หน้าแรก คลังความรู้ เวกเตอร์ Component และ Projection Vectors: Forces, Fields & Phasors ดูครบทุกส่วน · 20 หน้า 1 · พื้นฐานเวกเตอร์ 2D / 3D 4 · ไฟฟ้า: สนามและเฟสเซอร์ 5 · ห้องแล็บและเครื่องมือ // เวกเตอร์ · ส่วนที่ 1 · Components & projection · 2D → 3D
องค์ประกอบและการฉายเวกเตอร์ (Components & Projection)
แรงหนึ่งแรงอาจทั้งดึงตามแนวคานและผลักด้านข้าง การแยกองค์ประกอบช่วยเขียนแรงในแกนที่คำนวณได้ ส่วนการฉายเวกเตอร์ช่วยตอบว่า “เวกเตอร์นี้มีส่วนไปตามทิศที่เราสนใจเท่าไร” เริ่มจากแกน x–y ที่คุ้นเคย แล้วขยายไปยังแกนเอียงและสามมิติ โดยแยกให้ชัดว่าคำตอบเป็นตัวเลขหรือเป็นลูกศร
สรุปใน 30 วินาที ในแกนตั้งฉากมาตรฐาน a = a x i + a y j + a z k \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k a = a x i + a y j + a z k a x , a y , a z a_x,a_y,a_z a x , a y , a z เมื่อ b ≠ 0 \mathbf b\ne\mathbf0 b = 0 ( a ⋅ b ) / ∥ b ∥ (\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf b\| ( a ⋅ b ) /∥ b ∥ [ ( a ⋅ b ) / ( b ⋅ b ) ] b [(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b [( a ⋅ b ) / ( b ⋅ b )] b ส่วนที่ตั้งฉากคือ a ⊥ = a − proj b a \mathbf a_\perp=\mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a a ⊥ = a − proj b a a ⊥ ⋅ b = 0 \mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0 a ⊥ ⋅ b = 0 ค่าฉายติดลบบอกว่าชี้สวนทางกับทิศที่เลือก ไม่ใช่ “ความยาวติดลบ”
ค้นหาสูตรในหน้านี้ โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
1. Component คืออะไร: แยกลูกศรเป็นแกน พื้นฐาน
เลือกแกน x ไปทางขวาและแกน y ขึ้นบน เวกเตอร์ a = ( 3 , 4 ) \mathbf a=(3,4) a = ( 3 , 4 ) องค์ประกอบสเกลาร์ (scalar components) ส่วนลูกศร 3 i = ( 3 , 0 ) 3\mathbf i=(3,0) 3 i = ( 3 , 0 ) 4 j = ( 0 , 4 ) 4\mathbf j=(0,4) 4 j = ( 0 , 4 )
แยกเวกเตอร์ (3,4) เป็นองค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้ง จากจุดกำเนิดไปทางขวา 3 หน่วยแล้วขึ้น 4 หน่วยได้เวกเตอร์เดียวกับลูกศรจากจุดกำเนิดไปยัง (3,4) ความยาวลูกศรคือ 5 หน่วย
O x y a = (3,4) 3i = (3,0) 4j = (0,4) (3,4) 3² + 4² = 5² ขนาด |a| = 5 component = ค่าตามแกน เวกเตอร์ = ผลรวมลูกศร แยกองค์ประกอบโดยเลือกแกนก่อน: ตัวเลข 3 และ 4 เป็นค่าตามแกน ส่วนความยาวของเวกเตอร์คือ 5
P1 Cartesian components
a = a x i + a y j ( 2 D ) , a = a x i + a y j + a z k ( 3 D ) \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j\quad(2D),\qquad \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k\quad(3D) a = a x i + a y j ( 2 D ) , a = a x i + a y j + a z k ( 3 D ) a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i,\quad a_y=\mathbf a\cdot\mathbf j,\quad a_z=\mathbf a\cdot\mathbf k a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k i = ( 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 1 ) \mathbf i=(1,0,0),\mathbf j=(0,1,0),\mathbf k=(0,0,1) i = ( 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 1 )
P2 Resolving a 2D vector
