หน้าแรก
คลังความรู้
ระบบควบคุม
ออกแบบด้วยรูทโลคัส

// บทที่ 13.10 · ระบบควบคุม · Design by Root Locus

ออกแบบด้วยรูทโลคัส: เลือกเกน เพิ่มขั้วหรือศูนย์ และตัวชดเชย

Q: ทำไมเพิ่มศูนย์แล้วระบบเสถียรขึ้น?

ศูนย์ลดจำนวนเส้นกำกับ (n − m ลดลง) และดึงจุดตัดเส้นกำกับไปทางซ้าย กิ่งที่เคยข้ามไปฝั่งขวาจึงถูกดึงกลับมา ในภาษาความถี่คือศูนย์เพิ่มเฟสบวก ทำให้เฟสมาร์จินมากขึ้น

Q: วางศูนย์ของ PI ไว้ตรงไหนดี?

ใกล้จุดกำเนิดเมื่อเทียบกับขั้วเด่น (ประมาณ 1/10 ของส่วนจริงขั้วเด่น) เพื่อให้รูทโลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน แต่ยิ่งใกล้มากยิ่งเกิดขั้ววงปิดช้าที่ทำให้หางยาว จึงต้องแลกเปลี่ยน หรือวางศูนย์หักล้างขั้วช้าของพลานต์ถ้ารู้ค่าแม่นพอ

Q: รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบใช้เมื่อไร?

เมื่อระบบเป็นป้อนกลับบวก เมื่อพลานต์มีเกนติดลบ (เช่น บางระบบที่มีศูนย์ฝั่งขวาเมื่อจัดรูปแล้วได้เครื่องหมายลบ) หรือเมื่อต้องการดูว่าจะเกิดอะไรถ้าต่อสายกลับขั้ว กฎเปลี่ยนเป็นเงื่อนไขมุม 0° แทน 180°

วาดรูทโลคัสได้แล้ว คำถามต่อไปคือ “ใช้ทำอะไร” คำตอบคือออกแบบ: ถ้าโลคัสผ่านจุดที่ต้องการ ก็แค่เลือก $K$ ถ้าไม่ผ่าน ก็ดัดโลคัสด้วยการเพิ่มศูนย์ (ดึงไปซ้าย) หรือขั้ว (ผลักไปขวา) ให้ผ่านจุดนั้น หน้านี้คือหัวใจของการออกแบบในโดเมนเวลา สูตรใช้รหัส J

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

สรุปใน 30 วินาที

สเปก → จุด $s_d$ → ผ่านโลคัสไหม (เงื่อนไขมุม) → ผ่าน: หา $K$ ด้วยเงื่อนไขขนาด
ไม่ผ่าน: มุมที่ขาด $\phi_c$ เติมด้วยศูนย์ (PD) หรือคู่ศูนย์-ขั้ว (lead)
ความผิดพลาดค้าง: คู่ขั้วที่ 0 + ศูนย์ใกล้ 0 (PI) โลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน
$K \lt 0$ : กฎมุม 0° · พารามิเตอร์อื่น: จัดรูป $1 + \alpha\,F(s) = 0$ แล้ววาดตามปกติ

ขั้น 1: เลือก K เมื่อโลคัสผ่านจุดที่ต้องการ พื้นฐาน

J1 Gain selection เลือกเกนจากสเปก

s_d = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}, \qquad K = \frac{\prod|s_d - p_j|}{\prod|s_d - z_i|}

ถ้ากำหนดแค่ $\zeta$ : หาจุดตัดของเส้น $\zeta$ กับโลคัส · ถ้ากำหนดทั้ง $\zeta$ และ $\omega_n$ (หรือ $t_s$ ) ต้องตรวจเงื่อนไขมุมก่อนว่าจุดอยู่บนโลคัส

ตัวอย่าง J-1 · P ได้แค่ไหน

พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}$ หา $K$ ที่ให้ $\zeta = 0.6$ และหาความผิดพลาดค้าง

โลคัส: ชนกันที่ −3 แล้วขึ้นลงตามเส้น $\sigma = -3$ · จุดบนเส้น $\zeta = 0.6$ : $\omega_n = 3/0.6 = 5$ ได้ $s_d = -3 \pm j4$
J1: $K = |s_d + 1||s_d + 5| = |-2 + j4||2 + j4| = \sqrt{20}\sqrt{20} = 20$
$e_{ss} = \dfrac{1}{1 + 20/5} = 0.2$

