หน้าแรก คลังความรู้ แคลคูลัสหลายตัวแปร วิศวกรรมไฟฟ้า Multivariable & Vector Calculus ดูครบทุกส่วน · 13 หน้า 4 · ฟังก์ชันเวกเตอร์และแคลคูลัสเวกเตอร์ 5 · การประยุกต์ทางวิศวกรรม // บทที่ 24.10 · การประยุกต์ · Electrical Engineering
แคลคูลัสหลายตัวแปรในวิศวกรรมไฟฟ้า: สนามไฟฟ้า ศักย์ กฎของเกาส์ ตัวเก็บประจุ และสมการแมกซ์เวลล์
แม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetics) คือวิชาที่แคลคูลัสหลายตัวแปรทั้งหมดมารวมกัน: gradient เปลี่ยนศักย์เป็นสนาม อินทิกรัลผิวหาฟลักซ์ อินทิกรัลเส้นหาแรงดัน divergence และ curl แปลงกฎทั้งสี่ให้เป็นสมการที่แก้ได้ หน้านี้ใช้เครื่องมือจากบทก่อนหน้าแก้โจทย์ไฟฟ้าจริง ตั้งแต่สนามของประจุจุดและแล็บลากประจุ กฎของเกาส์ ความจุของแผ่นขนานและสายโคแอกเชียล ค่าความต้านทานดินของหลักดินและแรงดันก้าว (step voltage) ไปจนถึงสมการแมกซ์เวลล์ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และพลังงานที่ไหลเข้าสู่ลวดนำกระแสผ่านเวกเตอร์พอยน์ติง
สรุปใน 30 วินาที
E = − ∇ V \mathbf E = -\nabla V E = − ∇ V V = 1 4 π ε 0 ∑ q i r i V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\dfrac{q_i}{r_i} V = 4 π ε 0 1 ∑ r i q i V A B = − ∫ A B E ⋅ d l V_{AB} = -\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l V A B = − ∫ A B E ⋅ d l ∇ × E = 0 \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0 ∇ × E = 0 เกาส์: ∯ E ⋅ d S = Q e n c / ε 0 \oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0 ∬ E ⋅ d S = Q e n c / ε 0 ∇ ⋅ E = ρ v / ε 0 \nabla\cdot\mathbf E = \rho_v/\varepsilon_0 ∇ ⋅ E = ρ v / ε 0 E = λ / 2 π ε 0 r E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r E = λ /2 π ε 0 r E = σ / 2 ε 0 E = \sigma/2\varepsilon_0 E = σ /2 ε 0 ความจุ: C = Q / V C = Q/V C = Q / V ε 0 A / d \varepsilon_0A/d ε 0 A / d 2 π ε 0 ε r / ln ( b / a ) 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) 2 π ε 0 ε r / ln ( b / a ) 1 2 ε 0 ∭ E 2 d V = 1 2 C V 2 \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2dV = \tfrac12CV^2 2 1 ε 0 ∭ E 2 d V = 2 1 C V 2 ลาปลาซ/พัวซอง: ∇ 2 V = − ρ v / ε 0 \nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0 ∇ 2 V = − ρ v / ε 0 พอยน์ติง: S = E × H \mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H S = E × H P = ∯ S ⋅ d A P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A P = ∬ S ⋅ d A
ระดับ พื้นฐาน ปี 1 · แคลคูลัส 1กลาง แคลคูลัส 3 · คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง พิสูจน์ · ทฤษฎี
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
สนามไฟฟ้าจากศักย์: E = −∇V พื้นฐาน
ศักย์ไฟฟ้า V ( x , y , z ) V(x, y, z) V ( x , y , z ) E = − ∇ V \mathbf E = -\nabla V E = − ∇ V เกรเดียนต์ ) ผลคือเส้นศักย์เท่ากัน (equipotential) ตั้งฉากกับเส้นแรงเสมอ และ E \mathbf E E
E1 Point charge and superposition
V ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i q i ∣ r − r i ∣ , E ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i q i r − r i ∣ r − r i ∣ 3 , k = 1 4 π ε 0 = 8.988 × 10 9 N m 2 / C 2 V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|},\qquad \mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i q_i\frac{\mathbf r - \mathbf r_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|^3},\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.988\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2} V ( r ) = 4 π ε 0 1 i ∑ ∣ r − r i ∣ q i , E ( r ) = 4 π ε 0 1 i ∑ q i ∣ r − r i ∣ 3 r − r i , k = 4 π ε 0 1 = 8.988 × 1 0 9 N m 2 / C 2 ε 0 = 8.854 × 10 − 12 \varepsilon_0 = 8.854\times10^{-12} ε 0 = 8.854 × 1 0 − 12 V V V V ( ∞ ) = 0 V(\infty) = 0 V ( ∞ ) = 0
E2 Field from potential and voltage
E = − ∇ V = − ⟨ ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z ⟩ , V A − V B = ∫ A B E ⋅ d l , ∇ × E = 0 (สถิต) \mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\frac{\partial V}{\partial x},\ \frac{\partial V}{\partial y},\ \frac{\partial V}{\partial z}\right\rangle,\qquad V_A - V_B = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0\ \text{(สถิต)} E = − ∇ V = − ⟨ ∂ x ∂ V , ∂ y ∂ V , ∂ z ∂ V ⟩ , V A − V B = ∫ A B E ⋅ d l , ∇ × E = 0 ( สถิต ) สนามอนุรักษ์: แรงดันระหว่างสองจุดไม่ขึ้นกับเส้นทาง (ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น) · E ⊥ \mathbf E \perp E ⊥ ⇒ \Rightarrow ⇒ E \mathbf E E
แล็บประจุจุด: ลากประจุ ดู V และ E
แล็บอยู่ในระนาบ z = 0 z = 0 z = 0 V V V E \mathbf E E E \mathbf E E − ∇ V -\nabla V − ∇ V V V V
ตัวอย่าง E-1 · ไดโพล (dipole) ประจุ + 2 +2 + 2 ( − 1 , 0 ) (-1, 0) ( − 1 , 0 ) − 2 -2 − 2 ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 ) V V V E \mathbf E E ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) เปิดในแล็บ (P = (0,1))
V = k q ( 1 r 1 − 1 r 2 ) V = kq\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right) V = k q ( r 1 1 − r 2 1 ) r 1 = r 2 = 1 r_1 = r_2 = 1 r 1 = r 2 = 1 V = 0 V = 0 V = 0 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) r 1 = r 2 = 2 r_1 = r_2 = \sqrt2 r 1 = r 2 = 2 V = 0 V = 0 V = 0 y y y
ที่จุดกำเนิด: ประจุบวกผลักไปทาง + x +x + x + x +x + x E x = 2 ⋅ k q 1 2 = 2 ( 8.988 × 10 9 ) ( 2 × 10 − 9 ) = 35.95 E_x = 2\cdot\dfrac{kq}{1^2} = 2(8.988\times10^9)(2\times10^{-9}) = 35.95 E x = 2 ⋅ 1 2 k q = 2 ( 8.988 × 1 0 9 ) ( 2 × 1 0 − 9 ) = 35.95 E y = 0 E_y = 0 E y = 0
ที่ ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) 2 \sqrt2 2 k q / 2 = 8.988 kq/2 = 8.988 k q /2 = 8.988 ( 1 , 1 ) / 2 (1, 1)/\sqrt2 ( 1 , 1 ) / 2 ( 6.355 , 6.355 ) (6.355, 6.355) ( 6.355 , 6.355 ) ( 1 , − 1 ) / 2 (1, -1)/\sqrt2 ( 1 , − 1 ) / 2 ( 6.355 , − 6.355 ) (6.355, -6.355) ( 6.355 , − 6.355 )
รวม: E = ( 12.71 , 0 ) \mathbf E = (12.71,\ 0) E = ( 12.71 , 0 ) x x x y y y y y y + x +x + x V V V y y y
ตรวจ E = − ∇ V \mathbf E = -\nabla V E = − ∇ V ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) ( 12.71 , 0 ) (12.71, 0) ( 12.71 , 0 )
V ( 0 , 0 ) = V ( 0 , 1 ) = 0 V(0,0) = V(0,1) = 0 V ( 0 , 0 ) = V ( 0 , 1 ) = 0 E ( 0 , 0 ) = ( 35.95 , 0 ) \mathbf E(0,0) = (35.95, 0) E ( 0 , 0 ) = ( 35.95 , 0 ) E ( 0 , 1 ) = ( 12.71 , 0 ) \mathbf E(0,1) = (12.71, 0) E ( 0 , 1 ) = ( 12.71 , 0 )
กฎของเกาส์ในงานไฟฟ้า กลาง
