ค่าสูงสุด-ต่ำสุดของฟังก์ชันหลายตัวแปร: จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange Multiplier) และกำลังสองน้อยสุด

1. $f_x = 4x^3 - 4y = 0$ และ $f_y = 4y^3 - 4x = 0$ → $y = x^3$ และ $x = y^3$

2. แทน $y = x^3$ ใน $x = y^3$: $x = x^9$ → $x(x^8 - 1) = 0$ ได้ $x = 0, 1, -1$ (ค่าจริง) จึงได้จุด $(0, 0),\ (1, 1),\ (-1, -1)$

3. อนุพันธ์อันดับสอง: $f_{xx} = 12x^2$ · $f_{yy} = 12y^2$ · $f_{xy} = -4$

4. ที่ $(0,0)$: $D = 0\cdot0 - 16 = -16 < 0$ → จุดอานม้า

5. ที่ $(1, 1)$ และ $(-1,-1)$: $f_{xx} = 12,\ f_{yy} = 12$ → $D = 144 - 16 = 128 > 0$ และ $f_{xx} > 0$ → ต่ำสุดสัมพัทธ์ ทั้งสองจุด ค่า $f = 1 + 1 - 4 = -2$

$(0,0)$: อานม้า $f = 0$ · $(1,1)$ และ $(-1,-1)$: ต่ำสุดสัมพัทธ์ $f = -2$

1. $f_x = 3x^2 - 3y^2,\ f_y = -6xy$ → $(0, 0)$ เป็นจุดวิกฤต (และเป็นจุดเดียว)

2. $f_{xx} = 6x,\ f_{yy} = -6x,\ f_{xy} = -6y$ ที่จุดกำเนิดเป็น 0 ทั้งหมด → $D = 0$ ทดสอบไม่สรุป

3. ตรวจด้วยการพิจารณาตามเส้น: ตามแกน $x$ $f = x^3$ ซึ่งเป็นลบเมื่อ $x < 0$ และบวกเมื่อ $x > 0$ → ไม่ใช่ทั้งสูงสุดและต่ำสุด

4. เป็นจุดอานม้าชนิด “สามหุบ” (ผิวมีสามร่องขึ้นและสามร่องลง เหมือนอานสำหรับลิงที่มีหาง)

$D = 0$ การทดสอบไม่สรุป · ตรวจโดยตรงพบเป็นจุดอานม้า

1. จุดวิกฤตภายใน: $f_x = 2x - 2y = 0$ และ $f_y = -2x + 2 = 0$ → $(1, 1)$ อยู่ภายใน · $f(1, 1) = 1 - 2 + 2 = 1$

2. ขอบล่าง $y = 0$, $0 \le x \le 3$: $f = x^2$ ต่ำสุด 0 ที่ $x = 0$ สูงสุด 9 ที่ $x = 3$

3. ขอบขวา $x = 3$, $0 \le y \le 2$: $f = 9 - 6y + 2y = 9 - 4y$ ลดลง จาก 9 (ที่ $y = 0$) ถึง 1 (ที่ $y = 2$)

4. ขอบบน $y = 2$, $0 \le x \le 3$: $f = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ ต่ำสุด 0 ที่ $x = 2$ สูงสุด 4 ที่ $x = 0$

5. ขอบซ้าย $x = 0$, $0 \le y \le 2$: $f = 2y$ จาก 0 ถึง 4

6. เทียบค่าที่ได้ทั้งหมด: $1,\ 0,\ 9,\ 1,\ 0,\ 4,\ 4$ → มากสุด 9 ที่ $(3, 0)$ · น้อยสุด 0 ที่ $(0, 0)$ และ $(2, 2)$

สูงสุดสัมบูรณ์ $f = 9$ ที่ $(3, 0)$ · ต่ำสุดสัมบูรณ์ $f = 0$ ที่ $(0, 0)$ และ $(2, 2)$ (จุดวิกฤต $(1,1)$ ให้แค่ $f = 1$ ซึ่งเป็นจุดอานม้า)