a x = A cos θ , a y = A sin θ , A = a x 2 + a y 2 a_x=A\cos\theta,\qquad a_y=A\sin\theta,\qquad A=\sqrt{a_x^2+a_y^2} a x = A cos θ , a y = A sin θ , A = a x 2 + a y 2 A = ∥ a ∥ ≥ 0 A=\|\mathbf a\|\ge0 A = ∥ a ∥ ≥ 0 θ \theta θ atan2 ( a y , a x ) \operatorname{atan2}(a_y,a_x) atan2 ( a y , a x )
P3 Unit direction vector
b ^ = b ∥ b ∥ , ∥ b ^ ∥ = 1 , b ≠ 0 \widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf b}{\|\mathbf b\|},\qquad \|\widehat{\mathbf b}\|=1,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0 b = ∥ b ∥ b , ∥ b ∥ = 1 , b = 0 เช่น b = ( 2 , 1 ) \mathbf b=(2,1) b = ( 2 , 1 ) b ^ = ( 2 / 5 , 1 / 5 ) \widehat{\mathbf b}=(2/\sqrt5,1/\sqrt5) b = ( 2/ 5 , 1/ 5 )
ตัวอย่าง P-1 · แยกแรงที่ชี้ขึ้นทางซ้าย
แรงขนาด 100 N ทำมุม 120° จากแกน +x มีองค์ประกอบเท่าไร? วาดลูกศรในควอดแรนต์ที่ 2 จึงคาดว่า x ติดลบ แต่ y เป็นบวก
ใช้ P2 : F x = 100 cos 120 ∘ = − 50 N F_x=100\cos120^\circ=-50\,\mathrm N F x = 100 cos 12 0 ∘ = − 50 N F y = 100 sin 120 ∘ = 50 3 N F_y=100\sin120^\circ=50\sqrt3\,\mathrm N F y = 100 sin 12 0 ∘ = 50 3 N
ตรวจขนาด: ( − 50 ) 2 + ( 50 3 ) 2 = 100 N \sqrt{(-50)^2+(50\sqrt3)^2}=100\,\mathrm N ( − 50 ) 2 + ( 50 3 ) 2 = 100 N
F = ( − 50 , 50 3 ) N ≈ ( − 50 , 86.60 ) N \mathbf F=(-50,50\sqrt3)\,\mathrm N\approx(-50,86.60)\,\mathrm N F = ( − 50 , 50 3 ) N ≈ ( − 50 , 86.60 ) N
2. จาก 2D ไป 3D: มุมกับสามแกนและฐานที่เลือก กลาง
ในสามมิติ การบอกเพียง “ทำมุม 30°” ยังไม่พอระบุทิศ ต้องบอกว่ามุมกับแกนใด และมีข้อมูลอิสระเพียงพอ เช่น ให้สองมุมพร้อมเครื่องหมายของ component ที่เหลือ หรือให้พิกัดปลายทาง เวกเตอร์ ( 2 , − 3 , 6 ) (2,-3,6) ( 2 , − 3 , 6 ) ( 2 / 7 , − 3 / 7 , 6 / 7 ) (2/7,-3/7,6/7) ( 2/7 , − 3/7 , 6/7 )
P4 Direction cosines
cos α = a x A , cos β = a y A , cos γ = a z A , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos\alpha=\frac{a_x}{A},\quad\cos\beta=\frac{a_y}{A},\quad\cos\gamma=\frac{a_z}{A},\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos α = A a x , cos β = A a y , cos γ = A a z , cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 A = ∥ a ∥ > 0 A=\|\mathbf a\|\gt0 A = ∥ a ∥ > 0
P5 Components in an orthonormal basis
a r = a ⋅ e r , a = ∑ r = 1 n a r e r เมื่อ e r ⋅ e s = δ r s a_r=\mathbf a\cdot\mathbf e_r,\qquad\mathbf a=\sum_{r=1}^{n}a_r\mathbf e_r\quad\text{เมื่อ }\mathbf e_r\cdot\mathbf e_s=\delta_{rs} a r = a ⋅ e r , a = r = 1 ∑ n a r e r เมื่อ e r ⋅ e s = δ rs ฐานต้องยาวหนึ่งและตั้งฉากกันครบ n ทิศใน R n \mathbb R^n R n
เห็นความต่างของฐานทั่วไป: ให้
e 1 = ( 1 , 0 ) \mathbf e_1=(1,0) e 1 = ( 1 , 0 ) ,
e 2 = ( 1 , 1 ) \mathbf e_2=(1,1) e 2 = ( 1 , 1 ) และ
a = ( 3 , 4 ) \mathbf a=(3,4) a = ( 3 , 4 ) เขียนได้
a = − e 1 + 4 e 2 \mathbf a=-\mathbf e_1+4\mathbf e_2 a = − e 1 + 4 e 2 แต่
a ⋅ e 1 = 3 ≠ − 1 \mathbf a\cdot\mathbf e_1=3\ne-1 a ⋅ e 1 = 3 = − 1 ค่าสัมประสิทธิ์ในฐานกับค่าฉายจึงเป็นคนละเรื่องเมื่อฐานไม่ตั้งฉาก
