แผนภาพโพล-ซีโร่และบริเวณลู่เข้า (ROC) ของการแปลงลาปลาซ

1. เศษ: $2s + 6 = 2(s + 3)$ ซีโร่ $s = -3$ และ $K = 2$

2. ส่วน: ลองรากตรรกยะ $s = -1$: $-1 + 5 - 12 + 8 = 0$ ✓ หารสังเคราะห์ได้ $s^2 + 4s + 8$

   $$s^2 + 4s + 8 = 0 \Rightarrow s = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = -2 \pm 2j$$
3. $$H(s) = \frac{2(s+3)}{(s+1)(s+2-2j)(s+2+2j)}$$

ซีโร่ ○ ที่ $-3$ · โพล × ที่ $-1$ และ $-2 \pm 2j$ ทุกโพลอยู่ครึ่งซ้าย ระบบเหตุผลนี้เสถียร

1. สัญญาณมีค่าเฉพาะ $t < 0$

   $$X(s) = \int_{-\infty}^{0}-e^{-at}e^{-st}\,dt = -\int_{-\infty}^{0}e^{-(s+a)t}\,dt$$

2. เมื่อ $t \to -\infty$ พจน์ $e^{-(s+a)t} = e^{-(\sigma + a)t}e^{-j\omega t}$ ต้องหายไป ซึ่งเกิดเมื่อ $\sigma + a < 0$

   $$X(s) = -\left[\frac{-e^{-(s+a)t}}{s+a}\right]_{-\infty}^{0} = -\left(\frac{-1}{s+a} - 0\right) = \frac{1}{s+a}$$

$X(s) = \dfrac{1}{s+a}$ เหมือนของ $e^{-at}u(t)$ ทุกตัวอักษร แต่ ROC เป็น $\operatorname{Re}s < -a$ (ครึ่งซ้าย) แทน $\operatorname{Re}s > -a$

1. เศษส่วนย่อย (ไม่ขึ้นกับ ROC): $X(s) = \dfrac{1}{s+1} - \dfrac{1}{s+2}$

2. กฎ: โพลที่อยู่ซ้ายของ ROC ให้พจน์ด้านขวา $e^{pt}u(t)$ R5 · โพลที่อยู่ขวาของ ROC ให้พจน์ด้านซ้าย $-e^{pt}u(-t)$ R6

3. (ก) $\operatorname{Re}s > -1$: ทั้งสองโพลอยู่ซ้าย

   $$x(t) = \left(e^{-t} - e^{-2t}\right)u(t)$$

4. (ข) $-2 < \operatorname{Re}s < -1$: โพล −1 อยู่ขวา โพล −2 อยู่ซ้าย

   $$x(t) = -e^{-t}u(-t) - e^{-2t}u(t)$$

5. (ค) $\operatorname{Re}s < -2$: ทั้งสองโพลอยู่ขวา

   $$x(t) = \left(-e^{-t} + e^{-2t}\right)u(-t)$$

สามสัญญาณต่างกันโดยสิ้นเชิง มีเพียง (ก) ที่เป็นเหตุผล และมีเพียง (ก) ที่เสถียร (ROC ครอบ $\sigma = 0$) · ลองเลือก ROC ทั้งสามแบบในแล็บด้านล่างด้วยปุ่ม “สัญญาณสองด้าน”

1. ส่วนขวา: $e^{-2t}u(t) \to \dfrac{1}{s+2}$, $\operatorname{Re}s > -2$

2. ส่วนซ้าย: $e^{3t}u(-t) = -\left(-e^{3t}u(-t)\right) \to -\dfrac{1}{s-3}$, $\operatorname{Re}s < 3$ R6 ด้วย $a = -3$

3. รวมและหาส่วนร่วมของ ROC R12

   $$X(s) = \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s-3} = \frac{-5}{(s+2)(s-3)},\quad -2 < \operatorname{Re}s < 3$$

