// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 2 · Dot product · มุมและส่วนตามทิศ

ผลคูณจุด (Dot Product): มุม การฉาย งาน และกำลัง

ถ้าออกแรงดึงรถเข็นเอียงขึ้น ส่วนใดทำให้รถเคลื่อนตามพื้น? Dot product ตอบคำถามนี้ด้วยตัวเลขเดียว โดยรวมทั้งขนาดและความสอดคล้องของทิศ หน้านี้เชื่อมสูตร “คูณช่องตรงกันแล้วบวก” กับความหมายเชิงเรขาคณิต และใช้คำนวณมุม การฉาย งาน และกำลังอย่างตรวจสอบได้

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 13 ต.ค. 2569

ความหมายของมุม ตัวอย่าง 2D–3D งานและกำลัง สรุปสูตร

สรุปใน 30 วินาที

$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ ได้สเกลาร์ ไม่ใช่ลูกศร
$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta$ เมื่อทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์
ดอทบวก = มุมแหลม, ดอทศูนย์ = ตั้งฉาก, ดอทลบ = มุมป้าน โดยการอ่านมุมต้องไม่มีเวกเตอร์ศูนย์
งานจากแรงคงที่ $W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$ ; กำลังกลทันที $P=\mathbf F\cdot\mathbf v$

1. นิยาม: คูณ component ที่ตรงกันแล้วบวก พื้นฐาน

ให้เวกเตอร์จริงสองตัวในมิติเดียวกันและใช้แกนตั้งฉากมาตรฐานเดียวกัน นำ component ตามแกนเดียวกันคูณกัน แล้วรวมผลทั้งหมด เรียก ผลคูณจุด (dot product หรือ scalar product) จุด “·” ระหว่างเวกเตอร์หมายถึงการดำเนินการนี้ ส่วน $3\mathbf a$ หมายถึง คูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ซึ่งเป็นคนละการดำเนินการ

D1 Dot product in Cartesian coordinates ผลคูณจุด 2D และ 3D

\mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y\quad(2D),\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\quad(3D)

เช่น $(3,4)\cdot(2,1)=3(2)+4(1)=10$ ห้ามจับช่องสลับแกน ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง หน่วยเป็นผลคูณของหน่วยของ a และ b เช่น N·m

D2 Euclidean inner product in n dimensions สูตรเดียวกันในหลายมิติ

\mathbf a\cdot\mathbf b=\sum_{r=1}^{n}a_rb_r=\mathbf a^T\mathbf b

ในรูปเมทริกซ์ a และ b เป็นเวกเตอร์หลัก n×1 จึงได้ (1×n)(n×1) = 1×1 ใช้กับข้อมูลหลายช่องหรือสัญญาณหลายตัวอย่างได้ ส่วน $\mathbf a\mathbf b^T$ เป็นเมทริกซ์ ไม่ใช่ดอท

ขอบเขตของสูตร: หน้านี้ใช้เวกเตอร์จริงและฐาน Euclidean ตั้งฉาก ถ้าเปลี่ยนไปใช้ฐานเอียงที่ไม่ตั้งฉาก การเอาสัมประสิทธิ์พิกัดคูณตรงกันไม่ให้ dot product เดิม ต้องมีเมทริกซ์ Gram ของฐาน ส่วน inner product แบบเชิงซ้อนต้องมีการสังยุคตาม convention ที่เลือก

ตัวอย่าง D-1 · ระวังเครื่องหมาย

หา $(3,-2,1)\cdot(-1,4,2)$

จับ x กับ x, y กับ y และ z กับ z: $3(-1)+(-2)(4)+1(2)$
คูณก่อน: $-3-8+2=-9$ ค่าติดลบไม่ผิด เพราะแต่ละ component มีเครื่องหมายได้
ทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงแปลผลได้ว่ามุมระหว่างกันเป็นมุมป้าน

