หน้าแรก คลังความรู้ การแปลงลาปลาซ จำนวนเชิงซ้อน · ฟังก์ชันวิเคราะห์ Laplace Transform // บทที่ 8.1 · การแปลงลาปลาซ · Complex Variables
จำนวนเชิงซ้อน ตัวแปรเชิงซ้อน ฟังก์ชันวิเคราะห์ และเรซิดิว สำหรับการแปลงลาปลาซ
ทุกอย่างในลาปลาซเกิดบนระนาบเชิงซ้อน: ตัวแปร s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s = σ + jω
สรุปใน 30 วินาที
z = x + j y = r e j θ z = x + jy = re^{j\theta} z = x + j y = r e j θ e s t = e σ t ( cos ω t + j sin ω t ) e^{st} = e^{\sigma t}(\cos\omega t + j\sin\omega t) e s t = e σ t ( cos ω t + j sin ω t ) s s s ฟังก์ชันวิเคราะห์ ⇔ สมการโคชี-รีมันน์ u x = v y , u y = − v x u_x = v_y,\ u_y = -v_x u x = v y , u y = − v x
เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ของ 1 / ( s − p ) 1/(s-p) 1/ ( s − p ) f ( t ) = ∑ Res [ F ( s ) e s t ] f(t) = \sum\operatorname{Res}\,[F(s)e^{st}] f ( t ) = ∑ Res [ F ( s ) e s t ]
ระดับ พื้นฐาน ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
จำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการ พื้นฐาน
จำนวนเชิงซ้อนเกิดจากความต้องการให้ x 2 + 1 = 0 x^2 + 1 = 0 x 2 + 1 = 0 j j j j 2 = − 1 j^2 = -1 j 2 = − 1
Z1 Rectangular form
z = x + j y , x = Re z , y = Im z , j 2 = − 1 z = x + jy,\quad x = \operatorname{Re}z,\ y = \operatorname{Im}z,\quad j^2 = -1 z = x + j y , x = Re z , y = Im z , j 2 = − 1
Z2 Arithmetic
( a + j b ) ( c + j d ) = ( a c − b d ) + j ( a d + b c ) (a+jb)(c+jd) = (ac - bd) + j(ad + bc) ( a + jb ) ( c + j d ) = ( a c − b d ) + j ( a d + b c ) บวก ลบ ทีละส่วนเหมือนเวกเตอร์ คูณกระจายแล้วแทน j 2 = − 1 j^2 = -1 j 2 = − 1
Z3 Conjugate & modulus
z ˉ = x − j y , ∣ z ∣ = x 2 + y 2 , z z ˉ = ∣ z ∣ 2 \bar z = x - jy,\qquad |z| = \sqrt{x^2+y^2},\qquad z\bar z = |z|^2 z ˉ = x − j y , ∣ z ∣ = x 2 + y 2 , z z ˉ = ∣ z ∣ 2
Z4 Division
a + j b c + j d = ( a + j b ) ( c − j d ) c 2 + d 2 \frac{a+jb}{c+jd} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2} c + j d a + jb = c 2 + d 2 ( a + jb ) ( c − j d )
ตัวอย่าง Z-1 · คูณและหาร ให้ z 1 = 3 + 4 j , z 2 = 1 − 2 j z_1 = 3 + 4j,\ z_2 = 1 - 2j z 1 = 3 + 4 j , z 2 = 1 − 2 j z 1 z 2 z_1z_2 z 1 z 2 z 1 / z 2 z_1/z_2 z 1 / z 2
z 1 z 2 = 3 − 6 j + 4 j − 8 j 2 = 3 + 8 − 2 j = 11 − 2 j z_1z_2 = 3 - 6j + 4j - 8j^2 = 3 + 8 - 2j = 11 - 2j z 1 z 2 = 3 − 6 j + 4 j − 8 j 2 = 3 + 8 − 2 j = 11 − 2 j หาร: คูณทั้งเศษและส่วนด้วย z ˉ 2 = 1 + 2 j \bar z_2 = 1 + 2j z ˉ 2 = 1 + 2 j Z4
3 + 4 j 1 − 2 j = ( 3 + 4 j ) ( 1 + 2 j ) 1 2 + 2 2 = 3 + 6 j + 4 j + 8 j 2 5 = − 5 + 10 j 5 = − 1 + 2 j \frac{3+4j}{1-2j} = \frac{(3+4j)(1+2j)}{1^2 + 2^2} = \frac{3 + 6j + 4j + 8j^2}{5} = \frac{-5 + 10j}{5} = -1 + 2j 1 − 2 j 3 + 4 j = 1 2 + 2 2 ( 3 + 4 j ) ( 1 + 2 j ) = 5 3 + 6 j + 4 j + 8 j 2 = 5 − 5 + 10 j = − 1 + 2 j
z 1 z 2 = 11 − 2 j z_1z_2 = 11 - 2j z 1 z 2 = 11 − 2 j z 1 / z 2 = − 1 + 2 j \ z_1/z_2 = -1 + 2j z 1 / z 2 = − 1 + 2 j
ตรวจ: ( − 1 + 2 j ) ( 1 − 2 j ) = − 1 + 2 j + 2 j − 4 j 2 = 3 + 4 j (-1+2j)(1-2j) = -1 + 2j + 2j - 4j^2 = 3 + 4j ( − 1 + 2 j ) ( 1 − 2 j ) = − 1 + 2 j + 2 j − 4 j 2 = 3 + 4 j
