อินทิกรัลสองชั้นและสามชั้น (Double & Triple Integrals): พิกัดขั้ว ทรงกระบอก ทรงกลม และ Jacobian

1. ชั้นใน (ตาม $y$, ถือ $x$ คงที่): $\displaystyle\int_0^2 (x^2 + y^2)\,dy = \left[x^2 y + \dfrac{y^3}{3}\right]_0^2 = 2x^2 + \dfrac83$

2. ชั้นนอก: $\displaystyle\int_0^1\left(2x^2 + \dfrac83\right)dx = \dfrac{2}{3} + \dfrac83 = \dfrac{10}{3} \approx 3.3333$

3. Riemann sum 2×2: $\Delta x = 0.5,\ \Delta y = 1,\ \Delta A = 0.5$ · จุดกึ่งกลาง $x \in \{0.25, 0.75\}$, $y \in \{0.5, 1.5\}$

4. ค่า $f$: $0.3125,\ 0.8125,\ 2.3125,\ 2.8125$ · ผลรวม $= 6.25$ · $\times\,0.5 = 3.125$ (ต่ำกว่าจริง 6.25%) · เพิ่ม $n$ เป็น 6 ได้ $3.3102$ (ต่ำกว่า 0.7%)

$\iint_R (x^2 + y^2)\,dA = \dfrac{10}{3}$ · midpoint 2×2 ได้ 3.125

1. วาดบริเวณ: เส้นตรงจาก $(2,0)$ ถึง $(0,2)$ คือ $y = 2 - x$ · type I: $0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 2 - x$

2. ชั้นใน: $\displaystyle\int_0^{2-x} xy\,dy = x\cdot\dfrac{(2-x)^2}{2}$

3. ชั้นนอก: $\displaystyle\dfrac12\int_0^2 x(4 - 4x + x^2)\,dx = \dfrac12\left[2x^2 - \dfrac{4x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = \dfrac12\left(8 - \dfrac{32}{3} + 4\right) = \dfrac12\cdot\dfrac43 = \dfrac23$

4. ตรวจด้วยอีกลำดับ (type II: $0 \le y \le 2,\ 0 \le x \le 2 - y$): โดยสมมาตรของ $xy$ ได้ $\tfrac23$ เท่ากัน ✓

$\iint_R xy\,dA = \dfrac23$

1. $\int e^{y^2}\,dy$ ไม่มีรูปปิดจากฟังก์ชันพื้นฐาน จึงอินทิเกรตตาม $y$ ก่อนไม่ได้

2. อ่านบริเวณ: $0 \le x \le 1$ และ $x \le y \le 1$ คือสามเหลี่ยมใต้เส้น $y = 1$ เหนือเส้น $y = x$ (จุดยอด $(0,0),(0,1),(1,1)$)

3. เปลี่ยนเป็น type II: $0 \le y \le 1$ และ $0 \le x \le y$ · $\displaystyle\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy$

4. ชั้นใน (ตาม $x$, $e^{y^2}$ คงที่): $y\,e^{y^2}$ · ชั้นนอก: $\displaystyle\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = \left[\tfrac12 e^{y^2}\right]_0^1 = \dfrac{e - 1}{2} \approx 0.8591$

$\dfrac{e - 1}{2} \approx 0.8591$

1. จุดตัด: $x^2 = x$ → $x = 0, 1$ · บน $0 < x < 1$ เส้นตรง $y = x$ อยู่เหนือพาราโบลา

2. $A = \displaystyle\int_0^1\!\int_{x^2}^{x} dy\,dx = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$

$A = \dfrac16$ (นี่คืออินทิกรัลสองชั้นของ $f = 1$ · ตรงกับอินทิกรัลตัวแปรเดียว $\int (\text{บน} - \text{ล่าง})\,dx$)

1. ผิวตัดระนาบ $z = 0$ ที่ $x^2 + y^2 = 4$ · บริเวณคือแผ่นวงกลมรัศมี 2: $0 \le r \le 2,\ 0 \le \theta \le 2\pi$

2. แทน $x^2 + y^2 = r^2$: $V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 (4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta$

3. ชั้นใน: $\displaystyle\int_0^2 (4r - r^3)\,dr = \left[2r^2 - \dfrac{r^4}{4}\right]_0^2 = 8 - 4 = 4$

