รูทโลคัส (Root Locus): นิยามและกฎการวาดทุกข้อ

1. จุด $-1 + j$: มุมจากขั้ว 0 คือ $135^\circ$ จากขั้ว $-1$ คือ $90^\circ$ จากขั้ว $-2$ คือ $45^\circ$ L2

   $$0 - (135^\circ + 90^\circ + 45^\circ) = -270^\circ \ne \pm180^\circ(2q+1) \ \Rightarrow\ \text{ไม่อยู่บนโลคัส}$$

2. จุด $s = -\tfrac13 + j0.5774$: มุมจาก 0 คือ $180^\circ - \tan^{-1}\frac{0.5774}{0.3333} = 120^\circ$ · จาก $-1$: $\tan^{-1}\frac{0.5774}{0.6667} = 40.9^\circ$ · จาก $-2$: $\tan^{-1}\frac{0.5774}{1.6667} = 19.1^\circ$

   $$-(120^\circ + 40.9^\circ + 19.1^\circ) = -180^\circ \ \checkmark$$

3. หา $K$ ด้วยระยะ L3: $|s| = 0.667$, $|s + 1| = 0.882$, $|s + 2| = 1.764$

   $$K = 0.667 \times 0.882 \times 1.764 = \hlC{1.037} \ (= 28/27)$$

$-1 + j$ ไม่อยู่บนโลคัส · $-\tfrac13 \pm j\tfrac{1}{\sqrt3}$ อยู่บนโลคัสที่ $K = 28/27 \approx 1.037$ จุดนี้อยู่บนเส้น $\zeta = 0.5$ พอดี (มุม $60^\circ$ จากแกนจริงลบ)

ตรวจ: $s^3 + 3s^2 + 2s + \tfrac{28}{27} = (s + \tfrac73)(s^2 + \tfrac23s + \tfrac49)$ รากคือ $-\tfrac73$ และ $-\tfrac13 \pm j0.5774$ ✓

1. กฎ 1 L4: ขั้ว $0, -1, -2$ ($n = 3$) ไม่มีศูนย์ ($m = 0$) มี 3 กิ่ง ทั้ง 3 กิ่งไปอนันต์

2. กฎ 2 L5: ช่วง $[-1, 0]$ มีขั้วทางขวา 1 ตัว (คี่) ✓ · ช่วง $(-2, -1)$ มี 2 ตัว (คู่) ✗ · ช่วง $(-\infty, -2]$ มี 3 ตัว (คี่) ✓

3. กฎ 3 L6: $n - m = 3$ ได้ $\theta_a = 60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$ และ

   $$\sigma_a = \frac{0 + (-1) + (-2) - 0}{3} = \hlC{-1}$$

4. กฎ 4 L7: ช่วง $[-1, 0]$ มีขั้วสองข้าง ต้องมีจุดแยก $K = -(s^3 + 3s^2 + 2s)$

   $$\frac{dK}{ds} = -(3s^2 + 6s + 2) = 0 \ \Rightarrow\ s = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = -1 \pm 0.577$$

   $s = -0.423$ อยู่ในช่วง $[-1, 0]$ ✓ ใช้ได้ ($K = 0.385$) · $s = -1.577$ อยู่ในช่วงที่ไม่ใช่โลคัส ✗ ทิ้ง (ให้ $K = -0.385$)

5. กฎ 5 L8: แทน $s = j\omega$ ใน $s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$

   $$-j\omega^3 - 3\omega^2 + 2j\omega + K = 0 \ \Rightarrow\ \begin{cases} \operatorname{Im}:\ \omega(2 - \omega^2) = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt2 \\ \operatorname{Re}:\ K = 3\omega^2 = 6 \end{cases}$$

   ตรงกับตัวอย่าง R-5 ✓ ได้จุดตัด $\pm j1.414$ ที่ $K = 6$

6. กฎ 6 L9: ไม่มีขั้วหรือศูนย์เชิงซ้อน ไม่ต้องหามุมออก

7. หา $K$ ที่ $\zeta = 0.5$: เส้น $\zeta = 0.5$ ทำมุม $\cos^{-1}0.5 = 60^\circ$ กับแกนจริงลบ จากตัวอย่าง L-0 จุดตัดคือ $s = -0.333 \pm j0.577$ ที่ $K = 1.037$ ขั้วที่สามจาก L10: $r_3 = -3 - 2(-0.333) = -2.333$

โลคัสเริ่มที่ 0, −1, −2 · สองกิ่งชนกันที่ −0.423 แล้วแยกขึ้นลง โค้งไปตามเส้นกำกับ ±60° จาก σ = −1 ตัดแกน $j\omega$ ที่ ±j1.414 เมื่อ K = 6 · อีกกิ่งวิ่งไปทางซ้ายจาก −2 · $\zeta = 0.5$ ที่ $K = 1.037$ (ขั้วที่สามอยู่ไกลกว่า 7 เท่า คู่เด่นจึงทำนายผลตอบสนองได้ดี)

รูปด้านบนและแล็บท้ายหน้าคำนวณจากเครื่อง ตรงกับทุกค่า · ระบบอยู่ในช่วงเสถียร $0 \lt K \lt 6$ ตามเราท์ ✓

1. ขั้ว: $0,\ -1 \pm j$ · มุมจากขั้วอื่นไปหา $p_k = -1 + j$: จาก $0$ คือ $\angle(-1 + j) = 135^\circ$ · จาก $-1 - j$ คือ $\angle(2j) = 90^\circ$

2. ไม่มีศูนย์ แทน L9

   $$\theta_d = 180^\circ - (135^\circ + 90^\circ) = \hlC{-45^\circ}$$

กิ่งออกจาก $-1 + j$ ทำมุม $-45^\circ$ (ชี้ลงขวา) แล้วโค้งขึ้นตามเส้นกำกับ 60° · กิ่งจาก $-1 - j$ ออกที่ $+45^\circ$ (สมมาตร)

วาดครบทุกกฎในหน้าฝึกวาด (ตัวอย่าง W-3) จุดตัดแกนคือ $\pm j\sqrt2$ ที่ $K = 4$

1. แทน $s = \sigma + j\omega$ ในเงื่อนไขมุม L2: $\angle(s + 3) - \angle s - \angle(s + 1) = 180^\circ$

2. ใช้ $\tan(A - B)$ แล้วจัดรูป (ส่วน $\omega \ne 0$) จะได้

   $$(\sigma + 3)^2 + \omega^2 = 6$$

3. จุดแยกจาก L7: $\dfrac{1}{\sigma} + \dfrac{1}{\sigma + 1} = \dfrac{1}{\sigma + 3} \Rightarrow \sigma^2 + 6\sigma + 3 = 0 \Rightarrow \sigma = -3 \pm \sqrt6$

วงกลมศูนย์กลางที่ศูนย์ $s = -3$ รัศมี $\sqrt6 = 2.449$ แยกออกที่ $-0.551$ เข้าที่ $-5.449$ · กฎทั่วไป: ขั้วจริงสองตัว + ศูนย์จริงหนึ่งตัว ได้วงกลมรอบศูนย์ รัศมี $\sqrt{d_1d_2}$ (ระยะจากศูนย์ถึงขั้วทั้งสองคูณกัน)

$d_1 = 3,\ d_2 = 2 \Rightarrow \sqrt6$ ✓ · รูปอยู่ในหน้าฝึกวาด ตัวอย่าง W-2