หน้าแรก คลังความรู้ ฟังก์ชัน // บทที่ 1 · คณิตศาสตร์วิศวกรรม · Functions
ฟังก์ชัน (Functions): โดเมน เรนจ์ กราฟ และการแปลง
แคลคูลัสทั้งหมดคือการถามคำถามเกี่ยวกับฟังก์ชัน: เข้าใกล้ค่าอะไร (ลิมิต) เปลี่ยนเร็วแค่ไหน (อนุพันธ์) สะสมได้เท่าไร (อินทิกรัล) ถ้าอ่านฟังก์ชันและกราฟได้คล่อง ทุกบทหลังจากนี้จะง่ายขึ้นมาก หน้านี้ปูพื้นตั้งแต่นิยาม โดเมน เรนจ์ กราฟพื้นฐาน การแปลงกราฟ ฟังก์ชันประกอบ ฟังก์ชันผกผัน ไปจนถึงฟังก์ชันที่วิศวกรไฟฟ้าใช้จริง พร้อมแล็บให้ลากเลื่อนกราฟเอง
สรุปใน 30 วินาที
ฟังก์ชัน = กฎที่ให้ y หนึ่งค่า ต่อ x หนึ่งค่า (ทดสอบเส้นแนวตั้ง)
โดเมน: ตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ รากที่สองติดลบ ลอการิทึมไม่เป็นบวก
a f ( b ( x − h ) ) + k af(b(x - h)) + k a f ( b ( x − h )) + k f − 1 f^{-1} f − 1
ระดับ พื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรม
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
ฟังก์ชันคืออะไร พื้นฐาน
ฟังก์ชันคือ “เครื่องจักร” ที่รับค่าเข้า x x x y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x )
F1 Function
f : A → B , x ↦ y = f ( x ) ค่าเดียว f: A \to B,\qquad x \mapsto y = f(x) \text{ ค่าเดียว} f : A → B , x ↦ y = f ( x ) ค่าเดียว A A A f ( x ) f(x) f ( x )
F2 Vertical line test
ทุกเส้น x = c ตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด ⟺ กราฟเป็นฟังก์ชัน \text{ทุกเส้น } x = c \text{ ตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด} \iff \text{กราฟเป็นฟังก์ชัน} ทุกเส้น x = c ตัดกราฟไม่เกิน 1 จุด ⟺ กราฟเป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่าง F-1 · แทนค่าฟังก์ชัน ให้ f ( x ) = x 2 − 3 x f(x) = x^2 - 3x f ( x ) = x 2 − 3 x f ( 2 ) f(2) f ( 2 ) f ( − 1 ) f(-1) f ( − 1 ) f ( a + h ) f(a + h) f ( a + h )
f ( 2 ) = 4 − 6 = − 2 , f ( − 1 ) = 1 + 3 = 4 f(2) = 4 - 6 = -2,\qquad f(-1) = 1 + 3 = 4 f ( 2 ) = 4 − 6 = − 2 , f ( − 1 ) = 1 + 3 = 4 แทน x x x ( a + h ) (a + h) ( a + h )
f ( a + h ) = ( a + h ) 2 − 3 ( a + h ) = a 2 + 2 a h + h 2 − 3 a − 3 h f(a + h) = (a+h)^2 - 3(a+h) = a^2 + 2ah + h^2 - 3a - 3h f ( a + h ) = ( a + h ) 2 − 3 ( a + h ) = a 2 + 2 ah + h 2 − 3 a − 3 h
f ( a + h ) − f ( a ) = 2 a h + h 2 − 3 h f(a+h) - f(a) = 2ah + h^2 - 3h f ( a + h ) − f ( a ) = 2 ah + h 2 − 3 h f ( a + h ) − f ( a ) h = 2 a + h − 3 \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = 2a + h - 3 h f ( a + h ) − f ( a ) = 2 a + h − 3 2 a − 3 2a - 3 2 a − 3 h → 0 h \to 0 h → 0 บทอนุพันธ์
โดเมนและเรนจ์ พื้นฐาน
F3 Natural domain
