พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ระบบอันดับสอง

// บทที่ 10 · ระบบควบคุม · แล็บโต้ตอบ

ระบบอันดับสอง: ζ และ ωn

ζ กำหนด รูปร่าง ของผลตอบสนอง ส่วน ωn กำหนด ความเร็ว ปรับค่าทั้งสอง หรือค่า R, L, C ของวงจรจริง หรือลากขั้วบนระนาบ s แล้วดูกราฟเวลา เปลือกเอกซ์โพเนนเชียล Bode plot และระนาบเฟสเปลี่ยนไปพร้อมกัน อ่านทฤษฎีด้านล่าง ↓

ฟังก์ชันถ่ายโอน
พารามิเตอร์

ผลตอบสนอง

ผลตอบสนองทางเวลา y(t)

ชี้หรือแตะที่กราฟเพื่ออ่านค่า จุดบนระนาบเฟสและกราฟลอการิทึมจะเลื่อนตามไปด้วย เส้นประสองเส้นที่หุ้มกราฟคือเปลือก e−ζωnte^{-\zeta\omega_n t} ซึ่งกำหนดว่าการแกว่งลดลงเร็วแค่ไหน

ตำแหน่งขั้วบนระนาบ s

ระยะจากจุดกำเนิด = ωn · cos θ = ζ · ส่วนจริง −ζωn กำหนดการลดลง · ส่วนจินตภาพ ωd กำหนดการแกว่ง

ผลตอบสนองเชิงความถี่ (Bode)

ที่ ω = ωn เฟสเป็น −90° เสมอ และขนาดเท่ากับ 1/(2ζ) ζ ยิ่งน้อย ยอดเรโซแนนซ์ยิ่งสูง

โครงสร้างเอกซ์โพเนนเชียล

ส่วนชั่วครู่บนสเกลลอการิทึม ยอดทุกยอดเรียงบนเส้นตรงความชัน −ζωn

ระนาบเฟส (y กับ ẏ/ωn)

ไม่หน่วงเป็นวงกลม หน่วงน้อยหมุนเป็นเกลียวเข้าหาจุดสมดุล หน่วงมากวิ่งเข้าตรง ๆ

เปอร์เซ็นต์พุ่งเกินขึ้นกับ ζ อย่างเดียว

%OS = e^(−ζπ/√(1−ζ²)) ไม่มี ωn อยู่ในสูตร เส้นจาก ζ เดียวกันบนระนาบ s จึงให้ %OS เท่ากัน

ดูค่าเป็นตาราง
จุดเวลา tωₙty(t)dy/dt

// ทฤษฎีประกอบแล็บ

ระบบอันดับสองทำงานอย่างไร

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • G(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2G(s) = \dfrac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} มีพารามิเตอร์แค่สองตัว
  • ζ กำหนดรูปร่าง: %OS, จำนวนครั้งที่แกว่ง, ยอดเรโซแนนซ์ ขึ้นกับ ζ อย่างเดียว
  • ωn กำหนดความเร็ว: แค่ยืดหรือหดแกนเวลา
  • ขั้วอยู่บนวงกลมรัศมี ωn ที่มุม θ โดย cos⁡θ=ζ\cos\theta = \zeta การแกว่งลดลงตามเปลือก e−ζωnte^{-\zeta\omega_n t} ซึ่งมีค่าคงตัวเวลา τ=1/(ζωn)\tau = 1/(\zeta\omega_n)

รูปมาตรฐานและที่มา

ระบบที่มีตัวเก็บพลังงานสองตัวซึ่งแลกพลังงานกันไปมา เช่น ตัวเหนี่ยวนำกับตัวเก็บประจุในวงจร RLC หรือมวลกับสปริง จะได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เขียนในรูปมาตรฐานได้ว่า

y¨+2ζωn y˙+ωn2 y=Kωn2 u(t)→ L G(s)=Kωn2s2+2ζωns+ωn2\ddot y + 2\zeta\omega_n\,\dot y + \omega_n^2\,y = K\omega_n^2\,u(t) \quad\xrightarrow{\ \mathcal{L}\ }\quad G(s) = \frac{K\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
ระบบωnζ
วงจร RLC อนุกรม (เอาต์พุต vCv_C)1LC\dfrac{1}{\sqrt{LC}}R2CL\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}
มวล–สปริง–ตัวหน่วงk/m\sqrt{k/m}c2km\dfrac{c}{2\sqrt{km}}