$K = 20$ : overshoot 9.5%, $t_s$ ≈ 1.2 s แต่ความผิดพลาดค้าง 20% (เอาต์พุตไปได้แค่ 0.8) ต้องแก้ด้วย PI ในตัวอย่าง J-3

ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส พื้นฐาน

J2 Adding poles and zeros เพิ่มขั้วและศูนย์

\text{เพิ่มศูนย์ } z:\ n - m \downarrow,\ \ \sigma_a \to \frac{\sum p - \sum z - z}{n - m - 1} \quad\text{(ดึงไปซ้าย)}, \qquad \text{เพิ่มขั้ว: } n - m \uparrow \ \text{(ผลักไปขวา)}

ศูนย์ยิ่งใกล้จุดกำเนิด ยิ่งดึงแรง แต่ต้องระวังศูนย์ไปโผล่ในวงปิดเพิ่ม overshoot (T9) · ขั้วที่เพิ่มยิ่งใกล้จุดกำเนิด ยิ่งผลักแรง (lag และ I ทำให้แกว่งขึ้น)

เพิ่มศูนย์ที่ −3 ให้

K/[s(s+1)(s+2)]

: จากเดิมที่ไม่เสถียรเมื่อ

K \gt 6

กลายเป็นเสถียรทุก

K

ออกแบบ PD ด้วยการชดเชยมุม กลาง

J3 PD by angle compensation วางศูนย์ PD

\phi_c = -180^\circ - \angle G(s_d), \qquad z = \sigma_d + \frac{\omega_d}{\tan\phi_c} \ \ \text{(ศูนย์ที่ } -z\text{)}, \qquad C(s) = K_D(s + z)

$\sigma_d, \omega_d$ = ขนาดส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ $s_d$ · ใช้ได้เมื่อ $0 \lt \phi_c \lt 90^\circ$ ถ้ามากกว่านั้นใช้ lead สองตัวหรือ PD สองตัว

ตัวอย่าง J-2 · PD ให้เซอร์โวเร็วขึ้น 2 เท่า

พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{s(s+5)}$ ต้องการขั้วที่ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 10$

$s_d = -5 \pm j8.66$ · โลคัสเดิมเป็นเส้นดิ่ง $\sigma = -2.5$ ไม่ผ่าน
มุมพลานต์ที่ $s_d$ : จาก 0 คือ $120^\circ$ จาก −5 คือ $90^\circ$ ได้ $-210^\circ$ → $\phi_c = 30^\circ$ J3
$z = 5 + \dfrac{8.66}{\tan30^\circ} = 5 + 15 = 20$ (ศูนย์ที่ −20)
$K_D = \dfrac{|s_d||s_d + 5|}{|s_d + 20|} = \dfrac{10 \times 8.66}{17.32} = 5$

$C(s) = 5(s + 20) = 100 + 5s$ วงปิด $s^2 + 10s + 100$ ได้ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 10$ พอดี · overshoot จริง 19.1% (ศูนย์ที่ −20 ในวงปิด เพิ่มจาก 16.3%)

python-control: ขั้ว $-5 \pm j8.66$ ✓ · เทียบ C-3 ที่ใช้ lead กับพลานต์คล้ายกัน

ออกแบบ PI: คู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้จุดกำเนิด กลาง

J4 PI by dipole placement วาง PI แบบคู่ขั้ว-ศูนย์

C(s) = K\frac{s + z_I}{s}, \qquad z_I \approx \frac{|\operatorname{Re}s_d|}{10}

มุมที่ $s_d$ เปลี่ยนน้อยมาก โลคัสเดิมแทบไม่ขยับ แต่เกิดขั้ววงปิดใหม่ใกล้ $-z_I$ (เกือบหักล้างกับศูนย์) ทำให้มีหางช้า ขนาดหางเล็กลงเมื่อ $z_I$ เล็ก แต่ช้าลง

ตัวอย่าง J-3 · ต่อจาก J-1

เพิ่ม PI ให้ $G = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}$ ที่ $K = 20$ เพื่อกำจัดความผิดพลาดค้าง เลือก $z_I$ อย่างไร

