หน้าแรก คลังความรู้ แคลคูลัสหลายตัวแปร Multivariable & Vector Calculus ดูครบทุกส่วน · 13 หน้า 4 · ฟังก์ชันเวกเตอร์และแคลคูลัสเวกเตอร์ 5 · การประยุกต์ทางวิศวกรรม // บทที่ 24 · Multivariable & Vector Calculus · 13 หน้า
แคลคูลัสหลายตัวแปรและแคลคูลัสเวกเตอร์ (Multivariable & Vector Calculus): อนุพันธ์ย่อย อินทิกรัลหลายชั้น สนามเวกเตอร์ พร้อมแล็บและงานวิศวกรรม
แคลคูลัส 3 ที่นักศึกษาวิศวกรรมต้องผ่านก่อนเข้าสู่วิชาสนามไฟฟ้า การถ่ายเทความร้อน กลศาสตร์ของไหล และโครงสร้าง ชุดนี้เริ่มจากกราฟผิวสามมิติ ไปจนถึงทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ทุกหัวข้อมีสูตรอ้างอิง ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว และแล็บให้ลากเมาส์ดูของจริง แล้วปิดท้ายด้วยงานของวิศวกรไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา
ในชุดนี้มีอะไร
13 หน้า 6 ส่วน : ฟังก์ชันหลายตัวแปร · อนุพันธ์ · อินทิกรัลหลายชั้น · เวกเตอร์ · วิศวกรรม · แล็บ134 สูตรมีรหัสอ้างอิง และ 111 ตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขด้วย sympy และ numpy แล้ว
แล็บโต้ตอบ 19 ชุดพิมพ์สมการเองได้: กราฟผิว gradient Lagrange อินทิกรัล Jacobian เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes ประจุไฟฟ้า การนำความร้อน ดินขุด-ถม หน้าตัด
คำศัพท์เขียนไทยก่อน แล้วระบุอังกฤษในวงเล็บ เพื่อให้ค้นตำราต่างประเทศและอ่านข้อสอบอังกฤษได้
เลือกเส้นทางเรียนตามเป้าหมาย
ทุกคนเริ่มที่นี่ แกนกลางแคลคูลัส 3 คณิตศาสตร์วิศวกรรม · ฟิสิกส์ 2 เส้นทางแคลคูลัสเวกเตอร์ เลือกสาขาที่เรียน เส้นทางวิศวกรรม
f(x, y) กราฟผิว (F) → ∂f/∂x (P) → ∇f (G) → max/min (O) → ∬ dA (M) → r(t) (R) → F(x,y,z) (D) → ∮ F·dr (L) → ∯ F·n dS (S)
ทุกหน้าในชุดแคลคูลัสหลายตัวแปร
ส่วนที่ 1 ฟังก์ชันหลายตัวแปร Functions of Several Variables โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง (contour) ลิมิตและความต่อเนื่องในสองตัวแปร
ส่วนที่ 2 อนุพันธ์หลายตัวแปร Multivariable Differentiation อนุพันธ์ย่อย ระนาบสัมผัส กฎลูกโซ่ gradient อนุพันธ์ตามทิศ จุดวิกฤต Hessian ตัวคูณลากรองจ์ และกำลังสองน้อยสุด
ส่วนที่ 3 อินทิกรัลหลายชั้น Multiple Integrals อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม จาโคเบียน จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อย
ส่วนที่ 4 ฟังก์ชันเวกเตอร์และแคลคูลัสเวกเตอร์ Vector Functions & Vector Calculus เส้นโค้งในอวกาศ ความโค้ง สนามเวกเตอร์ divergence curl อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบท Green Gauss และ Stokes
ส่วนที่ 5 การประยุกต์ทางวิศวกรรม Engineering Applications ไฟฟ้า: สนามและศักย์ แมกซ์เวลล์ · เครื่องกล: ความร้อน ของไหล มวล · โยธา: ภูมิประเทศ ดินขุด-ถม หน้าตัด ซึมผ่าน
ส่วนที่ 6 ห้องแล็บ Labs เครื่องมือโต้ตอบรวมทุกบท: พื้นผิว gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล เส้นโค้ง สนามเวกเตอร์ Gauss–Stokes
เลือกเครื่องมือให้ตรงกับคำถาม
คำถาม เครื่องมือ ชนิดคำตอบ
ผิว z = f ( x , y ) z = f(x, y) z = f ( x , y ) กราฟผิว + เส้นชั้นความสูง ภาพ 3 มิติ ลิมิตที่จุดหนึ่งมีไหม? ทดสอบหลายเส้นทาง มี / ไม่มี เปลี่ยนทีละตัวแปรแล้ว f f f อนุพันธ์ย่อย f x , f y f_x, f_y f x , f y อัตราการเปลี่ยนแปลง ทิศไหนขึ้นชันที่สุด? ชันเท่าไร? ∇ f \nabla f ∇ f D u f D_{\mathbf u}f D u f เวกเตอร์ / อัตรา ค่าสูงสุด-ต่ำสุดอยู่ที่ไหน? Hessian, Lagrange จุด + ชนิด ปริมาตร มวล จุดศูนย์กลางมวล? อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น ปริมาตร / มวล / พิกัด อนุภาคเคลื่อนที่ในอวกาศ ความเร็วและความโค้ง? r ( t ) \mathbf r(t) r ( t ) v , a , κ \mathbf v, \mathbf a, \kappa v , a , κ สนามนี้ไหลออก หมุนวน หรือเป็นสนามอนุรักษ์? div, curl สเกลาร์ / เวกเตอร์ แรงทำงานตามเส้นทางเท่าไร? ∫ F ⋅ d r \int\mathbf F\cdot d\mathbf r ∫ F ⋅ d r งาน (J) ฟลักซ์ผ่านผิวเท่าไร? ∬ F ⋅ n d S \iint\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS ∬ F ⋅ n d S ฟลักซ์
ห้องแล็บและเครื่องมือ
รหัส F ฟังก์ชันหลายตัวแปร · P อนุพันธ์ย่อย · G เกรเดียนต์ · O ค่าสุดขีด · M อินทิกรัลหลายชั้น · R ฟังก์ชันเวกเตอร์ · D สนามเวกเตอร์ · L อินทิกรัลตามเส้น · S อินทิกรัลบนผิว · E ไฟฟ้า · K เครื่องกล · C โยธา คลิกสูตรเพื่ออ่านเงื่อนไขการใช้และตัวอย่างในหน้าที่เกี่ยวข้อง
ค้นหาสูตร
ทั้งหมด 134 สูตร
ทุกหน้า F · ฟังก์ชันหลายตัวแปร P · อนุพันธ์ย่อย G · Gradient · ทิศทาง O · ค่าสุดขีด · Lagrange M · อินทิกรัลหลายชั้น R · ฟังก์ชันเวกเตอร์ D · สนามเวกเตอร์ · div · curl L · อินทิกรัลตามเส้น · Green S · ผิว · Gauss · Stokes E · ไฟฟ้า K · เครื่องกล C · โยธา
F1 Function of two variables ฟังก์ชันสองตัวแปร f : D ⊆ R 2 → R , ( x , y ) ⟼ z = f ( x , y ) f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\qquad (x, y) \longmapsto z = f(x, y) f : D ⊆ R 2 → R , ( x , y ) ⟼ z = f ( x , y ) F2 Function of n variables ฟังก์ชัน n ตัวแปร f : R n → R , w = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R},\quad w = f(\mathbf x) = f(x_1, \dots, x_n) f : R n → R , w = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) F3 Plane as a graph ระนาบเป็นกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น z = f ( x , y ) = c + a x + b y z = f(x, y) = c + a x + b y z = f ( x , y ) = c + a x + b y F4 Graph of f กราฟของ f graph ( f ) = { ( x , y , z ) : z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } \operatorname{graph}(f) = \{(x, y, z) : z = f(x, y),\ (x, y) \in D\} graph ( f ) = {( x , y , z ) : z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } F5 Level curve เส้นชั้นความสูง L c = { ( x , y ) ∈ D : f ( x , y ) = c } L_c = \{(x, y) \in D : f(x, y) = c\} L c = {( x , y ) ∈ D : f ( x , y ) = c } F6 Level surface ผิวระดับ S c = { ( x , y , z ) : f ( x , y , z ) = c } S_c = \{(x, y, z) : f(x, y, z) = c\} S c = {( x , y , z ) : f ( x , y , z ) = c } F7 Ellipsoid · sphere ทรงรี · ทรงกลม x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , x 2 + y 2 + z 2 = R 2 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,\qquad x^2 + y^2 + z^2 = R^2 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 , x 2 + y 2 + z 2 = R 2 F8 Paraboloids พาราโบลอยด์ z = x 2 a 2 + y 2 b 2 ( ชาม ) , z = x 2 a 2 − y 2 b 2 ( อานม้า ) z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\ \ (\text{ชาม}),\qquad z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\ \ (\text{อานม้า}) z = a 2 x 2 + b 2 y 2 ( ชาม ) , z = a 2 x 2 − b 2 y 2 ( อานม้า ) F9 Limit (ε–δ) นิยามลิมิตสองตัวแปร lim ( x , y ) → ( a , b ) f ( x , y ) = L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < δ ⇒ ∣ f ( x , y ) − L ∣ < ε \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x, y) = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\ 0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - L| < \varepsilon ( x , y ) → ( a , b ) lim f ( x , y ) = L ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < δ ⇒ ∣ f ( x , y ) − L ∣ < ε F10 Two-path test การทดสอบสองเส้นทาง f → L 1 ตาม C 1 , f → L 2 ตาม C 2 , L 1 ≠ L 2 ⇒ ลิมิตไม่มี (DNE) f \to L_1 \text{ ตาม } C_1,\ f \to L_2 \text{ ตาม } C_2,\ L_1 \neq L_2 \Rightarrow \text{ลิมิตไม่มี (DNE)} f → L 1 ตาม C 1 , f → L 2 ตาม C 2 , L 1 = L 2 ⇒ ลิมิตไม่มี (DNE) F11 Squeeze theorem ทฤษฎีบทแซนด์วิช ∣ f ( x , y ) − L ∣ ≤ g ( x , y ) → 0 ⇒ lim f = L |f(x, y) - L| \le g(x, y) \to 0 \ \Rightarrow\ \lim f = L ∣ f ( x , y ) − L ∣ ≤ g ( x , y ) → 0 ⇒ lim f = L F12 Polar substitution แทนด้วยพิกัดขั้ว (ที่จุดกำเนิด) x = r cos θ , y = r sin θ ; ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ⟺ r → 0 + (ทุก θ ) x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta;\qquad (x, y) \to (0, 0) \iff r \to 0^{+} \ \text{(ทุก } \theta) x = r cos θ , y = r sin θ ; ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ⟺ r → 0 + ( ทุก θ ) F13 Continuity at a point ความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง f ต่อเนื่องที่ ( a , b ) ⟺ lim ( x , y ) → ( a , b ) f ( x , y ) = f ( a , b ) f \text{ ต่อเนื่องที่ } (a, b) \iff \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x, y) = f(a, b) f ต่อเนื่องที่ ( a , b ) ⟺ ( x , y ) → ( a , b ) lim f ( x , y ) = f ( a , b ) P1 Partial