หน้าแรก คลังความรู้ แคลคูลัสหลายตัวแปร วิศวกรรมเครื่องกล Multivariable & Vector Calculus ดูครบทุกส่วน · 13 หน้า 4 · ฟังก์ชันเวกเตอร์และแคลคูลัสเวกเตอร์ 5 · การประยุกต์ทางวิศวกรรม // บทที่ 24.11 · การประยุกต์ · Mechanical Engineering
แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมเครื่องกล: การนำความร้อน การไหลของของไหล จุดศูนย์กลางมวล และจาโคเบียนหุ่นยนต์
เครื่องกลคือวิชาที่ปริมาณทุกอย่างกระจายอยู่ในอวกาศ: อุณหภูมิในครีบระบายความร้อน ความเร็วของลมรอบใบพัด มวลที่กระจายในล้อช่วยแรง และมุมข้อต่อที่กำหนดตำแหน่งปลายแขนกล หน้านี้ใช้ gradient divergence curl และอินทิกรัลหลายชั้นกับโจทย์ของวิศวกรเครื่องกลโดยตรง: กฎของฟูริเยร์ q = −k∇T และการนำความร้อนในผนังและท่อ ความต่อเนื่องและความหมุนวนของของไหล การไหลศักย์รอบทรงกระบอกกับ Bernoulli โมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานของล้อช่วยแรง การขยายตัวทางความร้อนด้วยผลต่างรวม และจาโคเบียนที่เปลี่ยนความเร็วข้อต่อเป็นความเร็วปลายแขน พร้อมแล็บความร้อนที่ลาก isotherm และวัดฟลักซ์ได้
สรุปใน 30 วินาที
ความร้อน: q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T ∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0 ∮ q ⋅ n d S = 0 \oint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS = 0 ∮ q ⋅ n d S = 0 Q ˙ ′ = 2 π k ( T i − T o ) / ln ( r o / r i ) \dot Q' = 2\pi k(T_i - T_o)/\ln(r_o/r_i) Q ˙ ′ = 2 πk ( T i − T o ) / ln ( r o / r i ) ของไหล: ไม่บีบอัด ∇ ⋅ v = 0 \nabla\cdot\mathbf v = 0 ∇ ⋅ v = 0 ζ = ∇ × v \boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v ζ = ∇ × v v = ∇ ϕ \mathbf v = \nabla\phi v = ∇ ϕ ∇ 2 ϕ = 0 \nabla^2\phi = 0 ∇ 2 ϕ = 0 p + 1 2 ρ v 2 = ค่าคงที่ p + \tfrac12\rho v^2 = \text{ค่าคงที่} p + 2 1 ρ v 2 = ค่าคงที่ มวล: I = ∭ r ⊥ 2 ρ d V I = \iiint r_\perp^2\rho\,dV I = ∭ r ⊥ 2 ρ d V 1 2 m R 2 \tfrac12mR^2 2 1 m R 2 1 2 I ω 2 \tfrac12I\omega^2 2 1 I ω 2 I = I c + m d 2 I = I_c + md^2 I = I c + m d 2 แขนกล: v = J θ ˙ \mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta} v = J θ ˙ τ = J ⊤ F \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F τ = J ⊤ F det J = L 1 L 2 sin θ 2 \det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2 det J = L 1 L 2 sin θ 2 Δ A / A ≈ 2 α Δ T \Delta A/A \approx 2\alpha\Delta T Δ A / A ≈ 2 α Δ T
ระดับ พื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
การนำความร้อนและกฎของฟูริเยร์: q = −k∇T พื้นฐาน
ความร้อนไหลจากร้อนไปเย็นตามทิศที่อุณหภูมิลดเร็วที่สุด ซึ่งคือ − ∇ T -\nabla T − ∇ T เกรเดียนต์ ) กฎของฟูริเยร์เขียนข้อเท็จจริงนี้เป็นสมการ: ฟลักซ์ความร้อน (heat flux) q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T
K1 Fourier's law
q = − k ∇ T , ∣ q ∣ = k ∣ ∇ T ∣ , Q ˙ = ∬ S q ⋅ n d S \mathbf q = -k\,\nabla T,\qquad |\mathbf q| = k\,|\nabla T|,\qquad \dot Q = \iint_S\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS q = − k ∇ T , ∣ q ∣ = k ∣∇ T ∣ , Q ˙ = ∬ S q ⋅ n d S k k k Q ˙ \dot Q Q ˙ q = − k d T / d x q = -k\,dT/dx q = − k d T / d x
K2 Heat equation
ρ c ∂ T ∂ t = − ∇ ⋅ q + q ˙ g e n = k ∇ 2 T + q ˙ g e n , คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด: ∇ 2 T = 0 \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf q + \dot q_{gen} = k\,\nabla^2T + \dot q_{gen},\qquad \text{คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด: }\ \nabla^2T = 0 ρ c ∂ t ∂ T = − ∇ ⋅ q + q ˙ g e n = k ∇ 2 T + q ˙ g e n , คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด : ∇ 2 T = 0 ที่มา: ความร้อนสุทธิที่ไหลออกจากปริมาตรเล็กคือ ∯ q ⋅ n d S = ∭ ∇ ⋅ q d V \oiint\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS = \iiint\nabla\cdot\mathbf q\,dV ∬ q ⋅ n d S = ∭ ∇ ⋅ q d V α = k / ρ c \alpha = k/\rho c α = k / ρ c ρ c \rho c ρ c