กฎของเกาส์ ∯ E ⋅ d S = Q e n c / ε 0 \oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0 ∬ E ⋅ d S = Q e n c / ε 0 อินทิกรัลบนผิว ) ใช้ได้เสมอ แต่ใช้หาสนามได้สะดวกเฉพาะเมื่อมีความสมมาตรสูง เพราะต้องเลือกผิวเกาส์ให้ E ⋅ n \mathbf E\cdot\mathbf n E ⋅ n Q ใน / ε 0 Q_{ใน}/\varepsilon_0 Q ใน / ε 0
E3 Fields from Gauss's law (symmetric charges)
ทรงกลม: E = Q e n c 4 π ε 0 r 2 เส้นประจุ: E = λ 2 π ε 0 r ระนาบ: E = σ 2 ε 0 ผิวตัวนำ: E = σ ε 0 \text{ทรงกลม: } E = \frac{Q_{enc}}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad\text{เส้นประจุ: } E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\quad\text{ระนาบ: } E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad\text{ผิวตัวนำ: } E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} ทรงกลม : E = 4 π ε 0 r 2 Q e n c เส้นประจุ : E = 2 π ε 0 r λ ระนาบ : E = 2 ε 0 σ ผิวตัวนำ : E = ε 0 σ ผิวเกาส์: ทรงกลมรัศมี r r r r r r L L L
E4 Poisson and Laplace equations
∇ ⋅ E = ρ v ε 0 , E = − ∇ V ⟹ ∇ 2 V = − ρ v ε 0 ( พัวซอง ) , ∇ 2 V = 0 ( ρ v = 0 : ลาปลาซ ) \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0},\ \ \mathbf E = -\nabla V\ \Longrightarrow\ \nabla^2V = -\frac{\rho_v}{\varepsilon_0}\quad(\text{พัวซอง}),\qquad \nabla^2V = 0\quad(\rho_v = 0:\ \text{ลาปลาซ}) ∇ ⋅ E = ε 0 ρ v , E = − ∇ V ⟹ ∇ 2 V = − ε 0 ρ v ( พัวซอง ) , ∇ 2 V = 0 ( ρ v = 0 : ลาปลาซ ) ใช้หา V V V
ตัวอย่าง E-2 · สนามของเส้นประจุและแผ่นระนาบ (ก) เส้นประจุยาวมาก λ = 10 \lambda = 10 λ = 10 E E E σ = 20 \sigma = 20 σ = 20 E E E
(ก) ผิวเกาส์ทรงกระบอกรัศมี r r r L L L E ( 2 π r L ) = λ L / ε 0 E(2\pi rL) = \lambda L/\varepsilon_0 E ( 2 π r L ) = λ L / ε 0 E = λ 2 π ε 0 r = 10 × 10 − 9 2 π ( 8.854 × 10 − 12 ) ( 0.5 ) = 359.5 E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} = \dfrac{10\times10^{-9}}{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.5)} = 359.5 E = 2 π ε 0 r λ = 2 π ( 8.854 × 1 0 − 12 ) ( 0.5 ) 10 × 1 0 − 9 = 359.5
(ข) กล่องกระดุมคร่อมแผ่น พื้นที่หน้า A A A 2 E A = σ A / ε 0 2EA = \sigma A/\varepsilon_0 2 E A = σ A / ε 0 E = σ 2 ε 0 = 20 × 10 − 9 2 ( 8.854 × 10 − 12 ) = 1129 E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{20\times10^{-9}}{2(8.854\times10^{-12})} = 1129 E = 2 ε 0 σ = 2 ( 8.854 × 1 0 − 12 ) 20 × 1 0 − 9 = 1129
ตรวจด้วยศักย์: V ( r ) = − λ 2 π ε 0 ln r + C V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + C V ( r ) = − 2 π ε 0 λ ln r + C E = − d V d r = λ 2 π ε 0 r E = -\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} E = − d r d V = 2 π ε 0 r λ ∇ 2 V = 1 r d d r ( r d V d r ) = 0 \nabla^2V = \dfrac1r\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{dV}{dr}\right) = 0 ∇ 2 V = r 1 d r d ( r d r d V ) = 0
(ก) E = 359.5 E = 359.5 E = 359.5 E = 1129 E = 1129 E = 1129
ความจุ พลังงานในสนาม และสายโคแอกเชียล กลาง
ความจุ (capacitance) C = Q / V C = Q/V C = Q / V Q Q Q E \mathbf E E V = − ∫ E ⋅ d l V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l V = − ∫ E ⋅ d l C = Q / V C = Q/V C = Q / V 1 2 ε 0 E 2 \tfrac12\varepsilon_0E^2 2 1 ε 0 E 2
