &\frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1} \\ &= 2x + 3 - \frac{3x}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} \end{aligned}$
พจน์ $\dfrac{3x}{x^2+1}$ ใช้ u = $x^2+1$ ( $du = 2x\,dx$ ) ได้รูป ln H2 ส่วน $\dfrac{2}{x^2+1}$ ได้ arctan F11
$\begin{gathered} \begin{aligned} \int \frac{3x}{x^2+1}\,dx &= \frac{3}{2}\int\frac{\hlU{du}}{\hlU{u}} \\ &= \frac{3}{2}\hlF{\ln(x^2+1)} \end{aligned} \\ \int \frac{2}{x^2+1}\,dx = 2\hlF{\arctan x} \end{gathered}$
รวมทุกพจน์ P2
$\begin{aligned} &\int \left(2x + 3 - \frac{3x}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1}\right)dx \\ &= x^2 + 3x - \frac{3}{2}\ln(x^2+1) - 2\arctan x + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1}\,dx = x^2 + 3x - \frac{3}{2}\ln(x^2+1) - 2\arctan x + C$

ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ใน $\ln(x^2+1)$ เพราะ $x^2 + 1 \gt 0$ เสมอ

แยกเศษส่วนย่อย (Partial Fraction Decomposition)

ใช้เมื่อดีกรีตัวเศษต่ำกว่าตัวส่วน และตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ แยกเป็นเศษส่วนเล็ก ๆ ที่อินทิเกรตได้ด้วย ln หรือ arctan วิธีเดียวกันนี้ใช้หาอินเวอร์สลาปลาซในบทการแปลงลาปลาซ

ตัวประกอบในตัวส่วน	ชื่อ	เขียนแยกเป็น
$(x-a)(x-b)$	Distinct linear factors	$\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{x-b}$
$(x-a)^2$	Repeated linear factor	$\dfrac{A}{x-a} + \dfrac{B}{(x-a)^2}$
$x^2 + px + q$ (แยกไม่ได้)	Irreducible quadratic	$\dfrac{Ax + B}{x^2 + px + q}$

ตัวอย่าง P1 · ตัวประกอบเชิงเส้นต่างกัน

หา $\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$

ตั้งรูปแยก แล้วคูณตลอดด้วยตัวส่วน $(x-1)(x+2)$
$\begin{aligned} &\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)} \\ &= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \;\Rightarrow\; 5x + 1 \\ &= A(x+2) + B(x-1)\end{aligned}$
แทนค่า x ที่ทำให้วงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์ (วิธีปิดตัวประกอบ cover-up method)
$\begin{aligned} x = 1 &: \quad 6 = A(3) + B\cdot\rc{0} \;\Rightarrow\; A = 2 \\ x = -2 &: \quad -9 = A\cdot\rc{0} + B(-3) \;\Rightarrow\; B = 3 \end{aligned}$
อินทิเกรตทีละพจน์ P2 G2
$\begin{aligned} &\int \left(\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2}\right)dx \\ &= 2\hlF{\ln|x-1|} + 3\hlF{\ln|x+2|} + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx = 2\ln|x-1| + 3\ln|x+2| + C$

ตัวอย่าง P2 · ตัวประกอบซ้ำ

หา $\displaystyle\int \frac{x+3}{(x+1)^2}\,dx$

ตั้งรูปแยกสำหรับตัวประกอบซ้ำ แล้วคูณตลอดด้วย $(x+1)^2$
$\begin{aligned} \frac{x+3}{(x+1)^2} &= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} \;\Rightarrow\; x + 3 \\ &= A(x+1) + B \end{aligned}$
เทียบสัมประสิทธิ์: พจน์ x ได้ $A = 1$ พจน์คงที่ได้ $A + B = 3$ จึง $B = 2$
$\frac{x+3}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$
พจน์แรกได้ ln G2 พจน์ที่สองเป็นกำลัง −2 G1
$\begin{aligned} &\hlF{\ln|x+1|} + 2\cdot\hlF{\frac{(x+1)^{-1}}{-1}} + C \\ &= \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \frac{x+3}{(x+1)^2}\,dx = \ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C$

อินทิเกรตทีละส่วน (Integration by Parts)

มาจากกฎผลคูณของอนุพันธ์ $(uv)' = u'v + uv'$ อินทิเกรตทั้งสองข้างแล้วจัดใหม่ ใช้กับผลคูณของฟังก์ชันต่างชนิด เช่น พหุนามคูณเอกซ์โพเนนเชียล