1. ให้ยาว $x$ กว้าง $y$ สูง $z$ · ปริมาตร $V = xyz$ · พื้นที่ผิว $xy + 2yz + 2xz = 12$

2. แก้ $z = \dfrac{12 - xy}{2(x + y)}$ แล้วแทน: $V(x, y) = \dfrac{xy(12 - xy)}{2(x + y)}$ (ฟังก์ชันสองตัวแปร)

3. แก้ $V_x = V_y = 0$ (โดยสมมาตรของ $x$ กับ $y$) ได้ $x = y = 2$ (จุดวิกฤตที่ใช้ได้ คือ $x, y > 0$)

4. $z = \dfrac{12 - 4}{2\cdot 4} = 1$ · $V = 2\cdot2\cdot1 = 4$ ลูกบาศก์เมตร

5. เหตุผลว่าเป็นสูงสุด: $V \to 0$ ที่ขอบ ($x\to0$, $y\to0$ หรือ $xy \to 12$) และจุดวิกฤตเดียวที่ภายในจึงต้องเป็นค่าสูงสุด

ขนาด $2 \times 2 \times 1$ ม. (ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูงครึ่งหนึ่งของด้านฐาน) ปริมาตร $4$ ม³

1. $\nabla f = \langle y, x\rangle$ · $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$ → $y = \lambda,\ x = \lambda$ จึง $x = y$

2. เงื่อนไข $x + y = 10$ → $x = y = 5$ · $f = 25$ ตารางเมตร (จัตุรัสพื้นที่สูงสุด)

3. $\lambda = 5$ · ตรวจความหมาย: เมื่อ $x + y = c$ พื้นที่สูงสุดคือ $f^* = c^2/4$ จึง $df^*/dc = c/2 = 5$ ที่ $c = 10$ ตรงกับ $\lambda$ ✓

4. ตีความ: ต่อลวดเพิ่ม 1 เมตร (เส้นรอบรูปเป็น 21 m จึง $c$ เพิ่ม $\Delta c = 0.5$) พื้นที่สูงสุดเพิ่มประมาณ $\lambda\,\Delta c = 5 \times 0.5 = 2.5$ ตร.ม. · ตรวจ: $c = 10.5$ ให้ $f^* = 10.5^2/4 = 27.56$ เพิ่มจาก 25 อยู่ 2.56 ✓

$x = y = 5$, $f_{\max} = 25$ m², $\lambda = 5$

1. $\nabla f = \langle 2x, 4y\rangle$ · $\nabla g = \langle 2x, 2y\rangle$ · ตั้ง $2x = 2\lambda x$ และ $4y = 2\lambda y$

2. กรณี $x \ne 0$: $\lambda = 1$ แล้ว $4y = 2y$ → $y = 0$ → $x = \pm 1$ · $f = 1$

3. กรณี $y \ne 0$: $\lambda = 2$ แล้ว $2x = 4x$ → $x = 0$ → $y = \pm 1$ · $f = 2$

4. เทียบ: $f(\pm1, 0) = 1,\ f(0, \pm1) = 2$

สูงสุด $f = 2$ ที่ $(0, \pm1)$ ($\lambda = 2$) · ต่ำสุด $f = 1$ ที่ $(\pm1, 0)$ ($\lambda = 1$)

1. เงื่อนไข $g = \pi r^2 h = 355$ · $\nabla A = \langle 4\pi r + 2\pi h,\ 2\pi r\rangle$ · $\nabla g = \langle 2\pi rh,\ \pi r^2\rangle$ (ตัวแปรเรียง $r, h$)

2. จาก $2\pi r = \lambda\pi r^2$ ได้ $\lambda = 2/r$

3. แทนใน $4\pi r + 2\pi h = \lambda\cdot 2\pi rh = 4\pi h$ → $4\pi r = 2\pi h$ → $h = 2r$