E5 Capacitance and stored energy
C = Q V , C plates = ε 0 ε r A d , w E = 1 2 ε E 2 , W = ∭ 1 2 ε E 2 d V = 1 2 C V 2 C = \frac{Q}{V},\qquad C_{\text{plates}} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_rA}{d},\qquad w_E = \tfrac12\varepsilon E^2,\qquad W = \iiint\tfrac12\varepsilon E^2\,dV = \tfrac12CV^2 C = V Q , C plates = d ε 0 ε r A , w E = 2 1 ε E 2 , W = ∭ 2 1 ε E 2 d V = 2 1 C V 2 W W W w E w_E w E 1 2 C V 2 \tfrac12CV^2 2 1 C V 2
E6 Coaxial cable
E ( r ) = V 0 r ln ( b / a ) , V ( r ) = V 0 ln ( b / r ) ln ( b / a ) , C ′ = 2 π ε 0 ε r ln ( b / a ) F/m , L ′ = μ 0 2 π ln b a H/m E(r) = \frac{V_0}{r\ln(b/a)},\quad V(r) = V_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)},\quad C' = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}\ \text{F/m},\quad L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac ba\ \text{H/m} E ( r ) = r ln ( b / a ) V 0 , V ( r ) = V 0 ln ( b / a ) ln ( b / r ) , C ′ = ln ( b / a ) 2 π ε 0 ε r F/m , L ′ = 2 π μ 0 ln a b H/m a a a b b b ε r \varepsilon_r ε r V ( r ) V(r) V ( r ) 1 r ( r V ′ ) ′ = 0 \tfrac1r(rV')' = 0 r 1 ( r V ′ ) ′ = 0
ตัวอย่าง E-3 · ตัวเก็บประจุแผ่นขนาน แผ่น 10 cm × 10 cm ห่าง 1 mm ในอากาศ ต่อกับ 100 V หา E E E C C C Q Q Q W W W W W W
E = V / d = 100 / 0.001 = 1.00 × 10 5 E = V/d = 100/0.001 = 1.00\times10^{5} E = V / d = 100/0.001 = 1.00 × 1 0 5
C = ε 0 A d = 8.854 × 10 − 12 × 0.01 0.001 = 88.54 C = \dfrac{\varepsilon_0A}{d} = \dfrac{8.854\times10^{-12}\times0.01}{0.001} = 88.54 C = d ε 0 A = 0.001 8.854 × 1 0 − 12 × 0.01 = 88.54 Q = C V = 8.854 Q = CV = 8.854 Q = C V = 8.854
W = 1 2 C V 2 = 1 2 ( 88.54 × 10 − 12 ) ( 100 ) 2 = 4.427 × 10 − 7 W = \tfrac12CV^2 = \tfrac12(88.54\times10^{-12})(100)^2 = 4.427\times10^{-7} W = 2 1 C V 2 = 2 1 ( 88.54 × 1 0 − 12 ) ( 100 ) 2 = 4.427 × 1 0 − 7
ตรวจด้วยสนาม: w E = 1 2 ε 0 E 2 = 1 2 ( 8.854 × 10 − 12 ) ( 10 5 ) 2 = 0.04427 w_E = \tfrac12\varepsilon_0E^2 = \tfrac12(8.854\times10^{-12})(10^{5})^2 = 0.04427 w E = 2 1 ε 0 E 2 = 2 1 ( 8.854 × 1 0 − 12 ) ( 1 0 5 ) 2 = 0.04427 A d = 10 − 5 Ad = 10^{-5} A d = 1 0 − 5 W = 4.427 × 10 − 7 W = 4.427\times10^{-7} W = 4.427 × 1 0 − 7
E = 10 5 E = 10^5 E = 1 0 5 C = 88.54 C = 88.54 C = 88.54 Q = 8.85 Q = 8.85 Q = 8.85 W = 0.443 W = 0.443 W = 0.443
ตัวอย่าง E-4 · ความจุสายโคแอกเชียลต่อเมตร สายโคแอก a = 0.45 a = 0.45 a = 0.45 b = 1.47 b = 1.47 b = 1.47 ε r = 2.3 \varepsilon_r = 2.3 ε r = 2.3 C ′ C' C ′
สมมติประจุเส้น λ \lambda λ E ( r ) = λ 2 π ε 0 ε r r E(r) = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_rr} E ( r ) = 2 π ε 0 ε r r λ
แรงดัน V 0 = ∫ a b E d r = λ 2 π ε 0 ε r ln b a V_0 = \displaystyle\int_a^bE\,dr = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\ln\dfrac ba V 0 = ∫ a b E d r = 2 π ε 0 ε r λ ln a b C ′ = λ V 0 = 2 π ε 0 ε r ln ( b / a ) C' = \dfrac{\lambda}{V_0} = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)} C ′ = V 0 λ = ln ( b / a ) 2 π ε 0 ε r