3. Scalar projection: “ไปตามทิศนี้เท่าไร” พร้อมเครื่องหมาย พื้นฐาน
สมมติเปิดไฟให้เงาของลูกศรตกตั้งฉากบนเส้นตามทิศ b \mathbf b b scalar projection หรือ scalar component of a along b เลือกทิศบวกตามลูกศร b ถ้าเงาชี้สวนทิศ b ค่าจะติดลบ การคำนวณใช้ dot product ซึ่งวัดความสอดคล้องของสองทิศ
P6 Signed scalar projection
comp b a = a ⋅ b ^ = a ⋅ b ∥ b ∥ = ∥ a ∥ cos θ , b ≠ 0 \operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=\mathbf a\cdot\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}=\|\mathbf a\|\cos\theta,\qquad\mathbf b\ne\mathbf0 comp b a = a ⋅ b = ∥ b ∥ a ⋅ b = ∥ a ∥ cos θ , b = 0 สมการที่มี θ \theta θ
มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ค่าฉาย ความหมาย 0 ∘ ≤ θ < 90 ∘ 0^\circ\le\theta\lt90^\circ 0 ∘ ≤ θ < 9 0 ∘ เป็นบวก มีส่วนไปตามทิศ b θ = 90 ∘ \theta=90^\circ θ = 9 0 ∘ 0 ไม่มีส่วนตามทิศ b 90 ∘ < θ ≤ 180 ∘ 90^\circ\lt\theta\le180^\circ 9 0 ∘ < θ ≤ 18 0 ∘ เป็นลบ มีส่วนสวนทิศ b
ถ้า a = ( − 3 , 4 ) \mathbf a=(-3,4) a = ( − 3 , 4 ) b = ( 1 , 0 ) \mathbf b=(1,0) b = ( 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 )
4. Vector projection: คืนค่าฉายให้เป็นลูกศร พื้นฐาน
เมื่อรู้ค่าฉายสเกลาร์แล้ว คูณด้วยเวกเตอร์หน่วยของทิศเป้าหมายเพื่อได้ vector projection หรือเวกเตอร์ฉาย คำตอบอยู่บนเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดตามแนว b เสมอ แม้ b จะยาวไม่เท่ากับหนึ่งก็ตาม
P7 Vector projection
proj b a = ( comp b a ) b ^ = a ⋅ b ∥ b ∥ 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a=\left(\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a\right)\widehat{\mathbf b}=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\mathbf b=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b}\mathbf b proj b a = ( comp b a ) b = ∥ b ∥ 2 a ⋅ b b = b ⋅ b a ⋅ b b เงื่อนไข b ≠ 0 \mathbf b\ne\mathbf0 b = 0 ∥ proj b a ∥ = ∣ comp b a ∣ \|\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a\|=|\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a| ∥ proj b a ∥ = ∣ comp b a ∣
P8 Parallel–perpendicular decomposition
a ∥ = proj b a , a ⊥ = a − a ∥ , a = a ∥ + a ⊥ \mathbf a_\parallel=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a,\quad\mathbf a_\perp=\mathbf a-\mathbf a_\parallel,\quad\mathbf a=\mathbf a_\parallel+\mathbf a_\perp a ∥ = proj b a , a ⊥ = a − a ∥ , a = a ∥ + a ⊥ a ⊥ ⋅ b = 0 , ∥ a ∥ 2 = ∥ a ∥ ∥ 2 + ∥ a ⊥ ∥ 2 \mathbf a_\perp\cdot\mathbf b=0,\qquad\|\mathbf a\|^2=\|\mathbf a_\parallel\|^2+\|\mathbf a_\perp\|^2 a ⊥ ⋅ b = 0 , ∥ a ∥ 2 = ∥ a ∥ ∥ 2 + ∥ a ⊥ ∥ 2 ส่วนเหลือเรียก rejection หรือ orthogonal residual การตรวจดอทเป็นศูนย์และตรวจผลบวกช่วยจับความผิดพลาดได้โดยไม่ต้องวาดรูปสามมิติ
ทำไมตัวส่วนต้องเป็น b·b?
ให้เวกเตอร์ฉายเป็น t b t\mathbf b t b a − t b \mathbf a-t\mathbf b a − t b ( a − t b ) ⋅ b = 0 (\mathbf a-t\mathbf b)\cdot\mathbf b=0 ( a − t b ) ⋅ b = 0 a ⋅ b − t ( b ⋅ b ) = 0 \mathbf a\cdot\mathbf b-t(\mathbf b\cdot\mathbf b)=0 a ⋅ b − t ( b ⋅ b ) = 0 t = ( a ⋅ b ) / ( b ⋅ b ) t=(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b) t = ( a ⋅ b ) / ( b ⋅ b )