derivative (definition) อนุพันธ์ย่อย (นิยาม) f x ( a , b ) = ∂ f ∂ x ( a , b ) = lim h → 0 f ( a + h , b ) − f ( a , b ) h , f y ( a , b ) = lim h → 0 f ( a , b + h ) − f ( a , b ) h f_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h,\, b) - f(a,\, b)}{h},\qquad f_y(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a,\, b+h) - f(a,\, b)}{h} f x ( a , b ) = ∂ x ∂ f ( a , b ) = h → 0 lim h f ( a + h , b ) − f ( a , b ) , f y ( a , b ) = h → 0 lim h f ( a , b + h ) − f ( a , b ) P2 Notation สัญกรณ์ที่เจอบ่อย f x = ∂ f ∂ x = ∂ x f = D x f = ( ∂ f ∂ x ) y f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y f x = ∂ x ∂ f = ∂ x f = D x f = ( ∂ x ∂ f ) y P3 Working rule วิธีทำในทางปฏิบัติ ∂ ∂ x [ นิพจน์ใน x , y ] : y เป็นค่าคงที่ \frac{\partial}{\partial x}\big[\,\text{นิพจน์ใน } x, y\,\big]\ :\ y \text{ เป็นค่าคงที่} ∂ x ∂ [ นิพจน์ใน x , y ] : y เป็นค่าคงที่ P4 Slopes of the traces ความชันของรอยตัด ระนาบ y = b : z = f ( x , b ) , ความชัน = f x ( a , b ) ระนาบ x = a : z = f ( a , y ) , ความชัน = f y ( a , b ) \begin{aligned} \text{ระนาบ } y = b:&\quad z = f(x, b),\quad \text{ความชัน} = f_x(a, b)\\ \text{ระนาบ } x = a:&\quad z = f(a, y),\quad \text{ความชัน} = f_y(a, b) \end{aligned} ระนาบ y = b : ระนาบ x = a : z = f ( x , b ) , ความชัน = f x ( a , b ) z = f ( a , y ) , ความชัน = f y ( a , b ) P5 Rate of change and units อัตราเปลี่ยนและหน่วย Δ f ≈ f x Δ x ( Δ y = 0 ) , [ f x ] = [ f ] [ x ] \Delta f \approx f_x\,\Delta x \quad(\Delta y = 0),\qquad [f_x] = \frac{[f]}{[x]} Δ f ≈ f x Δ x ( Δ y = 0 ) , [ f x ] = [ x ] [ f ] P6 Second partial derivatives อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง f x x = ∂ 2 f ∂ x 2 , f y y = ∂ 2 f ∂ y 2 , f x y = ( f x ) y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x , f y x = ( f y ) x f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy} = (f_x)_y = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x},\quad f_{yx} = (f_y)_x f xx = ∂ x 2 ∂ 2 f , f yy = ∂ y 2 ∂ 2 f , f x y = ( f x ) y = ∂ y ∂ x ∂ 2 f , f y x = ( f y ) x P7 Clairaut's theorem ทฤษฎีบทของแคลโร f x y , f y x ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ ( a , b ) ⇒ f x y ( a , b ) = f y x ( a , b ) f_{xy},\, f_{yx} \text{ ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ } (a, b) \ \Rightarrow\ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) f x y , f y x ต่อเนื่องบนวงกลมเปิดรอบ ( a , b ) ⇒ f x y ( a , b ) = f y x ( a , b ) P8 Laplace's equation สมการลาปลาซ ∇ 2 u = u x x + u y y = 0 ( ฟังก์ชันฮาร์มอนิก ) \nabla^2 u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \quad(\text{ฟังก์ชันฮาร์มอนิก}) ∇ 2 u = u xx + u yy = 0 ( ฟังก์ชันฮาร์มอนิก ) P9 Heat (diffusion) equation สมการความร้อน ∂ u ∂ t = α ∂ 2 u ∂ x 2 \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ∂ t ∂ u = α ∂ x 2 ∂ 2 u P10 Tangent plane ระนาบสัมผัส z = f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x − a ) + f y ( a , b ) ( y − b ) z = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b) z = f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x − a ) + f y ( a , b ) ( y − b ) P11 Linearization การประมาณเชิงเส้น f ( x , y ) ≈ L ( x , y ) = f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x − a ) + f y ( a , b ) ( y − b ) f(x, y) \approx L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) f ( x , y ) ≈ L ( x , y ) = f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x − a ) + f y ( a , b ) ( y − b ) P12 Total differential ผลต่างรวม d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y , Δ f ≈ d f ( เมื่อ Δ x , Δ y เล็ก ) df = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,\qquad \Delta f \approx df \quad(\text{เมื่อ } \Delta x, \Delta y \text{ เล็ก}) df = ∂ x ∂ f d x + ∂ y ∂ f d y , Δ f ≈ df ( เมื่อ Δ x , Δ y เล็ก ) P13 Worst-case error ความคลาดเคลื่อนสูงสุด ∣ Δ f ∣ ≲ ∣ ∂ f ∂ x ∣ Δ x + ∣ ∂ f ∂ y ∣ Δ y |\Delta f| \lesssim \left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y ∣Δ f ∣ ≲ ∂ x ∂ f Δ x + ∂ y ∂ f Δ y P14 RSS (quadrature) error ความคลาดเคลื่อนแบบ RSS Δ f ≈ ( f x Δ x ) 2 + ( f y Δ y ) 2 \Delta f \approx \sqrt{\left(f_x\,\Delta x\right)^2 + \left(f_y\,\Delta y\right)^2} Δ f ≈ ( f x Δ x ) 2 + ( f y Δ y ) 2 P15 Chain rule (one parameter) กฎลูกโซ่ (พารามิเตอร์เดียว) z = f ( x ( t ) , y ( t ) ) ⇒ d z d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t = ∇ f ⋅ r ′ ( t ) z = f(x(t),\, y(t)) \ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} = \nabla f \cdot \mathbf r'(t) z = f ( x ( t ) , y ( t )) ⇒ d t d z = ∂ x ∂ f d t d x + ∂ y ∂ f d t d y = ∇ f ⋅ r ′ ( t ) P16 Chain rule (two parameters) กฎลูกโซ่ (สองพารามิเตอร์) ∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s , ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t \frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} ∂ s ∂ z = ∂ x ∂ z ∂ s ∂ x + ∂ y ∂ z ∂ s ∂ y , ∂ t ∂ z = ∂ x ∂ z ∂ t ∂ x + ∂ y ∂ z ∂ t ∂ y P17 Implicit differentiation (2 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย F ( x , y ) = 0 ⇒ d y d x = − F x F y ( F y ≠ 0 ) F(x, y) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\quad (F_y \ne 0) F ( x , y ) = 0 ⇒ d x d y = − F y F x ( F y = 0 ) P18 Implicit differentiation (3 variables) อนุพันธ์โดยปริยาย (สามตัวแปร) F ( x , y , z ) = 0 ⇒ ∂ z ∂ x = − F x F z , ∂ z ∂ y = − F y F z ( F z ≠ 0 ) F(x, y, z) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} \quad (F_z \ne 0) F ( x , y , z ) = 0 ⇒ ∂ x ∂ z = − F z F x , ∂ y ∂ z = − F z F y ( F z = 0 ) P19 Jacobian matrix เมทริกซ์จาโคเบียน F ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ⇒ J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ( x u x v y u y v ) , Δ F ≈ J Δ ( u , v ) ⊤ \mathbf F(u, v) = \big(x(u,v),\, y(u,v)\big) \ \Rightarrow\ \mathbf J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix},\qquad \Delta \mathbf F \approx \mathbf J\,\Delta(u, v)^{\!\top} F ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ⇒ J = ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = ( x u y u x v y v ) , Δ F ≈ J Δ ( u , v ) ⊤ G1 Gradient เกรเดียนต์ ∇ f = ⟨ ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ⟩ = f x i + f y j , ∇ f = ⟨ f x , f y , f z ⟩ (3 ตัวแปร) \nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right\rangle = f_x\,\mathbf i + f_y\,\mathbf j,\qquad \nabla f = \left\langle f_x, f_y, f_z\right\rangle \ \text{(3 ตัวแปร)} ∇ f = ⟨ ∂ x ∂ f , ∂ y ∂ f ⟩ = f x i + f y j , ∇ f = ⟨ f x , f y , f z ⟩ (3 ตัวแปร ) G2 Directional derivative (definition) อนุพันธ์ตามทิศ (นิยาม) D u f ( a , b ) = lim h → 0 f ( a + h u 1 , b + h u 2 ) − f ( a , b ) h = d d h f ( x 0 + h u ) ∣ h = 0 D_{\mathbf u} f(a, b) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h u_1,\ b + h u_2) - f(a, b)}{h} = \left.