ln ( 1.47 / 0.45 ) = ln 3.267 = 1.1838 \ln(1.47/0.45) = \ln3.267 = 1.1838 ln ( 1.47/0.45 ) = ln 3.267 = 1.1838 C ′ = 2 π ( 8.854 × 10 − 12 ) ( 2.3 ) 1.1838 = 108.1 C' = \dfrac{2\pi(8.854\times10^{-12})(2.3)}{1.1838} = 108.1 C ′ = 1.1838 2 π ( 8.854 × 1 0 − 12 ) ( 2.3 ) = 108.1
สนามที่แกนใน r = a r = a r = a E = V 0 a ln ( b / a ) = 100 ( 0.45 × 10 − 3 ) ( 1.1838 ) = 1.877 × 10 5 E = \dfrac{V_0}{a\ln(b/a)} = \dfrac{100}{(0.45\times10^{-3})(1.1838)} = 1.877\times10^{5} E = a ln ( b / a ) V 0 = ( 0.45 × 1 0 − 3 ) ( 1.1838 ) 100 = 1.877 × 1 0 5
C ′ = 108.1 C' = 108.1 C ′ = 108.1 E max = 187.7 E_{\max} = 187.7 E m a x = 187.7
หลักดิน ความต้านทานจากสนาม และแรงดันก้าว กลาง
ความหนาแน่นกระแส J \mathbf J J E \mathbf E E J = σ E \mathbf J = \sigma\mathbf E J = σ E J \mathbf J J I = ∬ J ⋅ d S I = \iint\mathbf J\cdot d\mathbf S I = ∬ J ⋅ d S E \mathbf E E R = V / I R = V/I R = V / I
E7 Resistance from the fields
J = σ E , I = ∬ S J ⋅ d S , V = ∫ A B E ⋅ d l , R = V I = ∫ E ⋅ d l σ ∬ E ⋅ d S \mathbf J = \sigma\mathbf E,\qquad I = \iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S,\qquad V = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad R = \frac VI = \frac{\int\mathbf E\cdot d\mathbf l}{\sigma\iint\mathbf E\cdot d\mathbf S} J = σ E , I = ∬ S J ⋅ d S , V = ∫ A B E ⋅ d l , R = I V = σ ∬ E ⋅ d S ∫ E ⋅ d l ∇ ⋅ J = 0 \nabla\cdot\mathbf J = 0 ∇ ⋅ J = 0 ∇ ⋅ ( σ ∇ V ) = 0 \nabla\cdot(\sigma\nabla V) = 0 ∇ ⋅ ( σ ∇ V ) = 0 ∇ 2 V = 0 \nabla^2V = 0 ∇ 2 V = 0 σ \sigma σ ρ = 1 / σ \rho = 1/\sigma ρ = 1/ σ
E8 Hemispherical earth electrode
J ( r ) = I 2 π r 2 , V ( r ) = ρ I 2 π r , R g = ρ 2 π a , V step = ρ I 2 π ( 1 r 1 − 1 r 2 ) J(r) = \frac{I}{2\pi r^2},\quad V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r},\quad R_g = \frac{\rho}{2\pi a},\quad V_{\text{step}} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac1{r_1} - \frac1{r_2}\right) J ( r ) = 2 π r 2 I , V ( r ) = 2 π r ρ I , R g = 2 πa ρ , V step = 2 π ρ I ( r 1 1 − r 2 1 ) กระแสกระจายออกครึ่งทรงกลม (ผิวพื้นที่ 2 π r 2 2\pi r^2 2 π r 2 r r r 1 / r 1/r 1/ r
ตัวอย่าง E-5 · หลักดินและแรงดันก้าว หลักดินครึ่งทรงกลมรัศมี a = 0.10 a = 0.10 a = 0.10 ρ = 100 Ω ⋅ m \rho = 100\ \Omega\!\cdot\!\text{m} ρ = 100 Ω ⋅ m I = 1000 I = 1000 I = 1000 R g R_g R g V V V r = 1.0 r = 1.0 r = 1.0 1.8 1.8 1.8
กระแสไหลออกทุกทิศบนครึ่งทรงกลมรัศมี r r r I = J ( 2 π r 2 ) I = J(2\pi r^2) I = J ( 2 π r 2 ) J = I 2 π r 2 J = \dfrac{I}{2\pi r^2} J = 2 π r 2 I E = ρ J = ρ I 2 π r 2 E = \rho J = \dfrac{\rho I}{2\pi r^2} E = ρ J = 2 π r 2 ρ I
V ( r ) = ∫ r ∞ E d r ′ = ρ I 2 π r V(r) = \displaystyle\int_r^\infty E\,dr' = \dfrac{\rho I}{2\pi r} V ( r ) = ∫ r ∞ E d r ′ = 2 π r ρ I V ( a ) = ρ I 2 π a V(a) = \dfrac{\rho I}{2\pi a} V ( a ) = 2 πa ρ I R g = V ( a ) I = ρ 2 π a = 100 2 π ( 0.1 ) = 159.2 Ω R_g = \dfrac{V(a)}{I} = \dfrac{\rho}{2\pi a} = \dfrac{100}{2\pi(0.1)} = 159.2\ \Omega R g = I V ( a ) = 2 πa ρ = 2 π ( 0.1 ) 100 = 159.2 Ω