ลองในแล็บ: ลากจุด z₁ และ z₂ แล้วเปลี่ยนการดำเนินการ สังเกตว่าการคูณ “หมุนและยืด” เสมอ ส่วนรากที่ n กระจายเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า
รูปเชิงขั้ว สูตรออยเลอร์ และเดอมัวฟวร์ พื้นฐาน
Z5 Polar form
z = r ( cos θ + j sin θ ) = r ∠ θ , r = ∣ z ∣ , θ = arg z z = r(\cos\theta + j\sin\theta) = r\angle\theta,\quad r = |z|,\ \theta = \arg z z = r ( cos θ + j sin θ ) = r ∠ θ , r = ∣ z ∣ , θ = arg z หามุมด้วย atan2 ( y , x ) \operatorname{atan2}(y, x) atan2 ( y , x ) tan − 1 ( y / x ) \tan^{-1}(y/x) tan − 1 ( y / x ) x < 0 x < 0 x < 0
Z6 Euler's formula
e j θ = cos θ + j sin θ ⇒ z = r e j θ e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta \ \Rightarrow\ z = re^{j\theta} e j θ = cos θ + j sin θ ⇒ z = r e j θ ได้ cos θ = e j θ + e − j θ 2 , sin θ = e j θ − e − j θ 2 j \cos\theta = \tfrac{e^{j\theta} + e^{-j\theta}}{2},\ \sin\theta = \tfrac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j} cos θ = 2 e j θ + e − j θ , sin θ = 2 j e j θ − e − j θ ตัวอย่าง L-2
Z7 Products & De Moivre
z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 ) , z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 − θ 2 ) , z n = r n ∠ n θ z_1z_2 = r_1r_2\angle(\theta_1+\theta_2),\quad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\angle(\theta_1-\theta_2),\quad z^n = r^n\angle n\theta z 1 z 2 = r 1 r 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 ) , z 2 z 1 = r 2 r 1 ∠ ( θ 1 − θ 2 ) , z n = r n ∠ n θ
Z8 n-th roots
z 1 / n = r 1 / n ∠ θ + 2 π k n , k = 0 , 1 , … , n − 1 z^{1/n} = r^{1/n}\angle\frac{\theta + 2\pi k}{n},\quad k = 0, 1, \dots, n-1 z 1/ n = r 1/ n ∠ n θ + 2 πk , k = 0 , 1 , … , n − 1
ตัวอย่าง Z-2 · ยกกำลังด้วยเดอมัวฟวร์ หา ( 1 + j ) 8 (1 + j)^8 ( 1 + j ) 8
1 + j = 2 ∠ 45 ∘ 1 + j = \sqrt{2}\angle 45^\circ 1 + j = 2 ∠4 5 ∘ ยกกำลัง 8: ขนาดยกกำลัง 8 มุมคูณ 8 Z7
( 1 + j ) 8 = ( 2 ) 8 ∠ 360 ∘ = 16 ∠ 0 ∘ (1+j)^8 = (\sqrt2)^8\angle 360^\circ = 16\angle 0^\circ ( 1 + j ) 8 = ( 2 ) 8 ∠36 0 ∘ = 16∠ 0 ∘
( 1 + j ) 8 = 16 (1+j)^8 = 16 ( 1 + j ) 8 = 16
ตัวอย่าง Z-3 · รากที่สาม = โพลของระบบ หารากของ s 3 + 8 = 0 s^3 + 8 = 0 s 3 + 8 = 0 H ( s ) = 1 s 3 + 8 H(s) = \dfrac{1}{s^3 + 8} H ( s ) = s 3 + 8 1
s 3 = − 8 = 8 ∠ 180 ∘ s^3 = -8 = 8\angle 180^\circ s 3 = − 8 = 8∠18 0 ∘ รากที่สามสามค่า Z8
s k = 2 ∠ 180 ∘ + 360 ∘ k 3 = 2 ∠ 60 ∘ , 2 ∠ 180 ∘ , 2 ∠ 300 ∘ s_k = 2\angle\frac{180^\circ + 360^\circ k}{3} = 2\angle 60^\circ,\ 2\angle 180^\circ,\ 2\angle 300^\circ s k = 2∠ 3 18 0 ∘ + 36 0 ∘ k = 2∠6 0 ∘ , 2∠18 0 ∘ , 2∠30 0 ∘ s = 1 + j 3 , − 2 , 1 − j 3 s = 1 + j\sqrt3,\quad -2,\quad 1 - j\sqrt3 s = 1 + j 3 , − 2 , 1 − j 3
มีโพลคู่หนึ่งที่ส่วนจริงเป็นบวก (1 ± j 3 1 \pm j\sqrt3 1 ± j 3 e t cos 3 t e^{t}\cos\sqrt3 t e t cos 3 t ไม่เสถียร
ตรวจ: ( 1 + j 3 ) 3 = 2 3 ∠ 180 ∘ = − 8 (1+j\sqrt3)^3 = 2^3\angle 180^\circ = -8 ( 1 + j 3 ) 3 = 2 3 ∠18 0 ∘ = − 8 − ( สัมประสิทธิ์ s 2 ) = 0 -(\text{สัมประสิทธิ์ } s^2) = 0 − ( สัมประสิทธิ์ s 2 ) = 0 1 + 1 − 2 = 0 1 + 1 - 2 = 0 1 + 1 − 2 = 0