$\mathbf a\cdot\mathbf b=-9$

2. ความหมายเชิงเรขาคณิต: ขนาด × ขนาด × cos มุม พื้นฐาน

ย้ายเวกเตอร์สองตัวให้เริ่มที่จุดเดียวกันโดยรักษาขนาดและทิศ แล้วมองมุมเล็กระหว่างลูกศร ซึ่งอยู่ในช่วง 0°–180° สำหรับมุมคงที่ ค่าสัมบูรณ์ของดอทเท่ากับผลคูณของขนาดคูณ $|\cos\theta|$ และเครื่องหมายขึ้นกับ $\cos\theta$ เมื่อคงขนาดไว้ ดอทมากขึ้นเมื่อสองเวกเตอร์หันไปทางเดียวกันมากขึ้น เมื่อสองทิศตั้งฉากจะไม่มีส่วนตามทิศของกันและกัน จึงได้ศูนย์

D3 Geometric meaning of the dot product ขนาดและมุม

\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta

การพูดถึงมุม $\theta$ ต้องให้ $\mathbf a\ne\mathbf0$ และ $\mathbf b\ne\mathbf0$ ถ้ามีเวกเตอร์ศูนย์ ดอทยังนิยามและเท่ากับ 0 แต่ไม่กำหนดมุม

เครื่องหมายบอกความสอดคล้องของทิศ ส่วนค่าจริงยังขึ้นกับขนาดทั้งสองเวกเตอร์

พิสูจน์ด้วยกฎโคไซน์: ทำไมสูตรพิกัดกับสูตรมุมจึงตรงกัน?

3. หามุมและทดสอบความตั้งฉาก พื้นฐาน

D4 Angle between two nonzero vectors หามุมระหว่างเวกเตอร์

\theta=\cos^{-1}\!\left(\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|}\right),\qquad 0\le\theta\le\pi

ทั้งคู่ต้องไม่เป็นศูนย์ $\cos^{-1}$ หมายถึง arccos ไม่ใช่ 1/cos ตรวจเครื่องคิดเลขว่าใช้ DEG หรือ RAD ค่าในวงเล็บต้องอยู่ใน [−1,1]

D5 Orthogonality test ทดสอบตั้งฉาก

\mathbf a\cdot\mathbf b=0\iff\mathbf a\perp\mathbf b

คำว่า orthogonal ในพีชคณิตรวมเวกเตอร์ศูนย์ด้วย แต่ถ้าตีความว่า “มุม 90°” ต้องให้ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ

มุมระหว่าง เส้นตรงที่ไม่มีทิศ ใช้มุมแหลมของสองแนว จึงอาจใช้ $|\mathbf a\cdot\mathbf b|$ ในสูตร cosine แต่มุมระหว่าง เวกเตอร์ที่มีทิศ ห้ามใส่ค่าสัมบูรณ์โดยพลการ เพราะจะทำให้มุมป้านกลายเป็นมุมแหลม

สำหรับโปรแกรม: ตรวจความยาวศูนย์ก่อนหาร หากค่าคลาดเคลื่อนจาก floating point ทำให้ cosine เป็น 1.0000000000000002 สามารถจำกัดค่าไว้ใน [−1,1] หลังตรวจอินพุตแล้วได้ แต่ถ้าค่าเกินช่วงมาก ต้องแก้ข้อผิดพลาดเรื่องสูตรหรือข้อมูลก่อน การเขียน arccos กับเวกเตอร์ศูนย์แล้วคืน 0° ทำให้ผลลวง