K3 Mean value property and maximum principle
∇ 2 T = 0 ⇒ T ( x 0 ) = 1 2 π R ∮ ∣ x − x 0 ∣ = R T d s , T max , T min อยู่บนขอบเสมอ \nabla^2T = 0\ \Rightarrow\ T(\mathbf x_0) = \frac{1}{2\pi R}\oint_{|\mathbf x - \mathbf x_0| = R}T\,ds,\qquad T_{\max},\ T_{\min}\ \text{อยู่บนขอบเสมอ} ∇ 2 T = 0 ⇒ T ( x 0 ) = 2 π R 1 ∮ ∣ x − x 0 ∣ = R T d s , T m a x , T m i n อยู่บนขอบเสมอ อุณหภูมิที่จุดหนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยบนวงกลมรอบมัน (ภายใต้เงื่อนไขอยู่ในบริเวณ) จึงไม่มีจุดร้อนสุดหรือเย็นสุดภายในแผ่น ตรวจคำตอบเชิงตัวเลขได้ง่าย
แล็บการนำความร้อนในแผ่น
เลือกสถานการณ์แล้วลากจุด P: สีแสดงอุณหภูมิ เส้นบางคือ isotherm ลูกศรดำคือฟลักซ์ความร้อน q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T ∮ q ⋅ n d s \oint\mathbf q\cdot\mathbf n\,ds ∮ q ⋅ n d s ∬ ∇ ⋅ q d A = ∬ − k ∇ 2 T d A \iint\nabla\cdot\mathbf q\,dA = \iint -k\nabla^2T\,dA ∬ ∇ ⋅ q d A = ∬ − k ∇ 2 T d A ∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0 k k k q \mathbf q q
120°C 90°C 70°C 55°C ท่อร้อน กฎการนำความร้อนของฟูริเยร์ Fourier's law q = −k ∇T [W/m²] เส้นเขียว = ทิศ q (ร้อน → เย็น) วงกลมน้ำเงิน = isotherm T คงที่ q ตั้งฉากกับ isotherm เสมอ เพราะ ∇T ตั้งฉากกับเส้นชั้น ฟลักซ์ความร้อน q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T
ตัวอย่าง K-1 · ผนังอิฐ (ภาระความเย็น) ผนังอิฐหนา 0.20 m (k = 0.72 k = 0.72 k = 0.72 เปิดสถานการณ์ผนังในแล็บ
ผนังใหญ่เทียบกับความหนา อุณหภูมิเปลี่ยนแค่แนวความหนา (1 มิติ): T ( x ) = 35 − 50 x T(x) = 35 - 50x T ( x ) = 35 − 50 x x x x d T d x = − 50 \dfrac{dT}{dx} = -50 d x d T = − 50
q = − k d T d x = − 0.72 ( − 50 ) = 36 q = -k\dfrac{dT}{dx} = -0.72(-50) = 36 q = − k d x d T = − 0.72 ( − 50 ) = 36 + x +x + x
Q ˙ = q A = 36 × 12 = 432 \dot Q = qA = 36\times12 = 432 Q ˙ = q A = 36 × 12 = 432 ∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0
ถ้าเปลี่ยนเป็นฉนวนโฟม k = 0.04 k = 0.04 k = 0.04 q = 2.0 q = 2.0 q = 2.0
q = 36 q = 36 q = 36 Q ˙ = 432 \dot Q = 432 Q ˙ = 432
ตัวอย่าง K-2 · ท่อไอน้ำ (การนำความร้อนในแนวรัศมี) ท่อเหล็กกล้าผนังหนา r i = 0.10 r_i = 0.10 r i = 0.10 r o = 0.50 r_o = 0.50 r o = 0.50 k = 50 k = 50 k = 50 T ( r ) T(r) T ( r ) เปิดในแล็บ
สมมาตรรอบแกน: T = T ( r ) T = T(r) T = T ( r ) 1 r d d r ( r d T d r ) = 0 \dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dT}{dr}\right) = 0 r 1 d r d ( r d r d T ) = 0 r T ′ = C 1 r\,T' = C_1 r T ′ = C 1 T = C 1 ln r + C 2 T = C_1\ln r + C_2 T = C 1 ln r + C 2
เงื่อนไขขอบ: T ( r i ) = 150 , T ( r o ) = 25 T(r_i) = 150,\ T(r_o) = 25 T ( r i ) = 150 , T ( r o ) = 25 T ( r ) = 150 − 125 ln ( r / r i ) ln ( r o / r i ) T(r) = 150 - 125\dfrac{\ln(r/r_i)}{\ln(r_o/r_i)} T ( r ) = 150 − 125 ln ( r o / r i ) ln ( r / r i ) 150 − 77.67 ln ( 10 r ) 150 - 77.67\ln(10r) 150 − 77.67 ln ( 10 r )
ฟลักซ์ q r = − k d T d r = k ⋅ 125 r ln ( r o / r i ) = 3883 r q_r = -k\dfrac{dT}{dr} = \dfrac{k\cdot125}{r\ln(r_o/r_i)} = \dfrac{3883}{r} q r = − k d r d T = r ln ( r o / r i ) k ⋅ 125 = r 3883 ln 5 = 1.6094 \ln5 = 1.6094 ln 5 = 1.6094
