// บทที่ 18.6 · ระบบไฟฟ้ากำลังและระบบป้องกัน · Symmetrical Components & Unbalanced Faults

องค์ประกอบสมมาตรและการลัดวงจรไม่สมมาตร: ลำดับบวก ลบ ศูนย์ และฟอลต์ SLG LL DLG

Q: องค์ประกอบสมมาตรมีไว้ทำไม?

ระบบสามเฟสที่ไม่สมดุล เช่น เมื่อเกิดลัดลงดินเฟสเดียว ใช้วงจรสมมูลเฟสเดียวไม่ได้ Fortescue พิสูจน์ว่าเฟสเซอร์สามตัวใด ๆ แยกได้เป็นสามชุดที่สมดุล ได้แก่ ลำดับบวก ลำดับลบ และลำดับศูนย์ แต่ละชุดคำนวณแบบเฟสเดียวได้ แล้วนำมาต่อกันตามเงื่อนไขของฟอลต์ ทำให้วิเคราะห์ฟอลต์ไม่สมดุลได้ง่าย และรีเลย์จำนวนมากก็วัดค่าลำดับเหล่านี้โดยตรง

Q: ทำไมหม้อแปลง Dyn11 ทำให้กระแสลงดินด้านแรงต่ำไม่ไหลขึ้นด้านแรงสูง?

กระแสลำดับศูนย์ทั้งสามเฟสมีมุมเท่ากัน ขด Δ ด้านแรงสูงให้กระแสนี้ไหลวนภายในขดได้ แต่ไม่มีทางออกไปสายแรงสูงเพราะไม่มีนิวทรัล วงจรลำดับศูนย์ของหม้อแปลงจึงต่อลงดินที่ด้าน Y และขาดที่ด้าน Δ

ฟอลต์ที่พบบ่อยที่สุดคือลัดลงดินเฟสเดียว ซึ่งทำให้ระบบไม่สมดุล องค์ประกอบสมมาตร (Fortescue, 1918) เปลี่ยนปัญหาสามเฟสไม่สมดุลให้เป็นปัญหาสมดุลสามชุดที่แก้ทีละเฟสได้ — เป็นเครื่องมือคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังที่สุดของวิชานี้ และเป็นพื้นฐานของรีเลย์ลงดินกับรีเลย์ลำดับลบ

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 13 ต.ค. 2569

แนวคิด เมทริกซ์ Fortescue วงจรลำดับ SLG · LL · DLG เครื่องคำนวณ

สรุปใน 30 วินาที

$a = 1\angle 120^\circ$ , $1 + a + a^2 = 0$
$I_0 = \tfrac13(I_a+I_b+I_c)$ , $I_1 = \tfrac13(I_a+aI_b+a^2I_c)$ , $I_2 = \tfrac13(I_a+a^2I_b+aI_c)$
SLG: ต่ออนุกรม 1-2-0 → $I_f = 3E/(Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f)$
LL: ต่อขนาน 1-2 → $I_f = \sqrt3E/(Z_1+Z_2)$ · DLG: 1 อนุกรมกับ (2 ∥ 0)
กระแสลงดิน = 3I₀ — สิ่งที่รีเลย์ 50N/51N วัด

แนวคิด: สามชุดสมดุลซ้อนกัน กลาง

ลำดับบวก (1) ขนาดเท่ากัน ห่าง 120° ลำดับ a-b-c เหมือนระบบปกติ — สร้างสนามหมุนไปข้างหน้า
ลำดับลบ (2) ขนาดเท่ากัน ห่าง 120° แต่ลำดับ a-c-b — สนามหมุนถอยหลัง ทำให้โรเตอร์มอเตอร์ร้อน (รีเลย์ 46)
ลำดับศูนย์ (0) สามตัวขนาดเท่ากัน มุมเท่ากัน — รวมกันไหลในนิวทรัล/ดิน

S1 Operator a ตัวดำเนินการ a

a = 1\angle 120^\circ = -\tfrac12 + j\tfrac{\sqrt3}{2} \qquad a^2 = 1\angle 240^\circ \qquad a^3 = 1 \qquad 1 + a + a^2 = 0

เมทริกซ์ Fortescue และอินเวอร์ส กลาง

S2 Phase quantities from sequence quantities สร้างค่าเฟสจากค่าลำดับ

\begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}

S3 Sequence quantities from phase quantities แยกค่าลำดับจากค่าเฟส

\begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \frac13\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix}

S4 Neutral / earth current กระแสนิวทรัลและกระแสลงดิน

I_n = I_a + I_b + I_c = 3I_0

อินเวอร์สของเมทริกซ์ใน S2 คือ S3 (ตรวจได้ด้วยการคูณกันแล้วใช้ $1 + a + a^2 = 0$ ) ทบทวนเมทริกซ์และอินเวอร์สที่ อินเวอร์สเมทริกซ์

