ฟังก์ชันถ่ายโอนของบั๊กทุกคู่อินพุต–เอาต์พุต: Gvd Gvg Zout Zin GiLd พร้อมที่มาและเครื่องวัดสัญญาณเล็กเสมือน

แผนที่: ทำไมมีฟังก์ชันถ่ายโอนหลายรูปแบบ พื้นฐาน

ฟังก์ชันถ่ายโอนคือ อัตราส่วนของเอาต์พุตหนึ่งต่ออินพุตหนึ่ง ขณะที่อินพุตตัวอื่นถูกตรึงเป็นศูนย์ บั๊กมีสามอินพุตที่เราเปลี่ยนได้ (หรือถูกเปลี่ยนโดยโลกภายนอก) และมีเอาต์พุตที่น่าสนใจหลายตัว:

• $\hat d$ ดิวตี้ — ตัวควบคุมสั่งเอง (control input)
• $\hat v_g$ แรงดันอินพุต — แหล่งจ่ายผันผวน (line disturbance)
• $\hat i_x$ กระแสโหลดที่เปลี่ยน — โหลดดึงมากขึ้น (load disturbance) นิยามเป็นแหล่งกระแสขนานกับ R

เอาต์พุตที่ใช้บ่อย: แรงดันขาออก $\hat v_o$ · กระแสตัวเหนี่ยวนำ $\hat i_L$ (ใช้ออกแบบ current mode) · กระแสตัวเก็บประจุ $\hat i_C$ · กระแสอินพุตเฉลี่ย $\hat i_g$ (ใช้ดูปฏิสัมพันธ์กับตัวกรองอินพุต) เพราะระบบเป็นเชิงเส้น จึงใช้หลักการซ้อนทับ:

$$\hat v_o(s) = G_{vd}(s)\,\hat d(s) + G_{vg}(s)\,\hat v_g(s) - Z_{out}(s)\,\hat i_x(s)$$

ทั้ง 12 ช่องนี้คำนวณจากเมทริกซ์ชุดเดียวกันที่ได้ในหน้าแบบจำลองเฉลี่ย ตัวส่วน $\Delta(s)$ เหมือนกันทั้งหมด (ขั้วของระบบมีชุดเดียว) ต่างกันที่ตัวเศษซึ่งกำหนดศูนย์และอัตราขยาย

วิธีหา: สูตรเดียวใช้กับทุกคู่ กลาง

จากสมการสัญญาณเล็ก $\dot{\hat x} = A\hat x + B\hat u$, $\hat y = C\hat x + E\hat u$ แปลง Laplace (ค่าเริ่มต้นศูนย์) ได้ $s\hat x = A\hat x + B\hat u$ → $\hat x = (sI - A)^{-1}B\hat u$ แทนในสมการเอาต์พุต:

สำหรับสเตตสเปซขนาด 2×2 ผกผันหาได้ด้วย adjugate: $(sI-A)^{-1} = \dfrac{\operatorname{adj}(sI - A)}{\Delta(s)}$ โดย

ขั้นตอนทำมือ 4 ขั้น (ใช้ซ้ำได้กับทุกคู่):

1. เลือกคอลัมน์อินพุต: $B_d = \begin{bmatrix}V_g/L\\0\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat d$ · $B_g = \begin{bmatrix}D/L\\0\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat v_g$ · $B_x = \begin{bmatrix}0\\-1/C\end{bmatrix}$ สำหรับ $\hat i_x$ (บั๊กอุดมคติ)
2. เลือกแถวเอาต์พุต: $C_{v} = [0\ \ 1]$ สำหรับ $\hat v_o$ · $C_{iL} = [1\ \ 0]$ สำหรับ $\hat i_L$
3. คำนวณ $\operatorname{adj}(sI-A)\cdot B$ แล้วเลือกแถวตาม $C$
4. หารด้วย $\Delta(s)$ แล้วจัดรูปให้พจน์คงที่ของตัวส่วนเป็น 1

