ลำดับและอนุกรม (Sequences and Series): สูตร ตัวอย่าง และการลู่เข้า

1. ผลต่างระหว่างพจน์คงที่เท่ากับ 3: เวียนเกิด $a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 3$

2. พจน์ทั่วไป: $a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$ ตรวจ: $a_1 = 2,\ a_4 = 11$ ✓

3. $a_{50} = 3(50) - 1 = 149$ (แบบเวียนเกิดต้องคำนวณ 49 ครั้ง สูตรพจน์ทั่วไปทำครั้งเดียว)

4. $S_4 = 2 + 5 + 8 + 11 = 26$ คืออนุกรมของลำดับนี้ถึงพจน์ที่ 4

$a_n = 3n - 1,\ a_{50} = 149,\ S_4 = 26$

1. (ก) $a_{12} - a_5 = 7d = 28 \Rightarrow d = 4$ และ $a_1 = a_5 - 4d = 17 - 16 = 1$

2. $S_{20} = \tfrac{20}{2}\left[2(1) + 19(4)\right] = 10(78) = 780$

3. (ข) จำนวนท่อคือ $1 + 2 + \cdots + 20 = \tfrac{20}{2}(1 + 20) = 210$ ท่อ

(ก) $780$ (ข) $210$ ท่อ · สูตร $1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n+1)}{2}$ พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ได้

1. $\dfrac{a_5}{a_2} = r^3 = \dfrac{162}{6} = 27 \Rightarrow r = 3$

2. $a_1 = a_2/r = 2$

3. $S_6 = 2\cdot\dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2\cdot\dfrac{-728}{-2} = 728$

$r = 3,\ a_1 = 2,\ S_6 = 728$

1. (ก) $0.999\ldots = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \cdots$ มี $a_1 = 0.9,\ r = 0.1$ จึงได้ $\dfrac{0.9}{1 - 0.1} = 1$ ทั้งสองเป็นจำนวนเดียวกัน ไม่ใช่ “เกือบ 1”

2. (ข) $0.3636\ldots = 0.36 + 0.0036 + \cdots = \dfrac{0.36}{1 - 0.01} = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$

3. (ค) ขาลงครั้งแรก 10 m จากนั้นแต่ละการเด้งมีขาขึ้นและขาลงเท่ากัน: $6 + 3.6 + 2.16 + \cdots$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = 6,\ r = 0.6$

4. ระยะรวม $= 10 + 2\cdot\dfrac{6}{1 - 0.6} = 10 + 2(15) = 40\ \text{m}$

(ก) $1$ (ข) $\tfrac{4}{11}$ (ค) $40\ \text{m}$: เด้งนับครั้งไม่ถ้วนแต่ระยะทางมีขอบเขต

1. แยกเศษส่วนย่อย: $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$

2. $S_n = \left(1 - \tfrac12\right) + \left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \cdots + \left(\tfrac1n - \tfrac{1}{n+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$

3. $\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1} = 1$

$S_n = \dfrac{n}{n+1}$ และอนุกรมอนันต์ $= 1$

1. (ก) หารด้วย $n^2$: $\dfrac{3 + 1/n^2}{2 - 1/n} \to \dfrac{3}{2}$

2. (ข) รูป ∞/∞ ใช้โลปิตาลกับ $f(x) = x/2^x$: $\lim \dfrac{1}{2^x\ln 2} = 0$ จึงได้ $\lim n/2^n = 0$ (เลขชี้กำลังโตเร็วกว่าพหุนามเสมอ)

3. (ค) จาก S12 ที่ $x = 2$: $\left(1 + \tfrac{2}{n}\right)^n \to e^2 \approx 7.389$

(ก) $\tfrac32$ (ข) $0$ (ค) $e^2$

1. พจน์แรก ๆ: 1.4142, 1.8478, 1.9616, 1.9904, 1.9976, … ดูเหมือนเพิ่มขึ้นเข้าหา 2

2. มีขอบเขต $a_n < 2$ ทุก n และเพิ่มขึ้น $a_{n+1} > a_n$ ทุก n: ทั้งสองข้อพิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (ถ้า $a_k < 2$ แล้ว $a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt4 = 2$)

3. เพิ่มขึ้นและมีขอบเขต จึงลู่เข้าตาม S13 ให้ลิมิตเป็น $L$

4. ใส่ลิมิตทั้งสองข้างของความสัมพันธ์: $L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow (L - 2)(L + 1) = 0$ ตัด $L = -1$ เพราะทุกพจน์เป็นบวก