p ( x ) q ( x ) : q ( x ) ≠ 0 g ( x ) : g ( x ) ≥ 0 ln g ( x ) : g ( x ) > 0 \frac{p(x)}{q(x)}:\ q(x) \ne 0 \qquad \sqrt{g(x)}:\ g(x) \ge 0 \qquad \ln g(x):\ g(x) > 0 q ( x ) p ( x ) : q ( x ) = 0 g ( x ) : g ( x ) ≥ 0 ln g ( x ) : g ( x ) > 0 โดเมนตามธรรมชาติคือจำนวนจริงทุกตัวที่ไม่ละเมิดสามข้อนี้ · ในงานวิศวกรรมยังมีโดเมนทางกายภาพ เช่น t ≥ 0 t \ge 0 t ≥ 0 R > 0 R > 0 R > 0
ตัวอย่าง F-2 · หาโดเมนและเรนจ์ (ก) f ( x ) = 4 − x 2 f(x) = \sqrt{4 - x^2} f ( x ) = 4 − x 2 g ( x ) = 1 x 2 − 1 g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1} g ( x ) = x 2 − 1 1 h ( x ) = ln ( x − 2 ) h(x) = \ln(x - 2) h ( x ) = ln ( x − 2 )
(ก) 4 − x 2 ≥ 0 ⇒ − 2 ≤ x ≤ 2 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow -2 \le x \le 2 4 − x 2 ≥ 0 ⇒ − 2 ≤ x ≤ 2 [ 0 , 2 ] [0, 2] [ 0 , 2 ]
(ข) x 2 − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1 x^2 - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1 x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ± 1 ( − ∞ , − 1 ] ∪ ( 0 , ∞ ) (-\infty, -1] \cup (0, \infty) ( − ∞ , − 1 ] ∪ ( 0 , ∞ ) − 1 -1 − 1 x = 0 x = 0 x = 0
(ค) x − 2 > 0 ⇒ x > 2 x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 x − 2 > 0 ⇒ x > 2 R \mathbb{R} R
(ก) D = [ − 2 , 2 ] , R = [ 0 , 2 ] D = [-2, 2],\ R = [0, 2] D = [ − 2 , 2 ] , R = [ 0 , 2 ] D = R ∖ { ± 1 } D = \mathbb R \setminus \{\pm1\} D = R ∖ { ± 1 } D = ( 2 , ∞ ) , R = R D = (2, \infty),\ R = \mathbb R D = ( 2 , ∞ ) , R = R
กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานที่ต้องจำหน้าตาได้ พื้นฐาน
ฟังก์ชันที่ซับซ้อนเกือบทุกตัวสร้างจาก 12 แบบนี้ด้วยการบวก คูณ ประกอบ และแปลงกราฟ จำรูปร่าง จุดตัดแกน โดเมน และพฤติกรรมเมื่อ x ใหญ่มากของแต่ละตัวให้ได้
y = x y = x² y = x³ y = √x y = |x| y = 1/x y = eˣ y = ln x y = sin x y = cos x y = tan x y = u(x) ขั้นบันได ฟังก์ชันพื้นฐาน: เชิงเส้น กำลังสอง กำลังสาม รากที่สอง ค่าสัมบูรณ์ ส่วนกลับ เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และขั้นบันได
F4 Even & odd
คู่: f ( − x ) = f ( x ) , คี่: f ( − x ) = − f ( x ) \text{คู่: } f(-x) = f(x),\qquad \text{คี่: } f(-x) = -f(x) คู่ : f ( − x ) = f ( x ) , คี่ : f ( − x ) = − f ( x ) คู่สมมาตรกับแกน y (x 2 , cos x , ∣ x ∣ x^2,\ \cos x,\ |x| x 2 , cos x , ∣ x ∣ x 3 , sin x , 1 / x x^3,\ \sin x,\ 1/x x 3 , sin x , 1/ x สมมาตรของคลื่น
F5 Periodic
f ( x + T ) = f ( x ) ∀ x , sin ( ω x ) มีคาบ T = 2 π ω f(x + T) = f(x)\ \ \forall x,\qquad \sin(\omega x)\ \text{มีคาบ } T = \frac{2\pi}{\omega} f ( x + T ) = f ( x ) ∀ x , sin ( ω x ) มีคาบ T = ω 2 π
F6 General transformation
g ( x ) = a f ( b ( x − h ) ) + k g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k g ( x ) = a f ( b ( x − h ) ) + k นอกวงเล็บ (แนวตั้ง ทำตามที่เห็น): k k k ∣ a ∣ > 1 |a| > 1 ∣ a ∣ > 1 a < 0 a < 0 a < 0 ในวงเล็บ (แนวนอน ทำกลับกัน): h h h ขวา · ∣ b ∣ > 1 |b| > 1 ∣ b ∣ > 1 บีบ · b < 0 b < 0 b < 0
