พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. เวกเตอร์
  4. Cross Product

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 2 · Cross product

Cross Product — ครอสโปรดักต์และทิศตั้งฉาก

ถ้า Dot product ถามว่า “แรงช่วยการเคลื่อนที่มากแค่ไหน” Cross product ถามว่า “แรงทำให้หมุนรอบแกนใด มากแค่ไหน” เริ่มจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน แล้วค่อยอ่านทิศตามกฎมือขวาและคำนวณทีละองค์ประกอบ ก่อนต่อยอดไปเวกเตอร์ปกติ ปริมาตร และงานวิศวกรรม

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
คำนวณองค์ประกอบกฎมือขวากรณี 2 มิติสรุปสูตร
สรุปใน 30 วินาที
  • a×b\mathbf a\times\mathbf b เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง a\mathbf a และ b\mathbf b เมื่อผลไม่เป็นศูนย์
  • ขนาด ∥a∥∥b∥sin⁡θ\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta เท่ากับพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน
  • สลับลำดับแล้วกลับเครื่องหมาย: b×a=−a×b\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b
  • สูตรบทนี้ใช้ฐานคาร์ทีเซียนตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวาในสามมิติ; เวกเตอร์ 2 มิติเติมองค์ประกอบ z=0z=0 ก่อน

1. Cross product เกิดจากพื้นที่และทิศตั้งฉาก

ให้เวกเตอร์จริง a,b∈R3\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb R^3 มีจุดเริ่มต้นเดียวกัน มุมเล็กระหว่างทั้งคู่คือ 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้เวกเตอร์ทั้งสองเป็นด้าน ฐานยาว ∥a∥\|\mathbf a\| และสูง ∥b∥sin⁡θ\|\mathbf b\|\sin\theta จึงได้พื้นที่เป็นผลคูณฐานกับสูง Cross product เก็บทั้งขนาดพื้นที่นี้และทิศปกติของระนาบไว้ในเวกเตอร์เดียว

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานจากเวกเตอร์ a และ bเวกเตอร์ a เป็นฐานไปทางขวา เวกเตอร์ b เอียงขึ้น สี่เหลี่ยมด้านขนานมีความสูงเท่ากับความยาว b คูณไซน์ของมุม theta วงกลมมีจุดกลางแทนเวกเตอร์ปกติออกจากจอ a: base |a|bθh = |b| sin θa × bout of pageArea|a| |b| sin θ
ขนาดของ Cross product เท่ากับพื้นที่ แต่คำตอบยังมีทิศด้วย จุดในวงกลมหมายถึงหัวลูกศรพุ่งออกจากหน้าจอ

C1 Geometric cross product ขนาดและทิศ

a×b=∥a∥∥b∥sin⁡θ n^,∥a×b∥=∥a∥∥b∥sin⁡θ\mathbf a\times\mathbf b=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta\,\hat{\mathbf n},\qquad \|\mathbf a\times\mathbf b\|=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta

n^\hat{\mathbf n} เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตั้งฉากตามกฎมือขวาจาก a\mathbf a ไป b\mathbf b ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์หรือทั้งคู่ขนานกัน ผลคือ 0\mathbf0 และไม่เลือกทิศปกติจากผลนั้น

กรณี θ=0∘\theta=0^\circ หรือ 180∘180^\circ สี่เหลี่ยมยุบเป็นเส้น พื้นที่เป็นศูนย์ กรณี 90∘90^\circ ได้ขนาดมากที่สุดสำหรับความยาวเวกเตอร์คงที่ ต่างจาก Dot product ที่เป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ทบทวนการแยกความหมายได้ที่ Dot product

หน่วยของผลคูณ: หากทั้งสองเวกเตอร์เป็นการกระจัดหน่วยเมตร ขนาด Cross product มีหน่วย m2\mathrm{m^2} ถ้าเป็นตำแหน่งกับแรง จะได้ m⋅N\mathrm{m}\cdot\mathrm N ซึ่งเป็นหน่วยของโมเมนต์แรง ความหมายขึ้นกับปริมาณที่นำมาคูณ ไม่ได้เป็นพื้นที่ทางกายภาพทุกครั้ง

2. กฎมือขวาและลำดับของเวกเตอร์

ใช้มือขวาโค้งนิ้วจากเวกเตอร์ตัวแรก a\mathbf a ไปเวกเตอร์ตัวที่สอง b\mathbf b ผ่านมุมระหว่าง 0 ถึง 180 องศา นิ้วโป้งชี้ทิศของ a×b\mathbf a\times\mathbf b เมื่อลองสลับลำดับ นิ้วจะโค้งอีกด้าน นิ้วโป้งจึงกลับทิศ นี่คือเหตุผลทางเรขาคณิตของเครื่องหมายลบ