4. เงื่อนไข: $\pi r^2(2r) = 355$ → $r = \sqrt[3]{355/(2\pi)} = 3.837$ cm → $h = 7.674$ cm

5. $A_{\min} = 6\pi r^2 = 6\pi(14.72) = 277.5$ cm² · กระป๋องที่ดีที่สุดมีความสูง = เส้นผ่านศูนย์กลางพอดี (ในทางปฏิบัติกระป๋องจริงสูงกว่าเพราะเหตุผลการจับถือ รอยตะเข็บ และต้นทุนพิมพ์)

$r = 3.84$ cm, $h = 7.67$ cm ($h = 2r$) · พื้นที่ผิวต่ำสุด $\approx 277.5$ cm²

1. เงื่อนไข: มุมคานอยู่บนวงกลม $w^2 + h^2 = D^2$ · $\nabla f = \langle h^2,\ 2wh\rangle$ · $\nabla g = \langle 2w,\ 2h\rangle$

2. $h^2 = 2\lambda w$ และ $2wh = 2\lambda h$ → (เมื่อ $h \ne 0$) $\lambda = w$ → $h^2 = 2w^2$

3. แทนในเงื่อนไข: $w^2 + 2w^2 = D^2$ → $w = D/\sqrt3 = 0.2887$ m และ $h = D\sqrt{2/3} = 0.4082$ m

4. $h/w = \sqrt2 = 1.414$ — อัตราส่วนคลาสสิกของคานไม้จากซุงกลม (ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งได้ $w = h = 0.354$ และ $wh^2 = 0.0442$ เทียบกับค่าที่ดีที่สุด $0.2887\times0.4082^2 = 0.0481$, ดีกว่า 8.9%)

$w = 0.289$ m, $h = 0.408$ m ($h/w = \sqrt2$) · แข็งแรงกว่าหน้าตัดจัตุรัสจากซุงเดียวกันราว 9%

1. ผลรวม: $n = 4$ · $\sum x = 10$ · $\sum y = 20.0$ · $\sum x^2 = 30$ · $\sum xy = 2.1 + 7.8 + 18.6 + 31.2 = 59.7$

2. สมการปกติ: $30a + 10b = 59.7$ และ $10a + 4b = 20.0$

3. จากสมการที่สอง $b = 5 - 2.5a$ แทนในสมการแรก: $30a + 50 - 25a = 59.7$ → $5a = 9.7$ → $a = 1.94$ และ $b = 5 - 4.85 = 0.15$

4. ตรวจ: เส้นผ่านจุดศูนย์กลาง $(\bar x, \bar y) = (2.5, 5.0)$: $1.94(2.5) + 0.15 = 5.0$ ✓

$y = 1.94x + 0.15$

1. กฎของโอห์ม $V = RI$: ความชัน $a$ ของกราฟ $V$–$I$ คือ $R$ (หน่วย V/mA = kΩ)

2. กำลังสองน้อยสุดให้ $a = 0.4957$ kΩ และ $b = 0.0233$ V (ค่าชดเชยของเครื่องวัด/อ็อฟเซต)

3. $R \approx 496\ \Omega$ · $R^2 = 0.9996$ เส้นตรงอธิบายข้อมูลได้ดีมาก และ $b$ เล็กมากเทียบกับ $V$ สูงสุด

4. ถ้าบังคับเส้นผ่านจุดกำเนิด ($b = 0$) จะได้ $R = \sum IV/\sum I^2 = 45.6/91 = 0.5011$ kΩ (501 Ω) ใกล้กัน · หากต้องการประเมินความไม่แน่นอนของ $R$ ใช้ความแปรปรวนของส่วนเหลือ

$R \approx 496\ \Omega$ ($R^2 = 0.9996$) · ออฟเซตเครื่องวัด $\approx 23$ mV