Gvd: จากดิวตี้ไปแรงดันขาออก (ทำให้ดูทีละขั้น) กลาง

บั๊กอุดมคติ: $A = \begin{bmatrix}0 & -1/L\\ 1/C & -1/(RC)\end{bmatrix}$ จาก T2: $\operatorname{tr}A = -\dfrac1{RC}$, $\det A = \dfrac1{LC}$ ดังนั้น

$$\Delta(s) = s^2 + \frac{s}{RC} + \frac1{LC},\qquad \operatorname{adj}(sI-A) = \begin{bmatrix}s + \frac1{RC} & -\frac1L\\ \frac1C & s\end{bmatrix}$$

คูณกับ $B_d = [V_g/L\ \ 0]^T$:

$$\operatorname{adj}(sI-A)\,B_d = \begin{bmatrix}\left(s + \frac1{RC}\right)\frac{V_g}{L}\\[4pt] \frac1C\cdot\frac{V_g}{L}\end{bmatrix}$$

แถวที่สองคือ $\hat v_C$ ($C_v = [0\ 1]$): $G_{vd} = \dfrac{V_g/(LC)}{\Delta(s)}$ คูณบนล่างด้วย $LC$ ให้พจน์คงที่ของตัวส่วนเป็น 1:

เทียบกับรูปมาตรฐานอันดับสอง $\dfrac{G_0}{1 + \frac{s}{Q\omega_0} + \frac{s^2}{\omega_0^2}}$:

• DC: $G_{vd}(0) = V_g$ — เพิ่มดิวตี้ 0.01 แรงดันเพิ่ม $0.01V_g$ ตรงกับ $V_o = DV_g$
• ที่ $f_0$: ขนาดเป็น $QV_g$ และเฟส $-90^\circ$ (ยอดเรโซแนนซ์) ถ้า $Q$ สูง (โหลดเบา หรือค่าแฝงน้อย) ยอดสูงแหลม
• เหนือ $f_0$: ขนาดลดลง 40 dB/ทศวรรษ เฟสตกเป็น $-180^\circ$ — เฟสที่หายไปนี้เองที่ทำให้ต้องมีตัวชดเชย (หน้าตัวชดเชย)
• เหตุที่ L,C ไม่หายไปจากแรงดัน DC: ที่ DC $sL = 0$ และ $1/sC = \infty$ จึงไม่เกี่ยวกับ $G_{vd}(0)$ แต่กำหนดตำแหน่ง $f_0$ และความแหลม

Gvg, G_iLd, G_iLg, Z_out, Z_in: เปลี่ยนคอลัมน์ B หรือแถว C กลาง

ใช้ $\operatorname{adj}(sI-A)$ และ $\Delta(s)$ ชุดเดิมจากข้างบน เปลี่ยนเฉพาะ $B$ และ $C$ แล้วจัดรูปโดยคูณบนล่างด้วย $LC$:

(1) $G_{vg} = \hat v_o/\hat v_g$ ใช้ $B_g = [D/L\ \ 0]^T$ ซึ่งต่างจาก $B_d$ แค่ $V_g \to D$:

บอกว่าแรงดันริปเปิลหรือสัญญาณรบกวนบนอินพุตผ่านมาที่เอาต์พุตเท่าไร — ที่ DC เท่ากับ $D$ (ลด $V_g$ เป็นครึ่งหนึ่งที่ D = 0.5 → $V_o$ ลด 25 %) และมีเรโซแนนซ์ที่ $f_0$ เดียวกัน

(2) กระแสตัวเหนี่ยวนำ ใช้แถวแรก $C_{iL} = [1\ \ 0]$ ของ $\operatorname{adj}(sI-A)B$ ซึ่งคือ $(s + \frac1{RC})\cdot\frac{V_g}{L}$ หารด้วย $\Delta$:

ศูนย์ที่ $f = 1/(2\pi RC)$ (159 Hz ในตัวอย่าง) เกิดจากตัวเก็บประจุกับโหลด ที่ความถี่เหนือศูนย์ กระแสตัวเหนี่ยวนำตอบสนอง $\hat d$ แบบ 1 ขั้ว ซึ่งเป็นเหตุผลที่ current mode ลดปัญหาของขั้วคู่ LC