\frac{d}{dh} f(\mathbf x_0 + h\mathbf u)\right|_{h=0} D u f ( a , b ) = h → 0 lim h f ( a + h u 1 , b + h u 2 ) − f ( a , b ) = d h d f ( x 0 + h u ) h = 0 G3 Computing formula สูตรคำนวณ D u f = ∇ f ⋅ u = f x u 1 + f y u 2 = ∣ ∇ f ∣ cos θ , u = v ∣ v ∣ D_{\mathbf u} f = \nabla f \cdot \mathbf u = f_x u_1 + f_y u_2 = |\nabla f|\cos\theta,\qquad \mathbf u = \frac{\mathbf v}{|\mathbf v|} D u f = ∇ f ⋅ u = f x u 1 + f y u 2 = ∣∇ f ∣ cos θ , u = ∣ v ∣ v G4 Direction of steepest ascent ทิศขึ้นชันที่สุด max ∣ u ∣ = 1 D u f = ∣ ∇ f ∣ ( u = ∇ f ∣ ∇ f ∣ ) , min D u f = − ∣ ∇ f ∣ ( u = − ∇ f ∣ ∇ f ∣ ) , D u f = 0 ( u ⊥ ∇ f ) \max_{|\mathbf u|=1} D_{\mathbf u}f = |\nabla f|\ \ (\mathbf u = \tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}),\qquad \min D_{\mathbf u}f = -|\nabla f|\ \ (\mathbf u = -\tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}),\qquad D_{\mathbf u}f = 0\ \ (\mathbf u \perp \nabla f) ∣ u ∣ = 1 max D u f = ∣∇ f ∣ ( u = ∣∇ f ∣ ∇ f ) , min D u f = − ∣∇ f ∣ ( u = − ∣∇ f ∣ ∇ f ) , D u f = 0 ( u ⊥ ∇ f ) G5 Gradient ⟂ level curve gradient ตั้งฉากเส้นชั้น r ( t ) ∈ { f = c } ⇒ d d t f ( r ( t ) ) = ∇ f ⋅ r ′ ( t ) = 0 \mathbf r(t) \in \{f = c\} \ \Rightarrow\ \frac{d}{dt}f(\mathbf r(t)) = \nabla f\cdot\mathbf r'(t) = 0 r ( t ) ∈ { f = c } ⇒ d t d f ( r ( t )) = ∇ f ⋅ r ′ ( t ) = 0 G6 Tangent plane and normal line of F = c ระนาบสัมผัสและเส้นปกติของผิวระดับ F x ( P ) ( x − x 0 ) + F y ( P ) ( y − y 0 ) + F z ( P ) ( z − z 0 ) = 0 , r ( t ) = r 0 + t ∇ F ( P ) F_x(P)(x - x_0) + F_y(P)(y - y_0) + F_z(P)(z - z_0) = 0,\qquad \mathbf r(t) = \mathbf r_0 + t\,\nabla F(P) F x ( P ) ( x − x 0 ) + F y ( P ) ( y − y 0 ) + F z ( P ) ( z − z 0 ) = 0 , r ( t ) = r 0 + t ∇ F ( P ) G7 Gradient rules กฎของเกรเดียนต์ ∇ ( f ± g ) = ∇ f ± ∇ g , ∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f , ∇ h ( f ) = h ′ ( f ) ∇ f \nabla(f \pm g) = \nabla f \pm \nabla g,\quad \nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f,\quad \nabla\,h(f) = h'(f)\,\nabla f ∇ ( f ± g ) = ∇ f ± ∇ g , ∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f , ∇ h ( f ) = h ′ ( f ) ∇ f G8 Gradient of radial functions เกรเดียนต์ของฟังก์ชันรัศมี r = x 2 + y 2 + z 2 : ∇ r = r r , ∇ ( 1 r ) = − r r 3 , ∇ r n = n r n − 2 r r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}:\quad \nabla r = \frac{\mathbf r}{r},\qquad \nabla\!\left(\frac1r\right) = -\frac{\mathbf r}{r^3},\qquad \nabla r^n = n\,r^{n-2}\mathbf r r = x 2 + y 2 + z 2 : ∇ r = r r , ∇ ( r 1 ) = − r 3 r , ∇ r n = n r n − 2 r G9 Gradient descent วิธีลงเขาตามเกรเดียนต์ x k + 1 = x k − α ∇ f ( x k ) , ฟังก์ชันกำลังสอง f = 1 2 x ⊤ A x : ลู่เข้า ⟺ 0 < α < 2 λ max ( A ) \mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k - \alpha\,\nabla f(\mathbf x_k),\qquad \text{ฟังก์ชันกำลังสอง } f = \tfrac12\mathbf x^{\top}\mathbf A\mathbf x:\ \text{ลู่เข้า} \iff 0 < \alpha < \frac{2}{\lambda_{\max}(\mathbf A)} x k + 1 = x k − α ∇ f ( x k ) , ฟังก์ชันกำลังสอง f = 2 1 x ⊤ Ax : ลู่เข้า ⟺ 0 < α < λ m a x ( A ) 2 O1 Critical point (necessary condition) จุดวิกฤต (เงื่อนไขจำเป็น) f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่จุดภายใน ( a , b ) ⇒ f x ( a , b ) = 0 และ f y ( a , b ) = 0 ( ∇ f = 0 ) f \text{ มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่จุดภายใน } (a, b) \ \Rightarrow\ f_x(a, b) = 0 \ \text{และ}\ f_y(a, b) = 0\ \ (\nabla f = \mathbf 0) f มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ที่จุดภายใน ( a , b ) ⇒ f x ( a , b ) = 0 และ f y ( a , b ) = 0 ( ∇ f = 0 ) O2 Second derivative test การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง D = f x x f y y − f x y 2 = det H , { D > 0 , f x x > 0 ⇒ ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local min) D > 0 , f x x < 0 ⇒ สูงสุดสัมพัทธ์ (local max) D < 0 ⇒ จุดอานม้า (saddle) D = 0 ⇒ ไม่สรุป D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = \det\mathbf H,\qquad \begin{cases} D > 0,\ f_{xx} > 0 & \Rightarrow \text{ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local min)}\\ D > 0,\ f_{xx} < 0 & \Rightarrow \text{สูงสุดสัมพัทธ์ (local max)}\\ D < 0 & \Rightarrow \text{จุดอานม้า (saddle)}\\ D = 0 & \Rightarrow \text{ไม่สรุป} \end{cases} D = f xx f yy − f x y 2 = det H , ⎩ ⎨ ⎧ D > 0 , f xx > 0 D > 0 , f xx < 0 D < 0 D = 0 ⇒ ต่ำสุดสัมพัทธ์ (local min) ⇒ สูงสุดสัมพัทธ์ (local max) ⇒ จุดอานม้า (saddle) ⇒ ไม่สรุป O3 Hessian and eigenvalues เมทริกซ์เฮสเซียนและค่าเฉพาะ H = ( f x x f x y f y x f y y ) : λ 1 , λ 2 > 0 ⇒ min , λ 1 , λ 2 < 0 ⇒ max , λ 1 λ 2 < 0 ⇒ saddle \mathbf H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy}\end{pmatrix}:\quad \lambda_1,\lambda_2 > 0 \Rightarrow \min,\quad \lambda_1,\lambda_2 < 0 \Rightarrow \max,\quad \lambda_1\lambda_2 < 0 \Rightarrow \text{saddle} H = ( f xx f y x f x y f yy ) : λ 1 , λ 2 > 0 ⇒ min , λ 1 , λ 2 < 0 ⇒ max , λ 1 λ 2 < 0 ⇒ saddle O4 Absolute extrema on a closed region ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนบริเวณปิด (1) หา f ที่จุดวิกฤตภายใน (2) หาค่าสุดขีดของ f บนขอบ (ลดเป็นตัวแปรเดียว) รวมมุม (3) เทียบทุกค่า: มากสุด = max สัมบูรณ์ น้อยสุด = min สัมบูรณ์ \text{(1) หา } f \text{ ที่จุดวิกฤตภายใน}\ \ \text{(2) หาค่าสุดขีดของ } f \text{ บนขอบ (ลดเป็นตัวแปรเดียว) รวมมุม}\ \ \text{(3) เทียบทุกค่า: มากสุด = max สัมบูรณ์ น้อยสุด = min สัมบูรณ์} (1) หา f ที่จุดวิกฤตภายใน (2) หาค่าสุดขีดของ f บนขอบ ( ลดเป็นตัวแปรเดียว ) รวมมุม (3) เทียบทุกค่า : มากสุด = max สัมบูรณ์ น้อยสุด = min สัมบูรณ์ O5 Lagrange condition เงื่อนไขของลากรองจ์ ∇ f = λ ∇ g , g ( x , y ) = c ⟺ { f x = λ g x f y = λ g y g ( x , y ) = c ( 3 สมการ 3 ตัวไม่ทราบ x , y , λ ) \nabla f = \lambda\,\nabla g,\quad g(x, y) = c \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} f_x = \lambda\,g_x\\ f_y = \lambda\,g_y\\ g(x,y) = c \end{cases}\quad(\text{3 สมการ 3 ตัวไม่ทราบ } x, y, \lambda) ∇ f = λ ∇ g , g ( x , y ) = c ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ f x = λ g x f y = λ g y g ( x , y ) = c ( 3 สมการ 3 ตัวไม่ทราบ x , y , λ ) O6 Two constraints สองเงื่อนไข ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h , g = c 1 , h = c 2 ( f ( x , y , z ) ) \nabla f = \lambda\,\nabla g + \mu\,\nabla h,\quad g = c_1,\ h = c_2 \quad(f(x,y,z)) ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h , g = c 1 , h = c 2 ( f ( x , y , z )) O7 Meaning of λ (shadow price) ความหมายของ λ λ = d f ∗ d c , f ∗ ( c ) = ค่าสุดขีดเมื่อเงื่อนไขเป็น g = c \lambda = \frac{df^{*}}{dc},\qquad f^{*}(c) = \text{ค่าสุดขีดเมื่อเงื่อนไขเป็น } g = c λ = d c d f ∗ , f ∗ ( c ) = ค่าสุดขีดเมื่อเงื่อนไขเป็น g = c O8 Normal equations (line fit) สมการปกติของเส้นตรง ∂ S ∂ a = 0 , ∂ S ∂ b = 0 ⇒ { ( ∑ x i 2 ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i ( ∑ x i ) a + n b = ∑ y i ⇒ a = n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 , b = y ˉ − a x ˉ \frac{\partial S}{\partial a} = 0,\ \frac{\partial S}{\partial b} = 0 \ \Rightarrow\ \begin{cases} \left(\sum x_i^2\right)a + \left(\sum x_i\right)b = \sum x_iy_i\\ \left(\sum x_i\right)a + n\,b = \sum y_i \end{cases}\ \Rightarrow\ a = \frac{n\sum x_iy_i - \sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},\ \ b = \bar y - a\bar x ∂ a ∂ S = 0 , ∂ b ∂ S = 0 ⇒ { ( ∑ x i 2 ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i ( ∑ x i ) a + n b = ∑ y i ⇒ a = n ∑ x i 2 − ( ∑ x i ) 2 n ∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i , b = y ˉ − a x ˉ O9 Coefficient of determination ความพอดีของเส้น R 2 = 1 − S min ∑ ( y i − y ˉ ) 2 R^2 = 1 - \frac{S_{\min}}{\sum (y_i - \bar y)^2} R 2 = 1 − ∑ ( y i − y ˉ ) 2 S m i n O10 Matrix form รูปเมทริกซ์ A θ ≈ y ⇒ A ⊤ A θ = A ⊤ y , A = ( x 1 1 ⋮ ⋮ x n 1 ) \mathbf A\boldsymbol\theta \approx \mathbf y \ \Rightarrow\ \mathbf A^{\!\top}\mathbf A\,\boldsymbol\theta = \mathbf A^{\!\top}\mathbf y,\quad \mathbf A = \begin{pmatrix} x_1 & 1\\ \vdots & \vdots\\ x_n & 1\end{pmatrix} A θ ≈ y ⇒ A ⊤ A θ = A ⊤ y , A = x 1 ⋮ x n 1 ⋮ 1 M1 Double integral (Riemann sum) อินทิกรัลสองชั้น (ผลรวมรีมันน์) ∬ R f ( x , y ) d A = lim m , n → ∞ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f ( x i ∗ , y j ∗ ) Δ A , Δ A = Δ x Δ y \iint_R f(x, y)\,dA = \lim_{m,n\to\infty}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(x_i^{*}, y_j^{*})\,\Delta A,\qquad \Delta A = \Delta x\,\Delta y ∬ R f ( x , y ) d A = m , n → ∞ lim i = 1 ∑ m j = 1 ∑ n f ( x i ∗ , y j ∗ ) Δ A , Δ A = Δ x Δ y M2 Fubini's theorem (rectangle) ทฤษฎีบทฟูบินี (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f d A = ∫ a b ( ∫ c d f ( x , y ) d y ) d x = ∫ c d ( ∫ a b f ( x , y ) d x ) d y \iint_{[a,b]\times[c,d]} f\,dA = \int_a^b\!