ตัวแปรเชิงซ้อน s = σ + jω และระนาบ s พื้นฐาน
ในลาปลาซเราใช้ตัวอักษร s s s z z z σ \sigma σ j ω j\omega jω e s t e^{st} e s t
Z9 Complex frequency
e s t = e ( σ + j ω ) t = e σ t ⏟ โต/หด ( cos ω t + j sin ω t ) ⏟ หมุน/แกว่ง , Re { e s t } = e σ t cos ω t e^{st} = e^{(\sigma + j\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{โต/หด}}\ \underbrace{(\cos\omega t + j\sin\omega t)}_{\text{หมุน/แกว่ง}},\qquad \operatorname{Re}\{e^{st}\} = e^{\sigma t}\cos\omega t e s t = e ( σ + jω ) t = โต / หด e σ t หมุน / แกว่ง ( cos ω t + j sin ω t ) , Re { e s t } = e σ t cos ω t σ < 0 \sigma < 0 σ < 0 σ = 0 \sigma = 0 σ = 0 σ > 0 \sigma > 0 σ > 0 ω = 0 \omega = 0 ω = 0 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ ω ∣
ระนาบ s (ช่องละ 1 หน่วย) σ jω A B C D E F A: σ < 0, ω = 0 ลดลง B: s = 0 คงที่ C: σ > 0, ω = 0 โตขึ้น D: σ < 0 แกว่งลดลง E: σ = 0 แกว่งค้าง F: σ > 0 แกว่งโตขึ้น จุดเข้ม = ตำแหน่งของ s จุดจาง = คู่สังยุค (ทำให้สัญญาณเป็นจำนวนจริง) กราฟ: Re{e^(st)} = e^(σt)cos ωt, 0 ≤ t ≤ 4 ตำแหน่งของ s s s Re { e s t } \operatorname{Re}\{e^{st}\} Re { e s t } ข้อสังเกตที่สำคัญมาก: สัญญาณจริงอย่าง e − t cos 3 t e^{-t}\cos 3t e − t cos 3 t e s t e^{st} e s t สองตัว ที่ s = − 1 ± 3 j s = -1 \pm 3j s = − 1 ± 3 j cos 3 t = 1 2 ( e j 3 t + e − j 3 t ) \cos 3t = \tfrac12(e^{j3t} + e^{-j3t}) cos 3 t = 2 1 ( e j 3 t + e − j 3 t )
ฟังก์ชันเชิงซ้อนและการส่ง (mapping) กลาง
ฟังก์ชันเชิงซ้อน w = f ( z ) w = f(z) w = f ( z ) H ( s ) H(s) H ( s )
Z10 Complex function
w = f ( z ) = u ( x , y ) + j v ( x , y ) w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) w = f ( z ) = u ( x , y ) + j v ( x , y ) เช่น z 2 = ( x 2 − y 2 ) + j ( 2 x y ) z^2 = (x^2 - y^2) + j(2xy) z 2 = ( x 2 − y 2 ) + j ( 2 x y ) u = x 2 − y 2 , v = 2 x y u = x^2 - y^2,\ v = 2xy u = x 2 − y 2 , v = 2 x y
Z11 Complex limit
lim z → z 0 f ( z ) = L ⟺ ∣ f ( z ) − L ∣ → 0 ไม่ว่า z จะเข้าหา z 0 จากทางใด \lim_{z\to z_0}f(z) = L \iff |f(z) - L| \to 0 \text{ ไม่ว่า } z \text{ จะเข้าหา } z_0 \text{ จากทางใด} z → z 0 lim f ( z ) = L ⟺ ∣ f ( z ) − L ∣ → 0 ไม่ว่า z จะเข้าหา z 0 จากทางใด เข้มกว่าลิมิตจริงมาก เพราะมีทิศเข้าได้ไม่จำกัด (ทบทวนลิมิตของฟังก์ชันจริง )
ตัวอย่าง Z-4 · ลิมิตที่ไม่มีค่า พิจารณา lim z → 0 z ˉ z \displaystyle\lim_{z\to 0}\frac{\bar z}{z} z → 0 lim z z ˉ
เข้าหา 0 ตามแกนจริง z = x z = x z = x z ˉ / z = x / x = 1 \bar z/z = x/x = 1 z ˉ / z = x / x = 1
เข้าหา 0 ตามแกนจินตภาพ z = j y z = jy z = j y z ˉ / z = − j y / ( j y ) = − 1 \bar z/z = -jy/(jy) = -1 z ˉ / z = − j y / ( j y ) = − 1
สองทิศได้ค่าต่างกัน ลิมิตจึงไม่มีค่า ทั้งที่ทั้งเศษและส่วนต่อเนื่องดี
แล็บการส่ง: เส้นกริดสีส้มคือเส้นแนวตั้ง (x คงที่) สีน้ำเงินคือเส้นแนวนอน (y คงที่) ในระนาบ z ดูว่าแต่ละฟังก์ชันบิดมันเป็นอะไรในระนาบ w สี่เหลี่ยมเล็กสีเขียวคือย่านรอบจุด z 0 z_0 z 0
อนุพันธ์เชิงซ้อน สมการโคชี-รีมันน์ และฟังก์ชันวิเคราะห์ กลาง