เวกเตอร์ (3,4) ฉายลงบนแนว (2,1) ได้ (4,2) ลูกศร a จากจุดกำเนิดถึง (3,4) เงาบนเส้นตามแนว b อยู่ที่ (4,2) ส่วนเหลือจากเงาไปปลาย a คือ (-1,2) และตั้งฉากกับ b แม้พิกัด x ของเงาจะมากกว่า x ของ a
O x y a = (3,4) (4,2) a⊥ = (−1,2) แนว b = (2,1) a∥ = (4,2) a⊥ = (−1,2) a∥ + a⊥ = (3,4) (−1,2) · (2,1) = 0 ฉายตั้งฉากกับเส้น ไม่ใช่ลดค่า x และ y ภาพใช้สเกล x และ y เท่ากัน จุดฉาย (4,2) อยู่บนเส้นตามแนว (2,1) ส่วนที่เหลือ (−1,2) ตั้งฉากกับเส้นนั้น
5. ตัวอย่างหลัก: a = (3,4) ฉายบน b = (2,1) พื้นฐาน
ตัวอย่าง P-2 · เป้าหมายไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย หาค่าฉายสเกลาร์ เวกเตอร์ฉาย และส่วนตั้งฉากของ a = ( 3 , 4 ) \mathbf a=(3,4) a = ( 3 , 4 ) b = ( 2 , 1 ) \mathbf b=(2,1) b = ( 2 , 1 ) เตรียมดอทและความยาว: a ⋅ b = 3 ( 2 ) + 4 ( 1 ) = 10 \mathbf a\cdot\mathbf b=3(2)+4(1)=10 a ⋅ b = 3 ( 2 ) + 4 ( 1 ) = 10 b ⋅ b = 2 2 + 1 2 = 5 \mathbf b\cdot\mathbf b=2^2+1^2=5 b ⋅ b = 2 2 + 1 2 = 5 ∥ b ∥ = 5 \|\mathbf b\|=\sqrt5 ∥ b ∥ = 5
ค่าฉายสเกลาร์ตาม P6 : comp b a = 10 / 5 = 2 5 ≈ 4.472 \operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=10/\sqrt5=2\sqrt5\approx4.472 comp b a = 10/ 5 = 2 5 ≈ 4.472
เวกเตอร์ฉายตาม P7 : a ∥ = ( 10 / 5 ) ( 2 , 1 ) = ( 4 , 2 ) \mathbf a_\parallel=(10/5)(2,1)=(4,2) a ∥ = ( 10/5 ) ( 2 , 1 ) = ( 4 , 2 ) 10 / 5 = 2 10/5=2 10/5 = 2
ส่วนตั้งฉากตาม P8 : a ⊥ = ( 3 , 4 ) − ( 4 , 2 ) = ( − 1 , 2 ) \mathbf a_\perp=(3,4)-(4,2)=(-1,2) a ⊥ = ( 3 , 4 ) − ( 4 , 2 ) = ( − 1 , 2 )
ตรวจ: ( − 1 , 2 ) ⋅ ( 2 , 1 ) = − 2 + 2 = 0 (-1,2)\cdot(2,1)=-2+2=0 ( − 1 , 2 ) ⋅ ( 2 , 1 ) = − 2 + 2 = 0 ( 4 , 2 ) + ( − 1 , 2 ) = ( 3 , 4 ) (4,2)+(-1,2)=(3,4) ( 4 , 2 ) + ( − 1 , 2 ) = ( 3 , 4 ) 25 = 20 + 5 25=20+5 25 = 20 + 5
Scalar projection = 2 5 =2\sqrt5 = 2 5 = ( 4 , 2 ) =(4,2) = ( 4 , 2 ) = ( − 1 , 2 ) =(-1,2) = ( − 1 , 2 )
กลับทิศเป้าหมายแล้วเกิดอะไร? เปลี่ยน b เป็น −b ค่าฉายสเกลาร์กลับเครื่องหมาย แต่เวกเตอร์ฉายยังเป็น (4,2) เพราะเส้นที่ฉายยังเป็นเส้นเดิม โดยทั่วไป
proj c b a = proj b a \operatorname{proj}_{c\mathbf b}\mathbf a=\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a proj c b a = proj b a สำหรับ
c ≠ 0 c\ne0 c = 0
6. วิศวกรรมสามมิติ: แรงตามแนวคานและแรงด้านข้าง กลาง
สมมติแกนของคานยื่นไปตามทิศ b = ( 2 , 1 , 2 ) \mathbf b=(2,1,2) b = ( 2 , 1 , 2 ) F = ( 120 , 60 , − 30 ) N \mathbf F=(120,60,-30)\,\mathrm N F = ( 120 , 60 , − 30 ) N
ตัวอย่าง P-3 · แยกแรง 3D
หาค่าแรงแบบมีเครื่องหมายตามแกนคาน และเวกเตอร์แรงทั้งสองส่วน หาเวกเตอร์หน่วยแกนคาน: ∥ b ∥ = 4 + 1 + 4 = 3 \|\mathbf b\|=\sqrt{4+1+4}=3 ∥ b ∥ = 4 + 1 + 4 = 3 b ^ = ( 2 / 3 , 1 / 3 , 2 / 3 ) \widehat{\mathbf b}=(2/3,1/3,2/3) b = ( 2/3 , 1/3 , 2/3 )