ζ กับ ωn ทำหน้าที่ต่างกัน

แทนเวลาด้วยเวลาปรับมาตรฐาน t′=ωntt' = \omega_n t จะได้ ddt=ωnddt′\dfrac{d}{dt} = \omega_n\dfrac{d}{dt'} แทนลงในสมการแล้วหารด้วย ωn2\omega_n^2

d2ydt′2+2ζ dydt′+y=K u\frac{d^2y}{dt'^2} + 2\zeta\,\frac{dy}{dt'} + y = K\,u

ωn หายไปจากสมการทั้งหมด เหลือเพียง ζ แปลว่า รูปร่างของกราฟเมื่อพล็อตเทียบกับ ωnt\omega_n t ขึ้นกับ ζ อย่างเดียว ส่วน ωn ทำหน้าที่เพียงยืดหรือหดแกนเวลา ในแล็บด้านบน ลองเลือกแกน "เวลาปรับมาตรฐาน ωₙt" แล้วกด "กวาด ωn" กราฟจะนิ่งสนิท จากนั้นกด "กวาด ζ" จะเห็นรูปร่างเปลี่ยนตั้งแต่แกว่งมากจนถึงค่อย ๆ ขึ้นช้า ๆ

สี่กรณีของ ζ

ζชื่อขั้วผลตอบสนองขั้นบันได
0ไม่หน่วง±jωn\pm j\omega_n บนแกนจินตภาพแกว่งตลอดไป พุ่งเกิน 100%
0 < ζ < 1หน่วงน้อยคู่สังยุค −ζωn±jωd-\zeta\omega_n \pm j\omega_dพุ่งเกินแล้วแกว่งลดลงตามเปลือก
1หน่วงวิกฤตขั้วซ้ำที่ −ωn-\omega_nเร็วที่สุดโดยไม่พุ่งเกิน
> 1หน่วงมากขั้วจริงสองตัวไม่พุ่งเกิน ช้า ถูกครอบงำด้วยขั้วที่ใกล้แกนจินตภาพ

ตำแหน่งขั้วบอกทุกอย่าง

s1,2=−ζωn±j ωn1−ζ2=−σ±jωd∣s∣=ωn,cos⁡θ=ζs_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = -\sigma \pm j\omega_d \qquad |s| = \omega_n,\quad \cos\theta = \zeta
  • ระยะจากจุดกำเนิด คือ ωn ขั้วที่อยู่บนวงกลมเดียวกันมีความเร็วโดยรวมเท่ากัน
  • มุม θ วัดจากแกนจริงลบ กำหนด ζ จึงกำหนด %OS เส้นรัศมีที่มุมเดียวกันให้ %OS เท่ากัน
  • ส่วนจริง σ = ζωn กำหนดอัตราการลดลง เปลือก e−σte^{-\sigma t} มีค่าคงตัวเวลา τ=1/σ\tau = 1/\sigma และเวลาเข้าที่ ts≈4τt_s \approx 4\tau
  • ส่วนจินตภาพ ωd กำหนดความถี่การแกว่ง คาบ Td=2π/ωdT_d = 2\pi/\omega_d และเวลาถึงยอด tp=π/ωdt_p = \pi/\omega_d

ในแล็บ ลากขั้วบนระนาบ s ไปตามวงกลม (ωn คงที่) แล้วดูรูปร่างเปลี่ยน หรือลากออกไปตามเส้นรัศมี (ζ คงที่) แล้วดูว่ากราฟเร็วขึ้นโดย %OS เท่าเดิม