นิยามอนุพันธ์เหมือนฟังก์ชันจริงทุกตัวอักษร แต่เพราะลิมิตต้องเท่ากันทุกทิศ เงื่อนไขจึงเข้มมาก บังคับให้ u u u v v v
Z12 Complex derivative
f ′ ( z 0 ) = lim Δ z → 0 f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 ) Δ z f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} f ′ ( z 0 ) = Δ z → 0 lim Δ z f ( z 0 + Δ z ) − f ( z 0 )
Z13 Cauchy–Riemann equations
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} ∂ x ∂ u = ∂ y ∂ v , ∂ y ∂ u = − ∂ x ∂ v ถ้าเป็นจริงและอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง แล้ว f ′ ( z ) = u x + j v x = v y − j u y f'(z) = u_x + jv_x = v_y - ju_y f ′ ( z ) = u x + j v x = v y − j u y
Z14 Cauchy–Riemann (polar)
u r = 1 r v θ , v r = − 1 r u θ u_r = \frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r = -\frac{1}{r}u_\theta u r = r 1 v θ , v r = − r 1 u θ
Z15 Analytic function
f วิเคราะห์ที่ z 0 ⟺ f ′ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ z 0 f \text{ วิเคราะห์ที่ } z_0 \iff f' \text{ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ } z_0 f วิเคราะห์ที่ z 0 ⟺ f ′ มีค่าทุกจุดในย่านรอบ z 0 วิเคราะห์ทั้งระนาบเรียกว่า entire เช่น พหุนาม e z , sin z e^z,\ \sin z e z , sin z N ( s ) / D ( s ) N(s)/D(s) N ( s ) / D ( s ) D D D
Z16 Harmonic parts
∇ 2 u = u x x + u y y = 0 , ∇ 2 v = 0 \nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0,\qquad \nabla^2 v = 0 ∇ 2 u = u xx + u yy = 0 , ∇ 2 v = 0 ตามมาจาก Z13 ทันที ใช้กับสนามไฟฟ้าสถิตและการไหลของความร้อนสองมิติ: u u u v v v
ตัวอย่าง Z-5 · ตรวจด้วยโคชี-รีมันน์ f ( z ) = z 2 f(z) = z^2 f ( z ) = z 2 g ( z ) = e z g(z) = e^z g ( z ) = e z h ( z ) = z ˉ h(z) = \bar z h ( z ) = z ˉ
z 2 z^2 z 2 u = x 2 − y 2 , v = 2 x y u = x^2 - y^2,\ v = 2xy u = x 2 − y 2 , v = 2 x y u x = 2 x = v y u_x = 2x = v_y u x = 2 x = v y u y = − 2 y = − v x u_y = -2y = -v_x u y = − 2 y = − v x f ′ ( z ) = u x + j v x = 2 x + j 2 y = 2 z f'(z) = u_x + jv_x = 2x + j2y = 2z f ′ ( z ) = u x + j v x = 2 x + j 2 y = 2 z
e z = e x cos y + j e x sin y e^z = e^x\cos y + je^x\sin y e z = e x cos y + j e x sin y u x = e x cos y = v y u_x = e^x\cos y = v_y u x = e x cos y = v y u y = − e x sin y = − v x u_y = -e^x\sin y = -v_x u y = − e x sin y = − v x g ′ ( z ) = e z g'(z) = e^z g ′ ( z ) = e z
z ˉ = x − j y \bar z = x - jy z ˉ = x − j y u x = 1 u_x = 1 u x = 1 v y = − 1 v_y = -1 v y = − 1
z 2 z^2 z 2 e z e^z e z z ˉ \bar z z ˉ
ตัวอย่าง Z-6 · หาฮาร์มอนิกสังยุค ให้ u = x 3 − 3 x y 2 u = x^3 - 3xy^2 u = x 3 − 3 x y 2 v v v f = u + j v f = u + jv f = u + j v
ตรวจก่อนว่า u u u u x x + u y y = 6 x − 6 x = 0 u_{xx} + u_{yy} = 6x - 6x = 0 u xx + u yy = 6 x − 6 x = 0 Z16
จาก v y = u x = 3 x 2 − 3 y 2 v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2 v y = u x = 3 x 2 − 3 y 2 y y y v = 3 x 2 y − y 3 + g ( x ) v = 3x^2y - y^3 + g(x) v = 3 x 2 y − y 3 + g ( x )
จาก v x = − u y v_x = -u_y v x = − u y 6 x y + g ′ ( x ) = − ( − 6 x y ) = 6 x y 6xy + g'(x) = -(-6xy) = 6xy 6 x y + g ′ ( x ) = − ( − 6 x y ) = 6 x y g ′ ( x ) = 0 g'(x) = 0 g ′ ( x ) = 0 g = C g = C g = C