แรงตามแกนแบบสเกลาร์: F ∥ = F ⋅ b ^ = 120 ( 2 / 3 ) + 60 ( 1 / 3 ) − 30 ( 2 / 3 ) = 80 N F_\parallel=\mathbf F\cdot\widehat{\mathbf b}=120(2/3)+60(1/3)-30(2/3)=80\,\mathrm N F ∥ = F ⋅ b = 120 ( 2/3 ) + 60 ( 1/3 ) − 30 ( 2/3 ) = 80 N
แรงตามแกนแบบเวกเตอร์: F ∥ = 80 ( 2 / 3 , 1 / 3 , 2 / 3 ) = ( 160 / 3 , 80 / 3 , 160 / 3 ) N \mathbf F_\parallel=80(2/3,1/3,2/3)=(160/3,80/3,160/3)\,\mathrm N F ∥ = 80 ( 2/3 , 1/3 , 2/3 ) = ( 160/3 , 80/3 , 160/3 ) N
แรงขวางแกน: F ⊥ = F − F ∥ = ( 200 / 3 , 100 / 3 , − 250 / 3 ) N \mathbf F_\perp=\mathbf F-\mathbf F_\parallel=(200/3,100/3,-250/3)\,\mathrm N F ⊥ = F − F ∥ = ( 200/3 , 100/3 , − 250/3 ) N
ตรวจตั้งฉาก: F ⊥ ⋅ b = ( 400 + 100 − 500 ) / 3 = 0 \mathbf F_\perp\cdot\mathbf b=(400+100-500)/3=0 F ⊥ ⋅ b = ( 400 + 100 − 500 ) /3 = 0 50 5 N ≈ 111.80 N 50\sqrt5\,\mathrm N\approx111.80\,\mathrm N 50 5 N ≈ 111.80 N
ตรวจเอกลักษณ์พีทาโกรัสของขนาดแรง: ∥ F ∥ 2 = 18900 N 2 = [ 80 2 + ( 50 5 ) 2 ] N 2 \|\mathbf F\|^2=18900\,\mathrm N^2=[80^2+(50\sqrt5)^2]\,\mathrm N^2 ∥ F ∥ 2 = 18900 N 2 = [ 8 0 2 + ( 50 5 ) 2 ] N 2
แรงตามแกน +80 N · แรงขวางแกนขนาด 50 5 50\sqrt5 50 5
การฉายเดียวกันใช้กับความเร็วของยานพาหนะตามแนวเส้นทาง องค์ประกอบสนามแม่เหล็กที่ตั้งฉากกับพื้นผิว และแรงที่ก่อให้เกิดงานตามการเคลื่อนที่ ดูกรณีที่รวม cross product สำหรับโมเมนต์และพื้นที่ในหน้า ประยุกต์ทางวิศวกรรม
สองเรื่องที่มักสับสน องค์ประกอบตามแนวเฉียงสองแนว (ใช้กฎไซน์ R5 ) ไม่เท่ากับการฉาย (dot product) เว้นแต่สองแนวตั้งฉากกัน ส่วนแรงตามสายเคเบิลจากพิกัดสองจุดอยู่ใน K7 และการอ่านองค์ประกอบในกรอบเอียงอยู่ใน การหมุนแกน
เปิด JavaScript เพื่อใช้ฉาก 3 มิติ
7. การฉายหาระยะใกล้ที่สุดถึงเส้นและระนาบ กลาง
เส้นตรงที่ไม่จำกัดความยาวเขียนเป็น x ( t ) = q + t b \mathbf x(t)=\mathbf q+t\mathbf b x ( t ) = q + t b เวกเตอร์จาก q ไป p คือ p − q \mathbf p-\mathbf q p − q
P9 Nearest point on an infinite line
t ∗ = ( p − q ) ⋅ b b ⋅ b , h = q + t ∗ b , d = ∥ p − h ∥ t_* =\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf b}{\mathbf b\cdot\mathbf b},\quad \mathbf h=\mathbf q+t_*\mathbf b,\quad d=\|\mathbf p-\mathbf h\| t ∗ = b ⋅ b ( p − q ) ⋅ b , h = q + t ∗ b , d = ∥ p − h ∥ b ≠ 0 \mathbf b\ne\mathbf0 b = 0 t ∗ t_* t ∗
P10 Projection onto a plane
n ⋅ ( x − q ) = 0 , h = p − ( p − q ) ⋅ n n ⋅ n n , d = ∣ ( p − q ) ⋅ n ∣ ∥ n ∥ \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf q)=0,\quad\mathbf h=\mathbf p-\frac{(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n}{\mathbf n\cdot\mathbf n}\mathbf n,\quad d=\frac{|(\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n|}{\|\mathbf n\|} n ⋅ ( x − q ) = 0 , h = p − n ⋅ n ( p − q ) ⋅ n n , d = ∥ n ∥ ∣ ( p − q ) ⋅ n ∣ q เป็นจุดบนระนาบ และ n เป็นเวกเตอร์ปกติที่ไม่เป็นศูนย์ ลบส่วนที่ขนาน n ออก จึงเหลือจุดบนระนาบ ค่าสัมบูรณ์ทำให้ระยะไม่ติดลบ