อัตราความร้อนต่อเมตรความยาว: Q ˙ ′ = q r ⋅ 2 π r = 2 π k ( T i − T o ) ln ( r o / r i ) = 2 π ( 50 ) ( 125 ) 1.6094 = 24 400 \dot Q' = q_r\cdot2\pi r = \dfrac{2\pi k(T_i - T_o)}{\ln(r_o/r_i)} = \dfrac{2\pi(50)(125)}{1.6094} = 24\,400 Q ˙ ′ = q r ⋅ 2 π r = ln ( r o / r i ) 2 πk ( T i − T o ) = 1.6094 2 π ( 50 ) ( 125 ) = 24 400 คงที่ทุกรัศมี เพราะความร้อนที่ผ่านผิวทรงกระบอกแต่ละชั้นเท่ากัน (ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์: ∇ ⋅ q = 0 \nabla\cdot\mathbf q = 0 ∇ ⋅ q = 0
T ( r ) = 150 − 125 ln ( 10 r ) / ln 5 T(r) = 150 - 125\ln(10r)/\ln5 T ( r ) = 150 − 125 ln ( 10 r ) / ln 5 Q ˙ ′ ≈ 24.4 \dot Q' \approx 24.4 Q ˙ ′ ≈ 24.4
ตัวอย่าง K-3 · อุณหภูมิกลางแผ่นจากสมบัติค่าเฉลี่ย
แผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขอบบน 100 °C ขอบอื่นสามด้าน 20 °C ในสภาวะคงตัว หาอุณหภูมิที่จุดกลางแผ่น ตรวจในแล็บ (P = กลางแผ่น)
∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0 θ = T − 20 \theta = T - 20 θ = T − 20 θ = 80 \theta = 80 θ = 80
วางสำเนาของปัญหานี้สี่ชุด หมุนไปทีละ 90° แล้วรวมกัน จะได้ปัญหาที่ ทุกขอบ เป็น 80 K ซึ่งมีคำตอบ θ = 80 \theta = 80 θ = 80 θ ( center ) = 80 / 4 = 20 \theta(\text{center}) = 80/4 = 20 θ ( center ) = 80/4 = 20
อุณหภูมิกลางแผ่น T = 20 + 20 = 40 T = 20 + 20 = 40 T = 20 + 20 = 40 1 4 ( 100 + 20 + 20 + 20 ) = 40 \tfrac14(100 + 20 + 20 + 20) = 40 4 1 ( 100 + 20 + 20 + 20 ) = 40
ตรวจในแล็บ: ตั้ง P ที่ ( 0.5 , 0.5 ) (0.5, 0.5) ( 0.5 , 0.5 ) T = 40.0 T = 40.0 T = 40.0 ∇ 2 T ≈ 0 \nabla^2T \approx 0 ∇ 2 T ≈ 0
T center = 40 T_{\text{center}} = 40 T center = 40
ของไหล: ความต่อเนื่อง ความหมุนวน และการไหลรอบทรงกระบอก กลาง
สนามความเร็ว v ( x , y , z , t ) \mathbf v(x, y, z, t) v ( x , y , z , t ) สนามเวกเตอร์ ) divergence บอกว่าของไหลถูกบีบอัดหรือไม่ curl บอกว่ามีการหมุนวนหรือไม่ ของไหลอุดมคติ (ไม่หนืด ไม่บีบอัด ไม่หมุนวน) เป็นกรณีที่คำตอบทั้งหมดมาจากสมการลาปลาซ: v = ∇ ϕ \mathbf v = \nabla\phi v = ∇ ϕ ∇ 2 ϕ = 0 \nabla^2\phi = 0 ∇ 2 ϕ = 0
K4 Continuity equation
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 → ρ คงที่ ∇ ⋅ v = 0 \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0\ \ \xrightarrow{\ \rho\text{ คงที่}\ }\ \ \nabla\cdot\mathbf v = 0 ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 ρ คงที่ ∇ ⋅ v = 0 การอนุรักษ์มวล · ฟลักซ์เข้า = ฟลักซ์ออกของปริมาตรใด ๆ · ท่อหน้าตัดเปลี่ยน: A 1 v 1 = A 2 v 2 A_1v_1 = A_2v_2 A 1 v 1 = A 2 v 2
K5 Vorticity, circulation, potential flow
ζ = ∇ × v , Γ = ∮ C v ⋅ d l = ∬ S ζ ⋅ n d S , ζ = 0 ⇒ v = ∇ ϕ , ∇ 2 ϕ = 0 \boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v,\qquad \Gamma = \oint_C\mathbf v\cdot d\mathbf l = \iint_S\boldsymbol\zeta\cdot\mathbf n\,dS,\qquad \boldsymbol\zeta = \mathbf 0\ \Rightarrow\ \mathbf v = \nabla\phi,\ \nabla^2\phi = 0 ζ = ∇ × v , Γ = ∮ C v ⋅ d l = ∬ S ζ ⋅ n d S , ζ = 0 ⇒ v = ∇ ϕ , ∇ 2 ϕ = 0 ความหมุนวนคือสองเท่าของความเร็วเชิงมุมของอนุภาค · Γ \Gamma Γ L ′ = ρ U Γ L' = \rho U\Gamma L ′ = ρ U Γ
K6 Bernoulli equation
p + 1 2 ρ ∣ v ∣ 2 + ρ g z = ค่าคงที่ตามเส้นกระแส (หรือทั่วสนามถ้า irrotational) , C p = p − p ∞ 1 2 ρ U 2 = 1 − ∣ v ∣ 2 U 2 p + \tfrac12\rho|\mathbf v|^2 + \rho gz = \text{ค่าคงที่ตามเส้นกระแส (หรือทั่วสนามถ้า irrotational)},\qquad C_p = \frac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} = 1 - \frac{|\mathbf v|^2}{U^2} p + 2 1 ρ ∣ v ∣ 2 + ρ g z = ค่าคงที่ตามเส้นกระแส ( หรือทั่วสนามถ้า irrotational) , C p = 2 1 ρ U 2 p − p ∞ = 1 − U 2 ∣ v ∣ 2 ใช้กับการไหลคงตัว ไม่หนืด ไม่บีบอัด · ความดันลดเมื่อความเร็วเพิ่ม (ท่อเวนทูรี ปีก) · สัมประสิทธิ์ความดัน C p C_p C p