T3 Integration by parts อินทิเกรตทีละส่วน

\int u\,dv = uv - \int v\,du

T4 LIATE rule ลำดับเลือก u (ตัวที่มาก่อนเป็น u)

LLogarithmic
ln xIInverse trig
arctan xAAlgebraic
x², xTTrigonometric
sin xEExponential
eˣ

u ควรเป็นตัวที่หาอนุพันธ์แล้วง่ายขึ้น dv ควรเป็นตัวที่อินทิเกรตได้

ตัวอย่าง B1 · พหุนามคูณเอกซ์โพเนนเชียล

หา $\displaystyle\int x e^x\,dx$

ตาม LIATE: x (Algebraic) มาก่อน eˣ (Exponential) T4
$\begin{gathered} u = x \\ \Rightarrow du = dx \\ dv = e^x\,dx \\ \Rightarrow v = e^x \end{gathered}$
แทนในสูตร T3
$\int x e^x\,dx = \hlF{x e^x - \int e^x\,dx} = x e^x - e^x + C$

$\displaystyle\int x e^x\,dx = e^x(x - 1) + C$ ตรงกับ S8 ที่ a = 1

ตัวอย่าง B2 · พหุนามคูณตรีโกณ

หา $\displaystyle\int x\cos x\,dx$

$u = x$ (A มาก่อน T)
$\begin{gathered} u = x \\ \Rightarrow du = dx \\ dv = \cos x\,dx \\ \Rightarrow v = \sin x \end{gathered}$
แทนในสูตร T3 แล้วใช้ F6
$\begin{aligned} &x\sin x - \int \sin x\,dx \\ &= x\sin x - (\hlF{-\cos x}) + C \\ &= x\sin x + \cos x + C\end{aligned}$

$\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$

ตัวอย่าง B3 · ln x ตัวเดียว

หา $\displaystyle\int \ln x\,dx$

มองเป็น $\ln x \cdot 1$ ให้ u = ln x (L มาก่อนทุกตัว)
$\begin{gathered} u = \ln x \\ \Rightarrow du = \frac{1}{x}\,dx \\ dv = dx \\ \Rightarrow v = x \end{gathered}$
แทนในสูตร T3 สังเกตการตัด x
$\begin{aligned} x\ln x - \int \rc{x}\cdot\frac{1}{\rc{x}}\,dx &= x\ln x - \int 1\,dx \\ &= x\ln x - x + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$

ตัวอย่าง B4 · ทำสองรอบด้วยวิธีตาราง (tabular / DI method)

หา $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$

คอลัมน์ D หาอนุพันธ์ของ $x^2$ จนเป็นศูนย์ คอลัมน์ I อินทิเกรต $e^x$ ไปพร้อมกัน เครื่องหมายสลับ + − +

เครื่องหมาย D (อนุพันธ์) I (อินทิกรัล)

+ $x^2$ $e^x$
− $2x$ $e^x$
+ $2$ $e^x$
$0$ $e^x$
คูณทแยงลงตามเครื่องหมาย
$+x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

เครื่องหมาย	D (อนุพันธ์)	I (อินทิกรัล)
+	$x^2$	$e^x$
−	$2x$	$e^x$
+	$2$	$e^x$
	$0$	$e^x$

$\displaystyle\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

อินทิกรัลตรีโกณมิติ (Trigonometric Integrals)

กำลังคู่ใช้สูตรลดกำลัง กำลังคี่แยกออกหนึ่งตัวแล้วเปลี่ยนตัวแปร สูตรตรีโกณทั้งหมดดูได้ที่หน้าสูตรตรีโกณมิติ · อินทิกรัลแบบ $\int t\cos at\,dt$ และผลคูณไซน์ตลอดคาบเป็นเครื่องมือหลักของการหาสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์

ตัวอย่าง T1 · กำลังคี่

หา $\displaystyle\int \sin^3 x\,dx$

แยก $\sin x$ ออกหนึ่งตัว แล้วใช้ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ เอกลักษณ์พีทาโกรัส
$\int \sin^2 x\,\sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx$
ให้ $u = \cos x$ จะได้ $du = -\sin x\,dx$ หรือ $\sin x\,dx = -du$
$\begin{aligned} \int (1 - \hlU{u}^2)(\hlU{-du}) &= -\int (1 - u^2)\,du \\ &= -u + \frac{u^3}{3} + C \end{aligned}$