ฐานแบบมือขวาและการสลับลำดับ Cross productด้านซ้าย i ชี้ขวา j ชี้ขึ้น ทำให้ i cross j เป็น k ออกจากจอ ด้านขวาแสดงลำดับวงรอบ i ไป j ไป k ที่ให้เครื่องหมายบวก การย้อนลำดับให้เครื่องหมายลบ i (+x)j (+y)k (+z), outi → jijkcyclic: +reverse order: −
ฐานคาร์ทีเซียนแบบมือขวา: i^×j^=k^\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k} และวงรอบ i→j→k→ii\to j\to k\to i ให้เครื่องหมายบวก

C2 Basis products ผลคูณฐานที่ต้องจำ

i^×j^=k^,j^×k^=i^,k^×i^=j^\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf j}=\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf k}=\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf i}=\hat{\mathbf j} j^×i^=−k^,k^×j^=−i^,i^×k^=−j^,e^×e^=0\hat{\mathbf j}\times\hat{\mathbf i}=-\hat{\mathbf k},\quad\hat{\mathbf k}\times\hat{\mathbf j}=-\hat{\mathbf i},\quad\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j},\quad\hat{\mathbf e}\times\hat{\mathbf e}=\mathbf0

e^\hat{\mathbf e} ในพจน์สุดท้ายเป็นฐานตัวเดียวกัน เมื่อเขียนภาพบนกระดาษ ใช้ ⊙\odot แทนพุ่งออก และ ⊗\otimes แทนพุ่งเข้า

ตัวอย่าง C-1 · อ่านทิศโดยยังไม่คำนวณ

ให้ a=3i^\mathbf a=3\hat{\mathbf i}, b=4j^\mathbf b=4\hat{\mathbf j} หา a×b\mathbf a\times\mathbf b และ b×a\mathbf b\times\mathbf a

  1. ความยาวคือ 3 และ 4 ตั้งฉากกัน จึงได้ขนาด 3⋅4⋅sin⁡90∘=123\cdot4\cdot\sin90^\circ=12

  2. จาก i^\hat{\mathbf i} ไป j^\hat{\mathbf j} ได้ +k^+\hat{\mathbf k} จึง a×b=12k^\mathbf a\times\mathbf b=12\hat{\mathbf k}

  3. ย้อนลำดับได้ b×a=−12k^\mathbf b\times\mathbf a=-12\hat{\mathbf k} ขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้าม

a×b=(0,0,12)\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,12), b×a=(0,0,−12)\mathbf b\times\mathbf a=(0,0,-12)

3. สูตรองค์ประกอบและดีเทอร์มิแนนต์: ระวังเครื่องหมายแกน y

ก่อนคำนวณให้เวกเตอร์ทั้งคู่ใช้ฐานเดียวกัน หากอุปกรณ์วัดตัวหนึ่งใช้พิกัดโลก อีกตัวใช้พิกัดตัวเครื่อง ต้องแปลงพิกัดให้ตรงกันก่อน สูตรต่อไปนี้สมมติฐาน i^,j^,k^\hat{\mathbf i},\hat{\mathbf j},\hat{\mathbf k} ตั้งฉาก หน่วยยาวเท่ากับ 1 และมีลำดับแบบมือขวา

C3 Component formula คำนวณสามองค์ประกอบ

a×b=(aybz−azby)i^+(azbx−axbz)j^+(axby−aybx)k^=∣i^j^k^axayazbxbybz∣\begin{aligned}\mathbf a\times\mathbf b&=(a_yb_z-a_zb_y)\hat{\mathbf i}+(a_zb_x-a_xb_z)\hat{\mathbf j}+(a_xb_y-a_yb_x)\hat{\mathbf k}\\&=\begin{vmatrix}\hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\end{aligned}

รูปดีเทอร์มิแนนต์เป็นสัญลักษณ์ช่วยจำการขยาย ไม่ใช่ดีเทอร์มิแนนต์ตัวเลขธรรมดา เพราะแถวแรกมีเวกเตอร์ ขยายแถวแรกได้เครื่องหมาย +,−,++,-,+: i^(aybz−azby)−j^(axbz−azbx)+k^(axby−aybx)\hat{\mathbf i}(a_yb_z-a_zb_y)-\hat{\mathbf j}(a_xb_z-a_zb_x)+\hat{\mathbf k}(a_xb_y-a_yb_x) สูตรบรรทัดแรกกระจายลบของพจน์ jj ให้แล้ว