ตัวอย่าง P-4 · ระยะจุดถึงเส้นในสามมิติ หาเท้าฉากจาก p = ( 4 , 4 , 4 ) \mathbf p=(4,4,4) p = ( 4 , 4 , 4 ) x = ( − 1 , 2 , 1 ) + t ( 1 , 2 , 2 ) \mathbf x=(-1,2,1)+t(1,2,2) x = ( − 1 , 2 , 1 ) + t ( 1 , 2 , 2 ) เลือก q = ( − 1 , 2 , 1 ) \mathbf q=(-1,2,1) q = ( − 1 , 2 , 1 ) b = ( 1 , 2 , 2 ) \mathbf b=(1,2,2) b = ( 1 , 2 , 2 ) a = p − q = ( 5 , 2 , 3 ) \mathbf a=\mathbf p-\mathbf q=(5,2,3) a = p − q = ( 5 , 2 , 3 )
หา t ∗ = ( 5 + 4 + 6 ) / ( 1 + 4 + 4 ) = 15 / 9 = 5 / 3 t_*=(5+4+6)/(1+4+4)=15/9=5/3 t ∗ = ( 5 + 4 + 6 ) / ( 1 + 4 + 4 ) = 15/9 = 5/3
เท้าฉาก h = ( − 1 , 2 , 1 ) + ( 5 / 3 ) ( 1 , 2 , 2 ) = ( 2 / 3 , 16 / 3 , 13 / 3 ) \mathbf h=(-1,2,1)+(5/3)(1,2,2)=(2/3,16/3,13/3) h = ( − 1 , 2 , 1 ) + ( 5/3 ) ( 1 , 2 , 2 ) = ( 2/3 , 16/3 , 13/3 )
เวกเตอร์จากเท้าฉากถึง p คือ ( 10 / 3 , − 4 / 3 , − 1 / 3 ) (10/3,-4/3,-1/3) ( 10/3 , − 4/3 , − 1/3 ) ( 10 − 8 − 2 ) / 3 = 0 (10-8-2)/3=0 ( 10 − 8 − 2 ) /3 = 0
ระยะ d = ( 100 + 16 + 1 ) / 9 = 13 ≈ 3.606 d=\sqrt{(100+16+1)/9}=\sqrt{13}\approx3.606 d = ( 100 + 16 + 1 ) /9 = 13 ≈ 3.606
เท้าฉาก ( 2 / 3 , 16 / 3 , 13 / 3 ) (2/3,16/3,13/3) ( 2/3 , 16/3 , 13/3 ) 13 \sqrt{13} 13
ตัวอย่าง P-5 · ฉายลงพื้นเอียง ฉายจุด ( 4 , 1 , 1 ) (4,1,1) ( 4 , 1 , 1 ) x + y + z = 3 x+y+z=3 x + y + z = 3 เวกเตอร์ปกติ n = ( 1 , 1 , 1 ) \mathbf n=(1,1,1) n = ( 1 , 1 , 1 ) q = ( 3 , 0 , 0 ) \mathbf q=(3,0,0) q = ( 3 , 0 , 0 )
( p − q ) ⋅ n = ( 1 , 1 , 1 ) ⋅ ( 1 , 1 , 1 ) = 3 (\mathbf p-\mathbf q)\cdot\mathbf n=(1,1,1)\cdot(1,1,1)=3 ( p − q ) ⋅ n = ( 1 , 1 , 1 ) ⋅ ( 1 , 1 , 1 ) = 3 n ⋅ n = 3 \mathbf n\cdot\mathbf n=3 n ⋅ n = 3
h = ( 4 , 1 , 1 ) − ( 1 , 1 , 1 ) = ( 3 , 0 , 0 ) \mathbf h=(4,1,1)-(1,1,1)=(3,0,0) h = ( 4 , 1 , 1 ) − ( 1 , 1 , 1 ) = ( 3 , 0 , 0 ) 3 \sqrt3 3
จุดฉาย (3,0,0) · ระยะ 3 \sqrt3 3
8. เชื่อมกับเมทริกซ์และ least squares ต่อยอด
เมื่อเขียน b เป็นเวกเตอร์หลัก สูตรฉายเปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ขนาด n×n ที่รับเวกเตอร์ n มิติและคืนเวกเตอร์ n มิติ การฉายอาจลดความยาวของเวกเตอร์ แต่ฉายซ้ำแล้วไม่เปลี่ยนผล เพราะเวกเตอร์ที่อยู่บนเส้นนั้นอยู่แล้วไม่ต้องย้ายอีก
P11 Orthogonal projection matrix
P = b b T b T b , a ∥ = P a , P T = P , P 2 = P , b ≠ 0 P=\frac{\mathbf b\mathbf b^T}{\mathbf b^T\mathbf b},\quad\mathbf a_\parallel=P\mathbf a,\quad P^T=P,\quad P^2=P,\quad \mathbf b\ne\mathbf0 P = b T b b b T , a ∥ = P a , P T = P , P 2 = P , b = 0 สำหรับ b = ( 2 , 1 ) T \mathbf b=(2,1)^T b = ( 2 , 1 ) T P = 1 5 ( 4 2 2 1 ) P=\frac15\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix} P = 5 1 ( 4 2 2 1 ) P ( 3 , 4 ) T = ( 4 , 2 ) T P(3,4)^T=(4,2)^T P ( 3 , 4 ) T = ( 4 , 2 ) T ∥ a − t b ∥ 2 \|\mathbf a-t\mathbf b\|^2 ∥ a − t b ∥ 2
ขยายไปหลายทิศได้ด้วยฐานตั้งฉาก: รวมการฉายลงแต่ละฐาน ถ้าเมทริกซ์ A มีหลักอิสระแต่ไม่ตั้งฉาก การฉายลง column space คือ A ( A T A ) − 1 A T A(A^TA)^{-1}A^T A ( A T A ) − 1 A T ระบบสมการและวิธีกำลังสองน้อยสุด
9. จุดที่สับสนและกรณีขอบ