สเปกในโดเมนเวลา

%OS=100 e−ζπ/1−ζ2tp=πωdts≈4ζωn\%OS = 100\,e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_d} \qquad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}
สูตร tst_s มาจากเปลือก e−ζωnte^{-\zeta\omega_n t} ลดลงเหลือประมาณ 2% เมื่อผ่านไป 4τ ค่าจริงอาจต่างเล็กน้อย แล็บแสดงทั้งสองค่าให้เทียบ
ตัวอย่างที่ 1

ระบบมี ζ = 0.5 และ ωn = 4 rad/s จงหา %OS, tₚ และ tₛ

ดูวิธีทำ ωd=41−0.25=3.46 rad/s%OS=100 e−0.5π/0.866=16.3%\omega_d = 4\sqrt{1 - 0.25} = 3.46\ \text{rad/s} \qquad \%OS = 100\,e^{-0.5\pi/0.866} = 16.3\% tp=π3.46=0.907 sts≈40.5×4=2 st_p = \frac{\pi}{3.46} = 0.907\ \text{s} \qquad t_s \approx \frac{4}{0.5 \times 4} = 2\ \text{s}

%OS = 16.3%, tₚ = 0.907 s, tₛ ≈ 2 s ลองตั้ง ζ = 0.5 และ ωn = 4 ในแล็บแล้วเปิด "แถบเข้าที่ ±2%" เพื่อเทียบค่า tₛ จริงกับสูตร

ตัวอย่างที่ 2 · ออกแบบ

ต้องการให้พุ่งเกินไม่เกิน 5% ต้องใช้ ζ อย่างน้อยเท่าใด

ดูวิธีทำ

กลับสูตร %OS โดยให้ L=−ln⁡(0.05)L = -\ln(0.05)

ζ=−ln⁡(%OS/100)π2+ln⁡2(%OS/100)=2.9969.870+8.974=0.690\zeta = \frac{-\ln(\%OS/100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(\%OS/100)}} = \frac{2.996}{\sqrt{9.870 + 8.974}} = 0.690

ζ ≥ 0.69 ซึ่งตรงกับมุมขั้ว θ ≤ 46.4° บนระนาบ s

ผลตอบสนองเชิงความถี่

∣G(jω)∣=ωn2(ωn2−ω2)2+(2ζωnω)2∠G(jω)=−tan⁡−12ζωnωωn2−ω2\lvert G(j\omega)\rvert = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{(\omega_n^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_n\omega)^2}} \qquad \angle G(j\omega) = -\tan^{-1}\frac{2\zeta\omega_n\omega}{\omega_n^2 - \omega^2}
  • ที่ ω=ωn\omega = \omega_n เฟสเท่ากับ −90° เสมอ และขนาดเท่ากับ 1/(2ζ)1/(2\zeta)
  • ถ้า ζ<0.707\zeta < 0.707 มียอดเรโซแนนซ์ Mr=12ζ1−ζ2M_r = \dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} ที่ ωr=ωn1−2ζ2\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}
  • เหนือ ωn ขนาดลดลง 40 dB ต่อทศวรรษ (สองเท่าของระบบอันดับหนึ่ง)
ζมุมขั้ว θ%OSยอดเรโซแนนซ์ Mr
0.372.5°37.2%4.85 dB
0.560°16.3%1.25 dB
0.70745°4.3%0 dB (ไม่มียอด)
10°0%ไม่มียอด

ตารางนี้คือหัวใจของบท ζ ตัวเดียวผูกมุมขั้ว การพุ่งเกินในโดเมนเวลา และยอดเรโซแนนซ์ในโดเมนความถี่เข้าด้วยกัน

ผลตอบสนองทั้งหมดในบทนี้คือคอนโวลูชันระหว่างอินพุตกับผลตอบสนองอิมพัลส์ของระบบ ปูพื้นเรื่องสัญญาณและคอนโวลูชันได้ใน แล็บสัญญาณเบื้องต้น