(3) อิมพีแดนซ์ขาออก $Z_{out}$ ใช้อินพุตกระแสโหลด $B_x = [0\ \ -1/C]^T$ (กระแสที่เพิ่มขึ้นดึงประจุออกจาก C) เอาต์พุต $\hat v_C$:

$$\operatorname{adj}(sI-A)\,B_x = \begin{bmatrix}-\frac1L\cdot\left(-\frac1C\right)\\[2pt] s\cdot\left(-\frac1C\right)\end{bmatrix} \;\Rightarrow\; \frac{\hat v_o}{\hat i_x} = \frac{-s/C}{\Delta(s)} = -\frac{sL}{LC\,s^2 + \frac LRs + 1}$$

ตรวจด้วยวงจร: ตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และโหลด ขนานกัน (แหล่งอินพุตถูกลดเป็นศูนย์ จึงต่อ SW ลงกราวด์ผ่านไดโอด/สวิตช์) ได้ $\dfrac1Z = \dfrac1{sL} + sC + \dfrac1R$ แล้วจัดรูปก็ได้สูตรเดียวกัน ที่ DC $Z_{out} = 0$ (L ลัดวงจร) ที่ $f_0$ L และ C ตัดกัน เหลือ $Z_{out} = R$ (ยอดสูงสุด) เหนือ $f_0$ เป็น $1/(sC)$ ตามตัวเก็บประจุ ดังนั้นการตอบสนองต่อโหลดกระชากสูงสุดบริเวณ $f_0$

(4) อิมพีแดนซ์ขาเข้า $Z_{in}$ เอาต์พุตคือกระแสอินพุตเฉลี่ย $\hat i_g = D\hat i_L + I_L\hat d$ (X9) เมื่อ $\hat d = 0$ ได้ $\hat i_g = D\hat i_L$ ดังนั้น $Y_{in} = D\,G_{iLg}$

ที่ DC $Z_{in} = R/D^2$ (ความต้านทานโหลดสะท้อนผ่านหม้อแปลง 1:D) เป็นบวก — สำหรับบั๊กที่ ปิดวงป้อนกลับแรงดัน พฤติกรรมช่วงความถี่ต่ำเปลี่ยนเป็นความต้านทาน ลบ $-V_g^2/P$ ตามหน้าเกณฑ์ตัวกรองอินพุต เพราะวงป้อนกลับรักษากำลังให้คงที่

(5) กระแสตัวเก็บประจุ $\hat i_C$ และกระแสอินพุต $\hat i_g$ จากดิวตี้: $\hat i_C = \hat i_L - \hat v_o/R - \hat i_x$ และ $\hat i_g = D\hat i_L + I_L\hat d$ นำ $G_{iLd}$ และ $G_{vd}$ มาประกอบ (ตารางในแล็บคำนวณให้ครบ): ตัวอย่าง $G_{igd}(0) = D\,\dfrac{V_g}{R} + I_L = 2.4$ A ที่ตัวอย่าง D = 0.5

เมื่อมี DCR และ ESR: รูปปิดที่แม่นยำ ขั้นสูง

ใช้วิธีเดียวกัน (T1–T2) กับเมทริกซ์ที่มี $R_l = r_L + DR_{on} + D'R_d$ และ $r_C$ (หน้าแบบจำลองเฉลี่ย X6–X7) ผลที่ได้เป็นรูปปิดที่แม่นยำ (ตรวจกับการคำนวณเมทริกซ์ตัวเลขทั้งหกฟังก์ชันด้านล่างที่ความคลาดเคลื่อนระดับ $10^{-15}$):

เมื่อ $R_l, r_C \to 0$ กลับเป็นผลของอุดมคติ T3–T8 ผลของแต่ละค่า:

• ESR $r_C$ เติมศูนย์ $f_z = 1/(2\pi r_CC)$ ใน $G_{vd}$, $G_{vg}$, $Z_{out}$ (เป็นศูนย์ในซีกซ้าย ให้เฟสเพิ่ม +90° และอัตราลดลงเหลือ −20 dB/dec เหนือ $f_z$) · ตัวอย่าง $r_C = 50$ mΩ, $C = 100\ \mu$F → $f_z = 31.8$ kHz
• ความต้านทานอนุกรม $R_l$ เพิ่มการหน่วง ($a_1$ เพิ่ม) ลด $Q$ และทำให้ $Z_{out}(0) = R\|R_l$ ไม่เป็นศูนย์ และลดอัตราขยาย DC ของ $G_{vd}$ ลง $\dfrac{R}{R+R_l}$
• $V_F$ และ $R_{on}-R_d$ เปลี่ยนเฉพาะอัตราขยายของ $G_{vd}$ ผ่าน $\beta$ (ใหญ่ขึ้นด้วย $V_F$ เล็กลงด้วย $R_{on}I_L$)
• เป็นสาเหตุที่ในทางปฏิบัติ $Q$ ของบั๊กอยู่ที่ 2–6 แทนที่จะสูงเป็นร้อย