v = 3 x 2 y − y 3 + C v = 3x^2y - y^3 + C v = 3 x 2 y − y 3 + C f ( z ) = z 3 + j C f(z) = z^3 + jC f ( z ) = z 3 + j C
ซีโร่ ภาวะเอกฐาน และอันดับของโพล กลาง
จุดที่ฟังก์ชันเลิกเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เรียกว่าภาวะเอกฐาน (singularity) ในลาปลาซเราเจอเกือบทั้งหมดเป็น โพล แต่ควรรู้จักอีกสองชนิดเพื่อไม่สับสน
Z17 Zero of order m
f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) , g ( z 0 ) ≠ 0 f(z) = (z - z_0)^m g(z),\quad g(z_0) \ne 0 f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) , g ( z 0 ) = 0
Z18 Pole of order m
f ( z ) = g ( z ) ( z − z 0 ) m , g วิเคราะห์ , g ( z 0 ) ≠ 0 f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^m},\quad g \text{ วิเคราะห์},\ g(z_0) \ne 0 f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) , g วิเคราะห์ , g ( z 0 ) = 0 ทดสอบ: lim z → z 0 ( z − z 0 ) m f ( z ) \lim_{z\to z_0}(z-z_0)^m f(z) lim z → z 0 ( z − z 0 ) m f ( z ) m = 1 m = 1 m = 1
Z19 Types of isolated singularities
sin z z ⏟ ถอดได้ที่ 0 , 1 z 2 ( z + 1 ) ⏟ โพลอันดับ 2 ที่ 0 , อันดับ 1 ที่ − 1 , e 1 / z ⏟ สาระสำคัญที่ 0 \underbrace{\frac{\sin z}{z}}_{\text{ถอดได้ที่ }0},\qquad \underbrace{\frac{1}{z^2(z+1)}}_{\text{โพลอันดับ 2 ที่ }0,\ \text{อันดับ 1 ที่ }-1},\qquad \underbrace{e^{1/z}}_{\text{สาระสำคัญที่ }0} ถอดได้ที่ 0 z sin z , โพลอันดับ 2 ที่ 0 , อันดับ 1 ที่ − 1 z 2 ( z + 1 ) 1 , สาระสำคัญที่ 0 e 1/ z ถอดได้ (removable): ลิมิตมีค่า แค่ไม่นิยาม เช่น 1 − e − s s \frac{1 - e^{-s}}{s} s 1 − e − s s = 0 s = 0 s = 0 ∣ f ∣ → ∞ |f| \to \infty ∣ f ∣ → ∞
ตัวอย่าง Z-7 · จำแนกโพลและซีโร่ F ( s ) = ( s + 3 ) ( s − 1 ) s 2 ( s + 2 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) F(s) = \dfrac{(s+3)(s-1)}{s^2(s+2)(s^2+2s+5)} F ( s ) = s 2 ( s + 2 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) ( s + 3 ) ( s − 1 )
ซีโร่ (รากของเศษ): s = − 3 , s = 1 s = -3,\ s = 1 s = − 3 , s = 1 s = 1 s = 1 s = 1
โพล: s = 0 s = 0 s = 0 s = − 2 s = -2 s = − 2 s 2 + 2 s + 5 = 0 ⇒ s = − 1 ± 2 j s^2 + 2s + 5 = 0 \Rightarrow s = -1 \pm 2j s 2 + 2 s + 5 = 0 ⇒ s = − 1 ± 2 j
ดีกรีส่วน 5 ดีกรีเศษ 2: เมื่อ s → ∞ s \to \infty s → ∞ F ∼ 1 / s 3 F \sim 1/s^3 F ∼ 1/ s 3
5 โพล (นับซ้ำ) 2 ซีโร่จำกัด + 3 ซีโร่ที่อนันต์ จำนวนโพลเท่ากับจำนวนซีโร่เมื่อนับที่อนันต์ด้วยเสมอ
อนุกรมเทย์เลอร์และอนุกรมโลรองต์ ขั้นสูง
เรียนละเอียด: หัวข้อนี้มีบทเต็มพร้อมแล็บลากจุด z ข้ามวงแหวน ที่ อนุกรมโลรองต์ (บทที่ 26.7) ทบทวนรัศมีการลู่เข้าที่ อนุกรมกำลัง และตารางอนุกรมที่ต้องจำที่ อนุกรมเทย์เลอร์
Z20 Taylor series
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n , ∣ z − z 0 ∣ < R f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n,\quad |z - z_0| < R f ( z ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( z 0 ) ( z − z 0 ) n , ∣ z − z 0 ∣ < R ฟังก์ชันวิเคราะห์เขียนเป็นอนุกรมกำลังได้เสมอ รัศมีลู่เข้า R R R
Z21 Laurent series