4. ตัวอย่างหามุมตั้งแต่ 2D ถึง 3D

ตัวอย่าง D-2 · คู่เดียวกับบท Projection

หามุมระหว่าง $\mathbf a=(3,4)$ และ $\mathbf b=(2,1)$

ดอท $=3(2)+4(1)=10$ , ความยาว $\|\mathbf a\|=5$ , $\|\mathbf b\|=\sqrt5$ ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์
$\cos\theta=10/(5\sqrt5)=2/\sqrt5\approx0.894427$
$\theta=\arccos(2/\sqrt5)\approx26.565^\circ$ เป็นมุมแหลมสอดคล้องกับดอทบวก
ตรวจกับการฉาย: $\|\mathbf a\|\cos\theta=5(2/\sqrt5)=2\sqrt5$ ตรงกับค่าฉายใน ตัวอย่าง Projection

$\theta\approx26.565^\circ$

ตัวอย่าง D-3 · มุมสามมิติโดยไม่ต้องวาดมุมเอง

หามุมระหว่าง $\mathbf a=(1,2,2)$ และ $\mathbf b=(2,0,1)$

ดอท $=1(2)+2(0)+2(1)=4$
ความยาว $\|\mathbf a\|=\sqrt{1+4+4}=3$ , $\|\mathbf b\|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5$
$\cos\theta=4/(3\sqrt5)$ , จึงได้ $\theta\approx53.396^\circ$
ตรวจขอบเขต $|4|\le3\sqrt5$ และดอทบวก จึงควรได้มุมระหว่าง 0° กับ 90°

$\theta\approx53.396^\circ$

ตัวอย่าง D-4 · หา parameter จากความตั้งฉาก

หา t ที่ทำให้ $(1,t,-1)$ ตั้งฉากกับ $(2,-1,0)$

ใช้ D5: $1(2)+t(-1)+(-1)(0)=0$
$2-t=0$ จึงได้ $t=2$
ตรวจเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเป็นมุม 90° ได้จริง

$t=2$ , และ $(1,2,-1)\cdot(2,-1,0)=0$

5. สมบัติที่ใช้จัดรูปและตรวจคำตอบ กลาง

Dot product มีสมบัติคล้ายการคูณจำนวนในเรื่องสลับที่และแจกแจง แต่ไม่มีการหารด้วยเวกเตอร์ และผลของดอทเป็นสเกลาร์จึงต้องระวังชนิดของสิ่งที่คำนวณหลังจากนั้น

D6 Commutativity and bilinearity สลับที่และแจกแจง

\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a,\qquad \mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c

(\lambda\mathbf a)\cdot\mathbf b=\lambda(\mathbf a\cdot\mathbf b)=\mathbf a\cdot(\lambda\mathbf b),\qquad \mathbf a\cdot\mathbf0=0

เวกเตอร์ที่บวกต้องมีมิติเดียวกัน และ $\lambda$ เป็นจำนวนจริง การเรียก bilinear หมายถึงเชิงเส้นในแต่ละตัวเมื่อคงอีกตัวไว้

D7 Norm and squared-distance identities ความยาวและการกระจายกำลังสอง

\mathbf a\cdot\mathbf a=\|\mathbf a\|^2\ge0,\qquad\mathbf a\cdot\mathbf a=0\iff\mathbf a=\mathbf0

\|\mathbf a\pm\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2+\|\mathbf b\|^2\pm2\mathbf a\cdot\mathbf b

ถ้า a ตั้งฉาก b พจน์ดอทหายไป ได้พีทาโกรัสในหลายมิติ แต่ถ้าไม่ตั้งฉาก ห้ามเอาความยาวมาบวกกำลังสองโดยละพจน์นี้

D8 Cauchy–Schwarz inequality ขอบเขตของดอท

|\mathbf a\cdot\mathbf b|\le\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|,\qquad\|\mathbf a+\mathbf b\|\le\|\mathbf a\|+\|\mathbf b\|

อสมการแรกเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น รวมกรณีเวกเตอร์ศูนย์ ถ้าทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์คือขนานหรือสวนทาง อสมการที่สองคือ triangle inequality