ตัวอย่าง F-3 · อ่านการแปลง อธิบายกราฟ g ( x ) = − 2 ( x − 3 ) 2 + 5 g(x) = -2(x - 3)^2 + 5 g ( x ) = − 2 ( x − 3 ) 2 + 5 f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 ดูในแล็บ
ในวงเล็บ: x − 3 x - 3 x − 3
นอกวงเล็บ: คูณ −2 → ยืดแนวตั้ง 2 เท่าและคว่ำลง · บวก 5 → เลื่อนขึ้น 5
พาราโบลาคว่ำ จุดยอดที่ ( 3 , 5 ) (3, 5) ( 3 , 5 )
ตัวอย่าง F-4 · ไฟฟ้า แรงดันไซน์ v ( t ) = 10 sin ( 100 π t − π / 3 ) + 2 v(t) = 10\sin(100\pi t - \pi/3) + 2 v ( t ) = 10 sin ( 100 π t − π /3 ) + 2 sin t \sin t sin t
เขียนเป็น 10 sin ( 100 π ( t − 1 300 ) ) + 2 10\sin\big(100\pi(t - \tfrac{1}{300})\big) + 2 10 sin ( 100 π ( t − 300 1 ) ) + 2
b = 100 π b = 100\pi b = 100 π 2 π / 100 π = 0.02 2\pi/100\pi = 0.02 2 π /100 π = 0.02 h = 1 / 300 h = 1/300 h = 1/300 a = 10 a = 10 a = 10 k = 2 k = 2 k = 2
ไซน์ 50 Hz แอมพลิจูด 10 V ตามหลัง 60° และยกขึ้น 2 V DC ดูต่อในsin · cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ
แล็บกราฟ: เลื่อน ยืด สะท้อน ประกอบ และผกผัน
เลือกฟังก์ชันพื้นฐานหรือพิมพ์เอง (เช่น x^3 - x, exp(-x), sin(x)/x) เส้นประคือกราฟเดิม เส้นส้มคือกราฟที่แปลงแล้ว ด้านบนบอกลำดับการแปลงเป็นภาษาไทย สลับแท็บเพื่อดูฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันประกอบ (Composition) พื้นฐาน
F7 Composite function
( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) , D f ∘ g = { x ∈ D g : g ( x ) ∈ D f } (f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big),\qquad D_{f\circ g} = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\} ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) , D f ∘ g = { x ∈ D g : g ( x ) ∈ D f } ทำ g ก่อน แล้วส่งผลให้ f · โดยทั่วไป f ∘ g ≠ g ∘ f f\circ g \ne g\circ f f ∘ g = g ∘ f
ตัวอย่าง F-5 ให้ f ( x ) = x f(x) = \sqrt{x} f ( x ) = x g ( x ) = x − 4 g(x) = x - 4 g ( x ) = x − 4 f ∘ g f\circ g f ∘ g g ∘ f g \circ f g ∘ f ดูในแล็บ
( f ∘ g ) ( x ) = x − 4 , x ≥ 4 (f\circ g)(x) = \sqrt{x - 4},\quad x \ge 4 ( f ∘ g ) ( x ) = x − 4 , x ≥ 4 ( g ∘ f ) ( x ) = x − 4 , x ≥ 0 (g\circ f)(x) = \sqrt{x} - 4,\quad x \ge 0 ( g ∘ f ) ( x ) = x − 4 , x ≥ 0
ได้ฟังก์ชันต่างกันและโดเมนต่างกัน ลำดับของการประกอบสำคัญ
ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) กลาง
F8 One-to-one
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 ตรวจด้วยเส้นแนวนอน: ทุกเส้นตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุด ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงตลอดผ่านเสมอ
F9 Inverse