C4 Orthogonality checks ตรวจคำตอบด้วย Dot product

(a×b)⋅a=0,(a×b)⋅b=0(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=0,\qquad(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0

คำตอบถูกต้องต้องผ่านทั้งสองเงื่อนไข แต่เงื่อนไขนี้เพียงอย่างเดียวยังตรวจขนาดหรือการกลับเครื่องหมายไม่ได้ ต้องตรวจสูตรองค์ประกอบและกฎมือขวาด้วย

ตัวอย่าง C-2 · คิดทีละแกนและตรวจสองวิธี

หา a×b\mathbf a\times\mathbf b เมื่อ a=(2,−1,3)\mathbf a=(2,-1,3), b=(1,4,−2)\mathbf b=(1,4,-2)

  1. แกน xx: aybz−azby=(−1)(−2)−(3)(4)=2−12=−10a_yb_z-a_zb_y=(-1)(-2)-(3)(4)=2-12=-10

  2. แกน yy: azbx−axbz=(3)(1)−(2)(−2)=3+4=7a_zb_x-a_xb_z=(3)(1)-(2)(-2)=3+4=7 หากใช้ดีเทอร์มิแนนต์ พจน์ในวงเล็บคือ −7-7 แล้วคูณลบหน้า jj ได้ +7+7

  3. แกน zz: axby−aybx=(2)(4)−(−1)(1)=8+1=9a_xb_y-a_yb_x=(2)(4)-(-1)(1)=8+1=9

  4. ตรวจตั้งฉากกับ a\mathbf a: (−10)(2)+(7)(−1)+(9)(3)=−20−7+27=0(-10)(2)+(7)(-1)+(9)(3)=-20-7+27=0 และกับ b\mathbf b: −10+28−18=0-10+28-18=0

  5. ตรวจขนาด: ∥a∥2=14\|\mathbf a\|^2=14, ∥b∥2=21\|\mathbf b\|^2=21, a⋅b=−8\mathbf a\cdot\mathbf b=-8 จึง ∥a×b∥2=14(21)−(−8)2=230\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=14(21)-(-8)^2=230 ตรงกับ (−10)2+72+92=230(-10)^2+7^2+9^2=230

a×b=(−10,7,9)\mathbf a\times\mathbf b=(-10,7,9), ขนาด 230≈15.166\sqrt{230}\approx15.166

สูตรองค์ประกอบมาจากการแจกแจง (axi^+ayj^+azk^)×(bxi^+byj^+bzk^)(a_x\hat{\mathbf i}+a_y\hat{\mathbf j}+a_z\hat{\mathbf k})\times(b_x\hat{\mathbf i}+b_y\hat{\mathbf j}+b_z\hat{\mathbf k}) เป็น 9 พจน์ พจน์ที่คูณฐานเดียวกันหายไป เหลือ 6 พจน์ ใช้ C2 รวมเป็นสามแกน ดังนั้นสูตรไม่ได้เป็นเพียงกฎจำเครื่องหมาย แต่สอดคล้องกับความหมายของฐานทุกพจน์

4. เวกเตอร์ 2 มิติ: องค์ประกอบ z และพื้นที่มีเครื่องหมาย

ถ้าเวกเตอร์อยู่ในระนาบ xyxy ให้เติมศูนย์เป็น a=(ax,ay,0)\mathbf a=(a_x,a_y,0), b=(bx,by,0)\mathbf b=(b_x,b_y,0) ผลคูณจะชี้ตามแกน zz เท่านั้น บางโปรแกรมคืนค่าตัวเลขเดียว axby−aybxa_xb_y-a_yb_x เรียกว่า 2D cross แต่ตัวเลขนี้เป็นองค์ประกอบ zz ของ Cross product สามมิติ จึงต้องแยกจากเวกเตอร์ผลลัพธ์

C5 Planar signed cross ครอสบนระนาบ

(ax,ay,0)×(bx,by,0)=(0,0,axby−aybx),Atriangle=12∣axby−aybx∣(a_x,a_y,0)\times(b_x,b_y,0)=(0,0,a_xb_y-a_yb_x),\qquad A_{\rm triangle}=\tfrac12|a_xb_y-a_yb_x|