ลู่เข้าสู่ $L = 2$ · ข้อควรระวัง: ต้องพิสูจน์ว่าลู่เข้าก่อน แล้วค่อยแก้ $L = g(L)$ (ถ้าข้ามขั้นแรก อาจได้ “ลิมิต” ของลำดับที่ลู่ออก)

1. (ก) มี $2^n$ ใช้ ratio test: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 1}{2n} \to \tfrac12 < 1$ ลู่เข้า (ผลบวก = 2)

2. (ข) $\dfrac{1}{n^2 + 1} < \dfrac{1}{n^2}$ และ $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า จึงลู่เข้าโดยการเปรียบเทียบ

3. (ค) $\dfrac{n}{n + 1} \to 1 \ne 0$ ลู่ออกด้วย nth-term test ไม่ต้องทำอย่างอื่น

4. (ง) ratio test: $\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\dfrac{n^n}{n!} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{(1 + 1/n)^n} \to \dfrac1e < 1$ ลู่เข้า

5. (จ) ดีกรีส่วน − ดีกรีเศษ = 3 − 1 = 2 เทียบกับ $1/n^2$: $\lim \dfrac{(3n + 5)/(n^3 - 2)}{1/n^2} = \lim\dfrac{3n^3 + 5n^2}{n^3 - 2} = 3 > 0$ และ $\sum 1/n^2$ ลู่เข้า จึงลู่เข้า

(ก) ลู่เข้า (ข) ลู่เข้า (ค) ลู่ออก (ง) ลู่เข้า (จ) ลู่เข้า

1. $b_n = 1/n$ ลดลงและเข้าใกล้ 0 จึงลู่เข้า (S21)

2. $\sum |a_n| = \sum 1/n$ ลู่ออก จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (S22)

3. ผลบวกจริงคือ $\ln 2 \approx 0.693147$ (จากอนุกรมของ $\ln(1 + x)$ ที่ $x = 1$) และ $S_{10} \approx 0.645635$

4. ขอบเขต: $|S - S_{10}| \le b_{11} = \tfrac{1}{11} \approx 0.0909$ ค่าจริงคลาด $0.0475$ อยู่ในขอบเขต ✓

ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ความคลาดเคลื่อนหลัง 10 พจน์ไม่เกิน $1/11$ (ลู่เข้าช้ามาก: ต้องใช้ราวครึ่งล้านพจน์จึงได้ทศนิยม 6 ตำแหน่ง)

1. (ก) $R = \lim \dfrac{1/n}{1/(n+1)} = 1$ ลู่เข้าเมื่อ $|x| < 1$

2. ปลายช่วง: $x = 1$ ได้ $\sum 1/n$ ลู่ออก · $x = -1$ ได้ $\sum (-1)^n/n$ ลู่เข้า (อนุกรมสลับ) ช่วงลู่เข้าคือ $[-1, 1)$

3. (ข) เริ่มจาก $\dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - \cdots$ (เรขาคณิต $r = -t$) อินทิเกรตจาก 0 ถึง x: $\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$

4. แทน $t$ ด้วย $t^2$: $\dfrac{1}{1 + t^2} = 1 - t^2 + t^4 - \cdots$ อินทิเกรต: $\arctan x = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots$ ที่ $x = 1$ ได้สูตรของไลบ์นิซ $\tfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$

(ก) $[-1, 1)$ และอนุกรมนี้คือ $-\ln(1 - x)$ (ข) ทั้งสองมี $R = 1$

1. (ก) $P_3(0.1) = 1 + 0.1 + \dfrac{0.01}{2} + \dfrac{0.001}{6} = 1.1051667$

2. ขอบเขต: $f^{(4)}(c) = e^c \le e^{0.1} < 1.11$ จึงได้ $|R_3| \le \dfrac{1.11\,(0.1)^4}{4!} \approx 4.6\times10^{-6}$

3. ค่าจริง $e^{0.1} = 1.1051709$ คลาด $4.25\times10^{-6}$ อยู่ในขอบเขต ✓ (ทศนิยมถูก 5 ตำแหน่งด้วยการบวก 4 พจน์)

4. (ข) $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8}$: $\sqrt{1.02} \approx 1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (จริง 1.0099505)

5. $\ln(1 + x) \approx x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}$: $\ln 1.05 \approx 0.05 - 0.00125 + 0.0000417 = 0.0487917$ (จริง 0.0487902)