$\displaystyle\int \sin^3 x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

การแทนค่าด้วยตรีโกณ (Trigonometric Substitution)

ถ้าเจอ	ให้	เพราะ
$\sqrt{a^2 - x^2}$	$x = a\sin\theta$	$a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2\cos^2\theta$
$\sqrt{a^2 + x^2}$	$x = a\tan\theta$	$a^2 + a^2\tan^2\theta = a^2\sec^2\theta$
$\sqrt{x^2 - a^2}$	$x = a\sec\theta$	$a^2\sec^2\theta - a^2 = a^2\tan^2\theta$

อินทิกรัลจำกัดเขต (Definite Integral)

อินทิกรัลจำกัดเขตให้ตัวเลข ไม่ใช่ฟังก์ชัน มีความหมายเป็นพื้นที่ใต้กราฟแบบคิดเครื่องหมาย (ส่วนที่อยู่ใต้แกน x นับเป็นลบ) ในงานไฟฟ้าคือ ประจุสะสม $q = \int i\,dt$ พลังงาน $W = \int p\,dt$ และค่าเฉลี่ย

ผลบวกรีมันน์ใช้สูตร $\sum k,\ \sum k^2$ ดูตัวอย่างหา $\int_0^1 x^2dx$ จากลิมิตของอนุกรมใน ลำดับและอนุกรม และการพิสูจน์สูตรผลบวกด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

Q0 Riemann-sum definition นิยามด้วยผลบวกรีมันน์

\begin{gathered} \begin{aligned} &\int_a^b f(x)\,dx \\ &= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x \end{aligned} \\ \Delta x = \frac{b-a}{n} \\ x_k = a + k\,\Delta x \end{gathered}

แบ่งช่วง [a, b] เป็น n ช่วงย่อย (partition) กว้างช่วงละ Δx สร้างสี่เหลี่ยมสูง $f(x_k^*)$ แล้วรวมพื้นที่ เมื่อ n → ∞ ผลรวมจะเข้าใกล้พื้นที่จริง

ลองเอง: ผลบวกรีมันน์เข้าใกล้ค่าจริง

เพิ่มจำนวนสี่เหลี่ยม n แล้วดูว่าผลรวมเข้าใกล้ค่าอินทิกรัลจริงเท่าไร

ฟังก์ชัน a b

จำนวนช่วง n8

ตัวอย่าง R1 · หาจากนิยามโดยตรง

หา $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ด้วยผลบวกรีมันน์ (จุดขวา)

แบ่ง [0, 1] เป็น n ช่วง หาความกว้างและจุดขวาของช่วงที่ k
$\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}, \qquad x_k = 0 + k\cdot\frac{1}{n} = \frac{k}{n}$
เขียนผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม แล้วกระจายตัวที่ไม่ขึ้นกับ k ออกมานอกซิกมา
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x &= \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n} \\ &= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{n^3} \\ &= \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2 \end{aligned}$
ใช้สูตรผลบวกกำลังสอง $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3}$
หารทุกพจน์ด้วย $n^3$ แล้วตัด
$\frac{2\rc{n^3}}{6\rc{n^3}} + \frac{3\rc{n^2}}{6\,n\rc{n^2}} + \frac{\rc{n}}{6\,n^2\rc{n}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$
ให้ n → ∞ พจน์ที่มี n ในตัวส่วนเข้าใกล้ 0
$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\right) = \frac{1}{3} + 0 + 0 = \frac{1}{3}$

$\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ ลองตั้ง n ในกล่องด้านบนเป็น 8, 50, 200 จะเห็นผลรวม $\tfrac13 + \tfrac{1}{2n} + \tfrac{1}{6n^2}$ ลดลงเข้าหา 0.3333