4. ชั้นนอก: $\displaystyle\int_0^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi \approx 25.13$

$V = 8\pi \approx 25.13$ หน่วยปริมาตร (ตรงกับค่าที่แล็บคำนวณ)

1. ให้ $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx$ · $I^2 = \int e^{-x^2}dx\int e^{-y^2}dy = \iint_{\mathbb R^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA$

2. พิกัดขั้ว: ทั่วระนาบคือ $0 \le r < \infty,\ 0 \le \theta \le 2\pi$ · $I^2 = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\infty} e^{-r^2}\,r\,dr\,d\theta$

3. $\displaystyle\int_0^\infty r e^{-r^2}dr = \left[-\tfrac12 e^{-r^2}\right]_0^\infty = \tfrac12$ · $I^2 = 2\pi\cdot\tfrac12 = \pi$ → $I = \sqrt{\pi}$

4. ผลนี้คือตัวทำให้เป็นปกติ (normalizing constant) ของการแจกแจงเกาส์เซียน $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}$ ที่ใช้อธิบายสัญญาณรบกวนในระบบสื่อสารและการวัด

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$ (ใช้ตัวคูณ $r$ จึงอินทิเกรตได้ — ในพิกัดฉากไม่มีรูปปิด)

1. $A = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\!\int_0^{2\sin 2\theta} r\,dr\,d\theta = \int_0^{\pi/2}\dfrac{(2\sin2\theta)^2}{2}\,d\theta = 2\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta\,d\theta$

2. $\sin^2 2\theta = \tfrac12(1 - \cos 4\theta)$ → $2\cdot\tfrac12\left[\theta - \tfrac{\sin4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2} = \dfrac{\pi}{2}$

$A = \dfrac{\pi}{2} \approx 1.571$

1. เงาบนระนาบ $xy$: สามเหลี่ยม $0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 - x$ · $z$ จาก 0 ถึง $1 - x - y$

2. $V = \displaystyle\int_0^1\!\int_0^{1-x}\!\int_0^{1-x-y} dz\,dy\,dx = \int_0^1\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,dy\,dx = \int_0^1 \dfrac{(1-x)^2}{2}\,dx = \dfrac16$

$V = \dfrac16$ (ตรงกับสูตรปริมาตรพีระมิด $\tfrac13 \cdot \text{ฐาน}\tfrac12 \cdot \text{สูง}1$)

1. กรวยตัดระนาบ $z = 2$ ที่ $r = 2$ · ขอบเขต: $0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le r \le 2,\ r \le z \le 2$

2. $V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^2\!\int_r^2 r\,dz\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi}\!\int_0^2 r(2 - r)\,dr\,d\theta$

3. ชั้นใน: $\left[r^2 - \dfrac{r^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac83 = \dfrac43$ · ชั้นนอก: $2\pi\cdot\dfrac43 = \dfrac{8\pi}{3}$

4. ตรวจด้วยสูตร: ทรงกระบอกรัศมี 2 สูง 2 มีปริมาตร $8\pi$ และกรวยมี $\tfrac13$ ของ $8\pi$ = $\tfrac{8\pi}{3}$ → รูปตันที่ถามคือ “กรวยกลับหัว” ปริมาตร $\tfrac{8\pi}{3}$ ✓

$V = \dfrac{8\pi}{3} \approx 8.378$

1. (ก) $V = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi}\!\int_0^{R}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot 2\cdot\dfrac{R^3}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}$ (R = 2 ได้ $\tfrac{32\pi}{3} = 33.51$)

2. (ข) ซีกบน: $0 \le \varphi \le \pi/2$ · ปริมาตร $= \tfrac{2\pi}{3}$

3. $$\iiint z\,dV = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^1 (\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi\cdot\dfrac14\cdot\dfrac12 = \dfrac{\pi}{4}$$

4. $\bar z = \dfrac{\pi/4}{2\pi/3} = \dfrac38$ และโดยสมมาตร $\bar x = \bar y = 0$

(ก) $V = \tfrac43\pi R^3$ · (ข) $(\bar x, \bar y, \bar z) = (0, 0, \tfrac38 R)$ สำหรับซีกทรงกลมรัศมี $R$ (ตรงกับตารางในหนังสือกลศาสตร์วิศวกรรม)