พิสูจน์ Cauchy–Schwarz จากการฉาย

ตัดดอทไม่ได้: จาก

\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c

สรุป b = c ไม่ได้ เพราะ b−c อาจตั้งฉาก a ตัวอย่าง

\mathbf a=(1,0),\mathbf b=(2,3),\mathbf c=(2,-5)

ได้ดอท 2 เท่ากันทั้งที่ b และ c ต่างกัน

6. Dot product กับ component และ projection เป็นเรื่องเดียวกัน

ถ้า u เป็นเวกเตอร์หน่วย ผลดอท $\mathbf a\cdot\mathbf u=\|\mathbf a\|\cos\theta$ คือค่าของ a ตามทิศ u นั่นคือ scalar projection ถ้าเลือก u เป็นแกน x, y หรือ z ก็ได้ component ที่ใช้อยู่แล้ว จึงไม่ต้องสร้างสูตรใหม่สำหรับแกนเอียง

D9 From dot product to projection ค่าตามทิศและเวกเตอร์ฉาย

\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0

ตัวแรกเป็นสเกลาร์มีเครื่องหมาย ตัวหลังเป็นเวกเตอร์ เลือกเป้าหมาย b ให้ตรงทิศที่ถาม ดู Component และ Projection สำหรับภาพและวิธีทำละเอียด

ค่าดอทเองยังไม่ใช่ความยาวเงา เว้นแต่เป้าหมายเป็นเวกเตอร์หน่วย เช่น (3,4)·(2,1) = 10 แต่ค่าฉายสเกลาร์คือ $2\sqrt5$ และเวกเตอร์ฉายคือ (4,2) การระบุชนิดคำตอบและหน่วยจึงช่วยแยกสามปริมาณนี้ได้

7. การประยุกต์วิศวกรรม: งานและกำลังกล กลาง

การทำงานของแรงขึ้นกับส่วนของแรงที่ไปตามการกระจัด ถ้าแรงเอียงขึ้นแต่การเคลื่อนที่อยู่ตามพื้น มีเพียงองค์ประกอบแนวนอนที่ทำงานจากการกระจัดนั้น แรงตั้งฉากกับการกระจัดอาจยังจำเป็นต่อสมดุล แต่ไม่ให้งานในเส้นทางที่ตั้งฉากกับแรง

D10 Work by a constant force งานจากแรงคงที่

W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r=\|\mathbf F\|\|\Delta\mathbf r\|\cos\theta

หน่วย N·m = J สูตรนี้ใช้แรงคงที่และการกระจัดระหว่างต้นกับปลาย ถ้าแรงแปรตามตำแหน่งหรือเส้นทาง ใช้ $W=\int_C\mathbf F(\mathbf r)\cdot d\mathbf r$ ไม่แทนแรงที่จุดเดียวลงไปโดยพลการ

D11 Instantaneous mechanical power กำลังกลขณะหนึ่ง

P=\frac{dW}{dt}=\mathbf F\cdot\mathbf v

แรงและความเร็วต้องวัดในกรอบอ้างอิงเดียวกัน หน่วย N·m/s = W ค่าบวกคือแรงถ่ายพลังงานเข้าสู่การเคลื่อนที่ ค่าลบคือแรงดึงพลังงานออก เช่น การเบรก

ภาพแสดงทิศ: ส่วนแรงแนวตั้งไม่ทำงานเมื่อการกระจัดมีเฉพาะแนวนอน แรงและการกระจัดไม่ใช้สเกลกายภาพร่วมกัน

ตัวอย่าง D-5 · รถเข็นกับแรงเอียง

แรงคงที่ $\mathbf F=(50,20,0)\,\mathrm N$ ทำให้จุดที่แรงกระทำเคลื่อน $\Delta\mathbf r=(4,0,0)\,\mathrm m$ แรงนี้ทำงานเท่าไร?