ใช้ ( a ⋅ b ) b (\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf b ( a ⋅ b ) b ต้องหารด้วย b ⋅ b \mathbf b\cdot\mathbf b b ⋅ b ใช้ตัวส่วนเดียวกันทั้ง scalar และ vector projection: scalar หาร ∥ b ∥ \|\mathbf b\| ∥ b ∥ ∥ b ∥ 2 \|\mathbf b\|^2 ∥ b ∥ 2 ลบค่าสเกลาร์ออกจากเวกเตอร์: ส่วนตั้งฉากต้องใช้ a − proj b a \mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a a − proj b a ลืมกรณี b = 0: ไม่มีทิศให้ฉาย สูตรจึงไม่นิยาม ถ้า a = 0 แต่ b ≠ 0 ทั้งสองค่าฉายเป็นศูนย์คิดว่าฉาย a บน b เท่ากับฉาย b บน a: โดยทั่วไปไม่เท่ากัน เวกเตอร์เป้าหมายเป็นตัวกำหนดเส้นผสมหน่วยหรือพิกัดคนละกรอบ: แปลงหน่วยและกรอบอ้างอิงให้ตรงกันก่อน เช่น หน่วยเมตรกับมิลลิเมตร หรือกรอบกล้องกับกรอบหุ่นยนต์คิดว่าค่าฉายติดลบเป็นความยาวติดลบ: ค่ามีเครื่องหมายบอกทิศ ความยาวต้องใช้ค่าสัมบูรณ์อ่านแรงตามแกนเป็นแรงปฏิกิริยาโดยทันที: ต้องมีสมดุล แบบจำลองวัสดุ และเงื่อนไขจุดรองรับตามโจทย์การฉายตามทิศเวกเตอร์ศูนย์กับการฉายลงปริภูมิ { 0 } \{\mathbf0\} { 0 }
10. ฝึกทำพร้อมเฉลย: ตรวจทั้งขนาดและทิศ
ลองทำก่อนเปิดเฉลย หรือใช้ปุ่มโหมดฝึกทำด้านบน คำตอบของการฉายควรตรวจได้สองข้อเสมอ: ฉายขนานทิศเป้าหมาย และส่วนเหลือตั้งฉากกับทิศนั้น
แบบฝึก P-A · ค่าฉายติดลบ ให้ a = ( − 3 , 4 ) , b = ( 1 , 0 ) \mathbf a=(-3,4),\ \mathbf b=(1,0) a = ( − 3 , 4 ) , b = ( 1 , 0 ) a ⋅ b = − 3 \mathbf a\cdot\mathbf b=-3 a ⋅ b = − 3 ∥ b ∥ = 1 \|\mathbf b\|=1 ∥ b ∥ = 1
เวกเตอร์ฉาย = − 3 ( 1 , 0 ) = ( − 3 , 0 ) -3(1,0)=(-3,0) − 3 ( 1 , 0 ) = ( − 3 , 0 ) ( − 3 , 4 ) − ( − 3 , 0 ) = ( 0 , 4 ) (-3,4)-(-3,0)=(0,4) ( − 3 , 4 ) − ( − 3 , 0 ) = ( 0 , 4 )
ส่วนเหลือดอท b ได้ 0 และความยาวเวกเตอร์ฉายคือ 3 ไม่ใช่ −3
−3 · (−3,0) · (0,4)
แบบฝึก P-B · สามมิติ ฉาย a = ( 1 , 2 , 3 ) \mathbf a=(1,2,3) a = ( 1 , 2 , 3 ) b = ( 1 , 1 , 0 ) \mathbf b=(1,1,0) b = ( 1 , 1 , 0 ) ดอท = 3, norm b = 2 \sqrt2 2
Scalar projection = 3 / 2 3/\sqrt2 3/ 2 ( 3 / 2 , 3 / 2 , 0 ) (3/2,3/2,0) ( 3/2 , 3/2 , 0 )
ส่วนเหลือ = ( − 1 / 2 , 1 / 2 , 3 ) (-1/2,1/2,3) ( − 1/2 , 1/2 , 3 ) 14 = 9 / 2 + 19 / 2 14=9/2+19/2 14 = 9/2 + 19/2
comp b a = 3 / 2 \operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a=3/\sqrt2 comp b a = 3/ 2 a ∥ = ( 3 / 2 , 3 / 2 , 0 ) \mathbf a_\parallel=(3/2,3/2,0) a ∥ = ( 3/2 , 3/2 , 0 ) a ⊥ = ( − 1 / 2 , 1 / 2 , 3 ) \mathbf a_\perp=(-1/2,1/2,3) a ⊥ = ( − 1/2 , 1/2 , 3 )
แบบฝึก P-C · แกนที่หมุน ใช้ฐาน e 1 = ( 1 , 1 ) / 2 , e 2 = ( − 1 , 1 ) / 2 \mathbf e_1=(1,1)/\sqrt2,\ \mathbf e_2=(-1,1)/\sqrt2 e 1 = ( 1 , 1 ) / 2 , e 2 = ( − 1 , 1 ) / 2 a = ( 4 , 2 ) \mathbf a=(4,2) a = ( 4 , 2 ) ตรวจ e₁ และ e₂ ยาวหนึ่งและดอทกันได้ 0 จึงใช้ P5 ได้
a 1 = ( 4 + 2 ) / 2 = 3 2 a_1=(4+2)/\sqrt2=3\sqrt2 a 1 = ( 4 + 2 ) / 2 = 3 2 a 2 = ( − 4 + 2 ) / 2 = − 2 a_2=(-4+2)/\sqrt2=-\sqrt2 a 2 = ( − 4 + 2 ) / 2 = − 2
ตรวจประกอบกลับ: 3 2 e 1 − 2 e 2 = ( 3 , 3 ) + ( 1 , − 1 ) = ( 4 , 2 ) 3\sqrt2\mathbf e_1-\sqrt2\mathbf e_2=(3,3)+(1,-1)=(4,2) 3 2 e 1 − 2 e 2 = ( 3 , 3 ) + ( 1 , − 1 ) = ( 4 , 2 )
