ระบบควบคุมดิจิทัล: การสุ่ม z-transform และ PID ดิจิทัล

Y1 Sampling and aliasing การสุ่มและแอลิแอส

$$\omega_s = \frac{2\pi}{T} \gt 2\omega_{max} \qquad (\text{ความถี่ไนควิสต์ } \omega_s/2)$$

ความถี่เหนือ $\omega_s/2$ จะปรากฏเป็นความถี่ต่ำปลอม (alias) ต้องกรองด้วยฟิลเตอร์แอนติแอลิแอส RC ก่อน ADC · ดูภาพการสุ่มในแล็บสัญญาณ

Y2 ZOH equivalent of the plant พลานต์มองจากคอมพิวเตอร์

$$G(z) = (1 - z^{-1})\,\mathcal Z\left\{\frac{G(s)}{s}\right\} \qquad \text{เช่น } \frac{a}{s + a} \to \frac{1 - e^{-aT}}{z - e^{-aT}}$$

แม่นตรงที่จังหวะสุ่ม (step invariant) · ปริภูมิสถานะ: $A_d = e^{AT}$, $B_d = \int_0^Te^{A\tau}d\tau\,B$ (X6)

Y3 s-to-z mapping and stability การแมปและเสถียรภาพ

$$z = e^{sT}: \ \ s = -\sigma \pm j\omega_d \ \mapsto\ |z| = e^{-\sigma T},\ \angle z = \pm\omega_dT, \qquad \text{เสถียร} \iff |z_i| \lt 1$$

แกน $j\omega$ → วงกลมหนึ่งหน่วย · $s = 0$ → $z = 1$ · ขั้วใกล้ $z = 1$ = ช้า · ขั้วบนแกนจริงลบ ($z \lt 0$) = แกว่งสลับทุกคาบ ไม่มีคู่เทียบในโลกต่อเนื่อง

Y4 Jury test (2nd order) เกณฑ์จูรีสำหรับ $P(z) = a_2z^2 + a_1z + a_0,\ a_2 \gt 0$

$$P(1) \gt 0, \qquad P(-1) \gt 0, \qquad |a_0| \lt a_2$$

เทียบเท่าเราท์ในโลก z · อันดับสูงกว่าใช้ตารางของจูรี หรือแปลง $z = \frac{1 + w}{1 - w}$ แล้วใช้เราท์

Y5 Discretization methods วิธีแปลง $C(s) \to C(z)$

$$\text{Forward Euler: } s \approx \frac{z - 1}{T}, \qquad \text{Backward Euler: } s \approx \frac{z - 1}{Tz}, \qquad \text{Tustin: } s \approx \frac{2}{T}\cdot\frac{z - 1}{z + 1}$$

Tustin รักษาเสถียรภาพเสมอ · ถ้าต้องการให้ความถี่หนึ่ง (เช่น notch ที่ $\omega_0$) ตรงพอดี ใช้ prewarping: แทน $\frac2T$ ด้วย $\frac{\omega_0}{\tan(\omega_0T/2)}$

Y6 Digital PID PID ดิจิทัล (I แบบ Tustin, D แบบ backward + ฟิลเตอร์)

$$I_k = I_{k-1} + \frac{K_IT}{2}(e_k + e_{k-1}), \qquad D_k = \frac{T_f}{T_f + T}D_{k-1} + \frac{K_D}{T_f + T}(e_k - e_{k-1}), \qquad u_k = K_Pe_k + I_k + D_k$$

รูปแบบความเร็ว (incremental): $\Delta u_k = u_k - u_{k-1}$ ไม่ต้องเก็บอินทิกรัล สลับ manual/auto ไม่กระตุก · ใส่ D จากเอาต์พุตและ anti-windup ตามโค้ดในหน้า PID

Y7 Choosing the sample rate เลือกความถี่สุ่ม

$$\omega_s \approx (20 \text{ ถึง } 30)\,\omega_{BW}, \qquad \Delta\text{PM} \approx \frac{\omega_cT}{2}\ \text{rad} = 28.6\,\omega_cT \ \text{องศา} \ (\text{จาก ZOH})$$

บวกหน่วงจากการคำนวณอีก (มักเป็นหนึ่งคาบเต็มถ้าเขียน PWM คาบถัดไป) · ลูปกระแสของไดรฟ์มอเตอร์มักสุ่ม 10–20 kHz พร้อม PWM