ระบุว่าโจทย์ถามงานจากแรงนี้ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับงานสุทธิจากแรงทั้งหมด
$W=50(4)+20(0)+0(0)=200\,\mathrm{N\cdot m}$
ส่วนแรง 20 N ตาม y ตั้งฉากกับการกระจัดจึงไม่มีงาน ใช้ขนาดแรง $\sqrt{2900}$ คูณ 4 โดยไม่คูณ cos จะได้ค่ามากเกินจริง

งานจากแรงนี้ = 200 J

ตัวอย่าง D-6 · กำลังกลที่ไม่ใช่ขนาดแรงคูณขนาดความเร็ว

ขณะหนึ่ง $\mathbf F=(12,-5,0)\,\mathrm N$ , $\mathbf v=(2,1,0)\,\mathrm{m/s}$ หาค่ากำลังของแรงนี้

$P=\mathbf F\cdot\mathbf v=12(2)+(-5)(1)+0=19\,\mathrm W$
แยกดูรายแกน: x ให้ +24 W ส่วน y ให้ −5 W เพราะแรงตาม y สวนความเร็วตาม y
รวมได้ +19 W แรงนี้ถ่ายพลังงานสุทธิเข้าสู่การเคลื่อนที่ขณะนั้น

กำลังทันที 19 W

แรงคงที่ที่ทำงานลบ: แรงเสียดทาน

(-30,0)\,\mathrm N

กับการกระจัด

(5,0)\,\mathrm m

ให้งาน −150 J ส่วนแรงโน้มถ่วง

(0,-100)\,\mathrm N

กับการกระจัดแนวนอน (3,0) m ให้งาน 0 J ต้องพิจารณาการกระจัดของจุดที่แรงกระทำตามแบบจำลองที่เลือก

8. เรขาคณิตวิศวกรรม: ทิศทาง ระนาบ และฟลักซ์

หุ่นยนต์และระบบภาพสามมิติต้องตรวจว่าทิศของเครื่องมือเข้าหาพื้นผิวมากน้อยเพียงใด ถ้า n เป็นเวกเตอร์ปกติของพื้นผิว ดอทกับทิศการเคลื่อนที่บอกส่วนที่เคลื่อนเข้าหรือออกจากพื้นผิว ส่วนที่เหลือเป็นการไถลไปตามพื้นผิว

D12 Normal component and oriented flux ส่วนตั้งฉากกับพื้นผิว

v_n=\mathbf v\cdot\widehat{\mathbf n},\qquad\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\theta,\qquad\mathbf A=A\widehat{\mathbf n}

สูตรฟลักซ์แม่เหล็กนี้ใช้สนาม B สม่ำเสมอบนพื้นผิวระนาบ พื้นที่ A และทิศปกติที่เลือก หน่วย T·m² = Wb ถ้าสนามไม่สม่ำเสมอหรือพื้นผิวโค้ง ใช้ $\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\widehat{\mathbf n}\,dA$

ตัวอย่าง D-7 · ฟลักซ์ผ่านหน้าตัดคอยล์

สนามสม่ำเสมอ 0.20 T ทำมุม 60° กับเวกเตอร์ปกติของพื้นที่ 0.010 m² ฟลักซ์เป็นเท่าไร?

มุมที่ให้วัดกับ ปกติของผิว จึงใช้ cos 60° ได้ ถ้าวัดกับระนาบผิวต้องใช้มุมเติมเต็ม
$\Phi=(0.20)(0.010)\cos60^\circ=0.0010\,\mathrm{Wb}=1.0\,\mathrm{mWb}$
ถ้ากลับทิศปกติ ฟลักซ์กลับเครื่องหมาย แต่สนามและพื้นที่ทางกายภาพเท่าเดิม ตัวอย่างนี้เป็นฟลักซ์ต่อหนึ่งผิว; flux linkage ของ N รอบเหมือนกันคือ $N\Phi$