แล็บด้านล่างใช้สนามความเร็วอุดมคติรอบทรงกระบอก (ปรับให้รัศมี 1 และความเร็วไกล 1) เปิดสีพื้นตามขนาด ∣ v ∣ |\mathbf v| ∣ v ∣
ตัวอย่าง K-4 · การไหลรอบทรงกระบอก ลมความเร็ว U = 2 U = 2 U = 2 a = 0.05 a = 0.05 a = 0.05 ρ = 1.2 \rho = 1.2 ρ = 1.2 เปิดที่ยอดทรงกระบอก
สนามความเร็ว (พิกัดไร้มิติ a = 1 , U = 1 a = 1,\ U = 1 a = 1 , U = 1 v x = 1 − x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 , v y = − 2 x y ( x 2 + y 2 ) 2 v_x = 1 - \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2},\ v_y = -\dfrac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} v x = 1 − ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 − y 2 , v y = − ( x 2 + y 2 ) 2 2 x y ∇ ⋅ v = 0 \nabla\cdot\mathbf v = 0 ∇ ⋅ v = 0 ∇ × v = 0 \nabla\times\mathbf v = 0 ∇ × v = 0
ที่ยอด ( 0 , a ) (0, a) ( 0 , a ) v x = U ( 1 + 1 ) = 2 U = 4 v_x = U(1 + 1) = 2U = 4 v x = U ( 1 + 1 ) = 2 U = 4 v y = 0 v_y = 0 v y = 0 2 U 2U 2 U
จุดหยุดนิ่งหน้าเสา ( − a , 0 ) (-a, 0) ( − a , 0 ) v = 0 \mathbf v = \mathbf 0 v = 0 p − p ∞ = 1 2 ρ U 2 = 1 2 ( 1.2 ) ( 4 ) = 2.4 p - p_\infty = \tfrac12\rho U^2 = \tfrac12(1.2)(4) = 2.4 p − p ∞ = 2 1 ρ U 2 = 2 1 ( 1.2 ) ( 4 ) = 2.4
ที่ยอด: p − p ∞ = 1 2 ρ ( U 2 − ( 2 U ) 2 ) = − 3 2 ρ U 2 = − 1.5 ( 1.2 ) ( 4 ) = − 7.2 p - p_\infty = \tfrac12\rho(U^2 - (2U)^2) = -\tfrac32\rho U^2 = -1.5(1.2)(4) = -7.2 p − p ∞ = 2 1 ρ ( U 2 − ( 2 U ) 2 ) = − 2 3 ρ U 2 = − 1.5 ( 1.2 ) ( 4 ) = − 7.2 C p = − 3 C_p = -3 C p = − 3
v top = 4 v_{\text{top}} = 4 v top = 4 p stag − p ∞ = + 2.4 p_{\text{stag}} - p_\infty = +2.4 p stag − p ∞ = + 2.4 p top − p ∞ = − 7.2 p_{\text{top}} - p_\infty = -7.2 p top − p ∞ = − 7.2
ตัวอย่าง K-5 · พายุหมุน (Rankine vortex) แบบจำลองพายุหมุน: ภายในแกนรัศมี R = 50 R = 50 R = 50 v = ω r v = \omega r v = ω r v = Γ / ( 2 π r ) v = \Gamma/(2\pi r) v = Γ/ ( 2 π r ) r = R r = R r = R Γ \Gamma Γ r = 100 r = 100 r = 100
ภายใน: ω = v max / R = 60 / 50 = 1.2 \omega = v_{\max}/R = 60/50 = 1.2 ω = v m a x / R = 60/50 = 1.2 ∇ × v = 2 ω = 2.4 \nabla\times\mathbf v = 2\omega = 2.4 ∇ × v = 2 ω = 2.4
ที่ขอบแกน: Γ = ∮ v ⋅ d l = v max ⋅ 2 π R = 60 × 2 π × 50 = 18 850 \Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l = v_{\max}\cdot2\pi R = 60\times2\pi\times50 = 18\,850 Γ = ∮ v ⋅ d l = v m a x ⋅ 2 π R = 60 × 2 π × 50 = 18 850 ∬ ζ d A = 2.4 × π R 2 = 18 850 \iint\zeta\,dA = 2.4\times\pi R^2 = 18\,850 ∬ ζ d A = 2.4 × π R 2 = 18 850
ภายนอก: Γ \Gamma Γ v ( 100 ) = Γ 2 π r = 18 850 2 π ( 100 ) = 30 v(100) = \dfrac{\Gamma}{2\pi r} = \dfrac{18\,850}{2\pi(100)} = 30 v ( 100 ) = 2 π r Γ = 2 π ( 100 ) 18 850 = 30
ความดัน: ภายนอกเป็นการไหลศักย์ใช้ Bernoulli ได้ เมื่อเทียบกับไกล: p ∞ − p ( 100 ) = 1 2 ρ ( 30 ) 2 = 540 p_\infty - p(100) = \tfrac12\rho(30)^2 = 540 p ∞ − p ( 100 ) = 2 1 ρ ( 30 ) 2 = 540 ρ = 1.2 \rho = 1.2 ρ = 1.2
ζ = 2.4 \zeta = 2.4 ζ = 2.4 Γ = 1.885 × 10 4 \Gamma = 1.885\times10^4 Γ = 1.885 × 1 0 4 v ( 100 m ) = 30 v(100\text{ m}) = 30 v ( 100 m ) = 30
จุดศูนย์กลางมวล โมเมนต์ความเฉื่อย และพลังงานของล้อช่วยแรง กลาง
อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้นของบทก่อน (M12, M13 ) เป็นเครื่องมือประจำของวิศวกรเครื่องกลสำหรับชิ้นส่วนหมุน สมการการหมุน τ = I α \tau = I\alpha τ = I α 1 2 I ω 2 \tfrac12I\omega^2 2 1 I ω 2 I I I ∭ r ⊥ 2 ρ d V \iiint r_\perp^2\rho\,dV ∭ r ⊥ 2 ρ d V I = I c + m d 2 I = I_c + md^2 I = I c + m d 2