ตัวอย่าง R2 · นิยามกับฟังก์ชันเชิงเส้น

หา $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$ ด้วยผลบวกรีมันน์

หา Δx และจุดขวา แล้วแทนลงใน f
$\begin{gathered} \Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n} \\ x_k = 1 + \frac{2k}{n} \\ \begin{aligned} f(x_k) &= 2\left(1 + \frac{2k}{n}\right) + 1 \\ &= 3 + \frac{4k}{n} \end{aligned} \end{gathered}$
กระจายผลรวมเป็นสองก้อน
$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left(3 + \frac{4k}{n}\right)\frac{2}{n} &= \frac{6}{n}\sum_{k=1}^{n}1 + \frac{8}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k \\ &= \frac{6}{n}\cdot n + \frac{8}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} \end{aligned}$
ตัดและจัดรูป
$\begin{aligned} \frac{6}{\rc{n}}\cdot\rc{n} + \frac{\carry{4}{8}\,\rc{n}(n+1)}{\rc{2}\,n\,\rc{n}} &= 6 + \frac{4(n+1)}{n} \\ &= 10 + \frac{4}{n} \end{aligned}$
ให้ n → ∞
$\lim_{n\to\infty}\left(10 + \frac{4}{n}\right) = 10$

$\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx = 10$ ตรงกับวิธีลัด $[x^2 + x]_1^3 = 12 - 2 = 10$ ในหัวข้อถัดไป

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

การหาลิมิตของผลรวมทุกข้อเหนื่อยมาก ทฤษฎีบทนี้บอกว่าไม่ต้องทำ ใช้ปฏิยานุพันธ์แทนค่าขอบบนลบขอบล่างได้เลย

Q1 FTC, part 2 (evaluation theorem) การหาค่าอินทิกรัลจำกัดเขต

\begin{gathered} \begin{aligned} \int_a^b f(x)\,dx &= \Big[F(x)\Big]_a^b \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned} \\ F'(x) = f(x) \end{gathered}

Q2 FTC, part 1 อนุพันธ์ของอินทิกรัลที่ขอบบนเป็นตัวแปร

\begin{gathered} \frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x) \\ \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f\big(g(x)\big)\,g'(x) \end{gathered}

รูปที่สองเรียกว่ากฎของไลบ์นิซ (Leibniz integral rule) แบบพื้นฐาน

Q3 The constant cancels ทำไมไม่มี C

\begin{aligned} \Big[F(x) + \hlC{C}\Big]_a^b &= \big(F(b) + \rc{C}\big) - \big(F(a) + \rc{C}\big) \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned}

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต (Properties of Definite Integrals)

Q4 Zero-width interval ขอบบนเท่าขอบล่าง

\int_a^a f(x)\,dx = 0

Q5 Reversal of limits สลับขอบเขตเปลี่ยนเครื่องหมาย

\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx

Q6 Linearity ความเป็นเชิงเส้น

\int_a^b [k f + g]\,dx = k\int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx

Q7 Additivity over intervals การแบ่งช่วง

\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx

Q8 Comparison property การเปรียบเทียบ

\begin{gathered} f(x) \le g(x) \text{ บน } [a,b] \\ \Rightarrow \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx \end{gathered}

Q9 Symmetry (even / odd) ฟังก์ชันคู่และคี่

\int_{-a}^{a} f\,dx = \begin{cases} 2\int_0^a f\,dx & f \text{ คู่ (even)} \\ 0 & f \text{ คี่ (odd)} \end{cases}

Q10 Average value / Mean value theorem for integrals ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

\begin{gathered} f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \\ \exists\,c \in [a,b]:\ f(c) = f_{\text{avg}} \end{gathered}

Q11 Substitution in a definite integral เปลี่ยนตัวแปรพร้อมเปลี่ยนขอบเขต

\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{\hlU{g(a)}}^{\hlU{g(b)}} f(u)\,du

Q12 Integration by parts, definite

\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du

ตัวอย่าง E1 · แทนค่าขอบบนขอบล่างอย่างละเอียด

หา $\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$

หาปฏิยานุพันธ์ทีละพจน์ (ไม่ต้องเขียน C) Q6 F2
$\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \Big[\hlF{x^3} - \hlF{x^2} + \hlF{x}\Big]_1^3$
แทนขอบบน x = 3 ทุกตัว ลบด้วยการแทนขอบล่าง x = 1 ทุกตัว ใส่วงเล็บเสมอ Q1 FTC
$= \big(\hlU{3}^3 - \hlU{3}^2 + \hlU{3}\big) - \big(\hlP{1}^3 - \hlP{1}^2 + \hlP{1}\big)$
คำนวณในแต่ละวงเล็บ
$= (27 - 9 + 3) - (1 - 1 + 1) = 21 - 1 = 20$
อีกวิธี: กระจายเครื่องหมาย [ ] ไปทีละพจน์ได้ผลเท่ากัน Q6 Linearity
$\begin{aligned} &\Big[x^3\Big]_1^3 - \Big[x^2\Big]_1^3 + \Big[x\Big]_1^3 \\ &= (27 - 1) - (9 - 1) + (3 - 1) \\ &= 26 - 8 + 2 \\ &= 20\end{aligned}$