ฟลักซ์ 1.0 mWb ตามทิศปกติที่เลือก

ในเรขาคณิต จุด x อยู่ในระนาบที่ผ่าน q และมีปกติ n เมื่อ $\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)=0$ สำหรับจุดนอกระนาบ ค่า $\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)/\|\mathbf n\|$ เป็นระยะแบบมีเครื่องหมาย หากถามระยะทั่วไปให้ใช้ค่าสัมบูรณ์ ดูการหาเท้าฉากใน บทการฉาย

Dot product ในงานไฟฟ้า

ฟลักซ์แม่เหล็ก $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A$ เป็นที่มาของแรงดันไซน์จากเครื่องกำเนิด (M6) และกำลังไฟฟ้าเฉลี่ย $P=VI\cos\theta$ มีรูปเดียวกับ dot product ของเฟสเซอร์แรงดันกับกระแส (Z5)

9. สัญญาณ ข้อมูล และ cosine similarity ต่อยอด

มองค่าที่วัด n เวลาเป็นเวกเตอร์ n มิติ เช่น x เป็นรูปแบบที่ต้องการตรวจหาและ y เป็นข้อมูลจากเซนเซอร์ ดอทมากอาจมาจากรูปร่างคล้ายกัน หรือเพียงเพราะสัญญาณมีแอมพลิจูดสูง การหารด้วยความยาวทั้งสองช่วยวัดความสอดคล้องของรูปร่างในเชิงทิศ

D13 Cosine similarity ดอทที่ปรับขนาดออก

s=\frac{\mathbf x\cdot\mathbf y}{\|\mathbf x\|\|\mathbf y\|},\qquad -1\le s\le1,\qquad\mathbf x,\mathbf y\ne\mathbf0

s = 1 คือทิศเดียวกัน, 0 คือ orthogonal, −1 คือสวนทาง เป็นตัวเลขไม่มีหน่วย ถ้าจะเทียบกับ Pearson correlation ต้องลบค่าเฉลี่ยของข้อมูลก่อน และตรวจว่าความแปรปรวนไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง D-8 · รูปร่างเดียวกันแต่ระดับต่างกัน

ให้ $\mathbf x=(1,2,1)$ , $\mathbf y=(2,4,2)$ เปรียบเทียบดอทกับ cosine similarity

ดอท = $1(2)+2(4)+1(2)=12$
$\|\mathbf x\|=\sqrt6$ , $\|\mathbf y\|=2\sqrt6$ จึงได้ $s=12/(\sqrt6\,2\sqrt6)=1$
y มีแอมพลิจูดสองเท่าของ x แต่รูปร่างมีทิศเดียวกัน ถ้าแทน y ด้วย −y ค่าความคล้ายจะเป็น −1

Dot = 12 · Cosine similarity = 1

ก่อนใช้กับข้อมูลจริง ให้ตรวจว่าช่องตรงกัน เวลา sampling ตรงกัน และหน่วยหรือการปรับสเกลเหมาะสม หากรวมความยาว ความดัน และอุณหภูมิไว้ในเวกเตอร์เดียวกัน ค่าดอทจะขึ้นกับหน่วยที่เลือกอย่างมาก ต้องกำหนดการ normalize หรือ weighting จากความหมายของงาน ไม่ใช่ใช้สูตรแล้วตีความทันที