ตัวเลข (D = 0.5144, $R_{on} = 50$ mΩ, $r_L = 0.1\ \Omega$, $V_F = 0.4$ V, ESR 50 mΩ ที่ R = 10 Ω): $R_l = 0.1257\ \Omega$, $\beta = 24.34$ V → DC $G_{vd}(0) = 24.04$ V (27.6 dB) · $f_0 = 922.3$ Hz · $Q = 3.67$ (อุดมคติ 5.77) · ยอด $|G_{vd}| = 89.0$ V = 39.0 dB ที่ประมาณ 906 Hz · $Z_{out}(0) = 0.124\ \Omega$ = $R\|R_l$ · ยอด $Z_{out} = 6.32\ \Omega$ ที่ 922 Hz · $Z_{in}(0) = 38.3\ \Omega$

ฟังก์ชันถ่ายโอนใน DCM: ลดเหลืออันดับหนึ่ง ขั้นสูง

ใน DCM กระแส $i_L$ กลับเป็นศูนย์ทุกคาบ ค่าเฉลี่ยของมันถูกกำหนดทันทีจาก $d, v_g, v$ ไม่ใช่ตัวแปรสถานะอิสระ เหลือสถานะเดียวคือ $v_C$ จากหน้า DCM กระแสเฉลี่ย (แทน $D_2 = D_1(v_g - v)/v$ และ $i_{pk}$):

$$\langle i_L\rangle = \tfrac12\,i_{pk}\,(D_1 + D_2) = \frac{d^2\,T_s\,v_g\,(v_g - v)}{2L\,v} \equiv f(d, v_g, v)$$

สมการเดียวของระบบ $C\,\dot v = f(d,v_g,v) - v/R$ เป็นไม่เชิงเส้น ใช้การรบกวนเหมือนเดิม: $sC\hat v = \dfrac{\partial f}{\partial d}\hat d + \dfrac{\partial f}{\partial v_g}\hat v_g + \dfrac{\partial f}{\partial v}\hat v - \dfrac{\hat v}{R}$ คำนวณอนุพันธ์ย่อยที่จุดทำงาน (ใช้ $D^2/K = M^2/(1-M)$ จากหน้า DCM):

$$\frac{\partial f}{\partial d} = \frac{2V}{RD},\qquad \frac{\partial f}{\partial v_g} = \frac{M(2-M)}{(1-M)R},\qquad \frac{\partial f}{\partial v} = -\frac{1}{(1-M)R}$$

รวม $\dfrac1R + \dfrac1{(1-M)R} = \dfrac{2-M}{(1-M)R}$ แล้วแก้หา $\hat v$:

เทียบกับ CCM ($\Delta$ อันดับสอง): ไม่มีขั้วคู่ LC และไม่มียอดเรโซแนนซ์ ขั้วเดียว $f_p = \omega_p/2\pi$ ต่ำมาก (หลักสิบ Hz) เพราะขึ้นกับ RC ของโหลดเบา อัตราขยาย DC $G_{d0}$ และขั้ว $f_p$ เปลี่ยนตามโหลดและ $M$ ตัวอย่าง R = 100 Ω, D = 0.3873 ($M = 0.5$): $G_{d0} = \dfrac{2(12)}{0.3873}\cdot\dfrac{0.5}{1.5} = 20.66$ V (26.3 dB), $\omega_p = \dfrac{1.5}{0.5\times100\times100\mu} = 300$ rad/s ($f_p = 47.7$ Hz), $R_{eq} = 33.3\ \Omega$ เทียบกับ CCM ที่ R = 10 Ω มี $f_0 = 919$ Hz แบบสองขั้ว — ตัวชดเชยที่ออกแบบให้ CCM จึงต้องปรับสำหรับ DCM (ดูหน้าตัวชดเชย) ข้อจำกัด: แบบจำลองนี้ไม่รวมขั้วความถี่สูงใกล้ $f_s$ ที่เกิดจากกระแส $i_L$ ในแต่ละคาบ จึงใช้ได้ที่ความถี่ต่ำกว่าประมาณ $f_s/3$