$z_I$	ขั้ววงปิด	Overshoot	t_s (2%)
(P อย่างเดียว)	$-3 \pm j4$	9.5%	1.2 s (แต่ค้างที่ 0.8)
0.1	$-2.96 \pm j3.97,\ -0.082$	0%	27.5 s
0.3	$-2.87 \pm j3.91,\ -0.255$	0%	8.2 s
0.5	$-2.78 \pm j3.85,\ -0.444$	0.4%	4.2 s
1 (หักล้างขั้ว −1)	$-2.5 \pm j3.97$	12.0%	1.3 s

ทุกตัวเลือกกำจัดความผิดพลาดค้างได้ ขั้วเด่นแทบไม่ขยับ แต่ $z_I$ เล็กมากทำให้เอาต์พุตค่อย ๆ คลานจาก 0.8 ไป 1 นานมาก · การหักล้างขั้วช้าของพลานต์ ( $z_I = 1$ ) เร็วที่สุดเมื่อรู้ค่าขั้วแม่น

จำลองด้วย python-control · แถวสุดท้าย: $L = \frac{20}{s(s+5)}$ วงปิด $s^2 + 5s + 20$ ( $\zeta = 0.56$ )

รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสพารามิเตอร์ ขั้นสูง

J5 Complementary (0°) root locus รูทโลคัสเมื่อ $K \lt 0$

\sum\angle(s - z_i) - \sum\angle(s - p_j) = 0^\circ + 360^\circ q, \qquad \theta_a = \frac{360^\circ q}{n - m}

แกนจริง: จำนวนขั้ว+ศูนย์ทางขวาเป็นเลขคู่ · มุมออก/เข้าใช้ 0° แทน 180° · จุดแยกคือรากของ $dK/ds = 0$ ที่ให้ $K \lt 0$ (ที่ทิ้งไปในกรณีปกติ) · ลองกดปุ่ม “K < 0” ในแล็บ

J6 Parameter root locus รูทโลคัสของพารามิเตอร์อื่น

A(s) + \alpha B(s) = 0 \ \Rightarrow\ 1 + \alpha\frac{B(s)}{A(s)} = 0

จัดสมการลักษณะเฉพาะให้พารามิเตอร์ $\alpha$ ที่สนใจ (ตำแหน่งขั้ว เกนแทโค ค่าคงเวลา) อยู่หน้า แล้วใช้กฎทุกข้อกับ $B/A$

ตัวอย่าง J-4 · ปรับการหน่วงแทน K

ระบบ $s^2 + as + 10 = 0$ (มอเตอร์ที่ปรับการหน่วง $a$ ได้ เช่น ด้วยเกนแทโค) ขั้วเดินอย่างไรเมื่อ $a$ เพิ่มจาก 0

J6: $1 + a\dfrac{s}{s^2 + 10} = 0$ ขั้วของ $F$ ที่ $\pm j\sqrt{10}$ ศูนย์ที่ 0
คู่ขั้วเชิงซ้อนกับศูนย์จริงหนึ่งตัว: โลคัสเป็นวงกลมรอบศูนย์ (0) รัศมี $\sqrt{10}$ เข้าแกนจริงที่ $-\sqrt{10}$ เมื่อ $a = 2\sqrt{10} = 6.32$

เมื่อ $a$ เพิ่ม ขั้วเดินตามวงกลม $|s| = \sqrt{10}$ ( $\omega_n$ คงที่ $\zeta = a/(2\sqrt{10})$ เพิ่ม) จนหน่วงวิกฤตที่ $a = 6.32$ แล้วแยกบนแกนจริง ตรงกับตัวอย่างแทโคในB-3

แล็บออกแบบ

เส้นสีม่วงคือ $\zeta = 0.5$ และ 0.6 ลองเพิ่มศูนย์ (“+ ศูนย์จริง”) แล้วลากไปมาเพื่อให้โลคัสผ่านจุดที่ต้องการ แล้วคลิกบนโลคัสเลือก $K$ ดูผลตอบสนองทันที

กำลังโหลดแล็บ (ต้องเปิด JavaScript)

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

รูทโลคัสมองในโดเมนเวลา อีกมุมหนึ่งที่วิศวกรทั่วโลกใช้มากที่สุดคือผลตอบสนองความถี่ ซึ่งวัดจากระบบจริงได้โดยตรง และนำไปสู่การออกแบบ lead lag ด้วยโบด

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมเพิ่มศูนย์แล้วระบบเสถียรขึ้น?