V ( r = 1 m ) = 100 × 1000 2 π ( 1 ) = 15 915 V(r = 1\text{ m}) = \dfrac{100\times1000}{2\pi(1)} = 15\,915 V ( r = 1 m ) = 2 π ( 1 ) 100 × 1000 = 15 915 V ( 1.8 ) = 8842 V(1.8) = 8842 V ( 1.8 ) = 8842
แรงดันก้าว = 15 915 − 8842 = 7073 = 15\,915 - 8842 = 7073 = 15 915 − 8842 = 7073
R g = 159.2 Ω R_g = 159.2\ \Omega R g = 159.2 Ω V ( 1 m ) = 15.9 V(1\text{ m}) = 15.9 V ( 1 m ) = 15.9
สมการแมกซ์เวลล์ คลื่น และเวกเตอร์พอยน์ติง ขั้นสูง
สมการแมกซ์เวลล์สี่ข้อ (ดูตารางในบทผิวและสโตกส์ ) มีรูปอนุพันธ์ที่ใช้ div และ curl ถ้าแทนกันและใช้เอกลักษณ์ ∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla^2\mathbf E ∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E ρ = 0 , J = 0 \rho = 0,\ \mathbf J = \mathbf 0 ρ = 0 , J = 0 c = 1 / μ 0 ε 0 c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} c = 1/ μ 0 ε 0
E9 Electromagnetic wave equation
∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ ∂ t ∇ × B = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 ⟹ ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 , c = 1 μ 0 ε 0 \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf B = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\ \ \Longrightarrow\ \ \nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},\qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} ∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ t ∂ ∇ × B = − μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E ⟹ ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E , c = μ 0 ε 0 1 ใช้ ∇ ⋅ E = 0 \nabla\cdot\mathbf E = 0 ∇ ⋅ E = 0 E x = E 0 cos ( k z − ω t ) E_x = E_0\cos(kz - \omega t) E x = E 0 cos ( k z − ω t ) ω = c k \omega = ck ω = c k λ = c / f \lambda = c/f λ = c / f
E10 Poynting vector and power
S = E × H , P out = ∯ S S ⋅ d A , ความร้อนจูล: P = ∭ J ⋅ E d V = ∭ σ E 2 d V \mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H,\qquad P_{\text{out}} = \oiint_S\mathbf S\cdot d\mathbf A,\qquad \text{ความร้อนจูล: } P = \iiint\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV = \iiint\sigma E^2\,dV S = E × H , P out = ∬ S S ⋅ d A , ความร้อนจูล : P = ∭ J ⋅ E d V = ∭ σ E 2 d V ทฤษฎีบทพอยน์ติง: กำลังที่ไหลเข้าผ่านผิว = กำลังที่สูญเสียในตัวนำ + อัตราเปลี่ยนของพลังงานสนาม · คลื่นระนาบ S = E 0 2 / ( 2 η 0 ) S = E_0^2/(2\eta_0) S = E 0 2 / ( 2 η 0 ) η 0 = μ 0 / ε 0 = 376.7 Ω \eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega η 0 = μ 0 / ε 0 = 376.7 Ω
ตัวอย่าง E-6 · พลังงานไหลเข้าสู่ลวดนำกระแส ลวดทองแดงรัศมี 1 mm ยาว 1 m นำกระแสตรง 10 A (σ = 5.8 × 10 7 \sigma = 5.8\times10^7 σ = 5.8 × 1 0 7 J , E , H \mathbf J, \mathbf E, \mathbf H J , E , H I 2 R I^2R I 2 R
J = I / A = 10 / ( π × 10 − 6 ) = 3.183 × 10 6 J = I/A = 10/(\pi\times10^{-6}) = 3.183\times10^{6} J = I / A = 10/ ( π × 1 0 − 6 ) = 3.183 × 1 0 6 E = J / σ = 0.05488 E = J/\sigma = 0.05488 E = J / σ = 0.05488
กฎของแอมแปร์รอบผิวลวด: H ( 2 π a ) = I H(2\pi a) = I H ( 2 πa ) = I H = 10 2 π ( 10 − 3 ) = 1591.5 H = \dfrac{10}{2\pi(10^{-3})} = 1591.5 H = 2 π ( 1 0 − 3 ) 10 = 1591.5