เมื่อ +x+x ชี้ขวา +y+y ชี้ขึ้น และมองจากด้าน +z+z เข้าหาจุดกำเนิด ค่าบวกหมายถึงการหมุนจาก a\mathbf a ไป b\mathbf b ทวนเข็มนาฬิกาผ่านมุมไม่เกิน 180∘180^\circ; ค่าลบตามเข็ม ระวังพิกัดจอที่แกน yy ชี้ลง เพราะภาพจะดูสลับทิศ

ตัวอย่าง C-3 · พื้นที่สามเหลี่ยมจากจุดสามจุด

ให้ A=(1,1)A=(1,1), B=(5,2)B=(5,2), C=(2,4)C=(2,4) หาพื้นที่และทิศเรียงจุด

  1. สร้างเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นเดียวกัน: AB→=(4,1)\overrightarrow{AB}=(4,1), AC→=(1,3)\overrightarrow{AC}=(1,3) อย่า Cross ตำแหน่ง BB กับ CC โดยตรง เพราะสามเหลี่ยมไม่ได้เริ่มที่จุดกำเนิด

  2. องค์ประกอบ z=4(3)−1(1)=11z=4(3)-1(1)=11 ดังนั้น AB→×AC→=(0,0,11)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,11)

  3. พื้นที่สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยม: A=11/2=5.5A=11/2=5.5 ตารางหน่วย เครื่องหมายบวกบอกว่า A→B→CA\to B\to C เรียงทวนเข็มในพิกัดมาตรฐาน

พื้นที่ 5.55.5 ตารางหน่วย · ลำดับจุดทวนเข็มนาฬิกา · หากสลับ B,CB,C พื้นที่ยังเท่าเดิม แต่เครื่องหมายเปลี่ยน

ในงาน CAD หรือเมชสามเหลี่ยม เครื่องหมายนี้ช่วยกำหนดการเรียงจุดและด้านหน้าของพื้นผิว เมื่อมีค่าทศนิยมใกล้ศูนย์มาก ควรเทียบกับเกณฑ์ที่สัมพันธ์กับสเกลของพิกัดและความแม่นยำของการวัด ไม่ตัดสินด้วยการเท่ากับศูนย์แบบตัวเลขลอยตัวเพียงอย่างเดียว

5. สมบัติที่ใช้ได้ และเหตุผลที่ห้ามสลับวงเล็บ

C6 Algebraic properties สมบัติพีชคณิต

a×b=−b×a,a×a=0a×(b+c)=a×b+a×c(a+b)×c=a×c+b×c(αa)×(βb)=αβ(a×b)\begin{gathered}\mathbf a\times\mathbf b=-\mathbf b\times\mathbf a,\qquad \mathbf a\times\mathbf a=\mathbf0\\\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c\\(\mathbf a+\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf a\times\mathbf c+\mathbf b\times\mathbf c\\(\alpha\mathbf a)\times(\beta\mathbf b)=\alpha\beta(\mathbf a\times\mathbf b)\end{gathered}

ใช้ได้กับสเกลาร์จริง α,β\alpha,\beta การดึงสเกลาร์ออกไม่สลับลำดับเวกเตอร์

C7 Lagrange's identity ตรวจขนาดโดยไม่หามุม

∥a×b∥2=∥a∥2∥b∥2−(a⋅b)2\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2

มาจาก sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta=1-\cos^2\theta ใช้ตรวจตัวอย่าง C-2 ได้ทันที ถ้าคำนวณตัวเลขลอยตัวแล้วได้ติดลบเล็กน้อยในกรณีเกือบขนาน ให้ตรวจความคลาดเคลื่อนและความแม่นยำก่อนถอดราก

Cross product ไม่เปลี่ยนกลุ่ม: ให้ a=i^\mathbf a=\hat{\mathbf i}, b=i^\mathbf b=\hat{\mathbf i}, c=j^\mathbf c=\hat{\mathbf j} จะได้ (a×b)×c=0(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf0 แต่ a×(b×c)=i^×k^=−j^\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\hat{\mathbf i}\times\hat{\mathbf k}=-\hat{\mathbf j} จึงห้ามลบวงเล็บหรือเลื่อนวงเล็บตามใจ

6. เวกเตอร์ปกติและสมการระนาบ

สองทิศที่ไม่ขนานกันในระนาบกำหนดทิศตั้งฉากได้ด้วย Cross product หากต้องการปกติหนึ่งหน่วยให้นำผลหารด้วยความยาว ถ้าผลเป็นศูนย์ แสดงว่าสองทิศไม่พอที่จะกำหนดระนาบ ต้องเลือกเวกเตอร์อิสระอีกตัว