\left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right)dx = \int_c^d\!\left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right)dy ∬ [ a , b ] × [ c , d ] f d A = ∫ a b ( ∫ c d f ( x , y ) d y ) d x = ∫ c d ( ∫ a b f ( x , y ) d x ) d y M3 Average value ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f avg = 1 A ( R ) ∬ R f d A , A ( R ) = ∬ R d A f_{\text{avg}} = \frac{1}{A(R)}\iint_R f\,dA,\qquad A(R) = \iint_R dA f avg = A ( R ) 1 ∬ R f d A , A ( R ) = ∬ R d A M4 Type I region บริเวณ type I R = { a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) } : ∬ R f d A = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f ( x , y ) d y d x R = \{a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\}:\qquad \iint_R f\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx R = { a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x )} : ∬ R f d A = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) f ( x , y ) d y d x M5 Type II region บริเวณ type II R = { c ≤ y ≤ d , h 1 ( y ) ≤ x ≤ h 2 ( y ) } : ∬ R f d A = ∫ c d ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y ) f ( x , y ) d x d y R = \{c \le y \le d,\ h_1(y) \le x \le h_2(y)\}:\qquad \iint_R f\,dA = \int_c^d\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y)\,dx\,dy R = { c ≤ y ≤ d , h 1 ( y ) ≤ x ≤ h 2 ( y )} : ∬ R f d A = ∫ c d ∫ h 1 ( y ) h 2 ( y ) f ( x , y ) d x d y M6 Double integral in polar coordinates อินทิกรัลสองชั้นในพิกัดขั้ว ∬ R f ( x , y ) d A = ∫ α β ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r ⏟ Jacobian d r d θ \iint_R f(x, y)\,dA = \int_{\alpha}^{\beta}\!\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\;\underbrace{r}_{\text{Jacobian}}\;dr\,d\theta ∬ R f ( x , y ) d A = ∫ α β ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) Jacobian r d r d θ M7 Triple integral (rectangular) อินทิกรัลสามชั้น (พิกัดฉาก) ∭ E f d V = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) ∫ u 1 ( x , y ) u 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d y d x , V = ∭ E d V , M = ∭ E ρ d V \iiint_E f\,dV = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\!\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x, y, z)\,dz\,dy\,dx,\qquad V = \iiint_E dV,\quad M = \iiint_E \rho\,dV ∭ E f d V = ∫ a b ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) ∫ u 1 ( x , y ) u 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d y d x , V = ∭ E d V , M = ∭ E ρ d V M8 Cylindrical coordinates พิกัดทรงกระบอก x = r cos θ , y = r sin θ , z = z ; r 2 = x 2 + y 2 ; d V = r d z d r d θ x = r\cos\theta,\ \ y = r\sin\theta,\ \ z = z;\qquad r^2 = x^2 + y^2;\qquad dV = r\,dz\,dr\,d\theta x = r cos θ , y = r sin θ , z = z ; r 2 = x 2 + y 2 ; d V = r d z d r d θ M9 Spherical coordinates พิกัดทรงกลม x = ρ sin φ cos θ , y = ρ sin φ sin θ , z = ρ cos φ ; ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 ; d V = ρ 2 sin φ d ρ d φ d θ x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\ \ y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\ \ z = \rho\cos\varphi;\quad \rho^2 = x^2 + y^2 + z^2;\quad dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta x = ρ sin φ cos θ , y = ρ sin φ sin θ , z = ρ cos φ ; ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2 ; d V = ρ 2 sin φ d ρ d φ d θ M10 Change of variables (2D) เปลี่ยนตัวแปร (สองมิติ) ∬ R f ( x , y ) d x d y = ∬ S f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ d u d v , ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ x u x v y u y v ∣ \iint_R f(x, y)\,dx\,dy = \iint_S f\big(x(u,v),\,y(u,v)\big)\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|du\,dv,\qquad \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix} ∬ R f ( x , y ) d x d y = ∬ S f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) d u d v , ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = x u y u x v y v M11 Jacobians of standard coordinates จาโคเบียนของพิกัดมาตรฐาน ขั้ว: ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) ∣ = r ทรงกระบอก: r ทรงกลม: ∣ ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , φ , θ ) ∣ = ρ 2 sin φ \text{ขั้ว: } \left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| = r\qquad \text{ทรงกระบอก: } r\qquad \text{ทรงกลม: } \left|\tfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}\right| = \rho^2\sin\varphi ขั้ว : ∂ ( r , θ ) ∂ ( x , y ) = r ทรงกระบอก : r ทรงกลม : ∂ ( ρ , φ , θ ) ∂ ( x , y , z ) = ρ 2 sin φ M12 Mass and center of mass มวลและจุดศูนย์กลางมวล M = ∬ R ρ d A , x ˉ = 1 M ∬ R x ρ d A , y ˉ = 1 M ∬ R y ρ d A M = \iint_R \rho\,dA,\qquad \bar x = \frac{1}{M}\iint_R x\,\rho\,dA,\qquad \bar y = \frac{1}{M}\iint_R y\,\rho\,dA M = ∬ R ρ d A , x ˉ = M 1 ∬ R x ρ d A , y ˉ = M 1 ∬ R y ρ d A M13 Moments of inertia โมเมนต์ความเฉื่อย I x = ∬ y 2 ρ d A , I y = ∬ x 2 ρ d A , I 0 = I x + I y = ∬ ( x 2 + y 2 ) ρ d A , I z = ∭ ( x 2 + y 2 ) ρ d V I_x = \iint y^2\rho\,dA,\qquad I_y = \iint x^2\rho\,dA,\qquad I_0 = I_x + I_y = \iint (x^2 + y^2)\rho\,dA,\qquad I_z = \iiint (x^2 + y^2)\rho\,dV I x = ∬ y 2 ρ d A , I y = ∬ x 2 ρ d A , I 0 = I x + I y = ∬ ( x 2 + y 2 ) ρ d A , I z = ∭ ( x 2 + y 2 ) ρ d V R1 Vector-valued function ฟังก์ชันเวกเตอร์ r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k = ⟨ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ⟩ , t ∈ [ a , b ] \mathbf r(t) = x(t)\,\mathbf i + y(t)\,\mathbf j + z(t)\,\mathbf k = \langle x(t),\, y(t),\, z(t)\rangle,\qquad t \in [a, b] r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k = ⟨ x ( t ) , y ( t ) , z ( t )⟩ , t ∈ [ a , b ] R2 Calculus componentwise แคลคูลัสทำทีละองค์ประกอบ lim t → a r ( t ) = ⟨ lim x , lim y , lim z ⟩ , r ′ ( t ) = ⟨ x ′ , y ′ , z ′ ⟩ , ∫ a b r ( t ) d t = ⟨ ∫ a b x d t , ∫ a b y d t , ∫ a b z d t ⟩ \lim_{t\to a}\mathbf r(t) = \langle \lim x, \lim y, \lim z\rangle,\quad \mathbf r'(t) = \langle x', y', z'\rangle,\quad \int_a^b \mathbf r(t)\,dt = \left\langle \int_a^b x\,dt,\ \int_a^b y\,dt,\ \int_a^b z\,dt\right\rangle t → a lim r ( t ) = ⟨ lim x , lim y , lim z ⟩ , r ′ ( t ) = ⟨ x ′ , y ′ , z ′ ⟩ , ∫ a b r ( t ) d t = ⟨ ∫ a b x d t , ∫ a b y d t , ∫ a b z d t ⟩ R3 Tangent vector and tangent line เวกเตอร์สัมผัสและเส้นสัมผัส T ( t ) = r ′ ( t ) ∣ r ′ ( t ) ∣ , เส้นสัมผัสที่ t 0 : L ( s ) = r ( t 0 ) + s r ′ ( t 0 ) \mathbf T(t) = \frac{\mathbf r'(t)}{|\mathbf r'(t)|},\qquad \text{เส้นสัมผัสที่ } t_0:\ \mathbf L(s) = \mathbf r(t_0) + s\,\mathbf r'(t_0) T ( t ) = ∣ r ′ ( t ) ∣ r ′ ( t ) , เส้นสัมผัสที่ t 0 : L ( s ) = r ( t 0 ) + s r ′ ( t 0 ) R4 Differentiation rules กฎอนุพันธ์ของเวกเตอร์ ( u ⋅ v ) ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ , ( u × v ) ′ = u ′ × v + u × v ′ , ( f u ) ′ = f ′ u + f u ′ (\mathbf u\cdot\mathbf v)' = \mathbf u'\cdot\mathbf v + \mathbf u\cdot\mathbf v',\qquad (\mathbf u\times\mathbf v)' = \mathbf u'\times\mathbf v + \mathbf u\times\mathbf v',\qquad (f\mathbf u)' = f'\mathbf u + f\mathbf u' ( u ⋅ v ) ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ , ( u × v ) ′ = u ′ × v + u × v ′ , ( f u ) ′ = f ′ u + f u ′ R5 Velocity, speed, acceleration ความเร็ว อัตราเร็ว ความเร่ง v ( t ) = r ′ ( t ) , v = ∣ v ( t ) ∣ = x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 , a ( t ) = v ′ ( t ) = r ′ ′ ( t ) \mathbf v(t) = \mathbf r'(t),\qquad v = |\mathbf v(t)| = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2},\qquad \mathbf a(t) = \mathbf v'(t) = \mathbf r''(t) v ( t ) = r ′ ( t ) , v = ∣ v ( t ) ∣ = x ′2 + y ′2 + z ′2 , a ( t ) = v ′ ( t ) = r ′′ ( t ) R6 Projectile motion (no drag) การเคลื่อนที่แบบกระสุน (ไม่คิดแรงต้าน) r ( t ) = ⟨ v 0 cos α t , 0 , v 0 sin α t − 1 2 g t 2 ⟩ , t f = 2 v 0 sin α g , R = v 0 2 sin 2 α g , H = v 0 2 sin 