1. เปลี่ยนตัวแปร $x = au,\ y = bv$ · วงรีกลายเป็นแผ่นวงกลมหนึ่งหน่วย $u^2 + v^2 \le 1$

2. $J = \begin{vmatrix} a & 0\\ 0 & b\end{vmatrix} = ab$

3. $A = \iint dx\,dy = \iint_{u^2+v^2\le1} ab\,du\,dv = ab\cdot\pi\cdot1^2 = \pi ab$

4. ตัวอย่างเชิงตัวเลข: $a = 2,\ b = 1$ ได้ $A = 2\pi = 6.283$ (แล็บ Jacobian โหมด “วงรี” ให้ $\det J = 2u$ เมื่อรวม $x = 2u\cos v$ ในพิกัดขั้ววงรี)

$A = \pi ab$

1. ขอบเขตขั้ว: $0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le \pi$ · $M = \displaystyle\int_0^\pi\!\int_0^1 r\,dr\,d\theta = \dfrac{\pi}{2}$

2. $\iint y\,dA = \displaystyle\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\int_0^1 r^2\,dr = 2\cdot\dfrac13 = \dfrac23$ → $\bar y = \dfrac{2/3}{\pi/2} = \dfrac{4}{3\pi} \approx 0.4244$ · $\bar x = 0$ (สมมาตร)

3. $I_x = \iint y^2\,dA = \displaystyle\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta\int_0^1 r^3\,dr = \dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac14 = \dfrac{\pi}{8}$ · $I_y = \iint x^2\,dA = \dfrac{\pi}{8}$

4. $I_0 = \dfrac{\pi}{4}$ และเมื่อ $\rho$ เป็นมวลต่อพื้นที่ $M = \dfrac{\pi}{2}$ ได้ $I_0 = \tfrac12 M R^2$ เหมือนจานกลมเต็มดวง (ซีกก็มี $I_0$ อัตราส่วนเดียวกัน)

$M = \dfrac{\pi}{2}$ · $\bar y = \dfrac{4}{3\pi}$ · $I_x = I_y = \dfrac{\pi}{8}$ · $I_0 = \dfrac{\pi}{4}$

1. ทรงกระบอก (พิกัดทรงกระบอก): $I_z = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^R\!\int_0^h \rho_0\,r^2\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = \rho_0\cdot2\pi\cdot\dfrac{R^4}{4}\cdot h = \dfrac{\pi\rho_0 hR^4}{2}$

2. มวล $M = \rho_0\pi R^2h$ ดังนั้น $I_z = \dfrac{1}{2}MR^2$ ✓

3. ทรงกลม (พิกัดทรงกลม): $(x^2 + y^2) = \rho^2\sin^2\varphi$ · $I = \rho_0\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi\!\int_0^R \rho^2\sin^2\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho_0\cdot\dfrac{R^5}{5}\cdot\dfrac43\cdot2\pi = \dfrac{8\pi\rho_0R^5}{15}$

4. มวล $M = \dfrac{4\pi\rho_0R^3}{3}$ → $I = \dfrac{8\pi/15}{4\pi/3}MR^2 = \dfrac25MR^2$ ✓

กระบอกตัน $I_z = \tfrac12MR^2$ · ทรงกลมตัน $I = \tfrac25MR^2$ (ใช้ $\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi = \tfrac43$)

1. $Q = \displaystyle\iint\sigma\,dA = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{a}\sigma_0 e^{-r/b}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\sigma_0\int_0^a r e^{-r/b}dr$

2. อินทิเกรตทีละส่วน: $\displaystyle\int_0^a r e^{-r/b}dr = b^2\left[1 - \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)e^{-a/b}\right]$

3. แทน $a/b = 2.5$: $e^{-2.5} = 0.08208$ · วงเล็บ $= 1 - 3.5(0.08208) = 0.7127$

4. $Q = 2\pi(20\times10^{-9})(0.02)^2(0.7127) = 3.58\times10^{-11}$ C

$Q \approx 35.8$ pC (ถ้าประจุสม่ำเสมอที่ $\sigma_0$ ทั้งแผ่นจะได้ 157 pC ซึ่งมากกว่า 4.4 เท่า เพราะประจุจริงกระจุกใกล้ศูนย์กลาง)