ROC เป็นแถบ $-2 < \sigma < 3$ ซึ่งครอบแกน jω จึงมีการแปลงฟูเรียร์ $X(j\omega) = \dfrac{-5}{(j\omega+2)(j\omega-3)}$ แม้จะมีโพลครึ่งขวา (เพราะส่วนที่โตขึ้นอยู่ฝั่ง $t < 0$ ซึ่งลดลงเมื่อย้อนเวลา)

1. $$x(t) = e^{-bt}u(t) + e^{bt}u(-t) \ \to\ \frac{1}{s+b} - \frac{1}{s-b}$$
2. $$X(s) = \frac{(s - b) - (s + b)}{s^2 - b^2} = \frac{-2b}{s^2 - b^2},\quad -b < \operatorname{Re}s < b$$

โพลที่ $\pm b$ ROC เป็นแถบระหว่างโพลทั้งสอง ถ้า $b \le 0$ ส่วนขวาต้องการ $\sigma > b$ ส่วนซ้ายต้องการ $\sigma < -b$ ไม่มีส่วนร่วม จึงไม่มีการแปลงลาปลาซ

1. $$X(s) = \int_0^T e^{-st}dt = \frac{1 - e^{-sT}}{s}$$

2. ดูเหมือนมีโพลที่ $s = 0$ แต่ $\lim_{s\to 0}\dfrac{1 - e^{-sT}}{s} = T$ (โลปิตาล) จึงเป็นภาวะเอกฐานที่ถอดได้ ไม่ใช่โพล Z19

ROC คือทั้งระนาบ s ตามสมบัติ 3 R9 ซีโร่อยู่ที่ $s = j2\pi k/T,\ k \ne 0$ บนแกน jω ซึ่งคือศูนย์ของฟังก์ชัน sinc ในสเปกตรัมนั่นเอง

1. โพลเด่นคือ $-2 \pm 4j$ (ใกล้แกน jω กว่า) โพล $-10$ ลดลงเร็วกว่า 5 เท่า ($\tau = 0.1$ s เทียบกับ 0.5 s) แทบไม่มีผลหลังผ่านไปไม่กี่ร้อยมิลลิวินาที

2. จาก R15: $\omega_n = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.47$ rad/s, $\zeta = 2/4.47 \approx 0.447$

3. แกว่งที่ $\omega_d = 4$ rad/s (คาบ $\approx 1.57$ s) พุ่งเกิน $\%OS = 100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 100e^{-\pi/2} \approx 20.8\%$ เข้าที่ใน $t_s \approx 4/\sigma = 2$ s

ประมาณได้เป็นระบบอันดับสองที่ $\zeta \approx 0.45$, $\omega_n \approx 4.5$ rad/s พุ่งเกินราว 21% เข้าที่ราว 2 วินาที ดูวิธีเลือกตำแหน่งโพลให้ได้สเปกที่ต้องการในผลตอบสนองทางเวลา

1. โพล $-1$ และ $2$ ROC ที่เป็นไปได้: $\sigma < -1$, $-1 < \sigma < 2$, $\sigma > 2$

2. (ก) เหตุผล → ขวาของโพลขวาสุด: $\operatorname{Re}s > 2$ (ไม่ครอบแกน jω → ไม่เสถียร)

3. (ข) เสถียร → ต้องครอบ $\sigma = 0$: $-1 < \operatorname{Re}s < 2$ (สองด้าน → ไม่เหตุผล)

4. (ค) ต้องเป็นครึ่งระนาบขวาและครอบแกน jω พร้อมกัน แต่โพล $s = 2$ ขวางอยู่

เป็นไปไม่ได้ที่จะทั้งเหตุผลและเสถียร เพราะมีโพลครึ่งขวา ส่วนซีโร่ที่ $s = 1$ (ครึ่งขวา) ไม่มีผลต่อเสถียรภาพ แต่ทำให้เป็นระบบ non-minimum phase