K7 Moments of inertia (standard shapes)
I แผ่นสี่เหลี่ยม = m ( a 2 + b 2 ) 12 , I จานตัน = 1 2 m R 2 , I ทรงกลมตัน = 2 5 m R 2 , I = I c + m d 2 , E k = 1 2 I ω 2 I_{\text{แผ่นสี่เหลี่ยม}} = \frac{m(a^2 + b^2)}{12},\quad I_{\text{จานตัน}} = \tfrac12mR^2,\quad I_{\text{ทรงกลมตัน}} = \tfrac25mR^2,\quad I = I_c + md^2,\quad E_k = \tfrac12I\omega^2 I แผ่นสี่เหลี่ยม = 12 m ( a 2 + b 2 ) , I จานตัน = 2 1 m R 2 , I ทรงกลมตัน = 5 2 m R 2 , I = I c + m d 2 , E k = 2 1 I ω 2 ที่มา: ตัวอย่าง M-12, M-13 ในบทอินทิกรัลหลายชั้น และ K-6 ข้างล่าง · แกนผ่านจุดศูนย์กลางมวลตั้งฉากกับแผ่น · วงแหวนบางรัศมี R R R m R 2 mR^2 m R 2
ตัวอย่าง K-6 · แผ่นเหล็กและล้อช่วยแรง (ก) แผ่นเหล็กกล้า 0.40 × 0.30 0.40\times0.30 0.40 × 0.30 ρ = 7850 \rho = 7850 ρ = 7850 I I I I I I ตรวจ (ก) ด้วยแล็บ ρ = 1
(ก) I z = ρ s ∬ ( x 2 + y 2 ) d A I_z = \rho_s\iint(x^2 + y^2)\,dA I z = ρ s ∬ ( x 2 + y 2 ) d A ρ s \rho_s ρ s = ρ s ( a 3 b 12 + a b 3 12 ) = m ( a 2 + b 2 ) 12 = \rho_s\left(\dfrac{a^3b}{12} + \dfrac{ab^3}{12}\right) = \dfrac{m(a^2 + b^2)}{12} = ρ s ( 12 a 3 b + 12 a b 3 ) = 12 m ( a 2 + b 2 )
m = 7850 × 0.40 × 0.30 × 0.010 = 9.42 m = 7850\times0.40\times0.30\times0.010 = 9.42 m = 7850 × 0.40 × 0.30 × 0.010 = 9.42 I z = 9.42 ( 0.40 2 + 0.30 2 ) 12 = 9.42 × 0.25 12 = 0.1963 I_z = \dfrac{9.42(0.40^2 + 0.30^2)}{12} = \dfrac{9.42\times0.25}{12} = 0.1963 I z = 12 9.42 ( 0.4 0 2 + 0.3 0 2 ) = 12 9.42 × 0.25 = 0.1963
(ข) m = ρ π R 2 h = 7850 π ( 0.25 ) 2 ( 0.05 ) = 77.07 m = \rho\pi R^2h = 7850\pi(0.25)^2(0.05) = 77.07 m = ρ π R 2 h = 7850 π ( 0.25 ) 2 ( 0.05 ) = 77.07 I = 1 2 m R 2 = 1 2 ( 77.07 ) ( 0.0625 ) = 2.408 I = \tfrac12mR^2 = \tfrac12(77.07)(0.0625) = 2.408 I = 2 1 m R 2 = 2 1 ( 77.07 ) ( 0.0625 ) = 2.408
ω = 3000 × 2 π / 60 = 314.16 \omega = 3000\times2\pi/60 = 314.16 ω = 3000 × 2 π /60 = 314.16 E k = 1 2 I ω 2 = 1 2 ( 2.408 ) ( 314.16 ) 2 = 1.188 × 10 5 E_k = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12(2.408)(314.16)^2 = 1.188\times10^{5} E k = 2 1 I ω 2 = 2 1 ( 2.408 ) ( 314.16 ) 2 = 1.188 × 1 0 5
(ก) I z = 0.196 I_z = 0.196 I z = 0.196 I = 2.41 I = 2.41 I = 2.41 E k = 119 E_k = 119 E k = 119
ในแล็บ ตั้ง f = 1 f = 1 f = 1 0.4 × 0.3 0.4\times0.3 0.4 × 0.3 M = 0.12 M = 0.12 M = 0.12 J = I x + I y = 0.12 × 0.25 / 12 = 0.0025 J = I_x + I_y = 0.12\times0.25/12 = 0.0025 J = I x + I y = 0.12 × 0.25/12 = 0.0025 m ( a 2 + b 2 ) / 12 m(a^2+b^2)/12 m ( a 2 + b 2 ) /12
อนุพันธ์ย่อยในเทอร์โมไดนามิกส์และการขยายตัวทางความร้อน พื้นฐาน
สมบัติของสารแสดงด้วยอนุพันธ์ย่อยของสมการสถานะ เช่นสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงปริมาตร β = 1 V ( ∂ V ∂ T ) P \beta = \tfrac1V\left(\tfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P β = V 1 ( ∂ T ∂ V ) P κ T = − 1 V ( ∂ V ∂ P ) T \kappa_T = -\tfrac1V\left(\tfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T κ T = − V 1 ( ∂ P ∂ V ) T อนุพันธ์ย่อย และการขยายตัวของชิ้นส่วนด้วยอุณหภูมิใช้ผลต่างรวม
K8 Thermal expansion (total differential)