ตัวอย่าง S-1

$I_a = 100\angle 0^\circ,\ I_b = 80\angle -110^\circ,\ I_c = 60\angle 130^\circ$ A

S3: $I_0 = 14.96\angle -40.6^\circ$ · $I_1 = 79.70\angle 5.8^\circ$ · $I_2 = 9.49\angle 9.9^\circ$ A
S4: กระแสนิวทรัล $3 \times 14.96 = 44.9$ A — แม้โหลดแต่ละเฟสไม่เกินพิกัด สายนิวทรัลก็มีกระแสมาก
ความไม่สมดุล $|I_2|/|I_1| = 11.9\,\%$ — มอเตอร์ที่ต่ออยู่จะร้อนขึ้นจากสนามหมุนย้อนกลับ

วงจรลำดับของอุปกรณ์ ขั้นสูง

อุปกรณ์	$Z_1$	$Z_2$	$Z_0$
เครื่องกำเนิดซิงโครนัส	$X_d''$ (มีแหล่งจ่าย E)	≈ $X_d''$	เล็ก ( $X_0$ ) + $3Z_n$ ถ้านิวทรัลต่อดินผ่านอิมพีแดนซ์
หม้อแปลง	$Z_T$	$Z_T$	ขึ้นกับการต่อ: Yn-yn ผ่าน · Dyn: ลงดินด้าน yn ขาดด้าน D · Yy ไม่ต่อดิน: ขาด
สายส่ง/เคเบิล	$Z_1$	$= Z_1$	$Z_0 \approx 2\text{–}4\,Z_1$ (ทางกลับผ่านดิน/สายดิน)
โหลดสถิตสมดุล	$Z$	$Z$	$Z$ ถ้า Y ต่อดิน · ∞ ถ้า Δ หรือ Y ลอย

S9 Zero-sequence path of a Dyn transformer ทางเดินลำดับศูนย์ของหม้อแปลง Dyn

Z_{0,\,yn\ side} = Z_T + 3Z_n \qquad Z_{0,\,D\ side} = \infty\ \ (\text{กระแสวนในขด Δ})

สูตรฟอลต์ไม่สมมาตร กลาง

S5 Single line-to-ground fault (phase a) ลัดลงดินหนึ่งเฟส

I_{a1} = I_{a2} = I_{a0} = \frac{E}{Z_1 + Z_2 + Z_0 + 3Z_f} \qquad I_f = 3I_{a0} = \frac{3E}{Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f}

S6 Line-to-line fault (b–c) ลัดวงจรระหว่างสองเฟส

I_{a1} = -I_{a2} = \frac{E}{Z_1 + Z_2 + Z_f} \qquad |I_b| = |I_c| = \sqrt3\,|I_{a1}|

S7 Double line-to-ground fault (b–c–g) ลัดสองเฟสลงดิน

I_{a1} = \frac{E}{Z_1 + \dfrac{Z_2(Z_0+3Z_f)}{Z_2+Z_0+3Z_f}} \qquad I_{a2} = -I_{a1}\frac{Z_0+3Z_f}{Z_2+Z_0+3Z_f} \qquad I_{a0} = -I_{a1}\frac{Z_2}{Z_2+Z_0+3Z_f}

S8 Three-phase fault ลัดวงจรสามเฟส (มีแค่ลำดับบวก)

I_{a1} = \frac{E}{Z_1 + Z_f} \qquad I_{a2} = I_{a0} = 0

ตัวอย่าง S-2

บัส 22 kV ฐาน 100 MVA: X₁ = X₂ = 0.25 pu, X₀ = 0.15 pu, Z_f = 0

$I_{base} = 2{,}624$ A (U3)
S8 สามเฟส: $1/0.25 = 4.00$ pu = 10.5 kA
S5 SLG: $3/(0.25+0.25+0.15) = 4.615$ pu = 12.1 kA — มากกว่าสามเฟส เพราะ $X_0 < X_1$
S6 LL: $\sqrt3/0.5 = 3.464$ pu = 9.09 kA $= 0.866 \times$ สามเฟส
S7 DLG: $Z_2 \parallel Z_0 = j0.09375$ → $I_{a1} = -j2.909$ · $I_{a0} = j1.818$ → กระแสลงดิน $3I_{a0} = 5.455$ pu = 14.3 kA · $|I_b| = |I_c| = 4.41$ pu

เครื่องคำนวณองค์ประกอบสมมาตรและฟอลต์

คำถามที่พบบ่อย

องค์ประกอบสมมาตรมีไว้ทำไม?