พิกัดในฐานใหม่ ( 3 2 , − 2 ) (3\sqrt2,-\sqrt2) ( 3 2 , − 2 ) 20 \sqrt{20} 20
ต้องการหา ใช้สูตร ตรวจเงื่อนไข component ตามแกนมาตรฐาน P1 : a x = a ⋅ i a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i a x = a ⋅ i ฐานหน่วยตั้งฉาก ขนาดกับทิศจากเวกเตอร์ P3 : b ^ = b / ∥ b ∥ \widehat{\mathbf b}=\mathbf b/\|\mathbf b\| b = b /∥ b ∥ b ≠ 0 จำนวนจริงตามทิศ b P6 : ( a ⋅ b ) / ∥ b ∥ (\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf b\| ( a ⋅ b ) /∥ b ∥ มีเครื่องหมาย เวกเตอร์ขนาน b P7 : [ ( a ⋅ b ) / ( b ⋅ b ) ] b [(\mathbf a\cdot\mathbf b)/(\mathbf b\cdot\mathbf b)]\mathbf b [( a ⋅ b ) / ( b ⋅ b )] b b ≠ 0 เวกเตอร์ตั้งฉาก b P8 : a − a ∥ \mathbf a-\mathbf a_\parallel a − a ∥ ดอท b ต้องได้ 0 ระยะถึงเส้น / ระนาบ P9 / P10 ใช้เวกเตอร์จากจุดบนเส้นหรือระนาบ ฉายข้อมูลด้วยเมทริกซ์ P11 : P = b b T / ( b T b ) P=\mathbf b\mathbf b^T/(\mathbf b^T\mathbf b) P = b b T / ( b T b ) เวกเตอร์จริงแบบหลัก
เริ่มจาก พื้นฐานเวกเตอร์ และ บวก ลบ คูณสเกลาร์ แล้วใช้ dot product อธิบายความสัมพันธ์ของทิศ เมื่อเข้าใจการฉายแล้ว การหาแรงตามแกน โมเมนต์ และฟลักซ์ใน งานวิศวกรรม จะเป็นเรื่องเดียวกันในรูปแบบต่าง ๆ
แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ
หน้านี้ใช้เวกเตอร์จริงและ Euclidean dot product ในแกนตั้งฉาก การคำนวณ inner product สำหรับจำนวนเชิงซ้อนต้องมีการสังยุคตามนิยามของตำรา ไม่แทนสูตรจริงโดยตรง
คำถามที่พบบ่อย Component กับ projection ต่างกันอย่างไร? Component คือค่าที่ใช้ประกอบเวกเตอร์ตามฐานที่เลือก ส่วน projection คือการฉายตั้งฉากลงบนทิศทางหรือปริภูมิ ถ้าฐานเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ค่า component จะเท่ากับ scalar projection ลงแต่ละแกน แต่ฐานทั่วไปที่ไม่ตั้งฉากใช้กฎนี้ตรง ๆ ไม่ได้
Scalar projection กับ vector projection ต่างกันอย่างไร? Scalar projection เป็นจำนวนจริงที่มีเครื่องหมาย: comp_b a = (a·b)/||b|| ส่วน vector projection เป็นเวกเตอร์: proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b โดย b ต้องไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ความยาวของ vector projection เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ scalar projection
ต้องทำเวกเตอร์เป้าหมายให้ยาวหนึ่งก่อนฉายหรือไม่? ไม่จำเป็น ถ้าใช้สูตร proj_b a = [(a·b)/(b·b)]b สูตรนี้รวมการปรับความยาวแล้ว แต่ถ้าเลือกใช้ a·u เป็น scalar projection ต้องตรวจว่า u เป็นเวกเตอร์หน่วยจริง
ฉายลงบนเวกเตอร์ศูนย์ได้ไหม? การฉายตามทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่นิยาม เพราะเวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางและสูตรหารด้วยศูนย์ แต่การฉายลงบนปริภูมิที่มีเพียงเวกเตอร์ศูนย์เป็นอีกนิยามหนึ่ง ซึ่งให้เวกเตอร์ศูนย์เสมอ
การฉายแรงลงตามแนวคานคือแรงปฏิกิริยาจริงหรือไม่? การฉายให้ส่วนของแรงที่ขนานและตั้งฉากกับแนวคาน เพื่อได้แรงปฏิกิริยาหรือแรงในสมาชิกจริงยังต้องใช้แผนภาพวัตถุอิสระ เงื่อนไขสมดุล และแบบจำลองของจุดรองรับเพิ่มเติม
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →