พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. อนุกรมสลับ

// บทที่ 26.4 · ลำดับและอนุกรม · Alternating Series

อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (Alternating Series & Absolute Convergence): ไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน และการจัดเรียงใหม่

เมื่อพจน์มีทั้งบวกและลบ การหักล้างกันทำให้อนุกรมบางตัวลู่เข้าได้ทั้งที่ค่าสัมบูรณ์บวกแล้วเป็นอนันต์ หน้านี้อธิบายการทดสอบไลบ์นิซ ขอบเขตความคลาดที่ใช้งานง่ายที่สุดในคณิตศาสตร์เชิงตัวเลข ความต่างของการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์กับแบบมีเงื่อนไข และปรากฏการณ์ที่น่าทึ่งที่สุดของบทนี้: สลับลำดับการบวกแล้วผลบวกเปลี่ยน

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
แล็บความคลาด · จัดเรียงใหม่ การทดสอบไลบ์นิซ ความคลาดเคลื่อน สัมบูรณ์ vs มีเงื่อนไข รีมันน์
สรุปใน 30 วินาที
  • ∑(−1)n+1bn\sum(-1)^{n+1}b_n ลู่เข้าถ้า bnb_n ลดลงและ bn→0b_n \to 0
  • ความคลาด ∣S−SN∣≤bN+1|S - S_N| \le b_{N+1} และ S อยู่ระหว่าง SNS_N กับ SN+1S_{N+1}
  • ∑∣an∣\sum|a_n| ลู่เข้า ⇒ ∑an\sum a_n ลู่เข้า (สัมบูรณ์) · ∑an\sum a_n ลู่เข้าแต่ ∑∣an∣\sum|a_n| ลู่ออก = มีเงื่อนไข
  • อนุกรมมีเงื่อนไขจัดเรียงใหม่ให้ได้ผลบวกเท่าใดก็ได้ (รีมันน์)
ระดับพื้นฐาน แนวคิดกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง คณิตวิเคราะห์ · วิศวกรรม

การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz Test) พื้นฐาน

อนุกรมสลับ (alternating series) มีเครื่องหมายบวก-ลบสลับกันทุกพจน์ ภาพผลบวกย่อยเป็นการกระโดดไปซ้ายทีขวาที โดยแต่ละก้าวสั้นลงเรื่อย ๆ จึงต้องหยุดที่จุดหนึ่ง ช่วงที่ผลบวกจริงอยู่ได้แคบลงทุกครั้ง (ช่วงซ้อน) นี่คือแนวคิดของการพิสูจน์

14812160.50.60.70.80.91Nln 2 ≈ 0.693N คี่: อยู่บน และลดลงN คู่: อยู่ล่าง และเพิ่มขึ้น
ผลบวกย่อยของ 1−12+13−⋯1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots กระโดดข้ามผลบวกจริง ln 2 ไปมา ลำดับย่อยคี่ลดลง ลำดับย่อยคู่เพิ่มขึ้น และบีบเข้าหากัน

A1 Alternating series อนุกรมสลับ

∑n=1∞(−1)n+1bn=b1−b2+b3−b4+⋯ ,bn>0\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots,\qquad b_n > 0

cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n ก็เป็นตัวสลับเครื่องหมาย · sin⁡n\sin n ไม่ใช่ (เครื่องหมายไม่สลับทุกพจน์)

A2 Alternating series test (Leibniz) การทดสอบไลบ์นิซ

(i) bn+1≤bn (เมื่อ n≥N)และ(ii) lim⁡n→∞bn=0  ⟹  ∑(−1)n+1bn ลู่เข้า\text{(i) } b_{n+1} \le b_n \ \text{(เมื่อ } n \ge N)\quad \text{และ}\quad \text{(ii) } \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \ \ \Longrightarrow\ \ \sum(-1)^{n+1}b_n \text{ ลู่เข้า}

พิสูจน์: S2nS_{2n} เพิ่มขึ้นและมีขอบเขตบน b1b_1, S2n+1=S2n+b2n+1S_{2n+1} = S_{2n} + b_{2n+1} จึงลู่เข้าค่าเดียวกัน (Q17 + Q19)

ตัวอย่าง A-1 · ไลบ์นิซ

∑n=1∞(−1)n+1 nn2+1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{n^2+1} ลู่เข้าหรือไม่ และลู่เข้าแบบใด

  1. bn=nn2+1→0b_n = \dfrac{n}{n^2+1} \to 0 ✓

  2. ลดลง: f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}, f′(x)=1−x2(x2+1)2≤0f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} \le 0 เมื่อ x≥1x \ge 1 ✓ ⇒ อนุกรมลู่เข้า

  3. ค่าสัมบูรณ์ ∑nn2+1\sum \dfrac{n}{n^2+1} เทียบลิมิตกับ ∑1n\sum\tfrac1n (ลิมิต = 1) ลู่ออก

ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally convergent)

กับดักที่พบบ่อย∑(−1)nnn+1\sum(-1)^n\dfrac{n}{n+1} ไม่ผ่านไลบ์นิซเพราะ bn→1b_n \to 1 — และไม่ได้ “สรุปไม่ได้” แต่ลู่ออกแน่นอนด้วยการทดสอบพจน์ที่ n เสมอเช็กพจน์ที่ n ก่อน

ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของอนุกรมสลับ กลาง

ข้อดีที่สุดของอนุกรมสลับคือรู้ความคลาดเคลื่อนได้ทันทีโดยไม่ต้องรู้ผลบวกจริง: ความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง นี่คือเหตุผลที่โปรแกรมคำนวณ sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x หรือ ln⁡(1+x)\ln(1+x) จากอนุกรมรู้ว่าต้องหยุดเมื่อใด

A3 Alternating series estimation theorem ขอบเขตความคลาดเคลื่อน

∣S−SN∣≤bN+1,sgn⁡(S−SN)=sgn⁡(พจน์ที่ N+1)|S - S_N| \le b_{N+1},\qquad \operatorname{sgn}(S - S_N) = \operatorname{sgn}(\text{พจน์ที่ } N+1)

ผลบวกจริงอยู่ระหว่าง SNS_N กับ SN+1S_{N+1} เสมอ จึงใช้ค่าเฉลี่ย SN+SN+12\tfrac{S_N + S_{N+1}}{2} เป็นค่าประมาณที่ดีกว่าได้

ตัวอย่าง A-2 · ใช้กี่พจน์

ประมาณ 1e=∑n=0∞(−1)nn!\dfrac1e = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!} ให้คลาดไม่เกิน 10−410^{-4}

  1. บวกถึงพจน์ n=Nn = N ความคลาด ≤bN+1=1(N+1)!\le b_{N+1} = \dfrac{1}{(N+1)!} ต้องการ (N+1)!>104(N+1)! > 10^4

  2. 7!=50407! = 5040 ไม่พอ 8!=403208! = 40320 พอ ⇒ N+1=8N + 1 = 8 คือบวกพจน์ n=0,1,…,7n = 0, 1, \dots, 7 (8 พจน์)

  3. S7=1−1+12−16+124−1120+1720−15040=0.3678571S_7 = 1 - 1 + \tfrac12 - \tfrac16 + \tfrac1{24} - \tfrac1{120} + \tfrac1{720} - \tfrac1{5040} = 0.3678571 ค่าจริง 0.3678794 คลาด 2.2×10−5≤140320=2.5×10−52.2\times10^{-5} \le \tfrac{1}{40320} = 2.5\times10^{-5} ✓

ใช้ 8 พจน์ ได้ 1/e≈0.367861/e \approx 0.36786

ตัวอย่าง A-3 · อนุกรมไลบ์นิซของ π

ถ้าใช้ π=4(1−13+15−⋯ )\pi = 4\left(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots\right) ต้องใช้กี่พจน์จึงได้ π ถูกต้องทศนิยม 4 ตำแหน่ง (คลาดน้อยกว่า 5×10−55\times10^{-5})

  1. บวกถึง n=Nn = N ความคลาดของ π คือ 4bN+1=42N+34b_{N+1} = \dfrac{4}{2N+3}

  2. 42N+3<5×10−5  ⟺  2N+3>80,000  ⟺  N≥39,999\dfrac{4}{2N+3} < 5\times10^{-5} \iff 2N + 3 > 80{,}000 \iff N \ge 39{,}999

ต้องใช้ 40,000 พจน์ — ช้ามาก นี่คือเหตุผลที่การคำนวณ π จริงใช้สูตรของมาชิน π4=4arctan⁡15−arctan⁡1239\tfrac{\pi}{4} = 4\arctan\tfrac15 - \arctan\tfrac{1}{239} ซึ่งพจน์ลดลงแบบเรขาคณิต

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ vs แบบมีเงื่อนไข กลาง

สำหรับอนุกรมที่มีพจน์บวกปนลบ (ไม่จำเป็นต้องสลับเป็นระเบียบ) ให้ทดสอบค่าสัมบูรณ์ก่อนเสมอ เพราะการทดสอบทั้งหมดในหน้าก่อนใช้กับ ∑∣an∣\sum|a_n| ได้ทันที ถ้าลู่เข้าก็จบ ถ้าลู่ออกจึงค่อยตรวจด้วยไลบ์นิซหรือดีริชเลต์

A4 Absolute convergence ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์

∑∣an∣ ลู่เข้า ⟹ ∑an ลู่เข้า และ ∣∑an∣≤∑∣an∣\sum|a_n| \text{ ลู่เข้า} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \text{ ลู่เข้า และ } \left|\sum a_n\right| \le \sum|a_n|

พิสูจน์: 0≤an+∣an∣≤2∣an∣0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n| แล้วใช้การเปรียบเทียบ · ratio/root test ที่ได้ ρ<1\rho < 1 ให้การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เสมอ

A5 Conditional convergence ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

∑an ลู่เข้า แต่ ∑∣an∣ ลู่ออก\sum a_n \text{ ลู่เข้า แต่ } \sum|a_n| \text{ ลู่ออก}

ตัวอย่างมาตรฐาน ∑(−1)n+1np\sum\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^p} ที่ 0<p≤10 < p \le 1 · ถ้า p>1p > 1 เป็นแบบสัมบูรณ์

A6 Classification procedure ขั้นตอนจำแนกอนุกรม

an↛0⇒ลู่ออก;∑∣an∣ ลู่เข้า⇒สัมบูรณ์;ไม่เช่นนั้น ใช้ไลบ์นิซ/ดีริชเลต์⇒มีเงื่อนไข หรือ ลู่ออกa_n \not\to 0 \Rightarrow \text{ลู่ออก};\quad \sum|a_n| \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \text{สัมบูรณ์};\quad \text{ไม่เช่นนั้น ใช้ไลบ์นิซ/ดีริชเลต์} \Rightarrow \text{มีเงื่อนไข หรือ ลู่ออก}

ข้อสอบมักถามคำตอบสามแบบ: ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ · ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข · ลู่ออก

ตัวอย่าง A-4 · จำแนก

(ก) ∑(−1)nn2\sum\dfrac{(-1)^n}{n^2} (ข) ∑(−1)nn\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n} (ค) ∑(−1)n n2n\sum\dfrac{(-1)^n\,n}{2^n} (ง) ∑cos⁡(nπ/3)n2\sum\dfrac{\cos(n\pi/3)}{n^2}

  1. (ก) ∑1/n2\sum 1/n^2 ลู่เข้า ⇒ สัมบูรณ์

  2. (ข) ∑1/n\sum 1/\sqrt n ลู่ออก แต่ 1/n1/\sqrt n ลดลง → 0 ⇒ มีเงื่อนไข

  3. (ค) อัตราส่วนของค่าสัมบูรณ์ n+12n→12\dfrac{n+1}{2n} \to \tfrac12 ⇒ สัมบูรณ์

  4. (ง) ∣cos⁡(nπ/3)n2∣≤1n2\left|\dfrac{\cos(n\pi/3)}{n^2}\right| \le \dfrac{1}{n^2} ⇒ สัมบูรณ์ (ไม่ต้องสนใจรูปแบบเครื่องหมาย)

(ก) สัมบูรณ์ · (ข) มีเงื่อนไข · (ค) สัมบูรณ์ · (ง) สัมบูรณ์

แล็บ: ความคลาดเคลื่อนและการจัดเรียงใหม่ พื้นฐาน

โหมด “ขอบเขตความคลาดเคลื่อน” แสดงแถบ SN±bN+1S_N \pm b_{N+1} ที่ต้องครอบผลบวกจริง และคำนวณจำนวนพจน์ที่ต้องใช้ โหมด “จัดเรียงใหม่” ใช้พจน์ 1,13,15,…1, \tfrac13, \tfrac15, \dots และ −12,−14,…-\tfrac12, -\tfrac14, \dots ครบทุกตัว แต่เปลี่ยนลำดับให้ได้ผลบวกตามเป้า

ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์ ขั้นสูง

ในอนุกรมฮาร์มอนิกสลับ พจน์บวก 1+13+15+⋯1 + \tfrac13 + \tfrac15 + \cdots รวมกันเป็นอนันต์ และพจน์ลบก็รวมกันเป็นลบอนันต์ เมื่อมี “งบไม่จำกัด” ทั้งสองฝั่ง เราจึงเลือกบวกตัวบวกจนเกินเป้า แล้วบวกตัวลบจนต่ำกว่าเป้า สลับไปเรื่อย ๆ เนื่องจากพจน์เล็กลงสู่ 0 การแกว่งรอบเป้าจึงแคบลงจนลู่เข้าสู่เป้า

03060900.50.7511.25จำนวนพจน์ln 2(3/2) ln 2ฟ้า: 1 − ½ + ⅓ − ¼ + ⋯ส้ม: 1 + ⅓ − ½ + ⅕ + ⅐ − ¼ + ⋯
พจน์ชุดเดียวกัน ลำดับต่างกัน: ลำดับปกติลู่เข้า ln 2 ≈ 0.693 แต่แบบ “บวก 2 ลบ 1” ลู่เข้า (3/2) ln 2 ≈ 1.040

A7 Riemann rearrangement theorem การจัดเรียงใหม่ของรีมันน์

∑an ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข⇒∀ T∈[−∞,∞] ∃ การจัดเรียง σ: ∑aσ(n)=T\sum a_n \text{ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข} \Rightarrow \forall\, T \in [-\infty, \infty]\ \exists \text{ การจัดเรียง } \sigma:\ \sum a_{\sigma(n)} = T

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ⇒ ทุกการจัดเรียงให้ผลบวกเท่าเดิม (ทฤษฎีบทของดีริชเลต์)

A8 p positive : q negative บวก p ตัว ลบ q ตัว

1+13+⋯⏟p ตัว−12−⋯⏟q ตัว+⋯=ln⁡2+12ln⁡pq\underbrace{1 + \tfrac13 + \cdots}_{p\ \text{ตัว}} \underbrace{- \tfrac12 - \cdots}_{q\ \text{ตัว}} + \cdots = \ln 2 + \frac12\ln\frac{p}{q}

(1:2) ให้ 12ln⁡2\tfrac12\ln 2 · (1:4) ให้ 00 พอดี · (4:1) ให้ 2ln⁡22\ln 2

ตัวอย่าง A-5 · บวก 1 ลบ 2

แสดงว่า 1−12−14+13−16−18+15−110−112+⋯=12ln⁡21 - \tfrac12 - \tfrac14 + \tfrac13 - \tfrac16 - \tfrac18 + \tfrac15 - \tfrac1{10} - \tfrac1{12} + \cdots = \tfrac12\ln 2

  1. จัดกลุ่มทีละสามพจน์: (12k−1−14k−2)−14k\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{4k-2}\right) - \dfrac{1}{4k} และ 12k−1−12(2k−1)=12(2k−1)\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2(2k-1)} = \dfrac{1}{2(2k-1)}

  2. แต่ละกลุ่มจึงเป็น 12(2k−1)−14k=12(12k−1−12k)\dfrac{1}{2(2k-1)} - \dfrac{1}{4k} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k}\right)

  3. รวมทุกกลุ่ม =12(1−12+13−14+⋯ )=12ln⁡2= \dfrac12\left(1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots\right) = \dfrac12\ln 2 (การจัดกลุ่มนี้ใช้ได้เพราะพจน์ → 0)

12ln⁡2≈0.3466\tfrac12\ln 2 \approx 0.3466 — ครึ่งหนึ่งของลำดับเดิม ทั้งที่ใช้พจน์ชุดเดียวกัน

ทำไมวิศวกรต้องสนใจเวลาคอมพิวเตอร์บวกเลขทศนิยมลอยตัวจำนวนมาก ลำดับการบวกมีผลต่อผลลัพธ์อยู่แล้ว (round-off) สำหรับอนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ลำดับยังเปลี่ยนค่าทางคณิตศาสตร์ด้วย การประมวลผลแบบขนานที่แบ่งพจน์ไปบวกคนละเครื่องจึงต้องใช้อนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เท่านั้น

การทดสอบดีริชเลต์และอาเบล ขั้นสูง

ไลบ์นิซเป็นกรณีพิเศษของการทดสอบที่ทั่วไปกว่า: ถ้าผลบวกย่อยของส่วนที่ “แกว่ง” มีขอบเขต และอีกส่วนลดลงสู่ศูนย์ อนุกรมลู่เข้า ใช้กับอนุกรมของไซน์-โคไซน์ซึ่งเป็นพื้นฐานของอนุกรมฟูริเยร์

A9 Dirichlet's test การทดสอบของดีริชเลต์

∣∑k=1Nak∣≤M ∀N,bn↓0 ⇒ ∑anbn ลู่เข้า\left|\sum_{k=1}^{N} a_k\right| \le M\ \forall N,\quad b_n \downarrow 0\ \Rightarrow\ \sum a_n b_n \text{ ลู่เข้า}

∣∑k=1Nsin⁡k∣≤1sin⁡(1/2)≈2.09\left|\sum_{k=1}^{N}\sin k\right| \le \dfrac{1}{\sin(1/2)} \approx 2.09 ⇒ ∑sin⁡nn=π−12\sum\dfrac{\sin n}{n} = \dfrac{\pi - 1}{2} ลู่เข้า · ไลบ์นิซคือ an=(−1)n+1a_n = (-1)^{n+1}

A10 Abel's test การทดสอบของอาเบล

∑an ลู่เข้า, (bn) ทางเดียวและมีขอบเขต⇒∑anbn ลู่เข้า\sum a_n \text{ ลู่เข้า},\ (b_n) \text{ ทางเดียวและมีขอบเขต} \Rightarrow \sum a_n b_n \text{ ลู่เข้า}

เช่น ∑(−1)nn(1+1n)n\sum\dfrac{(-1)^n}{n}\left(1 + \dfrac1n\right)^n ลู่เข้า เพราะ (1+1/n)n(1 + 1/n)^n เพิ่มขึ้นและไม่เกิน e

ผลคูณโคชีของอนุกรม ขั้นสูง

คูณอนุกรมสองชุดเหมือนคูณพหุนาม โดยรวมพจน์ที่ดัชนีบวกกันได้ n ผลคูณนี้คือคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง (discrete convolution) ตัวเดียวกับในระบบดิจิทัลและการแปลง Z

A11 Cauchy product & Mertens' theorem ผลคูณโคชีและทฤษฎีบทของเมอร์เทนส์

(∑n=0∞an)(∑n=0∞bn)=∑n=0∞cn,cn=∑k=0nakbn−k\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n,\quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}

ใช้ได้เมื่ออย่างน้อยหนึ่งอนุกรมลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (เมอร์เทนส์) · ตัวอย่างโต้แย้ง: ยกกำลังสอง ∑(−1)nn+1\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} ได้ ∣cn∣≥2(n+1)n+2↛0|c_n| \ge \dfrac{2(n+1)}{n+2} \not\to 0 ลู่ออก

ตัวอย่าง A-6 · ผลคูณโคชี

ใช้ผลคูณโคชีแสดงว่า exey=ex+ye^x e^y = e^{x+y} จากอนุกรม ex=∑xnn!e^x = \sum\dfrac{x^n}{n!}

  1. cn=∑k=0nxkk!⋅yn−k(n−k)!=1n!∑k=0n(nk)xkyn−k=(x+y)nn!c_n = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}\cdot\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!} = \dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k} = \dfrac{(x+y)^n}{n!} (ทฤษฎีบททวินาม)

  2. อนุกรมของ exe^x ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ทุก x ⇒ เมอร์เทนส์ใช้ได้ ⇒ exey=∑(x+y)nn!=ex+ye^xe^y = \sum\dfrac{(x+y)^n}{n!} = e^{x+y}

กฎเลขยกกำลังพิสูจน์ได้จากอนุกรมโดยตรง

ต่อไป: อนุกรมที่มีตัวแปร x

เมื่อพจน์ขึ้นกับ x เช่น ∑xnn\sum \dfrac{x^n}{n} อนุกรมลู่เข้าหรือไม่ขึ้นกับค่า x และที่ปลายช่วงมักเจออนุกรมสลับแบบในหน้านี้ ไปต่อที่ อนุกรมกำลังและรัศมีการลู่เข้า · ทบทวน การทดสอบการลู่เข้า · ทดลองทุกเครื่องมือใน แล็บรวม

คำถามที่พบบ่อย

การทดสอบอนุกรมสลับ (Leibniz test) มีเงื่อนไขอะไร?

อนุกรม ∑(−1)n+1bn\sum (-1)^{n+1} b_n โดย bn>0b_n > 0 จะลู่เข้าถ้า (1) bnb_n ลดลง (อย่างน้อยเมื่อ n มากพอ) และ (2) bn→0b_n \to 0 ถ้าเงื่อนไข (2) ไม่จริง อนุกรมลู่ออกด้วยการทดสอบพจน์ที่ n ถ้าเงื่อนไข (1) ไม่จริง การทดสอบนี้สรุปไม่ได้

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์กับแบบมีเงื่อนไขต่างกันอย่างไร?

ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ (absolutely) คือ ∑∣an∣\sum |a_n| ลู่เข้า ซึ่งทำให้ ∑an\sum a_n ลู่เข้าแน่นอน ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (conditionally) คือ ∑an\sum a_n ลู่เข้าแต่ ∑∣an∣\sum |a_n| ลู่ออก เช่น 1−12+13−⋯1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots อนุกรมแบบหลังเปราะบาง: สลับลำดับพจน์แล้วผลบวกเปลี่ยนได้

ความคลาดเคลื่อนของอนุกรมสลับประมาณอย่างไร?

ถ้าอนุกรมผ่านการทดสอบไลบ์นิซ ผลบวกจริงอยู่ระหว่างผลบวกย่อยสองตัวติดกันเสมอ จึงได้ ∣S−SN∣≤bN+1|S - S_N| \le b_{N+1} คือความคลาดไม่เกินพจน์แรกที่ตัดทิ้ง และเครื่องหมายของความคลาดเหมือนเครื่องหมายของพจน์นั้น

ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์บอกอะไร?

อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขสามารถจัดลำดับพจน์ใหม่ให้ผลบวกเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ หรือให้ลู่ออกก็ได้ เพราะผลบวกของพจน์บวกและพจน์ลบต่างก็เป็นอนันต์ ส่วนอนุกรมที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์จัดเรียงอย่างไรก็ได้ผลบวกเท่าเดิม

Σ sin(n)/n ลู่เข้าไหม ในเมื่อเครื่องหมายไม่สลับเป็นระเบียบ?

ลู่เข้า ด้วยการทดสอบของดีริชเลต์: ผลบวกย่อยของ sin⁡n\sin n มีขอบเขต (ไม่เกินประมาณ 2.09) และ 1/n1/n ลดลงเข้าหา 0 ผลบวกจริงคือ (π−1)/2(\pi - 1)/2 แต่ ∑∣sin⁡n∣/n\sum |\sin n|/n ลู่ออก จึงลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์