ตัวอย่างวงจร RLC

ตัวอย่างที่ 3 · วงจร

วงจร RLC อนุกรม R = 20 Ω, L = 100 mH, C = 100 µF ป้อนแรงดันขั้นบันได จงหา ωn, ζ, %OS และ tₛ ของแรงดันตัวเก็บประจุ

ดูวิธีทำ ωn=1(0.1)(100×10−6)=316 rad/sζ=202100×10−60.1=0.316\omega_n = \frac{1}{\sqrt{(0.1)(100\times10^{-6})}} = 316\ \text{rad/s} \qquad \zeta = \frac{20}{2}\sqrt{\frac{100\times10^{-6}}{0.1}} = 0.316 %OS=100 e−0.316π/1−0.1=35.1%τ=1ζωn=10 msts≈4τ=40 ms\%OS = 100\,e^{-0.316\pi/\sqrt{1-0.1}} = 35.1\% \qquad \tau = \frac{1}{\zeta\omega_n} = 10\ \text{ms} \qquad t_s \approx 4\tau = 40\ \text{ms}

ωn = 316 rad/s, ζ = 0.316, พุ่งเกิน 35.1% และเข้าที่ประมาณ 40 ms เลือก "วงจร RLC อนุกรม" ในแล็บ ค่าเริ่มต้นคือวงจรนี้พอดี ลองเพิ่ม R จะเห็น ζ เพิ่มขึ้นและการพุ่งเกินลดลง

ต่อยอด: ออกแบบระบบอันดับสองด้วยรูทโลคัสและโบด

สูตร %OS, ts, tp ในแล็บนี้คือสเปกที่ใช้ออกแบบตัวควบคุมทั้งหมด ดูผลตอบสนองเวลาและขั้วเด่น รูทโลคัส ที่ใช้เลือกเกนให้ได้ ζ ตามต้องการ เฟสมาร์จินกับ ζ และยอดเรโซแนนซ์บนโบด

คำถามที่พบบ่อย

อัตราส่วนการหน่วง ζ คืออะไร?

เป็นตัวเลขไร้หน่วยที่บอกว่าระบบสูญเสียพลังงานเร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับการแกว่ง ζ เพียงตัวเดียวกำหนดรูปร่างของผลตอบสนอง ได้แก่ ไม่หน่วง (ζ = 0) หน่วงน้อย (0 < ζ < 1) หน่วงวิกฤต (ζ = 1) และหน่วงมาก (ζ > 1) และกำหนดเปอร์เซ็นต์พุ่งเกินโดยตรง

ทำไมนิยมออกแบบให้ ζ ≈ 0.707?

เพราะเป็นค่าที่สมดุลระหว่างความเร็วกับการพุ่งเกิน พุ่งเกินเพียงประมาณ 4.3% ไม่มียอดเรโซแนนซ์ใน Bode plot และขั้วอยู่ที่มุม 45° พอดี

ζ กับ ωn ตัวไหนทำให้ระบบเร็วขึ้น?

ωn ทำหน้าที่ยืดหรือหดแกนเวลาเท่านั้น เพิ่ม ωn เป็นสองเท่า ทุกอย่างเกิดเร็วขึ้นสองเท่าโดยรูปร่างเหมือนเดิม ส่วน ζ เปลี่ยนรูปร่าง เวลาเข้าที่ประมาณ 4/(ζωn)4/(\zeta\omega_n) จึงขึ้นกับผลคูณ ζωn\zeta\omega_n ซึ่งคือระยะของขั้วจากแกนจินตภาพ

ωn กับ ωd ต่างกันอย่างไร?

ωn คือความถี่ที่ระบบจะแกว่งถ้าไม่มีการหน่วงเลย ส่วน ωd = ωn1−ζ2\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} คือความถี่ที่แกว่งจริงเมื่อมีการหน่วง บนระนาบ s ωn คือระยะจากจุดกำเนิดถึงขั้ว และ ωd คือส่วนจินตภาพของขั้ว

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์