f − 1 ( f ( x ) ) = x , f ( f − 1 ( y ) ) = y , D f − 1 = R f f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(y)) = y,\quad D_{f^{-1}} = R_f f − 1 ( f ( x )) = x , f ( f − 1 ( y )) = y , D f − 1 = R f หาโดยสลับ x กับ y แล้วแก้หา y · กราฟคือภาพสะท้อนข้ามเส้น y = x y = x y = x f − 1 ( x ) ≠ 1 / f ( x ) f^{-1}(x) \ne 1/f(x) f − 1 ( x ) = 1/ f ( x )
ตัวอย่าง F-6 · หาฟังก์ชันผกผัน f ( x ) = 2 x + 1 x − 3 f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3} f ( x ) = x − 3 2 x + 1
เขียน y = 2 x + 1 x − 3 y = \dfrac{2x+1}{x-3} y = x − 3 2 x + 1 x = 2 y + 1 y − 3 x = \dfrac{2y+1}{y-3} x = y − 3 2 y + 1
x ( y − 3 ) = 2 y + 1 ⇒ x y − 2 y = 3 x + 1 ⇒ y ( x − 2 ) = 3 x + 1 x(y - 3) = 2y + 1 \Rightarrow xy - 2y = 3x + 1 \Rightarrow y(x - 2) = 3x + 1 x ( y − 3 ) = 2 y + 1 ⇒ x y − 2 y = 3 x + 1 ⇒ y ( x − 2 ) = 3 x + 1 f − 1 ( x ) = 3 x + 1 x − 2 f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2} f − 1 ( x ) = x − 2 3 x + 1
f − 1 ( x ) = 3 x + 1 x − 2 f^{-1}(x) = \dfrac{3x+1}{x-2} f − 1 ( x ) = x − 2 3 x + 1 x ≠ 2 x \ne 2 x = 2
ตรวจ: f ( 0 ) = − 1 3 f(0) = -\tfrac13 f ( 0 ) = − 3 1 f − 1 ( − 1 3 ) = − 1 + 1 − 1 3 − 2 = 0 f^{-1}(-\tfrac13) = \dfrac{-1 + 1}{-\tfrac13 - 2} = 0 f − 1 ( − 3 1 ) = − 3 1 − 2 − 1 + 1 = 0
ตัวอย่างคู่ผกผันที่ใช้ตลอดวิชา: e x ↔ ln x e^x \leftrightarrow \ln x e x ↔ ln x x 2 ( x ≥ 0 ) ↔ x x^2\ (x \ge 0) \leftrightarrow \sqrt x x 2 ( x ≥ 0 ) ↔ x sin x ( − π 2 ≤ x ≤ π 2 ) ↔ sin − 1 x \sin x\ (-\tfrac\pi2 \le x \le \tfrac\pi2) \leftrightarrow \sin^{-1}x sin x ( − 2 π ≤ x ≤ 2 π ) ↔ sin − 1 x หน้าตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันเป็นช่วง ขั้นบันได และแรมป์ กลาง
วิศวกรไฟฟ้าเขียนสัญญาณที่ “เปิด-ปิด” ด้วยฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งหน่วย ทำให้ฟังก์ชันเป็นช่วงที่ยาวหลายบรรทัดกลายเป็นสูตรเดียว ซึ่งพร้อมใช้กับการเลื่อนเวลาของลาปลาซ
F10 Unit step
u ( t ) = { 0 , t < 0 1 , t ≥ 0 u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{cases} u ( t ) = { 0 , 1 , t < 0 t ≥ 0
F11 Ramp
r ( t ) = t u ( t ) , d r d t = u ( t ) r(t) = t\,u(t),\qquad \frac{dr}{dt} = u(t) r ( t ) = t u ( t ) , d t d r = u ( t )
F12 Window / pulse
u ( t − a ) − u ( t − b ) = { 1 , a ≤ t < b 0 , อื่น ๆ u(t - a) - u(t - b) = \begin{cases} 1, & a \le t < b \\ 0, & \text{อื่น ๆ} \end{cases} u ( t − a ) − u ( t − b ) = { 1 , 0 , a ≤ t < b อื่น ๆ คูณฟังก์ชันใดก็ได้ด้วยหน้าต่างนี้ = “เปิดใช้” เฉพาะช่วง [ a , b ) [a, b) [ a , b )
ตัวอย่าง F-7 · เขียนฟังก์ชันเป็นช่วงด้วย u(t) f ( t ) = 0 f(t) = 0 f ( t ) = 0 t < 0 t < 0 t < 0 = 2 t = 2t = 2 t 0 ≤ t < 1 0 \le t < 1 0 ≤ t < 1 = 2 = 2 = 2 t ≥ 1 t \ge 1 t ≥ 1
เปิดแรมป์ 2 t 2t 2 t