ต่อกับตัวควบคุม: PWM และลูปเกน กลาง

ตัวมอดูเลเตอร์ PWM เปรียบเทียบแรงดันควบคุม $v_c$ กับสัญญาณฟันเลื่อย (สูง $V_M$) ได้ $d = v_c/V_M$ → $\hat d = \hat v_c/V_M$ ดังนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนจาก $\hat v_c$ ไปเอาต์พุตคือ $G_{vd}/V_M$ ลูปเกนของแรงดันป้อนกลับ $T(s) = G_c(s)\,\dfrac{G_{vd}(s)}{V_M}\,H$ เมื่อปิดวงแล้วฟังก์ชันอื่นๆ ที่ได้ในหน้านี้เปลี่ยนเป็น:

ตัวอย่างความหมาย: ลูปเกนที่ $f$ = 100 Hz ขนาด 30 dB (≈ 32 เท่า) ลดผลของโหลดกระชากและของริปเปิลบนอินพุตลง 33 เท่า ที่ความถี่นั้น — นี่คือเหตุผลหลักของการป้อนกลับ และเป็นที่มาของโจทย์ออกแบบ $G_c$ ให้ $T$ มีครอสโอเวอร์สูงพอแต่ยังมีเฟสมาร์จิน

ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขแล้ว)

โจทย์ฐาน: $V_g = 24$ V, $D = 0.5$, $R = 10\ \Omega$, $L = 300\ \mu$H, $C = 100\ \mu$F (อุดมคติ ยกเว้นระบุ)

แล็บ: สำรวจฟังก์ชันถ่ายโอนทั้ง 12 แบบ และวัดด้วยสวิตชิ่งจริง กลาง

เลือก อินพุต (สิ่งที่เปลี่ยน) และ เอาต์พุต (สิ่งที่วัด) แล้วเครื่องมือแสดงตัวเศษ ตัวส่วน DC ขั้ว ศูนย์ โบเด และการตอบสนองต่อสเต็ป ตารางล่างสุดสรุปทั้ง 12 ฟังก์ชันที่จุดทำงานนั้น ปุ่ม "วัดด้วยสวิตชิ่งจริง" ฉีดไซน์เล็กที่ความถี่ต่างๆ เข้าวงจรสวิตชิ่ง (ไม่ใช้สูตรใดๆ) แล้ววัดเอาต์พุตด้วยสหสัมพันธ์ จุดสีส้มควรตกบนเส้นทฤษฎี

ใบงานทดลอง

สรุปและก้าวต่อไป

• ฟังก์ชันถ่ายโอนมีหลายแบบเพราะเลือก (อินพุต, เอาต์พุต) ต่างกัน — สูตรเดียว $C(sI-A)^{-1}B + E$ ครอบคลุมทุกแบบ ตัวส่วนร่วม $\Delta(s)$ = ขั้วของระบบ
• $G_{vd}$ ใช้ออกแบบตัวชดเชย · $G_{vg}$ ใช้ดูการรบกวนจากอินพุต · $Z_{out}$ ใช้ดูโหลดกระชาก · $Z_{in}$ ใช้ดูการอยู่ร่วมกับตัวกรองอินพุต · $G_{iLd}$ ใช้ออกแบบ current mode
• CCM มีขั้วคู่ LC (ยอดแหลม ขึ้นกับ Q) · DCM มีขั้วเดียว · ค่าแฝงลด Q และ ESR เติมศูนย์

ต่อไป: ออกแบบบั๊กครบวงจรและทดสอบโหลดหลายสภาวะ · ออกแบบตัวชดเชย Type II/III จาก $G_{vd}$ ที่ได้ · ภาพรวมแบบจำลองสัญญาณเล็กของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ · Bode plot