Δ L = α L Δ T , A = L W ⇒ Δ A A ≈ 2 α Δ T , Δ V V ≈ 3 α Δ T ; แก๊สอุดมคติ: β = 1 T , κ T = 1 P \Delta L = \alpha L\,\Delta T,\qquad A = LW \Rightarrow \frac{\Delta A}{A} \approx 2\alpha\Delta T,\qquad \frac{\Delta V}{V} \approx 3\alpha\Delta T;\qquad \text{แก๊สอุดมคติ: } \beta = \frac1T,\ \ \kappa_T = \frac1P Δ L = αL Δ T , A = L W ⇒ A Δ A ≈ 2 α Δ T , V Δ V ≈ 3 α Δ T ; แก๊สอุดมคติ : β = T 1 , κ T = P 1 d A = W d L + L d W dA = W\,dL + L\,dW d A = W d L + L d W α ≈ 12 × 10 − 6 \alpha \approx 12\times10^{-6} α ≈ 12 × 1 0 − 6 23 × 10 − 6 23\times10^{-6} 23 × 1 0 − 6 10 × 10 − 6 10\times10^{-6} 10 × 1 0 − 6
ตัวอย่าง K-7 · รางเหล็กและแผ่นเหล็ก (ก) รางเหล็กยาว 10 m เมื่อร้อนขึ้น 80 K ยาวขึ้นเท่าไร (ข) แผ่นเหล็ก 1 × 1 m ขยายพื้นที่กี่ % (ค) β \beta β κ T \kappa_T κ T
(ก) Δ L = α L Δ T = 12 × 10 − 6 × 10 × 80 = 9.6 × 10 − 3 \Delta L = \alpha L\Delta T = 12\times10^{-6}\times10\times80 = 9.6\times10^{-3} Δ L = αL Δ T = 12 × 1 0 − 6 × 10 × 80 = 9.6 × 1 0 − 3
(ข) d A = W d L + L d W = 2 L ⋅ α L d T dA = W\,dL + L\,dW = 2L\cdot\alpha L\,dT d A = W d L + L d W = 2 L ⋅ αL d T Δ A / A = 2 α Δ T = 2 ( 12 × 10 − 6 ) ( 80 ) = 1.92 × 10 − 3 \Delta A/A = 2\alpha\Delta T = 2(12\times10^{-6})(80) = 1.92\times10^{-3} Δ A / A = 2 α Δ T = 2 ( 12 × 1 0 − 6 ) ( 80 ) = 1.92 × 1 0 − 3 1920 1920 1920
(ค) จาก P V = n R T PV = nRT P V = n RT ( ∂ V ∂ T ) P = n R P = V T \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \dfrac{nR}{P} = \dfrac VT ( ∂ T ∂ V ) P = P n R = T V β = 1 T = 3.33 × 10 − 3 \beta = \dfrac1T = 3.33\times10^{-3} β = T 1 = 3.33 × 1 0 − 3 ( ∂ V ∂ P ) T = − V P \left(\dfrac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -\dfrac{V}{P} ( ∂ P ∂ V ) T = − P V κ T = 1 P = 9.87 × 10 − 6 \kappa_T = \dfrac1P = 9.87\times10^{-6} κ T = P 1 = 9.87 × 1 0 − 6
(ก) 9.6 mm · (ข) 0.192% · (ค) β = 3.33 × 10 − 3 \beta = 3.33\times10^{-3} β = 3.33 × 1 0 − 3 κ T = 9.87 × 10 − 6 \kappa_T = 9.87\times10^{-6} κ T = 9.87 × 1 0 − 6
จาโคเบียนของแขนกล: ความเร็วและแรงบิดข้อต่อ ขั้นสูง
ตำแหน่งปลายแขนกลเป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรของมุมข้อต่อ x = f ( θ ) \mathbf x = \mathbf f(\boldsymbol\theta) x = f ( θ ) x ˙ = J θ ˙ \dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta} x ˙ = J θ ˙ J = ∂ f / ∂ θ \mathbf J = \partial\mathbf f/\partial\boldsymbol\theta J = ∂ f / ∂ θ P19 ) และจากหลักงานเสมือน แรงที่ปลายแขน F \mathbf F F τ = J ⊤ F \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F τ = J ⊤ F เวกเตอร์ในแขนกล
K9 Two-link planar arm
x = L 1 c 1 + L 2 c 12 , y = L 1 s 1 + L 2 s 12 ; J = ( − L 1 s 1 − L 2 s 12 − L 2 s 12 L 1 c 1 + L 2 c 12 L 2 c 12 ) , det J = L 1 L 2 sin θ 2 x = L_1c_1 + L_2c_{12},\ \ y = L_1s_1 + L_2s_{12};\quad \mathbf J = \begin{pmatrix} -L_1s_1 - L_2s_{12} & -L_2s_{12}\\ L_1c_1 + L_2c_{12} & L_2c_{12}\end{pmatrix},\quad \det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2 x = L 1 c 1 + L 2 c 12 , y = L 1 s 1 + L 2 s 12 ; J = ( − L 1 s 1 − L 2 s 12 L 1 c 1 + L 2 c 12 − L 2 s 12 L 2 c 12 ) , det J = L 1 L 2 sin θ 2 c 1 = cos θ 1 , s 12 = sin ( θ 1 + θ 2 ) c_1 = \cos\theta_1,\ s_{12} = \sin(\theta_1 + \theta_2) c 1 = cos θ 1 , s 12 = sin ( θ 1 + θ 2 ) x ˙ = J θ ˙ \dot{\mathbf x} = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta} x ˙ = J θ ˙ τ = J ⊤ F \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F τ = J ⊤ F det J = 0 \det\mathbf J = 0 det J = 0 θ 2 = 0 , π \theta_2 = 0,\pi θ 2 = 0 , π จุดเอกฐาน (singularity) ปลายแขนเคลื่อนไปตามแนวแขนไม่ได้ · ระวังหน่วย rad