$\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = 20$

จุดที่พลาดบ่อย: ลืมวงเล็บก้อนขอบล่าง แล้วลบแค่พจน์แรก ทำให้ได้ $21 - 1 - 1 + 1$ ซึ่งผิด

ตัวอย่าง E2 · ตรีโกณ

หา $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

ปฏิยานุพันธ์ของ sin คือ −cos F6
$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \Big[\hlF{-\cos x}\Big]_0^{\pi}$
แทนขอบบน ลบขอบล่าง ระวังเครื่องหมายลบซ้อน: $\cos\pi = -1$ , $\cos 0 = 1$
$\begin{aligned} &= \big(-\cos\pi\big) - \big(-\cos 0\big) \\ &= \big(-(-1)\big) - \big(-1\big) \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}$

$\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2$ คือพื้นที่ใต้โค้งไซน์ครึ่งลูก

ตัวอย่าง E3 · เปลี่ยนตัวแปร u พร้อมเปลี่ยนขอบเขต

หา $\displaystyle\int_0^2 x(x^2+1)^3\,dx$

เลือก u และ du เหมือนอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
$\hlU{u = x^2+1},\quad \hlU{du = 2x\,dx} \Rightarrow \hlU{x\,dx = \tfrac12\,du}$
แปลงขอบเขตจากค่า x เป็นค่า u ด้วย $u = x^2 + 1$ Q11
$\begin{gathered} x = 0 \\ \Rightarrow u = 0^2 + 1 = \hlU{1} \\ x = 2 \\ \Rightarrow u = 2^2 + 1 = \hlU{5} \end{gathered}$
อินทิเกรตในตัวแปร u ด้วยขอบเขตใหม่ ไม่ต้องแทนกลับ F2
$\begin{aligned} \frac{1}{2}\int_{\hlU{1}}^{\hlU{5}} u^3\,du &= \frac{1}{2}\Big[\hlF{\frac{u^4}{4}}\Big]_1^5 \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} \\ &= \frac{625 - 1}{8} \\ &= \frac{624}{8} \\ &= 78 \end{aligned}$
ตรวจด้วยวิธีแทนกลับเป็น x แล้วใช้ขอบเขตเดิม
$\Big[\frac{(x^2+1)^4}{8}\Big]_0^2 = \frac{5^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{624}{8} = 78$

$\displaystyle\int_0^2 x(x^2+1)^3\,dx = 78$

ตัวอย่าง E4 · ใช้สมมาตรประหยัดแรง

หา $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x)\,dx$ และ $\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^2 + 1)\,dx$

$x^3 + 4x$ เป็นฟังก์ชันคี่ เพราะ $f(-x) = -f(x)$ บนช่วงสมมาตร [−2, 2] ได้ศูนย์ทันที Q9
$\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x)\,dx = 0$
$3x^2 + 1$ เป็นฟังก์ชันคู่ คิดครึ่งเดียวแล้วคูณสอง Q9
$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} (3x^2+1)\,dx &= 2\int_0^1 (3x^2+1)\,dx \\ &= 2\Big[x^3 + x\Big]_0^1 \\ &= 2(2 - 0) \\ &= 4 \end{aligned}$

ได้ 0 และ 4 ตามลำดับ

ตัวอย่าง E5 · งานไฟฟ้า: ค่า RMS

หาค่า RMS ของ $v(t) = V_m\sin\omega t$

นิยาม RMS คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสองในหนึ่งคาบ $T = 2\pi/\omega$ Q10 Average value
$V_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2\omega t\,dt$
ใช้สูตรลดกำลัง $\sin^2\theta = \tfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ S12 แล้วอินทิเกรต G4
$\frac{V_m^2}{T}\int_0^T \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}\,dt = \frac{V_m^2}{2T}\Big[t - \frac{\sin 2\omega t}{2\omega}\Big]_0^T$
แทนขอบเขต: $\sin 2\omega T = \sin 4\pi = 0$ และ $\sin 0 = 0$
$\frac{V_m^2}{2T}\Big[(T - 0) - (0 - 0)\Big] = \frac{V_m^2}{2\rc{T}}\cdot\rc{T} = \frac{V_m^2}{2}$