$e^{0.1} \approx 1.1051667$ คลาดไม่เกิน $4.6\times10^{-6}$ · $\sqrt{1.02} \approx 1.00995$ · $\ln 1.05 \approx 0.04879$

1. ขั้นสุดท้ายขั้นเดียว: $R_1 = R + R = 2R$ · เพิ่มอีกขั้นด้านหน้า: $R_{n+1} = R + \dfrac{R\,R_n}{R + R_n}$ (ตัวต้านทานอนุกรมบวกกับตัวขนานที่ขนานกับบันไดที่เหลือ)

2. ในหน่วย R: $2 \to \tfrac53 \to \tfrac{13}{8} \to \tfrac{34}{21} \to \tfrac{89}{55} \to \cdots$ ลดลงและมีขอบเขตล่าง จึงลู่เข้า (เศษและส่วนคือเลขฟีโบนัชชี ดูบทพิสูจน์ด้วยอุปนัย)

3. จุดตรึง: $x = R + \dfrac{Rx}{R + x} \Rightarrow x^2 - Rx - R^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}R \approx 1.618R$

4. $R_\infty = 16.180\ \Omega$ และ $R_5 = \tfrac{89}{55}(10) = 16.182\ \Omega$ คลาด $\dfrac{16.1818 - 16.1803}{16.1803} \approx 0.009\%$

$R_{eq} = \tfrac{1 + \sqrt5}{2}(10) \approx 16.18\ \Omega$ · บันไดแค่ 5 ขั้นก็คลาดไม่ถึง 0.01% (ลู่เข้าแบบเรขาคณิต)

1. คลี่ความสัมพันธ์: $y[n] = 0.2\left(1 + 0.8 + 0.8^2 + \cdots + 0.8^n\right)$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต $n + 1$ พจน์

2. $y[n] = 0.2\cdot\dfrac{1 - 0.8^{n+1}}{1 - 0.8} = 1 - 0.8^{n+1}$ ค่าสุดท้าย $y[\infty] = 1$ (อัตราขยาย DC = 1)

3. ถึง 95%: $0.8^{n+1} \le 0.05 \Rightarrow n + 1 \ge \dfrac{\ln 0.05}{\ln 0.8} = 13.4$ จึงต้อง $n + 1 = 14$ ตัวอย่าง ($y[13] = 0.956$)

4. เสถียรภาพ: ถ้าสัมประสิทธิ์ $|\alpha| \ge 1$ อนุกรมลู่ออก ตัวกรองจะแกว่งหรือโตไม่หยุด เป็นเงื่อนไขเดียวกับโพลอยู่ในวงกลมหนึ่งหน่วยของการแปลง z

$y[n] = 1 - 0.8^{n+1} \to 1$ · ถึง 95% ที่ตัวอย่างที่ 14 · ใช้ในการปรับสภาพสัญญาณและ ADC

1. (ก) เงินปีที่ k มีมูลค่าปัจจุบัน $\dfrac{12000}{1.05^k}$ รวม $k = 1$ ถึง 20 เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1 = \tfrac{12000}{1.05},\ r = \tfrac{1}{1.05}$

2. $PV = 12000\cdot\dfrac{1 - 1.05^{-20}}{0.05} = 12000 \times 12.4622 \approx 149{,}547$ บาท (เทียบกับเงินสด 240,000 บาทที่ไม่คิดลด)

3. (ข) $P = V^2/R$ เมื่อ $V \to 1.03V$: $P \to (1.03)^2 P$ ใช้ $(1 + x)^2 \approx 1 + 2x$ ได้ $+6\%$ (ค่าจริง $1.0609$ คือ $+6.09\%$)

(ก) ≈ 149,547 บาท (ดูการคิดคุ้มทุนในเศรษฐศาสตร์ระบบโซลาร์) (ข) ≈ 6% · กฎหัวแม่มือ: ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คูณด้วยเลขชี้กำลัง

1. $\Delta x = \tfrac1n,\ x_k = \tfrac{k}{n}$: $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\frac1n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$

2. ใช้ S9: $S_n = \dfrac{1}{n^3}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

3. $n = 10$: $S_{10} = \dfrac{11\cdot 21}{600} = 0.385$ · $\lim_{n\to\infty} S_n = \dfrac{2}{6} = \dfrac13$

$S_{10} = 0.385$ และอินทิกรัล $= \tfrac13$: นิยามของอินทิกรัลจำกัดเขตคือลิมิตของอนุกรม