C8 Normal and plane ปกติหนึ่งหน่วยและสมการระนาบ

n^=a×b∥a×b∥,n⋅(x−p)=0,n=a×b≠0\hat{\mathbf n}=\frac{\mathbf a\times\mathbf b}{\|\mathbf a\times\mathbf b\|},\qquad \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0,\quad \mathbf n=\mathbf a\times\mathbf b\ne\mathbf0

p\mathbf p เป็นจุดหนึ่งบนระนาบ และ x=(x,y,z)\mathbf x=(x,y,z) เป็นจุดทั่วไป −n^-\hat{\mathbf n} ก็เป็นปกติอีกด้านของระนาบเดียวกัน แต่มีผลต่อเครื่องหมายของฟลักซ์และการเรียงเมช

ตัวอย่าง C-4 · หา normal ของแผ่นในสามมิติ

ระนาบผ่าน P=(1,2,−1)P=(1,2,-1) และขนานกับ a=(2,−1,3)\mathbf a=(2,-1,3), b=(1,4,−2)\mathbf b=(1,4,-2) หาสมการระนาบ

  1. ใช้ผลจาก C-2: n=(−10,7,9)\mathbf n=(-10,7,9) ไม่เป็นศูนย์ จึงกำหนดระนาบได้

  2. ตั้ง n⋅(x−p)=0\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf p)=0: −10(x−1)+7(y−2)+9(z+1)=0-10(x-1)+7(y-2)+9(z+1)=0

  3. จัดรูปเป็น −10x+7y+9z+5=0-10x+7y+9z+5=0 ตรวจแทน PP ได้ −10+14−9+5=0-10+14-9+5=0

ระนาบ −10x+7y+9z+5=0-10x+7y+9z+5=0 · ปกติหนึ่งหน่วย n^=(−10,7,9)/230\hat{\mathbf n}=(-10,7,9)/\sqrt{230}

7. Scalar triple product: ปริมาตรและการอยู่ร่วมระนาบ

Cross สองเวกเตอร์ให้เวกเตอร์พื้นที่ แล้ว Dot กับเวกเตอร์ตัวที่สามเพื่อดึงเฉพาะความสูงตามปกติ ผลจึงเป็น “พื้นที่ฐาน × ความสูงมีเครื่องหมาย” สังเกตว่าสูตรนี้ให้สเกลาร์ ต่างจาก Cross สองครั้งที่หัวข้อถัดไป

C9 Scalar triple product ปริมาตรมีเครื่องหมาย

s=a⋅(b×c)=∣axayazbxbybzcxcycz∣,Vparallelepiped=∣s∣,Vtetrahedron=∣s∣6s=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix},\qquad V_{\rm parallelepiped}=|s|,\qquad V_{\rm tetrahedron}=\frac{|s|}{6}

หมุนลำดับแบบวงรอบแล้วค่าเดิม: a⋅(b×c)=b⋅(c×a)=c⋅(a×b)\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b\cdot(\mathbf c\times\mathbf a)=\mathbf c\cdot(\mathbf a\times\mathbf b) สลับสองตัวแล้วเครื่องหมายกลับ ถ้า s=0s=0 เวกเตอร์สามตัวพึ่งพาเชิงเส้นและอยู่ในระนาบผ่านจุดกำเนิดร่วมกันได้ ปริมาตรเป็นศูนย์

ตัวอย่าง C-5 · ปริมาตรกล่องเอียง

ขอบจากมุมเดียวกันเป็น a=(2,0,0) m\mathbf a=(2,0,0)\,\mathrm m, b=(1,3,0) m\mathbf b=(1,3,0)\,\mathrm m, c=(0,1,4) m\mathbf c=(0,1,4)\,\mathrm m

  1. หา b×c=(12,−4,1) m2\mathbf b\times\mathbf c=(12,-4,1)\,\mathrm{m^2}

  2. Dot กับ a\mathbf a: s=2(12)+0(−4)+0(1)=24 m3s=2(12)+0(-4)+0(1)=24\,\mathrm{m^3}

  3. ตรวจเรขาคณิต: พื้นที่ฐาน ∥a×b∥=6 m2\|\mathbf a\times\mathbf b\|=6\,\mathrm{m^2} ความสูงตามแกน z=4 mz=4\,\mathrm m จึง 6⋅4=24 m36\cdot4=24\,\mathrm{m^3}