$V_{\text{rms}} = \dfrac{V_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707\,V_m$ ไฟบ้าน 230 V rms จึงมีค่ายอดราว 325 V

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (Common Mistakes)

เขียนผิด	ที่ถูก	เหตุผล
$\int 2x\,dx = x^2$	$x^2 + C$	ลืมค่าคงที่
$\int x^{-1}\,dx = \dfrac{x^0}{0}$	$\ln\|x\| + C$	กฎยกกำลังใช้ไม่ได้ที่ n = −1
$\int (x^2+1)^3\,dx = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}$	กระจายก่อน	ไม่มี $2x$ ข้างนอก จึงใช้ H1 ไม่ได้
$\int x e^x\,dx = \dfrac{x^2}{2}e^x$	$e^x(x-1) + C$	ไม่มีกฎผลคูณ (P6) ต้องทำทีละส่วน
$\int \dfrac{dx}{x^2+1} = \ln(x^2+1)$	$\arctan x + C$	ตัวเศษไม่ใช่ $2x$ จึงไม่ใช่รูป ln
แทน u แล้วใช้ขอบเขต x เดิม	เปลี่ยนขอบเขตเป็นค่า u	ดู Q11 และตัวอย่าง E3
$\int \sin 3x\,dx = -\cos 3x$	$-\tfrac13\cos 3x + C$	ลืมหารด้วยอนุพันธ์ข้างใน (G4)

หน้าในชุดอินทิกรัล: ทบทวนพื้นฐานและการประยุกต์

อินทิเกรตเป็นแล้ว ไปดูว่าวิศวกรใช้มันทำอะไร: ประจุ พลังงาน และ RMS ในงานไฟฟ้า งาน จุดศูนย์ถ่วง และความเฉื่อยในงานเครื่องกล แรงดันน้ำบนเขื่อน หน้าตัด และการโก่งของคานในงานโยธา พร้อมแล็บคานที่เห็นสายอินทิกรัลจากน้ำหนักถึงการโก่ง ถ้ายังไม่แน่นเรื่องลิมิตและอนุพันธ์ เริ่มที่หน้าแคลคูลัสเบื้องต้น

5.1 แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า Basic Calculus ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ในหน้าเดียว พร้อมตัวอย่างกระแสในตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟบ้าน 220 V เปิดหน้า →ทบทวนก่อนอินทิกรัล 5.2 การประยุกต์อินทิกรัลทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา Applications of Integrals in Electrical, Mechanical & Civil Engineering ประจุ พลังงาน ค่าเฉลี่ยและ RMS งานของแรง จุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์ความเฉื่อย แรงดันน้ำบนเขื่อน ปริมาตรดินขุด-ถม และแล็บคาน น้ำหนัก → แรงเฉือน → โมเมนต์ → ความชัน → การโก่ง เปิดหน้า →สูตร A1, A2, …

เส้นทางเต็มของแคลคูลัส: ฟังก์ชัน → ลิมิต → อนุพันธ์ → อินทิกรัล (หน้านี้) → การแปลงลาปลาซ

วิดีโอจากช่อง Mod's Engineering Mathematics

คลิปล่าสุดทั้งหมดของช่อง และเพลย์ลิสต์การแปลงลาปลาซ ซึ่งนิยามด้วยอินทิกรัลและใช้เทคนิคในหน้านี้เกือบทุกข้อ

∫

คลิปล่าสุดจากช่อง

Mod's Engineering Mathematics · ภาษาไทย

ℒ

Laplace Transforms

อินทิกรัลในงานจริง · เพลย์ลิสต์

สอนโดยอาจารย์มด · ภาษาไทยค้นหาคลิปอินทิเกรตในช่อง ↗

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมอินทิกรัลไม่จำกัดเขตต้องบวก C?

เพราะอนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์ ฟังก์ชัน $x^2$ , $x^2+5$ และ $x^2-3$ จึงมีอนุพันธ์เท่ากันคือ $2x$ เมื่อย้อนกลับจาก $2x$ จึงบอกได้แค่ว่าคำตอบคือ $x^2 + C$ โดย C เป็นค่าคงที่ใดก็ได้

อินทิเกรตทีละพจน์แล้วได้ C1, C2, C3 ทำไมเขียน C ตัวเดียว?

ผลบวกของค่าคงที่ก็ยังเป็นค่าคงที่ จึงรวม $C_1 + C_2 + C_3$ เป็นค่าคงที่ตัวใหม่ชื่อ C แล้วเขียนครั้งเดียวท้ายคำตอบ

การเปลี่ยนตัวแปร u ควรเลือก u อย่างไร?

มองหาก้อนข้างใน (ในวงเล็บ ใต้รากที่สอง ในเลขชี้กำลัง หรือในตัวส่วน) ที่อนุพันธ์ของมันอยู่นอกก้อนนั้น เช่น $\int x(x^2+1)^4\,dx$ ให้ $u = x^2+1$ เพราะ $du = 2x\,dx$ และมี x อยู่ข้างนอกแล้ว ถ้าแทนแล้วยังเหลือ x แปลว่าต้องเลือก u ใหม่

เมื่อไหร่ต้องหารยาวพหุนามก่อนอินทิเกรต?

เมื่อเป็นเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับดีกรีของตัวส่วน ให้หารยาวก่อนจะได้ผลหาร + เศษ/ตัวส่วน แล้วอินทิเกรตทีละส่วน

อินทิกรัลจำกัดเขตทำไมไม่มี C?

เพราะ $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$ ค่า C ถูกลบหายไปเสมอ จึงไม่ต้องเขียน

เปลี่ยนตัวแปร u ในอินทิกรัลจำกัดเขต ต้องเปลี่ยนขอบเขตไหม?

ต้องเปลี่ยน ถ้าอินทิเกรตในตัวแปร u ให้แทนขอบเขตเป็น $u(a)$ และ $u(b)$ หรือจะแทนกลับเป็น x ก่อนแล้วใช้ขอบเขตเดิมก็ได้ ห้ามผสมสองแบบ

อินทิกรัลคืออะไร (Antiderivative)

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่จำกัดเขต (Properties)

ค่าคงที่ C₁ + C₂ + C₃ รวมเป็น C ตัวเดียวได้อย่างไร

หา ∫(3x2−4x+5) dx\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx∫(3x2−4x+5)dx

สูตรอินทิเกรตพื้นฐาน (Basic Integration Formulas)

ก่อนใช้กฎยกกำลัง: เปลี่ยนรากและเศษส่วนเป็นเลขชี้กำลัง

สูตรเมื่อข้างในเป็น ax + b (Linear Substitution Forms)

รูปแบบที่โจทย์มักซ่อนไว้: f(x) คู่กับ f′(x)

ตารางมองโจทย์: เห็นแบบนี้ ให้ u เป็นอะไร

สูตรสำเร็จ (Standard Integrals)

เลือกวิธีอินทิเกรตอย่างไร (Strategy)

การเปลี่ยนตัวแปร u (Integration by Substitution)

ห้าขั้นตอนที่ใช้ทุกข้อ

หา ∫(3x+2)5 dx\displaystyle\int (3x+2)^5\,dx∫(3x+2)5dx

หา ∫x(x2+1)4 dx\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx∫x(x2+1)4dx

หา ∫(2x+3)(x2+3x−1)3 dx\displaystyle\int (2x+3)(x^2+3x-1)^3\,dx∫(2x+3)(x2+3x−1)3dx

หา ∫x2x3+5 dx\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+5}\,dx∫x2x3+5​dx

หา ∫6x(x2+4)3 dx\displaystyle\int \frac{6x}{(x^2+4)^3}\,dx∫(x2+4)36x​dx

หา ∫2x ex2 dx\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx∫2xex2dx

หา ∫3x2+2x3+2x dx\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\,dx∫x3+2x3x2+2​dx

หา ∫sin⁡4xcos⁡x dx\displaystyle\int \sin^4 x\cos x\,dx∫sin4xcosxdx

หา ∫xx+1 dx\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx∫xx+1​dx

หา ∫(ln⁡x)2x dx\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx∫x(lnx)2​dx

จัดรูปและตัดเศษส่วนก่อนอินทิเกรต

หา ∫6x5−9x3+3x3x dx\displaystyle\int \frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x}\,dx∫3x6x5−9x3+3x​dx