f ( t ) = 2 t u ( t ) − 2 ( t − 1 ) u ( t − 1 ) = 2 r ( t ) − 2 r ( t − 1 ) f(t) = 2t\,u(t) - 2(t - 1)\,u(t - 1) = 2r(t) - 2r(t - 1) f ( t ) = 2 t u ( t ) − 2 ( t − 1 ) u ( t − 1 ) = 2 r ( t ) − 2 r ( t − 1 )
f ( t ) = 2 r ( t ) − 2 r ( t − 1 ) f(t) = 2r(t) - 2r(t-1) f ( t ) = 2 r ( t ) − 2 r ( t − 1 ) t ≥ 1 t \ge 1 t ≥ 1 2 t − 2 t + 2 = 2 2t - 2t + 2 = 2 2 t − 2 t + 2 = 2
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม พื้นฐาน
F13 Exponential laws
e a e b = e a + b , e a e b = e a − b , ( e a ) b = e a b , e 0 = 1 e^ae^b = e^{a+b},\quad \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b},\quad (e^a)^b = e^{ab},\quad e^0 = 1 e a e b = e a + b , e b e a = e a − b , ( e a ) b = e ab , e 0 = 1
F14 Logarithm laws
ln ( a b ) = ln a + ln b , ln a b = ln a − ln b , ln a n = n ln a , log b x = ln x ln b \ln(ab) = \ln a + \ln b,\quad \ln\frac ab = \ln a - \ln b,\quad \ln a^n = n\ln a,\quad \log_b x = \frac{\ln x}{\ln b} ln ( ab ) = ln a + ln b , ln b a = ln a − ln b , ln a n = n ln a , log b x = ln b ln x
F15 Time constant & decibels
e − t / τ : ที่ t = τ เหลือ 36.8 % , t = 5 τ เหลือ 0.7 % G dB = 20 log 10 ∣ V o V i ∣ e^{-t/\tau}:\ \text{ที่ } t = \tau \text{ เหลือ } 36.8\%,\ t = 5\tau \text{ เหลือ } 0.7\% \qquad G_{\text{dB}} = 20\log_{10}\left|\frac{V_o}{V_i}\right| e − t / τ : ที่ t = τ เหลือ 36.8% , t = 5 τ เหลือ 0.7% G dB = 20 log 10 V i V o ลอการิทึมเปลี่ยนการคูณเป็นการบวก จึงใช้ในแผนภาพโบดที่คูณฟังก์ชันถ่ายโอนกันหลายตัว โบดไดอะแกรม
ตัวอย่าง F-8 · แก้สมการด้วยลอการิทึม ตัวเก็บประจุชาร์จตาม v ( t ) = 12 ( 1 − e − t / 0.5 ) v(t) = 12(1 - e^{-t/0.5}) v ( t ) = 12 ( 1 − e − t /0.5 )
10 = 12 ( 1 − e − 2 t ) ⇒ e − 2 t = 1 6 10 = 12(1 - e^{-2t}) \Rightarrow e^{-2t} = \frac{1}{6} 10 = 12 ( 1 − e − 2 t ) ⇒ e − 2 t = 6 1 ใส่ ln ทั้งสองข้าง
− 2 t = ln 1 6 = − ln 6 ⇒ t = ln 6 2 ≈ 0.896 s -2t = \ln\frac16 = -\ln 6 \Rightarrow t = \frac{\ln 6}{2} \approx 0.896\ \text{s} − 2 t = ln 6 1 = − ln 6 ⇒ t = 2 ln 6 ≈ 0.896 s
ประมาณ 0.896 s หรือราว 1.79τ
ฟังก์ชันในงานวิศวกรรมไฟฟ้า กลาง
ฟังก์ชัน ความหมาย ใช้ที่ไหน
v ( t ) = V ( 1 − e − t / R C ) u ( t ) v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)u(t) v ( t ) = V ( 1 − e − t / RC ) u ( t ) ชาร์จตัวเก็บประจุ ระบบอันดับหนึ่ง v ( t ) = V m sin ( ω t + ϕ ) v(t) = V_m\sin(\omega t + \phi) v ( t ) = V m sin ( ω t + ϕ ) ไฟฟ้ากระแสสลับ ไซน์และเฟสเซอร์ I D = I S ( e V D / ( n V T ) − 1 ) I_D = I_S\left(e^{V_D/(nV_T)} - 1\right) I D = I S ( e V D / ( n V T ) − 1 ) สมการไดโอดของช็อคลีย์ วงจรเรียงกระแส · แหล่งจ่าย R ( T ) = R 0 e B ( 1 / T − 1 / T 0 ) R(T) = R_0e^{B(1/T - 1/T_0)} R ( T ) = R 0 e B ( 1/ T − 1/ T 0 ) เทอร์มิสเตอร์ NTC วัดอุณหภูมิ · ต้องหาฟังก์ชันผกผัน T ( R ) T(R) T ( R ) V o = { A V i , ∣ A V i ∣ < V sat ± V sat , อื่น ๆ V_o = \begin{cases} A V_i, & |AV_i| < V_{\text{sat}} \\ \pm V_{\text{sat}}, & \text{อื่น ๆ} \end{cases} V o = { A V i , ± V sat , ∣ A V i ∣ < V sat อื่น ๆ แอมป์อิ่มตัว (ฟังก์ชันเป็นช่วง) แล็บออปแอมป์ ∣ H ( j ω ) ∣ = 1 1 + ( ω R C ) 2 |H(j\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} ∣ H ( jω ) ∣ = 1 + ( ω RC ) 2 1 ผลตอบสนองเชิงความถี่ของ RC ผลตอบสนองเชิงความถี่
ตัวอย่าง F-9 · ฟังก์ชันผกผันของเซนเซอร์ เทอร์มิสเตอร์ R ( T ) = 10,000 e 3950 ( 1 / T − 1 / 298.15 ) R(T) = 10{,}000\,e^{3950(1/T - 1/298.15)} R ( T ) = 10 , 000 e 3950 ( 1/ T − 1/298.15 )
หาฟังก์ชันผกผัน: ln R 10000 = 3950 ( 1 T − 1 298.15 ) \ln\dfrac{R}{10000} = 3950\left(\dfrac1T - \dfrac{1}{298.15}\right) ln 10000 R = 3950 ( T 1 − 298.15 1 )
T ( R ) = ( 1 298.15 + 1 3950 ln R 10000 ) − 1 T(R) = \left(\frac{1}{298.15} + \frac{1}{3950}\ln\frac{R}{10000}\right)^{-1} T ( R ) = ( 298.15 1 + 3950 1 ln 10000 R ) − 1 T ( 5000 ) = ( 0.0033540 + − 0.69315 3950 ) − 1 = ( 0.0031785 ) − 1 ≈ 314.6 K T(5000) = \left(0.0033540 + \frac{-0.69315}{3950}\right)^{-1} = (0.0031785)^{-1} \approx 314.6\ \text{K} T ( 5000 ) = ( 0.0033540 + 3950 − 0.69315 ) − 1 = ( 0.0031785 ) − 1 ≈ 314.6 K
T ≈ 314.6 K ≈ 41.5 ∘ C T \approx 314.6\ \text{K} \approx 41.5^\circ\text{C} T ≈ 314.6 K ≈ 41. 5 ∘ C
บทต่อไป: ลิมิตและความต่อเนื่อง ถามว่าฟังก์ชัน “เข้าใกล้” ค่าอะไร ซึ่งเป็นรากฐานของอนุพันธ์
คำถามที่พบบ่อย ฟังก์ชันต่างจากความสัมพันธ์อย่างไร? ความสัมพันธ์ใด ๆ จับคู่ x กับ y ได้หลายค่า แต่ฟังก์ชันต้องให้ y เพียงค่าเดียวต่อ x หนึ่งค่า ตรวจจากกราฟด้วยการทดสอบเส้นแนวตั้ง ถ้าเส้นแนวตั้งใดตัดกราฟเกินหนึ่งจุด กราฟนั้นไม่ใช่ฟังก์ชัน เช่น วงกลม x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x 2 + y 2 = 1
หาโดเมนของฟังก์ชันอย่างไร? เริ่มจากจำนวนจริงทั้งหมด แล้วตัดค่าที่ทำให้ (1) ตัวส่วนเป็นศูนย์ (2) ในรากที่สองติดลบ (3) ในลอการิทึมไม่เป็นบวก และ (4) เงื่อนไขทางกายภาพ เช่น เวลาหรือความยาวต้องไม่ติดลบ
f(x − h) ทำไมเลื่อนไปทางขวา ทั้งที่มีเครื่องหมายลบ? เพราะกราฟใหม่ต้องใช้ x ที่มากกว่าเดิม h หน่วยเพื่อให้ได้ค่าเดิม เช่น จุดยอดของ x 2 x^2 x 2 ( x − 3 ) 2 (x-3)^2 ( x − 3 ) 2
ฟังก์ชันขั้นบันได u(t) ใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า? แทนการเปิดสวิตช์ที่เวลาหนึ่ง เช่น แหล่งจ่าย 12 V ที่ต่อเข้าวงจรเมื่อ t = 0 เขียนเป็น 12 u ( t ) 12u(t) 12 u ( t ) u ( t ) − u ( t − T ) u(t) - u(t - T) u ( t ) − u ( t − T )
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์