f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − z 0 ) n = ⋯ + a − 2 ( z − z 0 ) 2 + a − 1 z − z 0 ⏟ ส่วนหลัก (principal part) + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + ⋯ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \underbrace{\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0}}_{\text{ส่วนหลัก (principal part)}} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots f ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n ( z − z 0 ) n = ส่วนหลัก (principal part) ⋯ + ( z − z 0 ) 2 a − 2 + z − z 0 a − 1 + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + ⋯ ใช้ได้ในวงแหวน 0 < ∣ z − z 0 ∣ < R 0 < |z - z_0| < R 0 < ∣ z − z 0 ∣ < R
ตัวอย่าง Z-8 · โลรองต์รอบโพล หาอนุกรมโลรองต์ของ F ( s ) = 1 s ( s + 1 ) F(s) = \dfrac{1}{s(s+1)} F ( s ) = s ( s + 1 ) 1 s = 0 s = 0 s = 0 0 < ∣ s ∣ < 1 0 < |s| < 1 0 < ∣ s ∣ < 1
ใช้อนุกรมเรขาคณิต 1 1 + s = 1 − s + s 2 − s 3 + ⋯ \dfrac{1}{1+s} = 1 - s + s^2 - s^3 + \cdots 1 + s 1 = 1 − s + s 2 − s 3 + ⋯ ∣ s ∣ < 1 |s| < 1 ∣ s ∣ < 1
F ( s ) = 1 s ( 1 − s + s 2 − ⋯ ) = 1 s − 1 + s − s 2 + ⋯ F(s) = \frac{1}{s}\left(1 - s + s^2 - \cdots\right) = \frac{1}{s} - 1 + s - s^2 + \cdots F ( s ) = s 1 ( 1 − s + s 2 − ⋯ ) = s 1 − 1 + s − s 2 + ⋯
ส่วนหลักคือ 1 s \tfrac{1}{s} s 1 a − 1 = 1 a_{-1} = 1 a − 1 = 1 s = 0 s = 0 s = 0 1 s ( s + 1 ) = 1 s − 1 s + 1 \tfrac{1}{s(s+1)} = \tfrac{1}{s} - \tfrac{1}{s+1} s ( s + 1 ) 1 = s 1 − s + 1 1
เรซิดิว (Residue) และวิธีคำนวณ กลาง
เรซิดิวคือสัมประสิทธิ์ a − 1 a_{-1} a − 1 1 / ( z − z 0 ) 1/(z - z_0) 1/ ( z − z 0 )
Z22 Residue
Res z = z 0 f ( z ) = a − 1 = 1 2 π j ∮ C f ( z ) d z \operatorname{Res}_{z=z_0}f(z) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi j}\oint_C f(z)\,dz Res z = z 0 f ( z ) = a − 1 = 2 πj 1 ∮ C f ( z ) d z
Z23 Simple pole
Res z = p f = lim z → p ( z − p ) f ( z ) \operatorname{Res}_{z=p}f = \lim_{z\to p}(z - p)f(z) Res z = p f = z → p lim ( z − p ) f ( z ) คือ “วิธีปิดตัวประกอบ” ของเฮวิไซด์ในเศษส่วนย่อยนั่นเอง
Z24 Simple pole of N/D
Res z = p N ( z ) D ( z ) = N ( p ) D ′ ( p ) , D ( p ) = 0 , D ′ ( p ) ≠ 0 \operatorname{Res}_{z=p}\frac{N(z)}{D(z)} = \frac{N(p)}{D'(p)},\quad D(p) = 0,\ D'(p) \ne 0 Res z = p D ( z ) N ( z ) = D ′ ( p ) N ( p ) , D ( p ) = 0 , D ′ ( p ) = 0
Z25 Pole of order m
Res z = p f = 1 ( m − 1 ) ! lim z → p d m − 1 d z m − 1 [ ( z − p ) m f ( z ) ] \operatorname{Res}_{z=p}f = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to p}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z-p)^m f(z)\right] Res z = p f = ( m − 1 )! 1 z → p lim d z m − 1 d m − 1 [ ( z − p ) m f ( z ) ]
ตัวอย่าง Z-9 · เรซิดิวที่โพลจริงและโพลเชิงซ้อน หาเรซิดิวทุกตัวของ F ( s ) = s + 2 ( s + 1 ) ( s 2 + 4 ) F(s) = \dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4)} F ( s ) = ( s + 1 ) ( s 2 + 4 ) s + 2 ดูเศษส่วนย่อย
โพล: s = − 1 s = -1 s = − 1 s = ± 2 j s = \pm 2j s = ± 2 j
ที่ s = − 1 s = -1 s = − 1 ( s + 1 ) (s+1) ( s + 1 ) Z23