หา ∫x3−1x−1 dx\displaystyle\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx∫x−1x3−1​dx

หา ∫(x+1)2x dx\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,dx∫x(x​+1)2​dx

เศษส่วนพหุนามที่ต้องหารยาว (Polynomial Long Division)

หา ∫x2+3x+5x+1 dx\displaystyle\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx∫x+1x2+3x+5​dx

หา ∫2x3+3x2−x+1x2+1 dx\displaystyle\int \frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1}\,dx∫x2+12x3+3x2−x+1​dx

แยกเศษส่วนย่อย (Partial Fraction Decomposition)

หา ∫5x+1(x−1)(x+2) dx\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx∫(x−1)(x+2)5x+1​dx

หา ∫x+3(x+1)2 dx\displaystyle\int \frac{x+3}{(x+1)^2}\,dx∫(x+1)2x+3​dx

อินทิเกรตทีละส่วน (Integration by Parts)

หา ∫xex dx\displaystyle\int x e^x\,dx∫xexdx

หา ∫xcos⁡x dx\displaystyle\int x\cos x\,dx∫xcosxdx

หา ∫ln⁡x dx\displaystyle\int \ln x\,dx∫lnxdx

หา ∫x2ex dx\displaystyle\int x^2 e^x\,dx∫x2exdx

อินทิกรัลตรีโกณมิติ (Trigonometric Integrals)

หา ∫sin⁡3x dx\displaystyle\int \sin^3 x\,dx∫sin3xdx

การแทนค่าด้วยตรีโกณ (Trigonometric Substitution)

อินทิกรัลจำกัดเขต (Definite Integral)

ลองเอง: ผลบวกรีมันน์เข้าใกล้ค่าจริง

หา ∫01x2 dx\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx∫01​x2dx ด้วยผลบวกรีมันน์ (จุดขวา)

หา ∫13(2x+1) dx\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx∫13​(2x+1)dx ด้วยผลบวกรีมันน์

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)

คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต (Properties of Definite Integrals)

หา ∫13(3x2−2x+1) dx\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx∫13​(3x2−2x+1)dx

หา ∫0πsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx∫0π​sinxdx

หา ∫02x(x2+1)3 dx\displaystyle\int_0^2 x(x^2+1)^3\,dx∫02​x(x2+1)3dx

หา ∫−22(x3+4x) dx\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x)\,dx∫−22​(x3+4x)dx และ ∫−11(3x2+1) dx\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^2 + 1)\,dx∫−11​(3x2+1)dx

หาค่า RMS ของ v(t)=Vmsin⁡ωtv(t) = V_m\sin\omega tv(t)=Vm​sinωt

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย (Common Mistakes)

หน้าในชุดอินทิกรัล: ทบทวนพื้นฐานและการประยุกต์

วิดีโอจากช่อง Mod's Engineering Mathematics

คลิปล่าสุดจากช่อง

Laplace Transforms

คำถามที่พบบ่อย

หา $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$

หา $\displaystyle\int (3x+2)^5\,dx$

หา $\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx$

หา $\displaystyle\int (2x+3)(x^2+3x-1)^3\,dx$

หา $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3+5}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{6x}{(x^2+4)^3}\,dx$

หา $\displaystyle\int 2x\,e^{x^2}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{3x^2+2}{x^3+2x}\,dx$

หา $\displaystyle\int \sin^4 x\cos x\,dx$

หา $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{6x^5 - 9x^3 + 3x}{3x}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{2x^3 + 3x^2 - x + 1}{x^2 + 1}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$

หา $\displaystyle\int \frac{x+3}{(x+1)^2}\,dx$

หา $\displaystyle\int x e^x\,dx$

หา $\displaystyle\int x\cos x\,dx$

หา $\displaystyle\int \ln x\,dx$

หา $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$

หา $\displaystyle\int \sin^3 x\,dx$

หา $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ด้วยผลบวกรีมันน์ (จุดขวา)

หา $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$ ด้วยผลบวกรีมันน์

หา $\displaystyle\int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$

หา $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$

หา $\displaystyle\int_0^2 x(x^2+1)^3\,dx$

หา $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x)\,dx$ และ $\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^2 + 1)\,dx$

หาค่า RMS ของ $v(t) = V_m\sin\omega t$