10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ตอบดอทเป็นเวกเตอร์: (3,4)·(2,1) = 10 ไม่ใช่ (6,4) เพราะต้องบวกผลคูณด้วย
ใช้มิติหรือกรอบอ้างอิงต่างกัน: แปลงให้เป็นพิกัดเดียวกันก่อน เวกเตอร์ใน 2D กับ 3D ต้องกำหนดการฝัง เช่น z = 0 อย่างชัดเจน
ดอทศูนย์แล้วอ้างมุมฉากโดยไม่ตรวจเวกเตอร์ศูนย์: สูตรพิกัดใช้ได้ แต่สูตรหามุมใช้ไม่ได้เมื่อมีเวกเตอร์ศูนย์
ลืมความยาวในสูตร cosine: ดอทอย่างเดียวไม่ใช่ cos มุม ต้องหารด้วยความยาวทั้งสอง
เอาค่าสัมบูรณ์ก่อนหามุม: ทำให้ข้อมูลว่าทิศสวนกันหายไป ใช้ค่าสัมบูรณ์เมื่อโจทย์ถามมุมระหว่างเส้นไม่มีทิศเท่านั้น
อ่าน $\cos^{-1}$ เป็นส่วนกลับ: หมายถึง inverse function arccos
หางานด้วยขนาดแรงคูณระยะทุกครั้ง: ต้องใช้ส่วนตามการกระจัด หรือคูณ cos มุมด้วย
สับสนกับ cross product: ดอทให้สเกลาร์และใช้ cos ส่วน cross ใน 3D ให้เวกเตอร์ปกติและขนาดใช้ sin
ตัดดอทเหมือนการหารจำนวน: ดอทเท่ากันไม่ได้แปลว่าเวกเตอร์เท่ากัน และไม่มีการหารด้วยเวกเตอร์ในสูตรนี้

11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

แบบฝึก D-A · มุม 120°

หา dot product และมุมระหว่าง $\mathbf a=(2,0)$ , $\mathbf b=(-1,\sqrt3)$

ดอท = −2 และความยาวทั้งคู่ = 2
$\cos\theta=-2/(2\cdot2)=-1/2$ จึงได้ 120°
มุมป้านตรงกับเครื่องหมายลบ ส่วนค่าฉาย a ตาม b เป็น $-2/2=-1$

Dot = −2 · มุม 120°

แบบฝึก D-B · ตรวจตั้งฉากสามมิติ

ให้ $\mathbf a=(2,-1,3)$ , $\mathbf b=(1,5,1)$ จงหาดอทและมุม

$\mathbf a\cdot\mathbf b=2(1)+(-1)(5)+3(1)=0$
ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์ จึงได้มุม 90° โดยไม่ต้องกด arccos

Dot = 0 · มุม 90°

แบบฝึก D-C · งานจากแรงสวนบางแกน

แรงคงที่ $\mathbf F=(10,-4,2)\,\mathrm N$ กับการกระจัด $\Delta\mathbf r=(3,2,0)\,\mathrm m$ ให้งานเท่าไร?

$W=10(3)+(-4)(2)+2(0)=30-8=22\,\mathrm J$
ส่วน x ให้ +30 J ส่วน y ให้ −8 J ส่วน z ไม่มีการกระจัดจึงให้ 0 J

22 J

แบบฝึก D-D · กรณีศูนย์

$\mathbf0\cdot(1,2,3)$ เป็นเท่าไร และมุมระหว่างสองเวกเตอร์เป็นเท่าไร?

ดอท = $0(1)+0(2)+0(3)=0$
ความยาวเวกเตอร์แรกเป็น 0 สูตรหามุมต้องหารด้วย 0 จึงใช้ไม่ได้ และเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศ

Dot = 0 · มุมไม่นิยาม

12. สรุปสูตร: เลือกใช้ตามคำถาม

คำถาม	สูตรหลัก	จุดตรวจ
คำนวณดอทจากพิกัด	D1: $\sum_ra_rb_r$	มิติและแกนเดียวกัน ผลเป็นสเกลาร์
หามุมระหว่างเวกเตอร์	D4: $\arccos[(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\\|\mathbf a\\|\\|\mathbf b\\|)]$	ทั้งคู่ไม่เป็นศูนย์
ตรวจตั้งฉาก	D5: $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$	มุม 90° ต้องไม่มีเวกเตอร์ศูนย์
หาขนาดหรือระยะ	D7: $\\|\mathbf a\\|=\sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}$	ระยะใช้เวกเตอร์ผลต่าง
ส่วนตามแนวหนึ่ง	D9: scalar / vector projection	เป้าหมายไม่เป็นศูนย์
งานจากแรงคงที่	D10: $W=\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r$	หน่วย J
กำลังกลทันที	D11: $P=\mathbf F\cdot\mathbf v$	หน่วย W
ฟลักซ์สม่ำเสมอผ่านระนาบ	D12: $\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A$	มุมกับเวกเตอร์ปกติ
ความสอดคล้องของทิศข้อมูล	D13: normalized dot	ตรวจการจัดช่องและสเกล