Res − 1 = − 1 + 2 ( − 1 ) 2 + 4 = 1 5 \operatorname{Res}_{-1} = \frac{-1+2}{(-1)^2 + 4} = \frac{1}{5} Res − 1 = ( − 1 ) 2 + 4 − 1 + 2 = 5 1 ที่ s = 2 j s = 2j s = 2 j s 2 + 4 = ( s − 2 j ) ( s + 2 j ) s^2 + 4 = (s - 2j)(s + 2j) s 2 + 4 = ( s − 2 j ) ( s + 2 j ) ( s − 2 j ) (s - 2j) ( s − 2 j )
Res 2 j = 2 j + 2 ( 2 j + 1 ) ( 4 j ) = 2 + 2 j − 8 + 4 j = ( 2 + 2 j ) ( − 8 − 4 j ) 80 = − 1 10 − 3 10 j \operatorname{Res}_{2j} = \frac{2j + 2}{(2j + 1)(4j)} = \frac{2 + 2j}{-8 + 4j} = \frac{(2+2j)(-8-4j)}{80} = -\frac{1}{10} - \frac{3}{10}j Res 2 j = ( 2 j + 1 ) ( 4 j ) 2 j + 2 = − 8 + 4 j 2 + 2 j = 80 ( 2 + 2 j ) ( − 8 − 4 j ) = − 10 1 − 10 3 j ที่ s = − 2 j s = -2j s = − 2 j F F F
Res − 2 j = − 1 10 + 3 10 j \operatorname{Res}_{-2j} = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10}j Res − 2 j = − 10 1 + 10 3 j
เรซิดิว: 1 5 , − 1 10 ∓ 3 10 j \tfrac15,\ -\tfrac{1}{10} \mp \tfrac{3}{10}j 5 1 , − 10 1 ∓ 10 3 j = 1 5 − 2 10 = 0 = \tfrac15 - \tfrac{2}{10} = 0 = 5 1 − 10 2 = 0
ผลรวมเป็นศูนย์ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: เมื่อดีกรีส่วนมากกว่าเศษอย่างน้อย 2 ผลรวมเรซิดิวทุกตัวเป็นศูนย์เสมอ (เพราะ ∮ \oint ∮
ตัวอย่าง Z-10 · โพลอันดับสอง หา Res s = − 1 e s t ( s + 1 ) 2 \operatorname{Res}_{s=-1}\dfrac{e^{st}}{(s+1)^2} Res s = − 1 ( s + 1 ) 2 e s t
m = 2 m = 2 m = 2 Z25 : คูณ ( s + 1 ) 2 (s+1)^2 ( s + 1 ) 2
Res = 1 1 ! d d s [ e s t ] s = − 1 = [ t e s t ] s = − 1 = t e − t \operatorname{Res} = \frac{1}{1!}\frac{d}{ds}\left[e^{st}\right]_{s=-1} = \left[t e^{st}\right]_{s=-1} = te^{-t} Res = 1 ! 1 d s d [ e s t ] s = − 1 = [ t e s t ] s = − 1 = t e − t
t e − t te^{-t} t e − t L − 1 { 1 / ( s + 1 ) 2 } = t e − t \mathcal L^{-1}\{1/(s+1)^2\} = te^{-t} L − 1 { 1/ ( s + 1 ) 2 } = t e − t t k e p t t^k e^{pt} t k e pt
ทฤษฎีบทโคชีและทฤษฎีบทเรซิดิว ขั้นสูง
Z26 Cauchy–Goursat theorem
f วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด C ⇒ ∮ C f ( z ) d z = 0 f \text{ วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด } C \ \Rightarrow\ \oint_C f(z)\,dz = 0 f วิเคราะห์บนและภายในเส้นปิด C ⇒ ∮ C f ( z ) d z = 0
Z27 Residue theorem
∮ C f ( z ) d z = 2 π j ∑ k Res z = z k f ( z ) \oint_C f(z)\,dz = 2\pi j\sum_{k}\operatorname{Res}_{z=z_k}f(z) ∮ C f ( z ) d z = 2 πj k ∑ Res z = z k f ( z ) ผลรวมเฉพาะภาวะเอกฐาน z k z_k z k ภายใน C C C C C C
ตัวอย่าง Z-11 · อินทิกรัลรอบวงกลมสองขนาด หา ∮ C s + 2 ( s + 1 ) ( s 2 + 4 ) d s \oint_C \dfrac{s+2}{(s+1)(s^2+4)}\,ds ∮ C ( s + 1 ) ( s 2 + 4 ) s + 2 d s C : ∣ s ∣ = 1.5 C: |s| = 1.5 C : ∣ s ∣ = 1.5 C : ∣ s ∣ = 3 C: |s| = 3 C : ∣ s ∣ = 3
∣ s ∣ = 1.5 |s| = 1.5 ∣ s ∣ = 1.5 s = − 1 s = -1 s = − 1 ± 2 j \pm 2j ± 2 j ∣ 2 j ∣ = 2 > 1.5 |2j| = 2 > 1.5 ∣2 j ∣ = 2 > 1.5
∮ = 2 π j ⋅ 1 5 = 2 π j 5 ≈ 1.2566 j \oint = 2\pi j\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\pi j}{5} \approx 1.2566j ∮ = 2 πj ⋅ 5 1 = 5 2 πj ≈ 1.2566 j ∣ s ∣ = 3 |s| = 3 ∣ s ∣ = 3
∮ = 2 π j ⋅ 0 = 0 \oint = 2\pi j\cdot 0 = 0 ∮ = 2 πj ⋅ 0 = 0
2 π j / 5 2\pi j/5 2 πj /5 0 0 0 2 π j ∑ Res 2\pi j\sum\operatorname{Res} 2 πj ∑ Res