กล่องเอียงมีปริมาตร 24 m324\,\mathrm{m^3} · ทรงสี่หน้าที่ใช้สามขอบนี้จากจุดเดียวกันมีปริมาตร 4 m34\,\mathrm{m^3}

8. Vector triple product: สูตร BAC–CAB

ครอสซ้อนครอส เช่น a×(b×c)\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c) ยังเป็นเวกเตอร์ โดยผลอยู่ในระนาบที่กางโดย b,c\mathbf b,\mathbf c อัตลักษณ์ต่อไปนี้ทำให้เปลี่ยน Cross ซ้อนเป็นการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ Dot ได้ และย้ำว่าต้องรักษาวงเล็บ

C10 Vector triple product BAC–CAB และวงเล็บอีกด้าน

a×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b)\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b) (a×b)×c=b(a⋅c)−a(b⋅c)(\mathbf a\times\mathbf b)\times\mathbf c=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf a(\mathbf b\cdot\mathbf c)

จำ BAC–CAB สำหรับสูตรแรก: เวกเตอร์ bb คูณ Dot ของ a,ca,c ลบเวกเตอร์ cc คูณ Dot ของ a,ba,b สูตรที่สองมีเวกเตอร์ตัวหลังพจน์ลบต่างกัน จึงห้ามเปลี่ยนกลุ่ม

C11 Double cross and projection ดึงส่วนตั้งฉากกับแนวหนึ่งหน่วย

u^×(a×u^)=a−(a⋅u^)u^=a⊥,∥u^∥=1\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})=\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf u})\hat{\mathbf u}=\mathbf a_\perp,\qquad\|\hat{\mathbf u}\|=1

สูตรนี้เชื่อมกับ Component และ Projection เพราะแยกส่วนขนานออก เหลือส่วนตั้งฉาก หากใช้ u^×(u^×a)\hat{\mathbf u}\times(\hat{\mathbf u}\times\mathbf a) จะได้ −a⊥-\mathbf a_\perp เนื่องจากลำดับกลับกัน

ตัวอย่าง C-6 · ดึงองค์ประกอบบนระนาบ xy

ให้ a=(3,4,5)\mathbf a=(3,4,5), u^=k^\hat{\mathbf u}=\hat{\mathbf k} คำนวณ u^×(a×u^)\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})

  1. ครอสด้านใน: (3,4,5)×(0,0,1)=(4,−3,0)(3,4,5)\times(0,0,1)=(4,-3,0)

  2. ครอสด้านนอก: (0,0,1)×(4,−3,0)=(3,4,0)(0,0,1)\times(4,-3,0)=(3,4,0)

  3. ตรวจ C11: a⋅k^=5\mathbf a\cdot\hat{\mathbf k}=5 จึง a−5k^=(3,4,0)\mathbf a-5\hat{\mathbf k}=(3,4,0)

ผล (3,4,0)(3,4,0) คือส่วนของ a\mathbf a ที่ตั้งฉากกับแกน zz ไม่ใช่ส่วนขนานกับแกน zz

9. เหตุใดวิศวกรรมจึงใช้ Cross product

งานสูตรความหมาย
โมเมนต์แรงรอบจุด OτO=rOP×F\boldsymbol\tau_O=\mathbf r_{OP}\times\mathbf Fขนาดวัดการหมุน ทิศบอกแกนหมุน โดย r\mathbf r เริ่มจากจุดอ้างอิงไปจุดออกแรง
แรงแม่เหล็กต่อประจุFB=qv×B\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf Bตั้งฉากกับความเร็วและสนาม ประจุลบกลับทิศจากกฎมือขวา
แรงต่อสายตรงในสนามสม่ำเสมอFB=IL×B\mathbf F_B=I\mathbf L\times\mathbf BL\mathbf L ชี้ตามกระแสแบบดั้งเดิม เฉพาะส่วนสายที่อยู่ในสนาม
หุ่นยนต์ข้อต่อหมุนv=ω×r\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf rความเร็วสัมผัสตั้งฉากกับแนวรัศมี

ดูโจทย์ที่แทนค่าหน่วยจริง พร้อมเงื่อนไขการใช้สูตรและการตรวจความสมเหตุผลได้ที่ การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม หรือทดลองเปลี่ยนองค์ประกอบและดูทิศผลคูณใน Vector Lab