ต่อจากส่วนตามทิศ ไปสู่ส่วนที่ตั้งฉากและโมเมนต์ด้วย cross product ดูตัวอย่างที่รวมสองผลคูณใน การประยุกต์ทางวิศวกรรม หรือทดลองเปลี่ยนพิกัดใน ห้องทดลองเวกเตอร์ 2D–3D

แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

OpenStax, Calculus Volume 3, §2.3 The Dot Product — นิยามเรขาคณิตและพิกัด projection และงาน
MIT OpenCourseWare, 18.02SC, Vectors, Determinants and Planes — dot product มุม การตั้งฉาก และระนาบ พร้อมโจทย์สำหรับฝึก
OpenStax, University Physics Volume 1, §7.1 Work และ §7.4 Power — เงื่อนไขทางฟิสิกส์และหน่วยของงาน/กำลัง

ใช้แหล่งอ้างอิงประกอบการตรวจนิยามและศึกษาต่อ ตัวอย่างในหน้านี้เขียนขึ้นเพื่อแสดงขั้นตอนคำนวณในบริบทวิศวกรรม โดยระบุสมมติฐานของแต่ละสูตรไว้ใกล้สูตร

คำถามที่พบบ่อย

Dot product ได้สเกลาร์หรือเวกเตอร์?

Dot product ของเวกเตอร์จริงสองตัวได้สเกลาร์ คำนวณโดยคูณ component ที่ตรงกันแล้วบวกรวม เช่น (3,4)·(2,1)=10 ต่างจากการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ซึ่งยังได้เวกเตอร์

Dot product เป็นศูนย์แปลว่าทำมุม 90 องศาเสมอไหม?

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดอทเป็นศูนย์เท่ากับทำมุม 90 องศา แต่เวกเตอร์ศูนย์ดอทกับทุกตัวได้ศูนย์และไม่มีทิศ มุมระหว่างเวกเตอร์ที่มีเวกเตอร์ศูนย์จึงไม่นิยาม

Dot product ติดลบหมายความว่าอย่างไร?

สำหรับเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ดอทติดลบหมายถึงมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ในการคำนวณงานแปลว่าแรงมีส่วนสวนทางการกระจัด จึงให้งานเป็นลบ ไม่ได้แปลว่าขนาดเวกเตอร์ติดลบ

สูตรหามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร?

เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์ ใช้ θ=arccos[(a·b)/(||a|| ||b||)] โดย θ อยู่ในช่วง 0 ถึง 180 องศา ต้องตรวจหน่วยมุมของเครื่องคิดเลข และจัดการค่าคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลขใกล้ ±1 อย่างเหมาะสม

Dot product ใช้หางานและกำลังได้อย่างไร?

แรงคงที่ F กับการกระจัด Δr ให้งาน W=F·Δr หน่วยจูล ส่วนกำลังกลขณะหนึ่งคือ P=F·v หน่วยวัตต์ ถ้าแรงเปลี่ยนตามเส้นทางต้องใช้อินทิกรัลเส้นสำหรับงาน

Cosine similarity ต่างจาก dot product อย่างไร?

Dot product ขึ้นกับทั้งขนาดและทิศ ส่วน cosine similarity หารด้วยขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง จึงวัดความสอดคล้องของทิศ มีค่าระหว่าง −1 ถึง 1 และไม่นิยามเมื่อมีเวกเตอร์ศูนย์

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์