เชื่อมสู่การแปลงลาปลาซผกผัน: อินทิกรัลบรอมวิช ขั้นสูง
สูตรแปลงกลับที่แท้จริงคืออินทิกรัลบนเส้นตรงแนวตั้ง Re s = c \operatorname{Re}s = c Re s = c t > 0 t > 0 t > 0 F ( s ) → 0 F(s) \to 0 F ( s ) → 0
Z28 Inversion by residues
f ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s = ∑ ทุกโพล p k Res s = p k [ F ( s ) e s t ] , t > 0 f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty}F(s)e^{st}\,ds = \sum_{\text{ทุกโพล } p_k}\operatorname{Res}_{s=p_k}\left[F(s)e^{st}\right],\quad t > 0 f ( t ) = 2 πj 1 ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s = ทุกโพล p k ∑ Res s = p k [ F ( s ) e s t ] , t > 0 ใช้ได้เมื่อ F ( s ) F(s) F ( s ) หน้า 8.5
-4 -2 2 -4j -2j 2j 4j σ jω Re s = c (อยู่ใน ROC) ครึ่งวงกลมปิดทางซ้าย เส้นบรอมวิช Re s = c \operatorname{Re}s = c Re s = c 2 π j 2\pi j 2 πj F ( s ) e s t F(s)e^{st} F ( s ) e s t
ตัวอย่าง Z-12 · แปลงกลับด้วยเรซิดิวล้วน หา L − 1 { 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) } \mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\right\} L − 1 { ( s + 1 ) ( s + 2 ) 1 }
Res s = − 1 e s t ( s + 1 ) ( s + 2 ) = e − t − 1 + 2 = e − t \operatorname{Res}_{s=-1}\frac{e^{st}}{(s+1)(s+2)} = \frac{e^{-t}}{-1+2} = e^{-t} Res s = − 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) e s t = − 1 + 2 e − t = e − t Res s = − 2 e s t ( s + 1 ) ( s + 2 ) = e − 2 t − 2 + 1 = − e − 2 t \operatorname{Res}_{s=-2}\frac{e^{st}}{(s+1)(s+2)} = \frac{e^{-2t}}{-2+1} = -e^{-2t} Res s = − 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) e s t = − 2 + 1 e − 2 t = − e − 2 t
f ( t ) = e − t − e − 2 t , t ≥ 0 f(t) = e^{-t} - e^{-2t},\ t \ge 0 f ( t ) = e − t − e − 2 t , t ≥ 0
มองฟังก์ชันตรรกยะเป็นภูมิประเทศ
∣ F ( s ) ∣ |F(s)| ∣ F ( s ) ∣ ∣ F ( j ω ) ∣ |F(j\omega)| ∣ F ( jω ) ∣
คำถามที่พบบ่อย ทำไมวิศวกรไฟฟ้าใช้ j แทน i? เพราะ i i i j j j j 2 = − 1 j^2 = -1 j 2 = − 1
ฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) คืออะไร? ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในย่านใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนจริง u และส่วนจินตภาพ v มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องและเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ u x = v y , u y = − v x u_x = v_y,\ u_y = -v_x u x = v y , u y = − v x F ( s ) F(s) F ( s )
เรซิดิวเกี่ยวกับการแปลงลาปลาซผกผันอย่างไร? อินทิกรัลบรอมวิชสำหรับการแปลงกลับเท่ากับผลรวมเรซิดิวของ F ( s ) e s t F(s)e^{st} F ( s ) e s t f ( t ) = ∑ Res [ F ( s ) e s t ] f(t) = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}] f ( t ) = ∑ Res [ F ( s ) e s t ] F ( s ) F(s) F ( s )
จะรู้ได้อย่างไรว่าโพลมีอันดับเท่าไร? ถ้า F ( s ) = N ( s ) / D ( s ) F(s) = N(s)/D(s) F ( s ) = N ( s ) / D ( s ) D ( s ) D(s) D ( s ) ( s − p ) m (s-p)^m ( s − p ) m N ( p ) ≠ 0 N(p) \ne 0 N ( p ) = 0 p p p m m m lim s → p ( s − p ) m F ( s ) \lim_{s\to p}(s-p)^m F(s) lim s → p ( s − p ) m F ( s ) m m m
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →