ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะ (Eigenvalues & Eigenvectors)

1. $\operatorname{tr}A = 4 + 3 = 7,\ \det A = 12 - 2 = 10$ แทนสูตรลัด E3

   $$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \ \Rightarrow\ (\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0 \ \Rightarrow\ \hlC{\lambda_1 = 5},\ \hlC{\lambda_2 = 2}$$

2. $\lambda_1 = 5$: ลบ 5 ออกจากทแยงแล้วลดแถว ต้องได้แถวศูนย์

   $$A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1} \begin{pmatrix} \hlP{-1} & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ -v_1 + v_2 = 0 \ \Rightarrow\ \hlU{\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}$$

3. $\lambda_2 = 2$

   $$A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - R_1} \begin{pmatrix} \hlP{2} & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ \Rightarrow\ 2v_1 + v_2 = 0 \ \Rightarrow\ \hlU{\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}}$$

4. ตรวจด้วยการคูณจริง

   $$A\mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5\mathbf v_1 ✓, \qquad A\mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2\mathbf v_2 ✓$$

$\lambda = 5$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $\lambda = 2$ คู่กับ $(1, -2)$ (หรือพหุคูณใดก็ได้ เช่น $(-1, 2)$)

ตรวจเร็ว: $5 + 2 = 7 = \operatorname{tr}A$ ✓ · $5 \times 2 = 10 = \det A$ ✓ · ใช้สูตรลัด E4: $\lambda = 5$ ได้ $(b, \lambda - a) = (1, 1)$ ✓

1. กระจาย $\det(A - \lambda I)$ ตามแถว 1 E2

   $$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & 1 \\ 6 & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & -2 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(\lambda + 1)^2 - 2\,[-6(1 + \lambda)] + 1\,[-12 - (1 + \lambda)]$$

2. กระจายแล้วรวมพจน์

   $$= (-\lambda^3 - \lambda^2 + \lambda + 1) + (12\lambda + 12) + (-\lambda - 13) = -\lambda^3 - \lambda^2 + 12\lambda$$

3. ดึง $-\lambda$ ออกแล้วแยกตัวประกอบ

   $$-\lambda(\lambda^2 + \lambda - 12) = -\lambda(\lambda + 4)(\lambda - 3) = 0 \ \Rightarrow\ \hlC{\lambda = 0,\ 3,\ -4}$$

4. $\lambda = 3$: ลดแถว $A - 3I$ L4

   $$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 6 & -4 & 0 \\ -1 & -2 & -4 \end{pmatrix} \to \cdots \to \begin{pmatrix} \hlP{1} & 0 & 1 \\ 0 & \hlP{1} & \tfrac32 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{aligned} v_1 &= -v_3 \\ v_2 &= -\tfrac32v_3 \end{aligned}$$

   เลือก $v_3 = -2$ ให้เป็นจำนวนเต็ม: $\hlU{\mathbf v = (2, 3, -2)}$

5. ทำแบบเดียวกันกับ $\lambda = 0$ และ $\lambda = -4$

   $$\lambda = 0:\ \hlU{\mathbf v = (1, 6, -13)}, \qquad \lambda = -4:\ \hlU{\mathbf v = (-1, 2, 1)}$$

$\lambda = 3,\ 0,\ -4$ คู่กับ $(2, 3, -2),\ (1, 6, -13),\ (-1, 2, 1)$

ตรวจ: $3 + 0 - 4 = -1 = \operatorname{tr}A = 1 - 1 - 1$ ✓ · $3\cdot0\cdot(-4) = 0 = \det A$ ✓ (มีค่าเฉพาะศูนย์ จึงไม่มีอินเวอร์ส) · $A(-1, 2, 1)^T = (4, -8, -4)^T = -4(-1, 2, 1)^T$ ✓

1. สมการลักษณะเฉพาะ (กระจายแล้ว)

   $$-\lambda^3 - \lambda^2 + 21\lambda + 45 = 0$$

2. ลองแทนตัวหารของ 45: $\lambda = 5$ ได้ $-125 - 25 + 105 + 45 = 0$ ✓ หารสังเคราะห์ออก

   $$-(\lambda - 5)(\lambda^2 + 6\lambda + 9) = -(\lambda - 5)(\lambda + 3)^2 \ \Rightarrow\ \hlC{\lambda = 5},\ \hlC{\lambda = -3\ (\text{ซ้ำสองครั้ง})}$$

3. $\lambda = -3$: ทุกแถวของ $A + 3I$ เป็นพหุคูณของแถวแรก แรงก์ 1 จึงมีตัวแปรอิสระ $3 - 1 = 2$ ตัว E5

   $$A + 3I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \hlP{1} & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow v_1 = -2v_2 + 3v_3$$ $$\hlU{\mathbf v = v_2\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v_3\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}$$

4. $\lambda = 5$: ลดแถว $A - 5I$ ได้ $\hlU{\mathbf v = (1, 2, -1)}$

$\lambda = -3$ ซ้ำสองครั้งและมีเวกเตอร์เฉพาะอิสระสองตัว $(-2,1,0), (3,0,1)$ ส่วน $\lambda = 5$ คู่กับ $(1, 2, -1)$ ครบ 3 ตัว ทำเป็นทแยงมุมได้

ตรวจ: $5 - 3 - 3 = -1 = \operatorname{tr}A$ ✓ · $5(-3)(-3) = 45 = \det A$ ✓

1. ทั้งคู่เป็นสามเหลี่ยม ค่าเฉพาะคือเส้นทแยง: $\lambda = 2$ ซ้ำสองครั้ง E7

2. $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ แรงก์ 1 ได้ $v_2 = 0$ เวกเตอร์เฉพาะมีแค่ $(1, 0)$ แนวเดียว

3. $B - 2I = O$ แรงก์ 0 ทุกเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์เฉพาะ ได้สองตัวอิสระ

$A$ ไม่ครบ (defective) ทำเป็นทแยงมุมไม่ได้ ต้องใช้รูปแบบจอร์แดน (E18) ส่วน $B$ ครบ ในวงจร RLC กรณีนี้คือหน่วงวิกฤต (critically damped) ที่ผลตอบสนองมีพจน์ $te^{\lambda t}$

1. $\operatorname{tr}A = 4,\ \det A = 3 + 2 = 5$ E3

   $$\lambda^2 - 4\lambda + 5 = 0 \ \Rightarrow\ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \hlC{2 \pm j}$$

2. $\lambda = 2 + j$ ใช้สูตรลัด $(b, \lambda - a)$ E4

   $$\hlU{\mathbf v = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 + j \end{pmatrix}}$$

3. ตรวจแถวที่ 2 ของ $(A - \lambda I)\mathbf v$: $1\cdot(-2) + (3 - 2 - j)(1 + j) = -2 + (1 - j)(1 + j) = -2 + 2 = 0$ ✓

$\lambda = 2 \pm j$ · $\mathbf v = (-2,\ 1 \pm j)$ (เครื่องหมายตรงกัน)

โปรแกรมบางตัวตอบ $(-1 + j,\ 1)$ ซึ่งเท่ากับ $\tfrac{1 - j}{2}$ คูณคำตอบของเรา จึงถูกทั้งคู่ · $|\lambda| = \sqrt5$ การแปลงนี้หมุน $\arctan(1/2) \approx 26.6^\circ$ และขยาย $\sqrt5$ เท่าในพิกัดที่เหมาะสม

1. จาก E-1 วางเวกเตอร์เฉพาะเป็นหลัก E9

   $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

2. ยกกำลังเฉพาะเส้นทแยง E10

   $$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\frac13\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix} 5^n & 2^n \\ 5^n & -2\cdot2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$A^n = \dfrac13\begin{pmatrix} 2\cdot5^n + 2^n & 5^n - 2^n \\ 2\cdot5^n - 2\cdot2^n & 5^n + 2\cdot2^n \end{pmatrix}$

ตรวจ $n = 1$: $\tfrac13\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = A$ ✓ · $n = 3$: $\begin{pmatrix} 86 & 39 \\ 78 & 47 \end{pmatrix}$ ตรงกับการคูณตรงสามครั้ง ✓

1. $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ ได้ $\lambda = 3, 1$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$ ซึ่งตั้งฉากกันจริง: $1 - 1 = 0$

2. ทำให้ยาว 1 (หารด้วย $\sqrt2$) แล้ววางเป็นหลักของ $Q$ E11

   $$Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad \Lambda = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$A = Q\Lambda Q^T$ และเพราะค่าเฉพาะ $3, 1$ เป็นบวกทั้งคู่ $A$ จึงบวกแน่นอน E12

1. จาก E-1: $p(\lambda) = \lambda^2 - 7\lambda + 10$ จึง $A^2 - 7A + 10I = O$ E14

2. คูณ $A^{-1}$ ทั้งสองข้าง: $A - 7I + 10A^{-1} = O$

   $$A^{-1} = \frac{7I - A}{10} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$

$A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ ตรงกับสูตร 2×2 และยังได้ $A^2 = 7A - 10I = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 14 & 11 \end{pmatrix}$ โดยไม่ต้องคูณเมทริกซ์

1. $\operatorname{tr} = -6,\ \det = 8$: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0$ ได้ $\lambda = -2, -4$ คู่กับ $(1, 1)$ และ $(1, -1)$

2. กระจายค่าเริ่มต้นบนเวกเตอร์เฉพาะ: $c_1(1,1) + c_2(1,-1) = (2, 0)$ ได้ $c_1 = c_2 = 1$ E15

3. $$\mathbf x(t) = e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{-4t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$x_1 = e^{-2t} + e^{-4t},\ x_2 = e^{-2t} - e^{-4t}$ ทั้งสองโหมดลดลง ระบบเสถียร ($\lambda \lt 0$) โหมด $(1,1)$ ช้ากว่า ($\tau = 0.5$) จึงเหลืออยู่นานกว่า