ตัวอย่าง K-8 · จาโคเบียนแขนกล 2 ข้อต่อ แขนกล L 1 = 0.5 L_1 = 0.5 L 1 = 0.5 L 2 = 0.4 L_2 = 0.4 L 2 = 0.4 θ 1 = 30 ∘ , θ 2 = 60 ∘ \theta_1 = 30^\circ,\ \theta_2 = 60^\circ θ 1 = 3 0 ∘ , θ 2 = 6 0 ∘ θ ˙ 1 = 1 \dot\theta_1 = 1 θ ˙ 1 = 1 θ ˙ 2 = 0.5 \dot\theta_2 = 0.5 θ ˙ 2 = 0.5 F = ( 0 , − 10 ) \mathbf F = (0, -10) F = ( 0 , − 10 ) det J \det\mathbf J det J ดูแผนที่ (θ₁,θ₂) → (x,y) ในแล็บ Jacobian
ตำแหน่ง: x = 0.5 cos 30 ∘ + 0.4 cos 90 ∘ = 0.4330 x = 0.5\cos30^\circ + 0.4\cos90^\circ = 0.4330 x = 0.5 cos 3 0 ∘ + 0.4 cos 9 0 ∘ = 0.4330 y = 0.5 sin 30 ∘ + 0.4 sin 90 ∘ = 0.25 + 0.4 = 0.650 y = 0.5\sin30^\circ + 0.4\sin90^\circ = 0.25 + 0.4 = 0.650 y = 0.5 sin 3 0 ∘ + 0.4 sin 9 0 ∘ = 0.25 + 0.4 = 0.650
J = ( − 0.5 ( 0.5 ) − 0.4 ( 1 ) − 0.4 ( 1 ) 0.5 ( 0.866 ) + 0.4 ( 0 ) 0.4 ( 0 ) ) = ( − 0.650 − 0.400 0.433 0 ) \mathbf J = \begin{pmatrix}-0.5(0.5) - 0.4(1) & -0.4(1)\\ 0.5(0.866) + 0.4(0) & 0.4(0)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.650 & -0.400\\ 0.433 & 0\end{pmatrix} J = ( − 0.5 ( 0.5 ) − 0.4 ( 1 ) 0.5 ( 0.866 ) + 0.4 ( 0 ) − 0.4 ( 1 ) 0.4 ( 0 ) ) = ( − 0.650 0.433 − 0.400 0 )
det J = ( − 0.650 ) ( 0 ) − ( − 0.400 ) ( 0.433 ) = 0.1732 \det\mathbf J = (-0.650)(0) - (-0.400)(0.433) = 0.1732 det J = ( − 0.650 ) ( 0 ) − ( − 0.400 ) ( 0.433 ) = 0.1732 L 1 L 2 sin 60 ∘ = 0.2 × 0.866 L_1L_2\sin60^\circ = 0.2\times0.866 L 1 L 2 sin 6 0 ∘ = 0.2 × 0.866
ความเร็วปลาย: x ˙ = J ( 1 0.5 ) = ( − 0.650 − 0.200 0.433 ) = ( − 0.850 , 0.433 ) \dot{\mathbf x} = \mathbf J\begin{pmatrix}1\\0.5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.650 - 0.200\\ 0.433\end{pmatrix} = (-0.850,\ 0.433) x ˙ = J ( 1 0.5 ) = ( − 0.650 − 0.200 0.433 ) = ( − 0.850 , 0.433 ) 0.954 0.954 0.954
แรงบิด: τ = J ⊤ F = ( − 0.650 0.433 − 0.400 0 ) ( 0 − 10 ) = ( − 4.33 , 0 ) \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F = \begin{pmatrix}-0.650 & 0.433\\ -0.400 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\-10\end{pmatrix} = (-4.33,\ 0) τ = J ⊤ F = ( − 0.650 − 0.400 0.433 0 ) ( 0 − 10 ) = ( − 4.33 , 0 ) θ 1 + θ 2 = 90 ∘ \theta_1 + \theta_2 = 90^\circ θ 1 + θ 2 = 9 0 ∘ τ 2 = 0 \tau_2 = 0 τ 2 = 0 τ 1 = 10 × 0.433 = 4.33 \tau_1 = 10\times0.433 = 4.33 τ 1 = 10 × 0.433 = 4.33
ปลายแขน ( 0.433 , 0.650 ) (0.433, 0.650) ( 0.433 , 0.650 ) x ˙ = ( − 0.850 , 0.433 ) \dot{\mathbf x} = (-0.850, 0.433) x ˙ = ( − 0.850 , 0.433 ) det J = 0.1732 \det\mathbf J = 0.1732 det J = 0.1732 τ = ( − 4.33 , 0 ) \boldsymbol\tau = (-4.33, 0) τ = ( − 4.33 , 0 )
แล็บจาโคเบียนด้านบนถูกตั้งเป็นแผนที่ ( u , v ) = ( θ 1 , θ 2 ) ↦ ( x , y ) (u, v) = (\theta_1, \theta_2) \mapsto (x, y) ( u , v ) = ( θ 1 , θ 2 ) ↦ ( x , y ) u u u θ 1 \theta_1 θ 1 v v v θ 2 \theta_2 θ 2 det J \det J det J L 1 L 2 sin v L_1L_2\sin v L 1 L 2 sin v v v v
สรุปเครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์เครื่องกล พื้นฐาน
ปัญหาเครื่องกล เครื่องมือ ผลลัพธ์
การนำความร้อนในผนัง ท่อ ครีบ ∇ T \nabla T ∇ T ∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0 q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T Q ˙ ′ \dot Q' Q ˙ ′ การไหลรอบวัตถุ div, curl, potential, Bernoulli v \mathbf v v p p p C p C_p C p กระแสน้ำวนและแรงยก การหมุนเวียน Γ = ∮ v ⋅ d l \Gamma = \oint\mathbf v\cdot d\mathbf l Γ = ∮ v ⋅ d l ความหมุนวน แรงยก ρ U Γ \rho U\Gamma ρ U Γ ชิ้นส่วนหมุน ล้อช่วยแรง อินทิกรัลสามชั้น ∭ r 2 ρ d V \iiint r^2\rho\,dV ∭ r 2 ρ d V I I I E k = 1 2 I ω 2 E_k = \tfrac12I\omega^2 E k = 2 1 I ω 2 ขยายตัวทางความร้อน