ศูนย์ลดจำนวนเส้นกำกับ (n − m ลดลง) และดึงจุดตัดเส้นกำกับไปทางซ้าย กิ่งที่เคยข้ามไปฝั่งขวาจึงถูกดึงกลับมา ในภาษาความถี่คือศูนย์เพิ่มเฟสบวก ทำให้เฟสมาร์จินมากขึ้น

วางศูนย์ของ PI ไว้ตรงไหนดี?

ใกล้จุดกำเนิดเมื่อเทียบกับขั้วเด่น (ประมาณ 1/10 ของส่วนจริงขั้วเด่น) เพื่อให้รูทโลคัสเดิมแทบไม่เปลี่ยน แต่ยิ่งใกล้มากยิ่งเกิดขั้ววงปิดช้าที่ทำให้หางยาว จึงต้องแลกเปลี่ยน หรือวางศูนย์หักล้างขั้วช้าของพลานต์ถ้ารู้ค่าแม่นพอ

รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบใช้เมื่อไร?

เมื่อระบบเป็นป้อนกลับบวก เมื่อพลานต์มีเกนติดลบ (เช่น บางระบบที่มีศูนย์ฝั่งขวาเมื่อจัดรูปแล้วได้เครื่องหมายลบ) หรือเมื่อต้องการดูว่าจะเกิดอะไรถ้าต่อสายกลับขั้ว กฎเปลี่ยนเป็นเงื่อนไขมุม 0° แทน 180°

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์

ขั้น 1: เลือก K เมื่อโลคัสผ่านจุดที่ต้องการ พื้นฐาน

พลานต์ G(s)=1(s+1)(s+5)G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}G(s)=(s+1)(s+5)1​ หา KKK ที่ให้ ζ=0.6\zeta = 0.6ζ=0.6 และหาความผิดพลาดค้าง

ผลของการเพิ่มขั้วและศูนย์ต่อรูปร่างโลคัส พื้นฐาน

ออกแบบ PD ด้วยการชดเชยมุม กลาง

พลานต์ G(s)=1s(s+5)G(s) = \dfrac{1}{s(s+5)}G(s)=s(s+5)1​ ต้องการขั้วที่ ζ=0.5, ωn=10\zeta = 0.5,\ \omega_n = 10ζ=0.5, ωn​=10

ออกแบบ PI: คู่ขั้ว-ศูนย์ใกล้จุดกำเนิด กลาง

เพิ่ม PI ให้ G=1(s+1)(s+5)G = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}G=(s+1)(s+5)1​ ที่ K=20K = 20K=20 เพื่อกำจัดความผิดพลาดค้าง เลือก zIz_IzI​ อย่างไร

รูทโลคัสเมื่อ K ติดลบ และรูทโลคัสพารามิเตอร์ ขั้นสูง

ระบบ s2+as+10=0s^2 + as + 10 = 0s2+as+10=0 (มอเตอร์ที่ปรับการหน่วง aaa ได้ เช่น ด้วยเกนแทโค) ขั้วเดินอย่างไรเมื่อ aaa เพิ่มจาก 0

แล็บออกแบบ

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

คำถามที่พบบ่อย

พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}$ หา $K$ ที่ให้ $\zeta = 0.6$ และหาความผิดพลาดค้าง

พลานต์ $G(s) = \dfrac{1}{s(s+5)}$ ต้องการขั้วที่ $\zeta = 0.5,\ \omega_n = 10$

เพิ่ม PI ให้ $G = \dfrac{1}{(s+1)(s+5)}$ ที่ $K = 20$ เพื่อกำจัดความผิดพลาดค้าง เลือก $z_I$ อย่างไร

ระบบ $s^2 + as + 10 = 0$ (มอเตอร์ที่ปรับการหน่วง $a$ ได้ เช่น ด้วยเกนแทโค) ขั้วเดินอย่างไรเมื่อ $a$ เพิ่มจาก 0