S = E × H \mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H S = E × H เข้า ผิวลวด (ตามรัศมีเข้า) ขนาด S = E H = 0.05488 × 1591.5 = 87.35 S = EH = 0.05488\times1591.5 = 87.35 S = E H = 0.05488 × 1591.5 = 87.35
กำลังที่ไหลเข้าทั้งผิวข้าง (พื้นที่ 2 π a L = 6.283 × 10 − 3 2\pi aL = 6.283\times10^{-3} 2 πa L = 6.283 × 1 0 − 3 P = 87.35 × 6.283 × 10 − 3 = 0.5488 P = 87.35\times6.283\times10^{-3} = 0.5488 P = 87.35 × 6.283 × 1 0 − 3 = 0.5488
เทียบกับความร้อนจูล: R = L σ A = 1 ( 5.8 × 10 7 ) ( 3.1416 × 10 − 6 ) = 5.488 R = \dfrac{L}{\sigma A} = \dfrac{1}{(5.8\times10^7)(3.1416\times10^{-6})} = 5.488 R = σ A L = ( 5.8 × 1 0 7 ) ( 3.1416 × 1 0 − 6 ) 1 = 5.488 I 2 R = 100 × 5.488 × 10 − 3 = 0.5488 I^2R = 100\times5.488\times10^{-3} = 0.5488 I 2 R = 100 × 5.488 × 1 0 − 3 = 0.5488 σ \sigma σ
P = ∯ S ⋅ d A = 0.549 P = \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A = 0.549 P = ∬ S ⋅ d A = 0.549 I 2 R I^2R I 2 R
ตัวอย่าง E-7 · คลื่นระนาบ 100 MHz คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบในอากาศที่ 100 MHz มีแอมพลิจูด E 0 = 10 E_0 = 10 E 0 = 10 c c c λ \lambda λ k k k
c = 1 μ 0 ε 0 = 1 ( 4 π × 10 − 7 ) ( 8.854 × 10 − 12 ) = 2.998 × 10 8 c = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \dfrac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.854\times10^{-12})}} = 2.998\times10^8 c = μ 0 ε 0 1 = ( 4 π × 1 0 − 7 ) ( 8.854 × 1 0 − 12 ) 1 = 2.998 × 1 0 8
λ = c / f = 2.998 × 10 8 / 10 8 = 3.00 \lambda = c/f = 2.998\times10^8/10^8 = 3.00 λ = c / f = 2.998 × 1 0 8 /1 0 8 = 3.00 k = 2 π / λ = 2.096 k = 2\pi/\lambda = 2.096 k = 2 π / λ = 2.096 ω = 2 π f = 6.283 × 10 8 \omega = 2\pi f = 6.283\times10^8 ω = 2 π f = 6.283 × 1 0 8 ω / k = c \omega/k = c ω / k = c
η 0 = μ 0 / ε 0 = 376.7 Ω \eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega η 0 = μ 0 / ε 0 = 376.7 Ω H 0 = E 0 / η 0 = 0.02654 H_0 = E_0/\eta_0 = 0.02654 H 0 = E 0 / η 0 = 0.02654
⟨ S ⟩ = E 0 2 2 η 0 = 100 753.5 = 0.1327 \langle S\rangle = \dfrac{E_0^2}{2\eta_0} = \dfrac{100}{753.5} = 0.1327 ⟨ S ⟩ = 2 η 0 E 0 2 = 753.5 100 = 0.1327
c = 3.00 × 10 8 c = 3.00\times10^8 c = 3.00 × 1 0 8 λ = 3.00 \lambda = 3.00 λ = 3.00 ⟨ S ⟩ = 0.133 \langle S\rangle = 0.133 ⟨ S ⟩ = 0.133
สรุป: เครื่องมือแคลคูลัสกับโจทย์ไฟฟ้า พื้นฐาน
ปัญหาไฟฟ้า เครื่องมือ ผลลัพธ์
สนามจากประจุหลายตัว รวมศักย์ แล้ว gradient E = − ∇ V \mathbf E = -\nabla V E = − ∇ V สนามของรูปทรงสมมาตร ผิวเกาส์ + อินทิกรัลผิว เส้น ระนาบ ทรงกลม (E3) ศักย์ระหว่างอิเล็กโทรด สมการลาปลาซ V ( r ) V(r) V ( r ) ความจุ C C C เกาส์ + อินทิกรัลเส้น + อินทิกรัลสามชั้น แผ่นขนาน โคแอก (E5, E6) ความต้านทานของรูปทรง J \mathbf J J E \mathbf E E หลักดิน แรงดันก้าว (E7, E8) EMF เหนี่ยวนำ สโตกส์ + อินทิกรัลผิว − d Φ / d t -d\Phi/dt − d Φ/ d t คลื่นและกำลังที่แผ่ curl curl และ Poynting c c c λ \lambda λ ⟨ S ⟩ \langle S\rangle ⟨ S ⟩ ฮาร์โมนิกรูปคลื่นหลายตัวแปร ฟูเรียร์ซีรีส์ + Laplace ดู อนุกรมฟูเรียร์ และ การแปลงลาปลาซ
เส้นทางต่อ: สนามไฟฟ้า-แม่เหล็กและแรงลอเรนซ์ด้วยเวกเตอร์ · แล็บสนามในชุดเวกเตอร์ · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · ระบบไฟฟ้ากำลังและการป้องกัน (การต่อลงดินและการทำงานของรีเลย์ใช้สนามและศักย์ในหน้านี้)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย พื้นฐาน
ลืมเครื่องหมายลบใน E = − ∇ V \mathbf E = -\nabla V E = − ∇ V · สนามชี้ไปทางที่ศักย์ลดใช้กฎของเกาส์กับรูปที่ไม่สมมาตร · กฎใช้ได้เสมอแต่ E E E ลืมว่าระบบหน่วย · k = 8.988 × 10 9 k = 8.988\times10^9 k = 8.988 × 1 0 9 10 − 9 10^{-9} 1 0 − 9 ใช้ ε 0 \varepsilon_0 ε 0 ε 0 ε r \varepsilon_0\varepsilon_r ε 0 ε r ในไดอิเล็กทริก · ความจุเพิ่มขึ้น ε r \varepsilon_r ε r เข้าใจผิดว่าพลังงานไหลตามเนื้อลวด · เวกเตอร์พอยน์ติงชี้เข้าผิวลวดจากสนามรอบ ๆ (E-6)
ไปต่อที่วิศวกรรมเครื่องกล ซึ่งใช้สมการรูปเดียวกัน (ลาปลาซ, ดีเวอร์เจนซ์, เกรเดียนต์) กับความร้อนและของไหล
คำถามที่พบบ่อย สนามไฟฟ้า E ได้จากศักย์ไฟฟ้า V ได้อย่างไร? ใช้ E = − ∇ V = − ⟨ ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z ⟩ \mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\dfrac{\partial V}{\partial x}, \dfrac{\partial V}{\partial y}, \dfrac{\partial V}{\partial z}\right\rangle E = − ∇ V = − ⟨ ∂ x ∂ V , ∂ y ∂ V , ∂ z ∂ V ⟩ V V V V = k ∑ q i / r i V = k\sum q_i/r_i V = k ∑ q i / r i E \mathbf E E V = k q / r V = kq/r V = k q / r E = k q r ^ / r 2 \mathbf E = kq\,\hat{\mathbf r}/r^2 E = k q r ^ / r 2
กฎของเกาส์ (Gauss's law) ใช้หาสนามไฟฟ้าอย่างไร? กฎบอกว่า ∯ E ⋅ d S = Q e n c / ε 0 \oiint\mathbf E\cdot d\mathbf S = Q_{enc}/\varepsilon_0 ∬ E ⋅ d S = Q e n c / ε 0 E \mathbf E E E × E\times E × E = λ / ( 2 π ε 0 r ) E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0r) E = λ / ( 2 π ε 0 r ) E = σ / ( 2 ε 0 ) E = \sigma/(2\varepsilon_0) E = σ / ( 2 ε 0 ) E = k Q / r 2 E = kQ/r^2 E = k Q / r 2
สมการลาปลาซกับสมการพัวซองต่างกันอย่างไร ใช้เมื่อไร? สมการพัวซอง ∇ 2 V = − ρ v / ε 0 \nabla^2V = -\rho_v/\varepsilon_0 ∇ 2 V = − ρ v / ε 0 ∇ 2 V = 0 \nabla^2V = 0 ∇ 2 V = 0 V ( r ) = V 0 ln ( b / r ) / ln ( b / a ) V(r) = V_0\ln(b/r)/\ln(b/a) V ( r ) = V 0 ln ( b / r ) / ln ( b / a ) V V V
คำนวณความจุ (capacitance) ด้วยแคลคูลัสหลายตัวแปรอย่างไร? ขั้นตอนมาตรฐาน: สมมติประจุ Q Q Q E \mathbf E E V = − ∫ E ⋅ d l V = -\int\mathbf E\cdot d\mathbf l V = − ∫ E ⋅ d l C = Q / V C = Q/V C = Q / V C = ε 0 A / d C = \varepsilon_0A/d C = ε 0 A / d C ′ = 2 π ε 0 ε r / ln ( b / a ) C' = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) C ′ = 2 π ε 0 ε r / ln ( b / a ) W = 1 2 ε 0 ∭ E 2 d V = 1 2 C V 2 W = \tfrac12\varepsilon_0\iiint E^2\,dV = \tfrac12CV^2 W = 2 1 ε 0 ∭ E 2 d V = 2 1 C V 2
เวกเตอร์พอยน์ติง (Poynting vector) คืออะไร? เวกเตอร์พอยน์ติง S = E × H \mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H S = E × H ∯ S ⋅ d A \oiint\mathbf S\cdot d\mathbf A ∬ S ⋅ d A I 2 R I^2R I 2 R S = E 0 2 / ( 2 η 0 ) S = E_0^2/(2\eta_0) S = E 0 2 / ( 2 η 0 ) η 0 = 376.7 Ω \eta_0 = 376.7\ \Omega η 0 = 376.7 Ω
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์