2 α 2 g \mathbf r(t) = \big\langle v_0\cos\alpha\ t,\ \ 0,\ \ v_0\sin\alpha\ t - \tfrac12 gt^2\big\rangle,\quad t_f = \frac{2v_0\sin\alpha}{g},\quad R = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g},\quad H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} r ( t ) = ⟨ v 0 cos α t , 0 , v 0 sin α t − 2 1 g t 2 ⟩ , t f = g 2 v 0 sin α , R = g v 0 2 sin 2 α , H = 2 g v 0 2 sin 2 α R7 Uniform circular motion การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ r = ⟨ R cos ω t , R sin ω t ⟩ , v = R ω ⟨ − sin ω t , cos ω t ⟩ , a = − ω 2 r , ∣ a ∣ = R ω 2 = v 2 R \mathbf r = \langle R\cos\omega t,\ R\sin\omega t\rangle,\quad \mathbf v = R\omega\langle-\sin\omega t,\ \cos\omega t\rangle,\quad \mathbf a = -\omega^2\mathbf r,\quad |\mathbf a| = R\omega^2 = \frac{v^2}{R} r = ⟨ R cos ω t , R sin ω t ⟩ , v = R ω ⟨ − sin ω t , cos ω t ⟩ , a = − ω 2 r , ∣ a ∣ = R ω 2 = R v 2 R8 Arc length ความยาวส่วนโค้ง L = ∫ a b ∣ r ′ ( t ) ∣ d t = ∫ a b x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 + z ′ ( t ) 2 d t , s ( t ) = ∫ a t ∣ r ′ ( u ) ∣ d u , d s d t = ∣ r ′ ( t ) ∣ L = \int_a^b |\mathbf r'(t)|\,dt = \int_a^b\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\,dt,\qquad s(t) = \int_a^t|\mathbf r'(u)|\,du,\ \ \frac{ds}{dt} = |\mathbf r'(t)| L = ∫ a b ∣ r ′ ( t ) ∣ d t = ∫ a b x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 + z ′ ( t ) 2 d t , s ( t ) = ∫ a t ∣ r ′ ( u ) ∣ d u , d t d s = ∣ r ′ ( t ) ∣ R9 Curvature ความโค้ง κ = ∣ d T d s ∣ = ∣ T ′ ( t ) ∣ ∣ r ′ ( t ) ∣ = ∣ r ′ ( t ) × r ′ ′ ( t ) ∣ ∣ r ′ ( t ) ∣ 3 , R = 1 κ \kappa = \left|\frac{d\mathbf T}{ds}\right| = \frac{|\mathbf T'(t)|}{|\mathbf r'(t)|} = \frac{|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)|}{|\mathbf r'(t)|^3},\qquad R = \frac1\kappa κ = d s d T = ∣ r ′ ( t ) ∣ ∣ T ′ ( t ) ∣ = ∣ r ′ ( t ) ∣ 3 ∣ r ′ ( t ) × r ′′ ( t ) ∣ , R = κ 1 R10 Curvature of a plane curve ความโค้งของเส้นโค้งในระนาบ y = f ( x ) : κ = ∣ f ′ ′ ( x ) ∣ ( 1 + f ′ ( x ) 2 ) 3 / 2 ; r = ⟨ x ( t ) , y ( t ) ⟩ : κ = ∣ x ′ y ′ ′ − y ′ x ′ ′ ∣ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 y = f(x):\quad \kappa = \frac{|f''(x)|}{\big(1 + f'(x)^2\big)^{3/2}};\qquad \mathbf r = \langle x(t), y(t)\rangle:\quad \kappa = \frac{|x'y'' - y'x''|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} y = f ( x ) : κ = ( 1 + f ′ ( x ) 2 ) 3/2 ∣ f ′′ ( x ) ∣ ; r = ⟨ x ( t ) , y ( t )⟩ : κ = ( x ′2 + y ′2 ) 3/2 ∣ x ′ y ′′ − y ′ x ′′ ∣ R11 Frenet–Serret frame กรอบ Frenet–Serret T = r ′ ∣ r ′ ∣ , N = T ′ ∣ T ′ ∣ , B = T × N ; d T d s = κ N , d N d s = − κ T + τ B , d B d s = − τ N \mathbf T = \frac{\mathbf r'}{|\mathbf r'|},\quad \mathbf N = \frac{\mathbf T'}{|\mathbf T'|},\quad \mathbf B = \mathbf T\times\mathbf N;\qquad \frac{d\mathbf T}{ds} = \kappa\mathbf N,\quad \frac{d\mathbf N}{ds} = -\kappa\mathbf T + \tau\mathbf B,\quad \frac{d\mathbf B}{ds} = -\tau\mathbf N T = ∣ r ′ ∣ r ′ , N = ∣ T ′ ∣ T ′ , B = T × N ; d s d T = κ N , d s d N = − κ T + τ B , d s d B = − τ N R12 Torsion ทอร์ชัน (การบิดของเส้นโค้ง) τ = ( r ′ × r ′ ′ ) ⋅ r ′ ′ ′ ∣ r ′ × r ′ ′ ∣ 2 \tau = \frac{(\mathbf r'\times\mathbf r'')\cdot\mathbf r'''}{|\mathbf r'\times\mathbf r''|^2} τ = ∣ r ′ × r ′′ ∣ 2 ( r ′ × r ′′ ) ⋅ r ′′′ R13 Tangential and normal acceleration ความเร่งสัมผัสและความเร่งตั้งฉาก a = a T T + a N N , a T = d ∣ v ∣ d t = r ′ ⋅ r ′ ′ ∣ r ′ ∣ , a N = κ ∣ v ∣ 2 = ∣ r ′ × r ′ ′ ∣ ∣ r ′ ∣ , ∣ a ∣ 2 = a T 2 + a N 2 \mathbf a = a_T\,\mathbf T + a_N\,\mathbf N,\quad a_T = \frac{d|\mathbf v|}{dt} = \frac{\mathbf r'\cdot\mathbf r''}{|\mathbf r'|},\quad a_N = \kappa|\mathbf v|^2 = \frac{|\mathbf r'\times\mathbf r''|}{|\mathbf r'|},\quad |\mathbf a|^2 = a_T^2 + a_N^2 a = a T T + a N N , a T = d t d ∣ v ∣ = ∣ r ′ ∣ r ′ ⋅ r ′′ , a N = κ ∣ v ∣ 2 = ∣ r ′ ∣ ∣ r ′ × r ′′ ∣ , ∣ a ∣ 2 = a T 2 + a N 2 D1 Vector field สนามเวกเตอร์ F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , F : R 3 → R 3 \mathbf F(x, y, z) = P(x, y, z)\,\mathbf i + Q(x, y, z)\,\mathbf j + R(x, y, z)\,\mathbf k,\qquad \mathbf F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k , F : R 3 → R 3 D2 Gradient field สนามเกรเดียนต์ f ( x , y , z ) ⟼ ∇ f = ⟨ f x , f y , f z ⟩ , E = − ∇ V , q = − k ∇ T , v = − K ∇ h f(x, y, z) \ \longmapsto\ \nabla f = \langle f_x, f_y, f_z\rangle,\qquad \mathbf E = -\nabla V,\quad \mathbf q = -k\nabla T,\quad \mathbf v = -K\nabla h f ( x , y , z ) ⟼ ∇ f = ⟨ f x , f y , f z ⟩ , E = − ∇ V , q = − k ∇ T , v = − K ∇ h D3 Divergence ดีเวอร์เจนซ์ ∇ ⋅ F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z = lim V → 0 1 V ∮ ∮ S F ⋅ n d S \nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \lim_{V\to0}\frac{1}{V}\oint\!\!\oint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS ∇ ⋅ F = ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R = V → 0 lim V 1 ∮ ∮ S F ⋅ n d S D4 Curl เคิร์ล ∇ × F = ∣ i j k ∂ x ∂ y ∂ z P Q R ∣ = ⟨ R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ⟩ \nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R\end{vmatrix} = \langle R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y\rangle ∇ × F = i ∂ x P j ∂ y Q k ∂ z R = ⟨ R y − Q z , P z − R x , Q x − P y ⟩ D5 Laplacian ลาปลาเซียน ∇ 2 f = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = f x x + f y y + f z z \nabla^2 f = \nabla\cdot(\nabla f) = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} ∇ 2 f = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = f xx + f yy + f zz D6 Rigid rotation การหมุนแบบวัตถุแข็ง v = ω × r ⇒ ∇ × v = 2 ω , ∇ ⋅ v = 0 \mathbf v = \boldsymbol\omega\times\mathbf r\ \Rightarrow\ \nabla\times\mathbf v = 2\boldsymbol\omega,\qquad \nabla\cdot\mathbf v = 0 v = ω × r ⇒ ∇ × v = 2 ω , ∇ ⋅ v = 0 D7 Curl of a gradient เคิร์ลของเกรเดียนต์ ∇ × ( ∇ f ) = 0 ( เช่น ( f z ) y − ( f y ) z = 0 เพราะ f z y = f y z ) \nabla\times(\nabla f) = \mathbf 0 \qquad\left(\text{เช่น } (f_z)_y - (f_y)_z = 0 \text{ เพราะ } f_{zy} = f_{yz}\right) ∇ × ( ∇ f ) = 0 ( เช่น ( f z ) y − ( f y ) z = 0 เพราะ f zy = f yz ) D8 Divergence of a curl ดีเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F) = 0 ∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 D9 Product rules กฎผลคูณ ∇ ⋅ ( f F ) = f ∇ ⋅ F + ∇ f ⋅ F , ∇ × ( f F ) = f ∇ × F + ∇ f × F , ∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F \nabla\cdot(f\mathbf F) = f\,\nabla\cdot\mathbf F + \nabla f\cdot\mathbf F,\qquad \nabla\times(f\mathbf F) = f\,\nabla\times\mathbf F + \nabla f\times\mathbf F,\qquad \nabla\times(\nabla\times\mathbf F) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf F) - \nabla^2\mathbf F ∇ ⋅ ( f F ) = f ∇ ⋅ F + ∇ f ⋅ F , ∇ × ( f F ) = f ∇ × F + ∇ f × F , ∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F D10 Test for a conservative field การทดสอบสนามอนุรักษ์ R 2 : ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x , R 3 : ∇ × F = 0 ( บนบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อแบบง่าย ) \mathbb R^2:\ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},\qquad \mathbb R^3:\ \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0\qquad(\text{บนบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อแบบง่าย}) R 2 : ∂ y ∂ P = ∂ x ∂ Q , R 3 : ∇ × F = 0 ( บนบริเวณเปิดที่เชื่อมต่อแบบง่าย ) D11 Finding the potential function วิธีหาฟังก์ชันศักย์ f x = P ⇒ f = ∫ P d x + g ( y , z ) ; f y = Q ⇒ g y = Q − ∂ y ∫ P d x ; อินทิเกรต g y แล้วทำซ้ำกับ f z = R f_x = P \Rightarrow f = \int P\,dx + g(y,z);\ \ f_y = Q \Rightarrow g_y = Q - \partial_y\!\!