Cross product ทำงานจริงที่ไหนในชุดนี้

โมเมนต์และแรงคู่ควบใน ระบบแรง · ความเร็ว ω × r และ Jacobian ใน แขนกล · แรงลอเรนซ์ F = q v × B แรงบนลวด F = I L × B และแรงบิดมอเตอร์ τ = m × B ใน สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและวิธีตรวจ

  • คิดว่า Cross ให้ตัวเลขเหมือน Dot: Cross ในบทนี้ให้เวกเตอร์สามองค์ประกอบ ส่วนขนาดของมันเป็นสเกลาร์
  • ลืมลบของแกน y: ใช้ azbx−axbza_zb_x-a_xb_z หรือใช้โคแฟกเตอร์ −j^(axbz−azbx)-\hat{\mathbf j}(a_xb_z-a_zb_x) อย่างใดอย่างหนึ่ง อย่าใส่ลบซ้ำ
  • สลับลำดับโดยคิดว่าไม่ต่าง: เขียนชื่อเวกเตอร์ตัวแรกและตัวที่สองไว้เสมอ เช่นโมเมนต์ใช้ r×F\mathbf r\times\mathbf F
  • ผลเป็นศูนย์แล้วหารหาปกติหนึ่งหน่วย: หารด้วยศูนย์ไม่ได้ ต้องเลือกสองทิศที่ไม่ขนานกัน
  • พื้นที่สามเหลี่ยมไม่หารสอง หรือปริมาตรทรงสี่หน้าไม่หารหก: ขนาด Cross คือพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน และขนาด scalar triple คือปริมาตรกล่องเอียง
  • ใช้เวกเตอร์คนละระบบพิกัด: แปลงให้เป็นฐานเดียวกันก่อน ผลในฐานมือซ้ายต้องจัดการข้อตกลงการวางแนวอย่างถูกต้อง
  • นำเฟสเซอร์ AC มาอ่านเป็นลูกศรในอวกาศ: มุมเฟสในระนาบเชิงซ้อนแสดงความสัมพันธ์ตามเวลา ไม่ใช่มุมระหว่างแรงหรือสนามใน R3\mathbb R^3 โดยอัตโนมัติ

11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

ลองทำโดยปิดเฉลยก่อน ทุกข้อควรเขียนลำดับเวกเตอร์และตรวจทิศหรือหน่วยอย่างน้อยหนึ่งวิธี

  1. ให้ a=(1,2,0)\mathbf a=(1,2,0), b=(3,−1,0)\mathbf b=(3,-1,0) หา Cross และพื้นที่สามเหลี่ยมที่กางด้วยสองเวกเตอร์
  2. ให้ a=(1,0,2)\mathbf a=(1,0,2), b=(0,3,1)\mathbf b=(0,3,1) หา Cross และตรวจว่าตั้งฉากกับทั้งคู่
  3. เวกเตอร์สองตัวมีขนาด 5 และ 8 ทำมุม 30∘30^\circ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยมเท่าไร?
  4. ให้ a=(2,4,6)\mathbf a=(2,4,6), b=(−1,−2,−3)\mathbf b=(-1,-2,-3) หา Cross และอธิบายเหตุผลทางเรขาคณิต
  5. ให้ขอบ (1,0,0)(1,0,0), (0,2,0)(0,2,0), (1,1,3)(1,1,3) หน่วยเมตร หา scalar triple และปริมาตรทรงสี่หน้า
  6. ให้ a=(2,−1,4)\mathbf a=(2,-1,4), u^=i^\hat{\mathbf u}=\hat{\mathbf i} หา u^×(a×u^)\hat{\mathbf u}\times(\mathbf a\times\hat{\mathbf u})
เปิดเฉลยและจุดตรวจคำตอบ
  1. a×b=(0,0,−7)\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,-7) เพราะ 1(−1)−2(3)=−71(-1)-2(3)=-7 พื้นที่สามเหลี่ยม 7/2=3.57/2=3.5 ตารางหน่วย
  2. (−6,−1,3)(-6,-1,3); Dot กับ a\mathbf a ได้ −6+6=0-6+6=0 และกับ b\mathbf b ได้ −3+3=0-3+3=0
  3. สี่เหลี่ยม 5⋅8⋅sin⁡30∘=205\cdot8\cdot\sin30^\circ=20 ตารางหน่วย สามเหลี่ยม 10 ตารางหน่วย
  4. 0\mathbf0 เพราะ a=−2b\mathbf a=-2\mathbf b จึงอยู่แนวเดียวกันและสวนทาง
  5. scalar triple s=6 m3s=6\,\mathrm{m^3} เพราะ (0,2,0)×(1,1,3)=(6,0,−2)(0,2,0)\times(1,1,3)=(6,0,-2); ทรงสี่หน้า ∣s∣/6=1 m3|s|/6=1\,\mathrm{m^3}
  6. a−(a⋅i^)i^=(0,−1,4)\mathbf a-(\mathbf a\cdot\hat{\mathbf i})\hat{\mathbf i}=(0,-1,4) เป็นส่วนตั้งฉากกับแกน xx