ความเค้นความร้อน ผลต่างรวม Δ L \Delta L Δ L Δ A / A \Delta A/A Δ A / A หุ่นยนต์ แขนกล เมทริกซ์จาโคเบียน v = J θ ˙ \mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta} v = J θ ˙ τ = J ⊤ F \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F τ = J ⊤ F ปรับพารามิเตอร์ตัวควบคุม / หาเส้นโค้งสอบเทียบ gradient descent, กำลังสองน้อยสุด บทค่าสุดขีด · ระบบควบคุม ความเค้นและความเครียดในวัสดุ ดีเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์ ∇ ⋅ σ + f = 0 \nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf f = \mathbf 0 ∇ ⋅ σ + f = 0 สมดุลภายใน (วิชากลศาสตร์วัสดุ)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน
ลืมเครื่องหมายลบใน q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T · ความร้อนไหลสวนทาง gradient (ลงจากร้อนไปเย็น)ใช้ ∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0 · ตรวจเงื่อนไขก่อนเสมอใช้ Bernoulli ข้ามเส้นกระแสโดยการไหลมีความหมุนวน · ค่าคงที่เปลี่ยนตามเส้นกระแส เว้นแต่การไหลเป็น irrotational ทั้งสนามใช้รอบต่อนาที (rpm) แทน rad/s ใน 1 2 I ω 2 \tfrac12I\omega^2 2 1 I ω 2 · ต้องแปลง ω = 2 π n / 60 \omega = 2\pi n/60 ω = 2 πn /60 ใช้องศากับจาโคเบียน · ∂ / ∂ θ \partial/\partial\theta ∂ / ∂ θ π / 180 \pi/180 π /180 ลืมจุดเอกฐาน · เมื่อ det J ≈ 0 \det\mathbf J \approx 0 det J ≈ 0 J − 1 \mathbf J^{-1} J − 1
ไปต่อที่วิศวกรรมโยธา ที่ใช้อินทิกรัลสองชั้นกับปริมาตรดิน คุณสมบัติหน้าตัด และสมการลาปลาซกับการซึมของน้ำ
คำถามที่พบบ่อย กฎของฟูริเยร์ (Fourier's law) คืออะไร เกี่ยวกับ gradient อย่างไร? กฎของฟูริเยร์บอกว่าความร้อนไหลจากร้อนไปเย็น ด้วยฟลักซ์ความร้อน q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T k k k ∇ T \nabla T ∇ T ∣ q ∣ = k ∣ ∇ T ∣ |\mathbf q| = k|\nabla T| ∣ q ∣ = k ∣∇ T ∣ q = 36 q = 36 q = 36
สมการความร้อน (heat equation) กับสมการลาปลาซต่างกันอย่างไร? สมการความร้อน ρ c ∂ T / ∂ t = k ∇ 2 T + q ˙ g e n \rho c\,\partial T/\partial t = k\nabla^2T + \dot q_{gen} ρ c ∂ T / ∂ t = k ∇ 2 T + q ˙ g e n ∂ T / ∂ t = 0 \partial T/\partial t = 0 ∂ T / ∂ t = 0 q ˙ g e n = 0 \dot q_{gen} = 0 q ˙ g e n = 0 ∇ 2 T = 0 \nabla^2T = 0 ∇ 2 T = 0 ∇ ⋅ q = 0 \nabla\cdot\mathbf q = 0 ∇ ⋅ q = 0
สมการความต่อเนื่อง (continuity equation) ของของไหลคืออะไร? เป็นการอนุรักษ์มวลในรูปอนุพันธ์ ∂ ρ / ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 \partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0 ∂ ρ / ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 ρ \rho ρ ∇ ⋅ v = 0 \nabla\cdot\mathbf v = 0 ∇ ⋅ v = 0 v x = x v_x = x v x = x v y = − y v_y = -y v y = − y ∇ ⋅ v = 0 \nabla\cdot\mathbf v = 0 ∇ ⋅ v = 0 v y = y v_y = y v y = y
ความหมุนวน (vorticity) ของของไหลคืออะไร คำนวณอย่างไร? ความหมุนวน ζ = ∇ × v \boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v ζ = ∇ × v ∇ × v = 0 \nabla\times\mathbf v = \mathbf 0 ∇ × v = 0 v = ω × r \mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r v = ω × r ∇ × v = 2 ω \nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega ∇ × v = 2 ω
จาโคเบียนของแขนกลหาอย่างไร และใช้ทำอะไร? จาโคเบียน J \mathbf J J J i j = ∂ x i / ∂ θ j J_{ij} = \partial x_i/\partial\theta_j J ij = ∂ x i / ∂ θ j v = J θ ˙ \mathbf v = \mathbf J\dot{\boldsymbol\theta} v = J θ ˙ τ = J ⊤ F \boldsymbol\tau = \mathbf J^{\top}\mathbf F τ = J ⊤ F det J = L 1 L 2 sin θ 2 \det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2 det J = L 1 L 2 sin θ 2
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์