\int P\,dx;\ \ \text{อินทิเกรต } g_y\text{ แล้วทำซ้ำกับ } f_z = R f x = P ⇒ f = ∫ P d x + g ( y , z ) ; f y = Q ⇒ g y = Q − ∂ y ∫ P d x ; อินทิเกรต g y แล้วทำซ้ำกับ f z = R L1 Line integral of a scalar function อินทิกรัลตามเส้นของฟังก์ชันสเกลาร์ ∫ C f d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) ∣ r ′ ( t ) ∣ d t , M = ∫ C ρ d s , x ˉ = 1 M ∫ C x ρ d s \int_C f\,ds = \int_a^b f\big(\mathbf r(t)\big)\,|\mathbf r'(t)|\,dt,\qquad M = \int_C\rho\,ds,\qquad \bar x = \frac1M\int_C x\rho\,ds ∫ C f d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) ∣ r ′ ( t ) ∣ d t , M = ∫ C ρ d s , x ˉ = M 1 ∫ C x ρ d s L2 Line integral of a vector field (work) อินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ (งาน) W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ C P d x + Q d y + R d z W = \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_a^b\mathbf F\big(\mathbf r(t)\big)\cdot\mathbf r'(t)\,dt = \int_C P\,dx + Q\,dy + R\,dz W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ C P d x + Q d y + R d z L3 Work–energy theorem ทฤษฎีบทงาน–พลังงาน ∫ C F ⋅ d r = 1 2 m ∣ v B ∣ 2 − 1 2 m ∣ v A ∣ 2 \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \tfrac12 m\,|\mathbf v_B|^2 - \tfrac12 m\,|\mathbf v_A|^2 ∫ C F ⋅ d r = 2 1 m ∣ v B ∣ 2 − 2 1 m ∣ v A ∣ 2 L4 Fundamental theorem for line integrals ทฤษฎีบทมูลฐานของอินทิกรัลตามเส้น F = ∇ f ⇒ ∫ C F ⋅ d r = f ( r ( b ) ) − f ( r ( a ) ) \mathbf F = \nabla f \ \Rightarrow\ \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = f\big(\mathbf r(b)\big) - f\big(\mathbf r(a)\big) F = ∇ f ⇒ ∫ C F ⋅ d r = f ( r ( b ) ) − f ( r ( a ) ) L5 Equivalent conditions เงื่อนไขที่สมมูลกัน F = ∇ f ⟺ ∫ C F ⋅ d r ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ⟺ ∮ F ⋅ d r = 0 ทุกวงปิด ⟺ ∇ × F = 0 ( บริเวณไม่มีรู ) \mathbf F = \nabla f \iff \int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r \text{ ไม่ขึ้นกับเส้นทาง} \iff \oint\mathbf F\cdot d\mathbf r = 0\ \text{ทุกวงปิด} \iff \nabla\times\mathbf F = \mathbf 0\ \ (\text{บริเวณไม่มีรู}) F = ∇ f ⟺ ∫ C F ⋅ d r ไม่ขึ้นกับเส้นทาง ⟺ ∮ F ⋅ d r = 0 ทุกวงปิด ⟺ ∇ × F = 0 ( บริเวณไม่มีรู ) L6 Green's theorem (circulation form) ทฤษฎีบทกรีน (รูปการหมุนวน) ∮ C P d x + Q d y = ∮ C F ⋅ d r = ∬ R ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d A \oint_C P\,dx + Q\,dy = \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA ∮ C P d x + Q d y = ∮ C F ⋅ d r = ∬ R ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d A L7 Green's theorem (flux form) ทฤษฎีบทกรีน (รูปฟลักซ์) ∮ C F ⋅ n d s = ∮ C P d y − Q d x = ∬ R ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y ) d A = ∬ R ∇ ⋅ F d A \oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \oint_C P\,dy - Q\,dx = \iint_R\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dA = \iint_R\nabla\cdot\mathbf F\,dA ∮ C F ⋅ n d s = ∮ C P d y − Q d x = ∬ R ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q ) d A = ∬ R ∇ ⋅ F d A L8 Area by a line integral · shoelace พื้นที่ด้วยอินทิกรัลเส้นและสูตร shoelace A = ∮ C x d y = − ∮ C y d x = 1 2 ∮ C x d y − y d x , A polygon = 1 2 ∣ ∑ i = 1 n ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) ∣ A = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \tfrac12\oint_C x\,dy - y\,dx,\qquad A_{\text{polygon}} = \tfrac12\Big|\sum_{i=1}^{n}\big(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\big)\Big| A = ∮ C x d y = − ∮ C y d x = 2 1 ∮ C x d y − y d x , A polygon = 2 1 i = 1 ∑ n ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) S1 Surface area (parametric) พื้นที่ผิว (พารามิเตอร์) r ( u , v ) = ⟨ x , y , z ⟩ , N = r u × r v , d S = ∣ r u × r v ∣ d u d v , A ( S ) = ∬ D ∣ r u × r v ∣ d u d v \mathbf r(u,v) = \langle x, y, z\rangle,\quad \mathbf N = \mathbf r_u\times\mathbf r_v,\quad dS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv,\quad A(S) = \iint_D|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv r ( u , v ) = ⟨ x , y , z ⟩ , N = r u × r v , d S = ∣ r u × r v ∣ d u d v , A ( S ) = ∬ D ∣ r u × r v ∣ d u d v S2 Surface area of a graph พื้นที่ผิวของกราฟ z = g ( x , y ) : d S = 1 + g x 2 + g y 2 d A , A ( S ) = ∬ D 1 + g x 2 + g y 2 d A z = g(x, y):\quad dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA,\qquad A(S) = \iint_D\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\,dA z = g ( x , y ) : d S = 1 + g x 2 + g y 2 d A , A ( S ) = ∬ D 1 + g x 2 + g y 2 d A S3 Scalar surface integral อินทิกรัลบนผิวของฟังก์ชันสเกลาร์ ∬ S f d S = ∬ D f ( r ( u , v ) ) ∣ r u × r v ∣ d u d v , m = ∬ S σ d S \iint_S f\,dS = \iint_D f\big(\mathbf r(u,v)\big)\,|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv,\qquad m = \iint_S\sigma\,dS ∬ S f d S = ∬ D f ( r ( u , v ) ) ∣ r u × r v ∣ d u d v , m = ∬ S σ d S S4 Flux through a surface ฟลักซ์ผ่านผิว Φ = ∬ S F ⋅ n d S = ∬ D F ( r ( u , v ) ) ⋅ ( r u × r v ) d u d v \Phi = \iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iint_D\mathbf F\big(\mathbf r(u,v)\big)\cdot\big(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\big)\,du\,dv Φ = ∬ S F ⋅ n d S = ∬ D F ( r ( u , v ) ) ⋅ ( r u × r v ) d u d v S5 Flux through a graph (upward) ฟลักซ์ผ่านกราฟ (ทิศขึ้น) z = g ( x , y ) , n ขึ้น : Φ = ∬ D ( − P g x − Q g y + R ) d A , F = ⟨ P , Q , R ⟩ ประเมินที่ ( x , y , g ( x , y ) ) z = g(x, y),\ \mathbf n\ \text{ขึ้น}:\quad \Phi = \iint_D\big(-P\,g_x - Q\,g_y + R\big)\,dA,\qquad \mathbf F = \langle P, Q, R\rangle \text{ ประเมินที่ } (x, y, g(x,y)) z = g ( x , y ) , n ขึ้น : Φ = ∬ D ( − P g x − Q g y + R ) d A , F = ⟨ P , Q , R ⟩ ประเมินที่ ( x , y , g ( x , y )) S6 Divergence theorem (Gauss) ทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์ (เกาส์) ∯ S F ⋅ n d S = ∭ E ∇ ⋅ F d V ( n ชี้ออกนอก E , ∂ E = S ) \oiint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_E\nabla\cdot\mathbf F\,dV \qquad(\mathbf n\ \text{ชี้ออกนอก } E,\ \ \partial E = S) ∬ S F ⋅ n d S = ∭ E ∇ ⋅ F d V ( n ชี้ออกนอก E , ∂ E = S ) S7 Gauss's law (electrostatics) กฎของเกาส์ (ไฟฟ้าสถิต) ∯ S E ⋅ n d S = Q enc ε 0 ⟺ ∇ ⋅ E = ρ v ε 0 \oiint_S\mathbf E\cdot\mathbf n\,dS = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\ \ \Longleftrightarrow\ \ \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0} ∬ S E ⋅ n d S = ε 0 Q enc ⟺ ∇ ⋅ E = ε 0 ρ v S8 Stokes' theorem ทฤษฎีบทสโตกส์ ∮ C F ⋅ d r = ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ n d S ( ∂ S = C , ทิศตามกฎมือขวา ) \oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS \qquad(\partial S = C,\ \text{ทิศตามกฎมือขวา}) ∮ C F ⋅ d r = ∬ S ( ∇ × F ) ⋅ n d S ( ∂ S = C , ทิศตามกฎมือขวา ) S9 Ampère's and Faraday's laws กฎของแอมแปร์และฟาราเดย์ ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I enc ⇔ ∇ × B = μ 0 J , ∮ C E ⋅ d l = − d Φ B d t ⇔ ∇ × E = − ∂ B ∂ t \oint_C\mathbf B\cdot d\mathbf l = \mu_0 I_{\text{enc}}\ \Leftrightarrow\ \nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J,\qquad \oint_C\mathbf E\cdot d\mathbf l = -\frac{d\Phi_B}{dt}\ \Leftrightarrow\ \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I enc ⇔ ∇ × B = μ 0 J , ∮ C E ⋅ d l = − d t d Φ B ⇔ ∇ × E = − ∂ t ∂ B E1 Point charge and superposition ประจุจุดและการซ้อนทับ V ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i q i ∣ r − r i ∣ , E ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i q i r − r i ∣ r − r i ∣ 3 , k = 1 4 π ε 0 = 8.988 × 10 9 N m 2 / C 2 V(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i\frac{q_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|},\qquad \mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_i q_i\frac{\mathbf r - \mathbf r_i}{|\mathbf r - \mathbf r_i|^3},\qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.988\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2} V ( r ) = 4 π ε 0 1 i ∑ ∣ r − r i ∣ q i , E ( r ) = 4 π ε 0 1 i ∑ q i ∣ r − r i ∣ 3 r − r i , k = 4 π ε 0 1 = 8.988 × 