12. สรุปสูตร Cross product

ต้องการหาสูตรรหัส
ขนาดผลคูณ∥a∥∥b∥sin⁡θ\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\thetaC1
องค์ประกอบ(aybz−azby, azbx−axbz, axby−aybx)(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x)C3
ตรวจตั้งฉาก(a×b)⋅a=(a×b)⋅b=0(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0C4
พื้นที่สามเหลี่ยม12∥a×b∥\tfrac12\|\mathbf a\times\mathbf b\|C5
ตรวจขนาด∥a×b∥2=∥a∥2∥b∥2−(a⋅b)2\|\mathbf a\times\mathbf b\|^2=\|\mathbf a\|^2\|\mathbf b\|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2C7
ปกติหนึ่งหน่วย(a×b)/∥a×b∥(\mathbf a\times\mathbf b)/\|\mathbf a\times\mathbf b\|C8
ปริมาตรกล่องเอียง∣a⋅(b×c)∣|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)|C9
Cross ซ้อนa×(b×c)=b(a⋅c)−c(a⋅b)\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=\mathbf b(\mathbf a\cdot\mathbf c)-\mathbf c(\mathbf a\cdot\mathbf b)C10

13. แหล่งอ่านต่อและขอบเขตของบทเรียน

เนื้อหานี้ใช้เวกเตอร์จริงในปริภูมิยุคลิดและฐานคาร์ทีเซียนแบบมือขวา ตัวอย่างตัวเลขเป็นโจทย์สาธิตที่เขียนขึ้นเพื่ออธิบายสูตร ไม่ใช่ข้อมูลทดสอบอุปกรณ์จริง อ่านนิยามและพิสูจน์เพิ่มเติมจากตำราเปิดต่อไปนี้

บทถัดไป การประยุกต์เวกเตอร์ทางวิศวกรรม จะรวมการบวก การฉาย Dot และ Cross เพื่อแก้โจทย์แรง งาน โมเมนต์ และสนามแม่เหล็กอย่างเป็นขั้นตอน

คำถามที่พบบ่อย

Dot product กับ Cross product ต่างกันอย่างไร?

Dot product ให้สเกลาร์และวัดส่วนที่ขนานกัน โดย a·b = |a||b|cosθ ส่วน Cross product ในสามมิติให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้งสองตัว มีขนาด |a||b|sinθ และทิศตามกฎมือขวา

ทำไมองค์ประกอบ j ของ Cross product ต้องระวังเครื่องหมาย?

เมื่อขยายรูปดีเทอร์มิแนนต์ตามแถวแรก เครื่องหมายโคแฟกเตอร์เป็นบวก ลบ บวก จึงได้องค์ประกอบ y เป็น az bx − ax bz ถ้าสลับลำดับการลบแล้วใส่ลบเพิ่มอีกจะผิด

เวกเตอร์สองมิติหา Cross product ได้ไหม?

ฝังเวกเตอร์ (ax, ay) เป็น (ax, ay, 0) ในสามมิติ แล้วผลคือ (0, 0, ax by − ay bx) บางบริบทเรียกจำนวนองค์ประกอบ z นี้ว่า 2D cross product ซึ่งเป็นสเกลาร์พื้นที่มีเครื่องหมาย ต้องระบุข้อตกลงให้ชัด

Cross product เป็นศูนย์หมายถึงอะไร?

ถ้าทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงขนานหรือสวนทางกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์ก็ได้ผลศูนย์เช่นกัน จึงหาทิศปกติหนึ่งหน่วยจากผลศูนย์ไม่ได้

Cross product ใช้กับเวกเตอร์จำนวนมิติใดก็ได้หรือไม่?

สูตรเวกเตอร์สามองค์ประกอบและกฎมือขวาในบทนี้ใช้กับปริภูมิยุคลิดสามมิติที่มีฐานตั้งฉากหนึ่งหน่วยแบบมือขวา ไม่ใช่สูตรทั่วไปสำหรับเวกเตอร์ n มิติ

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์