1 0 9 N m 2 / C 2 E2 Field from potential and voltage สนามจากศักย์และแรงดัน E = − ∇ V = − ⟨ ∂ V ∂ x , ∂ V ∂ y , ∂ V ∂ z ⟩ , V A − V B = ∫ A B E ⋅ d l , ∇ × E = 0 (สถิต) \mathbf E = -\nabla V = -\left\langle\frac{\partial V}{\partial x},\ \frac{\partial V}{\partial y},\ \frac{\partial V}{\partial z}\right\rangle,\qquad V_A - V_B = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad \nabla\times\mathbf E = \mathbf 0\ \text{(สถิต)} E = − ∇ V = − ⟨ ∂ x ∂ V , ∂ y ∂ V , ∂ z ∂ V ⟩ , V A − V B = ∫ A B E ⋅ d l , ∇ × E = 0 ( สถิต ) E3 Fields from Gauss's law (symmetric charges) สนามจากกฎของเกาส์ (ประจุสมมาตร) ทรงกลม: E = Q e n c 4 π ε 0 r 2 เส้นประจุ: E = λ 2 π ε 0 r ระนาบ: E = σ 2 ε 0 ผิวตัวนำ: E = σ ε 0 \text{ทรงกลม: } E = \frac{Q_{enc}}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad\text{เส้นประจุ: } E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\quad\text{ระนาบ: } E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad\text{ผิวตัวนำ: } E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} ทรงกลม : E = 4 π ε 0 r 2 Q e n c เส้นประจุ : E = 2 π ε 0 r λ ระนาบ : E = 2 ε 0 σ ผิวตัวนำ : E = ε 0 σ E4 Poisson and Laplace equations สมการพัวซองและลาปลาซ ∇ ⋅ E = ρ v ε 0 , E = − ∇ V ⟹ ∇ 2 V = − ρ v ε 0 ( พัวซอง ) , ∇ 2 V = 0 ( ρ v = 0 : ลาปลาซ ) \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho_v}{\varepsilon_0},\ \ \mathbf E = -\nabla V\ \Longrightarrow\ \nabla^2V = -\frac{\rho_v}{\varepsilon_0}\quad(\text{พัวซอง}),\qquad \nabla^2V = 0\quad(\rho_v = 0:\ \text{ลาปลาซ}) ∇ ⋅ E = ε 0 ρ v , E = − ∇ V ⟹ ∇ 2 V = − ε 0 ρ v ( พัวซอง ) , ∇ 2 V = 0 ( ρ v = 0 : ลาปลาซ ) E5 Capacitance and stored energy ความจุและพลังงานที่สะสม C = Q V , C plates = ε 0 ε r A d , w E = 1 2 ε E 2 , W = ∭ 1 2 ε E 2 d V = 1 2 C V 2 C = \frac{Q}{V},\qquad C_{\text{plates}} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_rA}{d},\qquad w_E = \tfrac12\varepsilon E^2,\qquad W = \iiint\tfrac12\varepsilon E^2\,dV = \tfrac12CV^2 C = V Q , C plates = d ε 0 ε r A , w E = 2 1 ε E 2 , W = ∭ 2 1 ε E 2 d V = 2 1 C V 2 E6 Coaxial cable สายโคแอกเชียล E ( r ) = V 0 r ln ( b / a ) , V ( r ) = V 0 ln ( b / r ) ln ( b / a ) , C ′ = 2 π ε 0 ε r ln ( b / a ) F/m , L ′ = μ 0 2 π ln b a H/m E(r) = \frac{V_0}{r\ln(b/a)},\quad V(r) = V_0\frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)},\quad C' = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}\ \text{F/m},\quad L' = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac ba\ \text{H/m} E ( r ) = r ln ( b / a ) V 0 , V ( r ) = V 0 ln ( b / a ) ln ( b / r ) , C ′ = ln ( b / a ) 2 π ε 0 ε r F/m , L ′ = 2 π μ 0 ln a b H/m E7 Resistance from the fields ความต้านทานจากสนาม J = σ E , I = ∬ S J ⋅ d S , V = ∫ A B E ⋅ d l , R = V I = ∫ E ⋅ d l σ ∬ E ⋅ d S \mathbf J = \sigma\mathbf E,\qquad I = \iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf S,\qquad V = \int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l,\qquad R = \frac VI = \frac{\int\mathbf E\cdot d\mathbf l}{\sigma\iint\mathbf E\cdot d\mathbf S} J = σ E , I = ∬ S J ⋅ d S , V = ∫ A B E ⋅ d l , R = I V = σ ∬ E ⋅ d S ∫ E ⋅ d l E8 Hemispherical earth electrode หลักดินครึ่งทรงกลม J ( r ) = I 2 π r 2 , V ( r ) = ρ I 2 π r , R g = ρ 2 π a , V step = ρ I 2 π ( 1 r 1 − 1 r 2 ) J(r) = \frac{I}{2\pi r^2},\quad V(r) = \frac{\rho I}{2\pi r},\quad R_g = \frac{\rho}{2\pi a},\quad V_{\text{step}} = \frac{\rho I}{2\pi}\left(\frac1{r_1} - \frac1{r_2}\right) J ( r ) = 2 π r 2 I , V ( r ) = 2 π r ρ I , R g = 2 πa ρ , V step = 2 π ρ I ( r 1 1 − r 2 1 ) E9 Electromagnetic wave equation สมการคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ ∂ t ∇ × B = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 ⟹ ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 , c = 1 μ 0 ε 0 \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf B = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\ \ \Longrightarrow\ \ \nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2},\qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} ∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ t ∂ ∇ × B = − μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E ⟹ ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E , c = μ 0 ε 0 1 E10 Poynting vector and power เวกเตอร์พอยน์ติงและกำลัง S = E × H , P out = ∯ S S ⋅ d A , ความร้อนจูล: P = ∭ J ⋅ E d V = ∭ σ E 2 d V \mathbf S = \mathbf E\times\mathbf H,\qquad P_{\text{out}} = \oiint_S\mathbf S\cdot d\mathbf A,\qquad \text{ความร้อนจูล: } P = \iiint\mathbf J\cdot\mathbf E\,dV = \iiint\sigma E^2\,dV S = E × H , P out = ∬ S S ⋅ d A , ความร้อนจูล : P = ∭ J ⋅ E d V = ∭ σ E 2 d V K1 Fourier's law กฎของฟูริเยร์ q = − k ∇ T , ∣ q ∣ = k ∣ ∇ T ∣ , Q ˙ = ∬ S q ⋅ n d S \mathbf q = -k\,\nabla T,\qquad |\mathbf q| = k\,|\nabla T|,\qquad \dot Q = \iint_S\mathbf q\cdot\mathbf n\,dS q = − k ∇ T , ∣ q ∣ = k ∣∇ T ∣ , Q ˙ = ∬ S q ⋅ n d S K2 Heat equation สมการความร้อน ρ c ∂ T ∂ t = − ∇ ⋅ q + q ˙ g e n = k ∇ 2 T + q ˙ g e n , คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด: ∇ 2 T = 0 \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf q + \dot q_{gen} = k\,\nabla^2T + \dot q_{gen},\qquad \text{คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด: }\ \nabla^2T = 0 ρ c ∂ t ∂ T = − ∇ ⋅ q + q ˙ g e n = k ∇ 2 T + q ˙ g e n , คงตัว ไม่มีแหล่งกำเนิด : ∇ 2 T = 0 K3 Mean value property and maximum principle สมบัติค่าเฉลี่ยและหลักการค่าสูงสุด ∇ 2 T = 0 ⇒ T ( x 0 ) = 1 2 π R ∮ ∣ x − x 0 ∣ = R T d s , T max , T min อยู่บนขอบเสมอ \nabla^2T = 0\ \Rightarrow\ T(\mathbf x_0) = \frac{1}{2\pi R}\oint_{|\mathbf x - \mathbf x_0| = R}T\,ds,\qquad T_{\max},\ T_{\min}\ \text{อยู่บนขอบเสมอ} ∇ 2 T = 0 ⇒ T ( x 0 ) = 2 π R 1 ∮ ∣ x − x 0 ∣ = R T d s , T m a x , T m i n อยู่บนขอบเสมอ K4 Continuity equation สมการความต่อเนื่อง ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 → ρ คงที่ ∇ ⋅ v = 0 \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) = 0\ \ \xrightarrow{\ \rho\text{ คงที่}\ }\ \ \nabla\cdot\mathbf v = 0 ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 ρ คงที่ ∇ ⋅ v = 0 K5 Vorticity, circulation, potential flow ความหมุนวน การหมุนเวียน การไหลศักย์ ζ = ∇ × v , Γ = ∮ C v ⋅ d l = ∬ S ζ ⋅ n d S , ζ = 0 ⇒ v = ∇ ϕ , ∇ 2 ϕ = 0 \boldsymbol\zeta = \nabla\times\mathbf v,\qquad \Gamma = \oint_C\mathbf v\cdot d\mathbf l = \iint_S\boldsymbol\zeta\cdot\mathbf n\,dS,\qquad \boldsymbol\zeta = \mathbf 0\ \Rightarrow\ \mathbf v = \nabla\phi,\ \nabla^2\phi = 0 ζ = ∇ × v , Γ = ∮ C v ⋅ d l = ∬ S ζ ⋅ n d S , ζ = 0 ⇒ v = ∇ ϕ , ∇ 2 ϕ = 0 K6 Bernoulli equation สมการเบอร์นูลลี p + 1 2 ρ ∣ v ∣ 2 + ρ g z = ค่าคงที่ตามเส้นกระแส (หรือทั่วสนามถ้า irrotational) , C p = p − p ∞ 1 2 ρ U 2 = 1 − ∣ v ∣ 2 U 2 p + \tfrac12\rho|\mathbf v|^2 + \rho gz = \text{ค่าคงที่ตามเส้นกระแส (หรือทั่วสนามถ้า irrotational)},\qquad C_p = \frac{p - p_\infty}{\tfrac12\rho U^2} = 1 - \frac{|\mathbf v|^2}{U^2} p + 2 1 ρ ∣ v ∣ 2 + ρ g z = ค่าคงที่ตามเส้นกระแส ( หรือทั่วสนามถ้า irrotational) , C p = 2 1 ρ U 2 p − p ∞ = 1 − U 2 ∣ v ∣ 2 K7 Moments of inertia (standard shapes) โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปทรงมาตรฐาน I แผ่นสี่เหลี่ยม = m ( a 2 + b 2 ) 12 , I จานตัน = 1 2 m R 2 , I ทรงกลมตัน = 2 5 m R 2 , I = I c + m d 2 , E k = 1 2 I ω 2 I_{\text{แผ่นสี่เหลี่ยม}} = \frac{m(a^2 + b^2)}{12},\quad I_{\text{จานตัน}} = \tfrac12mR^2,\quad I_{\text{ทรงกลมตัน}} = \tfrac25mR^2,\quad I = I_c + md^2,\quad E_k = \tfrac12I\omega^2 I แผ่นสี่เหลี่ยม = 12 m ( a 2 + b 2 ) , I จานตัน = 2 1 m R 2 , I ทรงกลมตัน = 5 2 m R 2 , I = I c + m d 2 , E k = 2 1 I ω 2 K8 Thermal expansion (total differential) การขยายตัวทางความร้อน (ผลต่างรวม) Δ L = α L Δ T , A = L W ⇒ Δ A A ≈ 2 α Δ T , Δ V V ≈ 3 α Δ T ; แก๊สอุดมคติ: β = 1 T , κ T = 1 P \Delta L = \alpha L\,\Delta T,\qquad A = LW \Rightarrow \frac{\Delta A}{A} \approx 2\alpha\Delta T,\qquad \frac{\Delta V}{V} \approx 3\alpha\Delta T;\qquad \text{แก๊สอุดมคติ: } \beta = \frac1T,\ \ \kappa_T = \frac1P Δ L = αL Δ T , A = L W ⇒ A Δ A ≈ 2 α Δ T , V Δ V ≈ 3 α Δ T ; แก๊สอุดมคติ : β = T 1 , κ T = P 1 K9 Two-link planar arm แขนกลสองข้อต่อบนระนาบ x = L 1 c 1 + L 2 c 12 , y = L 1 s 1 + L 2 s 12 ; J = ( − L 1 s 1 − L 2 s 12 − L 2 s 12 L 1 c 1 + L 2 c 12 L 2 c 12 ) , det J = L 1 L 2 sin θ 2 x = L_1c_1 + L_2c_{12},\ \ y = L_1s_1 + L_2s_{12};\quad \mathbf J = \begin{pmatrix} -L_1s_1 - L_2s_{12} & -L_2s_{12}\\ L_1c_1 + L_2c_{12} & L_2c_{12}\end{pmatrix},\quad \det\mathbf J = L_1L_2\sin\theta_2 x = L 1 c 1 + L 2 c 12 , y = L 1 s 1 + L 2 s 12 ; J = ( − L 1 s 1 − L 2 s 12 L 1 c 1 + L 2 c 12 − L 2 s 12 L 2 c 12 ) , det J = L 1 L 2 sin θ 2 C1 Terrain slope and drainage direction ความลาดชันและทิศน้ำไหล S = 100 ∣ ∇ h ∣ = 100 h x 2 + h y 2 % , β = arctan ∣ ∇ h ∣ , ทิศน้ำไหล d = − ∇ h ∣ ∇ h ∣ S = 100\,|\nabla h| = 100\sqrt{h_x^2 + h_y^2}\ \%,\qquad \beta = \arctan|\nabla h|,\qquad \text{ทิศน้ำไหล } \mathbf d = -\frac{\nabla h}{|\nabla h|} S = 100 ∣∇ h ∣ = 100 h x 2 + h y 2 % , β = arctan ∣∇ h ∣ , ทิศน้ำไหล d = − ∣∇ h ∣ ∇ h C2 Cut and fill volumes ปริมาตรดินขุดและดินถม V cut = ∬ R max ( h − z 0 , 0 ) d A , V fill = ∬ R max ( z 0 − h , 0 ) d A , V cut − V fill = ∬ R ( h − z 0 ) d A = A ( h ˉ − z 0 ) V_{\text{cut}} = \iint_R\max\big(h - z_0,\,0\big)\,dA,\qquad V_{\text{fill}} = \iint_R\max\big(z_0 - h,\,0\big)\,dA,\qquad V_{\text{cut}} - V_{\text{fill}} = \iint_R(h - z_0)\,dA = A(\bar h - z_0) V cut = ∬ R max ( h − z 0 , 0 ) d A , V fill = ∬ R max ( z 0 − h , 0 ) d A , V cut − V fill = ∬ R ( h − z 0 ) d A = A ( h ˉ − z 0 ) C3 Grid (four-corner) method วิธีตารางสี่เหลี่ยม (ค่ามุมทั้งสี่) V = ∑ ช่อง A ช่อง ⋅ d 1 + d 2 + d 3 + d 4 4 , d = h − z 0 V = \sum_{\text{ช่อง}}A_{\text{ช่อง}}\cdot\frac{d_1 + d_2 + d_3 + d_4}{4},\qquad d = h - z_0 V = ช่อง ∑ A ช่อง ⋅ 4 d 1 + d 2 + d 3 + d 4 , d = h − z 0 C4 Area and centroid of a polygon พื้นที่และจุดศูนย์ถ่วงของรูปหลายเหลี่ยม c i = x i y i + 1 − x i + 1 y i , A = 1 2 ∑ c i , x ˉ = 1 6 A ∑ ( x i + x i + 1 ) c i , y ˉ = 1 6 A ∑ ( y i + y i + 1 ) c i c_i = x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i,\quad A = \tfrac12\sum c_i,\quad \bar x = \frac{1}{6A}\sum(x_i + x_{i+1})c_i,\quad \bar y = \frac{1}{6A}\sum(y_i + y_{i+1})c_i c i = x i y i + 1 − x i + 1 y i , A = 2 1 ∑ c i , x ˉ = 6 A 1 ∑ ( x i + x i + 1 ) c i , y ˉ = 6 A 1 ∑ ( y i + y i + 1 ) c i C5 Moments of inertia of a polygon โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปหลายเหลี่ยม I x = 1 12 ∑ ( y i 2 + y i y i + 1 + y i + 1 2 ) c i , I y = 1 12 ∑ ( x i 2 + x i x i + 1 + x i + 1 2 ) c i , I x ˉ = I x − A y ˉ 2 , tan 2 θ p = − 2 I x ˉ y ˉ I x ˉ − I y ˉ I_x = \tfrac1{12}\sum(y_i^2 + y_iy_{i+1} + y_{i+1}^2)c_i,\quad I_y = \tfrac1{12}\sum(x_i^2 + x_ix_{i+1} + x_{i+1}^2)c_i,\quad I_{\bar x} = I_x - A\bar y^2,\quad \tan2\theta_p = \frac{-2I_{\bar x\bar y}}{I_{\bar x} - I_{\bar y}} I x = 12 1 ∑ ( y i 2 + y i y i + 1 + y i + 1 2 ) c i , I y = 12 1 ∑ ( x i 2 + x i x i + 1 + x i + 1 2 ) c i , I x ˉ = I x − A y ˉ 2 , tan 2 θ p = I x ˉ − I y ˉ − 2 I x ˉ y ˉ C6 Flexure formula สูตรการดัด σ = M y I x ˉ , S = I x ˉ c , σ max = M S \sigma = \frac{M\,y}{I_{\bar x}},\qquad S = \frac{I_{\bar x}}{c},\qquad \sigma_{\max} = \frac{M}{S} σ = I x ˉ M y , S = c I x ˉ , σ m a x = S M C7 Resultant of a distributed load แรงลัพธ์ของน้ำหนักกระจาย R = ∬ R q ( x , y ) d A , x ˉ = 1 R ∬ x q d A , y ˉ = 1 R ∬ y q d A R = \iint_Rq(x, y)\,dA,\qquad \bar x = \frac1R\iint x\,q\,dA,\qquad \bar y = \frac1R\iint y\,q\,dA R = ∬ R q ( x , y ) d A , x ˉ = R 1 ∬ x q d A , y ˉ = R 1 ∬ y q d A C8 Hydrostatic force on a vertical wall แรงดันน้ำบนผนังตั้ง F = ∬ p d A = ∫ 0 H ρ g ( H − z ) w d z = 1 2 ρ g w H 2 , z c p = ∫ z p d z ∫ p d z = H 3 (เหนือฐาน) F = \iint p\,dA = \int_0^H\rho g(H - z)\,w\,dz = \tfrac12\rho g\,wH^2,\qquad z_{cp} = \frac{\int z\,p\,dz}{\int p\,dz} = \frac H3\ \text{(เหนือฐาน)} F = ∬ p d A = ∫ 0 H ρ g ( H − z ) w d z = 2 1 ρ g w H 2 , z c p = ∫ p d z ∫ z p d z = 3 H ( เหนือฐาน ) C9 Darcy's law and seepage กฎของดาร์ซีและการไหลซึม v = − K ∇ h , Q = ∬ S v ⋅ n d A , ∇ ⋅ v = 0 ⇒ ∇ 2 h = 0 ; Q 1D = K Δ h L A \mathbf v = -K\nabla h,\quad Q = \iint_S\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA,\quad \nabla\cdot\mathbf v = 0\ \Rightarrow\ \nabla^2h = 0;\qquad Q_{\text{1D}} = K\frac{\Delta h}{L}A v = − K ∇ h , Q = ∬ S v ⋅ n d A , ∇ ⋅ v = 0 ⇒ ∇ 2 h = 0 ; Q 1D = K L Δ h A C10 Radial flow to a well (Thiem) การไหลเข้าบ่อ (Thiem) h ( r ) = h w + Q 2 π K T ln r r w , Q = 2 π K T ( h 2 − h 1 ) ln ( r 2 / r 1 ) h(r) = h_w + \frac{Q}{2\pi KT}\ln\frac r{r_w},\qquad Q = \frac{2\pi KT\,(h_2 - h_1)}{\ln(r_2/r_1)} h ( r ) = h w + 2 π K T Q ln r w r , Q = ln ( r 2 / r 1 ) 2 π K T ( h 2 − h 1 )
ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue
วิธีเรียนและตรวจคำตอบที่ใช้ได้ทุกบท
วาดก่อนคำนวณ — วาดบริเวณในระนาบ xy หรือเส้นชั้นความสูงคร่าว ๆ ก่อนตั้งขอบเขตอินทิกรัลหรือหาจุดวิกฤตตรวจหน่วยและมิติ — ∬ \iint ∬ สองวิธีต้องตรงกัน — เปลี่ยนลำดับ d x d y dx\,dy d x d y d y d x dy\,dx d y d x ใช้แล็บตรวจทีหลัง ไม่ใช่แทนที่ — ลองคำนวณเองก่อน แล้วพิมพ์โจทย์ลงแล็บ ถ้าไม่ตรงให้ย้อนหาจุดที่ผิด
เอกสารค้นคว้าต่อ
ต่อยอดจากแคลคูลัสหลายตัวแปร
ต่อไปที่ การแปลงลาปลาซ สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ในวงจรและระบบควบคุม อนุกรมฟูริเยร์ สำหรับสัญญาณและการนำความร้อน และ พีชคณิตเชิงเส้น สำหรับเมทริกซ์ Jacobian และ Hessian ในรูปเมทริกซ์ ถ้ายังไม่แม่นเรื่องพื้นฐานย้อนไปอ่าน แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ และ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และเวกเตอร์
คำถามที่พบบ่อย แคลคูลัสหลายตัวแปร (Calculus 3) เรียนอะไรบ้าง และยากกว่าแคลคูลัส 1-2 แค่ไหน? แคลคูลัสหลายตัวแปรขยายแคลคูลัส 1-2 จากฟังก์ชันตัวแปรเดียวไปสู่หลายตัวแปร หัวข้อหลักคือฟังก์ชันหลายตัวแปรและกราฟผิว อนุพันธ์ย่อยและ gradient ค่าสูงสุด-ต่ำสุดและตัวคูณลากรองจ์ อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น แล้วต่อด้วยแคลคูลัสเวกเตอร์ ได้แก่ เส้นโค้งในอวกาศ สนามเวกเตอร์ อินทิกรัลตามเส้น ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ เคิร์ล และทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ ความยากส่วนใหญ่อยู่ที่การมองภาพสามมิติและการตั้งขอบเขตอินทิกรัล ซึ่งแล็บในชุดนี้ช่วยให้เห็นภาพได้
ควรเรียนอะไรก่อนเริ่มแคลคูลัสหลายตัวแปร? ควรคล่องอนุพันธ์และอินทิกรัลตัวแปรเดียว (กฎลูกโซ่ การอินทิกรัลแบบแทนค่า) ตรีโกณมิติพื้นฐาน และเวกเตอร์ 2-3 มิติ โดยเฉพาะ dot product และ cross product ถ้ายังไม่แม่นเวกเตอร์ให้อ่านชุดเวกเตอร์ ก่อน จากนั้นเริ่มที่หน้าฟังก์ชันหลายตัวแปรแล้วไล่ตามลำดับ
แคลคูลัสหลายตัวแปรใช้ในวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธาอย่างไร? วิศวกรรมไฟฟ้าใช้ E = − ∇ V \mathbf E = -\nabla V E = − ∇ V q = − k ∇ T \mathbf q = -k\nabla T q = − k ∇ T
ทฤษฎีบทกรีน ดีเวอร์เจนซ์ และสโตกส์ต่างกันอย่างไร? ทั้งสามคือทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในมิติสูงขึ้น: อินทิกรัลของ "อนุพันธ์" ภายในบริเวณเท่ากับอินทิกรัลของสนามบน "ขอบ" ทฤษฎีบทกรีนใช้กับบริเวณในระนาบ (วงปิด ↔ พื้นที่) สโตกส์ยกกรีนไปบนผิวโค้งในอวกาศ (วงปิด ↔ เคิร์ลผ่านผิว) ส่วนทฤษฎีบทดีเวอร์เจนซ์เชื่อมฟลักซ์ผ่านผิวปิดกับอินทิกรัลสามชั้นของ ∇ ⋅ F \nabla\cdot\mathbf F ∇ ⋅ F
มีสูตรสรุปแคลคูลัสหลายตัวแปรและเครื่องคิดเลขตรวจคำตอบไหม? มี ดัชนีสูตรในหน้านี้ค้นหาได้ทุกสูตรพร้อมรหัสอ้างอิง และทุกสูตรเชื่อมไปยังตัวอย่างวิธีทำที่ตรวจตัวเลขแล้ว ส่วนเครื่องมือโต้ตอบอยู่ในหน้าแล็บแคลคูลัสหลายตัวแปร พิมพ์สมการเองแล้วดู gradient จุดวิกฤต อินทิกรัล และตัวตรวจ Gauss–Stokes ได้ทันที
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์