พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. เวกเตอร์
  4. สนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 4 · Vectors in electromagnetic fields

เวกเตอร์ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก

วิศวกรรมไฟฟ้าทั้งศาสตร์ตั้งอยู่บนสนามเวกเตอร์ E และ B แรงที่ทำให้มอเตอร์หมุน แรงที่ฉีกบัสบาร์ตอนลัดวงจร ลำอิเล็กตรอนในหลอดภาพ และหลักการของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ล้วนเขียนด้วย dot product และ cross product บทนี้เดินจากกฎคูลอมบ์แบบเวกเตอร์ การซ้อนทับ ฟลักซ์ ไปจนถึงแรงลอเรนซ์ แรงบนลวด และแรงบิดบนขดลวด พร้อมแล็บที่ลากประจุและลวดได้เหมือนห้องแล็บฟิสิกส์ 2

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
กฎคูลอมบ์การซ้อนทับแรงลอเรนซ์ลวดขนานแรงบิดมอเตอร์
สรุปใน 30 วินาที
  • F12=kq1q2r2r^12\mathbf F_{12}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\hat{\mathbf r}_{12}, E=∑kqiri2r^i\mathbf E=\sum k\dfrac{q_i}{r_i^2}\hat{\mathbf r}_i — บวกเป็นเวกเตอร์เสมอ
  • ศักย์ V=∑kqi/riV=\sum kq_i/r_i เป็นสเกลาร์ ฟลักซ์ Φ=B⋅A\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf A เป็น dot product
  • F=q(E+v×B)\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B), F=IL×B\mathbf F=I\mathbf L\times\mathbf B, τ=m×B\boldsymbol\tau=\mathbf m\times\mathbf B — cross product ทั้งสิ้น
  • ลวดขนาน: F/L=μ0I1I2/(2πd)F/L=\mu_0I_1I_2/(2\pi d) กระแสทิศเดียวกันดูดกัน

1. ปริมาณไหนเป็นเวกเตอร์ ปริมาณไหนเป็นสเกลาร์ พื้นฐาน

ปริมาณชนิดหน่วยรวมหลายแหล่งอย่างไร
แรงไฟฟ้า/แม่เหล็ก Fเวกเตอร์Nบวกองค์ประกอบ
สนามไฟฟ้า Eเวกเตอร์N/C = V/mบวกองค์ประกอบ (ซ้อนทับ)
สนามแม่เหล็ก Bเวกเตอร์T = Wb/m²บวกองค์ประกอบ
ศักย์ไฟฟ้า Vสเกลาร์Vบวกตัวเลข (มีเครื่องหมาย)
ฟลักซ์ Φสเกลาร์ (dot product)Wbบวกตัวเลข
กระแส Iสเกลาร์ที่มีทิศตามลวดAKCL; ใน AC บวกแบบเฟสเซอร์

2. กฎของคูลอมบ์แบบเวกเตอร์ พื้นฐาน

M1 Coulomb's law (vector form) แรงที่ q₁ กระทำต่อ q₂

F12=kq1q2∥r2−r1∥2 r^12=k q1q2 r2−r1∥r2−r1∥3,k=14πε0=8.988×109 N⋅m2/C2\mathbf F_{12}=k\frac{q_1q_2}{\lVert\mathbf r_2-\mathbf r_1\rVert^2}\,\hat{\mathbf r}_{12}=k\,q_1q_2\,\frac{\mathbf r_2-\mathbf r_1}{\lVert\mathbf r_2-\mathbf r_1\rVert^3},\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8.988\times10^9\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2

ใส่เครื่องหมายประจุลงไปตรง ๆ: q1q2>0q_1q_2>0 แรงชี้ตาม r^12\hat{\mathbf r}_{12} (ผลัก) q1q2<0q_1q_2<0 ชี้กลับ (ดูด) รูปที่สองใช้สะดวกกับคอมพิวเตอร์เพราะไม่ต้องหา unit vector แยก

ตัวอย่าง M-1 · แรงลัพธ์บนประจุที่มุมสามเหลี่ยม

q₁ = +3 μC ที่ (−0.3, −0.2) m, q₂ = −4 μC ที่ (0.3, −0.2) m, q₃ = +2 μC ที่ (0, 0.32) m จงหาแรงลัพธ์บน q₃

  1. จาก q₁: r=(0.3, 0.52)\mathbf r=(0.3,\ 0.52) m, r = 0.6003 m → ∣F∣=k(3×10−6)(2×10−6)/0.3604=0.1496|F|=k(3\times10^{-6})(2\times10^{-6})/0.3604=0.1496 N ผลัก → F13=(0.0748, 0.1296)\mathbf F_{13}=(0.0748,\ 0.1296) N

  2. จาก q₂: r=(−0.3, 0.52)\mathbf r=(-0.3,\ 0.52) m, r = 0.6003 m → ∣F∣=0.1995|F|=0.1995 N ดูดเข้าหา q₂ → F23=(0.0997, −0.1728)\mathbf F_{23}=(0.0997,\ -0.1728) N

  3. รวม: F=(0.1745, −0.0432)\mathbf F=(0.1745,\ -0.0432) N, ∣F∣=0.1797|\mathbf F|=0.1797 N ที่ 346.1° (เบนลงขวา 13.9°)

F ≈ 0.180 N ที่ −13.9° — เลือกตัวอย่าง “สามเหลี่ยม” ในแล็บด้านล่างเพื่อเห็นลูกศรแรงทั้งสองและแรงลัพธ์

3. สนามไฟฟ้าและหลักการซ้อนทับ พื้นฐาน

M2 Electric field of a point charge สนามไฟฟ้าของประจุจุด

E=Fq0=kqr2r^,F=q0E\mathbf E=\frac{\mathbf F}{q_0}=k\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf r},\qquad \mathbf F=q_0\mathbf E

M3 Superposition หลักการซ้อนทับ

E(r)=∑ik qi r−ri∥r−ri∥3⟹Ex=∑Eix, Ey=∑Eiy, Ez=∑Eiz\mathbf E(\mathbf r)=\sum_{i}k\,q_i\,\frac{\mathbf r-\mathbf r_i}{\lVert\mathbf r-\mathbf r_i\rVert^3}\qquad\Longrightarrow\qquad E_x=\sum E_{ix},\ E_y=\sum E_{iy},\ E_z=\sum E_{iz}

สนามจากแต่ละประจุไม่รบกวนกัน (ระบบเชิงเส้น) จึงหาทีละตัวแล้วบวกเวกเตอร์ — แบบเดียวกับแรงลัพธ์ใน R7

ตัวอย่าง M-2 · สนามของไดโพล

+2 μC ที่ (−0.3, 0) m และ −2 μC ที่ (0.3, 0) m จงหาสนามไฟฟ้าที่ P(0, 0.35) m

  1. ระยะจากประจุทั้งสอง: 0.32+0.352=0.4610\sqrt{0.3^2+0.35^2}=0.4610 m → ∣Ei∣=k(2×10−6)/0.2125=84,589|E_i|=k(2\times10^{-6})/0.2125=84{,}589 N/C เท่ากัน

  2. จาก +q: ชี้ออกจาก +q → (0.3,0.35)/0.461(0.3,0.35)/0.461: E1=(55,050, 64,225)\mathbf E_1=(55{,}050,\ 64{,}225) N/C

  3. จาก −q: ชี้เข้าหา −q → E2=(55,050, −64,225)\mathbf E_2=(55{,}050,\ -64{,}225) N/C

  4. องค์ประกอบ y หักล้างกัน: E=(1.101×105, 0)\mathbf E=(1.101\times10^5,\ 0) N/C ชี้จาก + ไป − ขนานแกนไดโพล

E = 1.10 × 10⁵ N/C ตาม +x — ผลรวมขนาด 1.69 × 10⁵ แต่ผลรวมเวกเตอร์เพียง 1.10 × 10⁵

M4 Electric potential (scalar) ศักย์ไฟฟ้าและความสัมพันธ์กับสนาม

V=∑ikqiri,E=−∇V,WA→B=q (VA−VB)V=\sum_i k\frac{q_i}{r_i},\qquad \mathbf E=-\nabla V,\qquad W_{A\to B}=q\,(V_A-V_B)

ศักย์รวมแบบตัวเลขไม่ต้องแตกองค์ประกอบ ในตัวอย่าง M-2 ที่ P ได้ V = 0 (ระยะเท่ากัน ประจุตรงข้าม) แต่ E ≠ 0 — สนามคือ “ความชัน” ของศักย์ ไม่ใช่ค่าศักย์ เส้นสนามจึงตั้งฉากกับเส้นศักย์เท่าเสมอ

M5 Point of zero field (two charges) จุดที่สนามเป็นศูนย์

∣q1∣d12=∣q2∣d22บนเส้นที่ผ่านประจุทั้งสอง\frac{|q_1|}{d_1^2}=\frac{|q_2|}{d_2^2}\quad\text{บนเส้นที่ผ่านประจุทั้งสอง}

ประจุต่างชนิด: จุดนี้อยู่นอกช่วง ฝั่งประจุที่เล็กกว่า ประจุชนิดเดียวกัน: อยู่ระหว่างประจุ ใกล้ตัวที่เล็กกว่า

ตัวอย่าง M-3 · จุดที่สนามเป็นศูนย์

+4 μC ที่ x = −0.2 m และ −1 μC ที่ x = +0.2 m จงหาจุดบนแกน x ที่ E = 0

  1. ต่างชนิด จุดต้องอยู่นอกช่วง ฝั่ง −1 μC (ตัวเล็ก): x > 0.2

  2. 4(x+0.2)2=1(x−0.2)2⇒2x+0.2=1x−0.2⇒2x−0.4=x+0.2⇒x=0.6\dfrac{4}{(x+0.2)^2}=\dfrac{1}{(x-0.2)^2}\Rightarrow\dfrac{2}{x+0.2}=\dfrac{1}{x-0.2}\Rightarrow2x-0.4=x+0.2\Rightarrow x=0.6 m

  3. ตรวจ: k(4μ)/0.82=k(1μ)/0.42k(4\mu)/0.8^2=k(1\mu)/0.4^2 ✓ ทิศตรงข้ามกันจึงหักล้าง

x = 0.6 m — เลือกตัวอย่าง “+4 μC กับ −1 μC” ในแล็บ จุด P วางไว้ตรงนั้นแล้ว

ประจุสามมิติ: ฉากด้านล่างแสดงสนามจากประจุสามตัวบนแกน x, y, z ที่จุด P ใด ๆ ลากหมุนเพื่อเห็นว่าลูกศรทั้งสามบวกกันเป็นลูกศรสีส้มอย่างไร

4. ฟลักซ์: dot product ระหว่างสนามกับเวกเตอร์พื้นที่ กลาง

พื้นที่ราบแทนได้ด้วยเวกเตอร์ A=An^\mathbf A=A\hat{\mathbf n} ยาวเท่าพื้นที่และตั้งฉากกับผิว ฟลักซ์วัดว่า “เส้นสนามทะลุผิวมากเพียงใด” จึงเป็นการฉายของสนามบนแนวตั้งฉาก

M6 Flux through a flat surface ฟลักซ์ผ่านผิวราบ

ΦB=B⋅A=BAcos⁡θ,ΦE=E⋅A,E=−NdΦBdt\Phi_B=\mathbf B\cdot\mathbf A=BA\cos\theta,\qquad \Phi_E=\mathbf E\cdot\mathbf A,\qquad \mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}

ขดลวดหมุนในสนามทำให้ θ = ωt ได้ Φ=BAcos⁡ωt\Phi=BA\cos\omega t และ E=NBAωsin⁡ωt\mathcal E=NBA\omega\sin\omega t — นี่คือที่มาของไฟฟ้ากระแสสลับรูปไซน์ (ต่อใน sin cos ในไฟฟ้า AC)

ตัวอย่าง M-4 · ฟลักซ์ผ่านแผ่นเอียง

B = 0.8 T ตามแกน +z ผ่านแผ่นพื้นที่ 0.12 m² ที่เอียงจนเวกเตอร์ปกติทำมุม 40° กับแกน z

  1. Φ=BAcos⁡θ=0.8(0.12)cos⁡40∘=0.0735\Phi=BA\cos\theta=0.8(0.12)\cos40^\circ=0.0735 Wb

  2. ถ้าหมุนแผ่นด้วย 3000 rpm (ω = 314.2 rad/s) และ N = 100 รอบ: Emax⁡=NBAω=100(0.8)(0.12)(314.2)=3016\mathcal E_{\max}=NBA\omega=100(0.8)(0.12)(314.2)=3016 V

Φ = 73.5 mWb · เครื่องกำเนิดหลักการเดียวกันให้แรงดันยอด ≈ 3 kV

5. แรงลอเรนซ์: ประจุที่เคลื่อนที่ในสนาม กลาง

M7 Lorentz force แรงลอเรนซ์

F=q(E+v×B)\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)

ส่วนแม่เหล็ก qv×Bq\mathbf v\times\mathbf B ตั้งฉากกับ v\mathbf v เสมอ: F⋅v=0\mathbf F\cdot\mathbf v=0 จึงไม่ทำงาน อัตราเร็วคงที่ เปลี่ยนแค่ทิศ ใช้กฎมือขวากับ q > 0 แล้วกลับทิศถ้า q < 0

M8 Motion in a uniform B วงกลม เกลียว และคาบ

r=mv⊥∣q∣B,T=2πm∣q∣B,p=v∥T,vd=E×BB2r=\frac{mv_\perp}{|q|B},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B},\qquad p=v_\parallel T,\qquad \mathbf v_d=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{B^2}

คาบไม่ขึ้นกับความเร็ว (หลักการไซโคลตรอน) ส่วนความเร็วดริฟต์ vd\mathbf v_d คือเงื่อนไขของตัวเลือกความเร็ว: ประจุที่วิ่งด้วย v=E/Bv=E/B ตั้งฉากกับทั้งคู่จะวิ่งตรง

ตัวอย่าง M-5 · โปรตอนในสนามแม่เหล็ก

โปรตอนวิ่งด้วย v=(2×105, 0, 0.6×105)\mathbf v=(2\times10^5,\ 0,\ 0.6\times10^5) m/s ในสนาม B=0.05 k\mathbf B=0.05\,\mathbf k T จงหาแรง รัศมี คาบ และระยะเกลียว

  1. v×B=(0⋅0.05−0.6×105⋅0, 0.6×105⋅0−2×105⋅0.05, 0)=(0, −104, 0)\mathbf v\times\mathbf B=(0\cdot0.05-0.6\times10^5\cdot0,\ 0.6\times10^5\cdot0-2\times10^5\cdot0.05,\ 0)=(0,\ -10^4,\ 0)

  2. F=e(v×B)=(0, −1.602×10−15, 0)\mathbf F=e(\mathbf v\times\mathbf B)=(0,\ -1.602\times10^{-15},\ 0) N — ชี้ −y ตั้งฉากกับทั้ง v และ B

  3. r=(1.673×10−27)(2×105)(1.602×10−19)(0.05)=41.76r=\dfrac{(1.673\times10^{-27})(2\times10^5)}{(1.602\times10^{-19})(0.05)}=41.76 mm, T=1.312 μT=1.312\ \mus

  4. ระยะเกลียว p=v∥T=(0.6×105)(1.312×10−6)=78.7p=v_\parallel T=(0.6\times10^5)(1.312\times10^{-6})=78.7 mm

r = 41.8 mm, T = 1.31 μs, p = 78.7 mm — ค่าเริ่มต้นของฉาก 3 มิติด้านล่าง

6. แรงบนลวดตัวนำ F = I L × B พื้นฐาน

M9 Force on a straight wire แรงบนลวดตรงในสนามสม่ำเสมอ

F=I L×B,F=ILBsin⁡θ\mathbf F=I\,\mathbf L\times\mathbf B,\qquad F=ILB\sin\theta

L\mathbf L ยาวเท่าช่วงลวดที่อยู่ในสนาม ชี้ตามทิศกระแส มาจากแรงลอเรนซ์บนประจุจำนวนมากในลวด (IL=nqAvdLI\mathbf L=nqA\mathbf v_dL)

ตัวอย่าง M-6 · ลวดในช่องว่างแม่เหล็ก

ลวดยาว 0.3 m ตามแกน +x มีกระแส 8 A อยู่ในสนาม 0.5 T ตามแกน +y จงหาแรง

  1. L×B=(0.3 i)×(0.5 j)=0.15 k\mathbf L\times\mathbf B=(0.3\,\mathbf i)\times(0.5\,\mathbf j)=0.15\,\mathbf k

  2. F=8(0.15 k)=1.2 k\mathbf F=8(0.15\,\mathbf k)=1.2\,\mathbf k N

F = 1.2 N ตาม +z — ลองหมุนทิศลวดและสนามในฉากด้านล่าง

7. สนามจากลวดตรงและแรงระหว่างลวดขนาน กลาง

M10 Field of a long straight wire สนามแม่เหล็กรอบลวดยาว

B=μ0I2πr ϕ^,ϕ^=z^×r^,μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mathbf B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol\phi},\qquad \hat{\boldsymbol\phi}=\hat{\mathbf z}\times\hat{\mathbf r},\qquad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}

ทิศวนรอบลวดตามกฎมือขวา (นิ้วโป้งตามกระแส) เขียนเป็นเวกเตอร์ด้วย cross product ทำให้รวมลวดหลายเส้นได้ด้วยการบวกองค์ประกอบ

M11 Force between parallel conductors แรงต่อความยาวระหว่างลวดขนาน

FL=μ0I1I22πd=2×10−7 I1I2d  N/m\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\frac{2\times10^{-7}\,I_1I_2}{d}\ \ \text{N/m}

กระแสทิศเดียวกันดูดกัน ทิศตรงข้ามผลักกัน ได้จาก I2L×B1I_2\mathbf L\times\mathbf B_1 — นิยามเดิมของหน่วยแอมแปร์ก็มาจากสูตรนี้

ตัวอย่าง M-7 · บัสบาร์ขณะลัดวงจร

บัสบาร์สองเส้นห่างกัน 0.1 m มีกระแสลัดวงจร 20 kA (RMS สมมาตร) ในทิศตรงข้าม จงประมาณแรงต่อเมตร และสนามที่จุดกึ่งกลาง

  1. F/L=2×10−7(20,000)2/0.1=800F/L=2\times10^{-7}(20{,}000)^2/0.1=800 N/m ผลักกัน

  2. ที่กึ่งกลาง (0.05 m จากแต่ละเส้น) กระแสตรงข้ามให้สนามทิศเดียวกัน: B=2×μ0(20,000)/(2π⋅0.05)=2(0.08)=0.16B=2\times\mu_0(20{,}000)/(2\pi\cdot0.05)=2(0.08)=0.16 T

  3. ค่ายอดจริงขณะเกิดลัดวงจรอาจสูงกว่านี้หลายเท่าเพราะกระแสยอดรวม DC offset (มาตรฐานการออกแบบใช้ค่ากระแสยอด) ช่วงยึดฉนวนรองรับจึงต้องคำนวณเป็นแรงกระจายแบบ S9

≈ 800 N/m (80 kgf ต่อเมตร) ผลักบาร์ออกจากกัน

8. แรงบิดบนขดลวด τ = m × B: หัวใจของมอเตอร์ กลาง

ขดลวดสี่เหลี่ยมในสนามแม่เหล็ก ด้านที่ตั้งฉากกับสนามได้แรง F = NILB สองด้านในทิศตรงข้าม เป็นแรงคู่ควบ (S6) ส่วนอีกสองด้านได้แรงที่หักล้างกันในแนวเดียว แรงบิดสุทธิเขียนได้สั้นที่สุดด้วยโมเมนต์แม่เหล็ก

M12 Torque on a current loop แรงบิดบนขดลวด

m=NIA n^,τ=m×B,τ=NIABsin⁡θ,U=−m⋅B\mathbf m=NIA\,\hat{\mathbf n},\qquad \boldsymbol\tau=\mathbf m\times\mathbf B,\qquad \tau=NIAB\sin\theta,\qquad U=-\mathbf m\cdot\mathbf B

n^\hat{\mathbf n} ตามกฎมือขวาของกระแสในขด แรงบิดหมุนให้ m\mathbf m ไปขนานกับ B\mathbf B (พลังงาน U ต่ำสุด) มอเตอร์ DC จึงต้องมีคอมมิวเตเตอร์กลับกระแสทุกครึ่งรอบ

ตัวอย่าง M-8 · ขดลวดมอเตอร์

ขดลวด 50 รอบ ขนาด 0.10 × 0.08 m กระแส 3 A ในสนาม 0.4 T เวกเตอร์ปกติทำมุม 60° กับสนาม จงหาแรงบิด

  1. m=NIA=50(3)(0.008)=1.2m=NIA=50(3)(0.008)=1.2 A·m²

  2. τ=mBsin⁡60∘=1.2(0.4)(0.8660)=0.4157\tau=mB\sin60^\circ=1.2(0.4)(0.8660)=0.4157 N·m

  3. แรงบิดสูงสุด 0.48 N·m เมื่อระนาบขดลวดขนานกับสนาม (θ = 90°) และเป็นศูนย์เมื่อ θ = 0°

τ = 0.416 N·m

9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดวิธีป้องกัน
บวกขนาดของสนามจากหลายประจุแตกองค์ประกอบแล้วบวก (M3) ศักย์เท่านั้นที่บวกตัวเลขได้
ใช้ |q| แล้วเดาทิศเองใส่เครื่องหมายใน M1/M3 แล้วให้สูตรจัดการทิศ
สลับลำดับ v × B หรือ L × Bลำดับคือ “สิ่งที่เคลื่อนที่ × สนาม” กลับลำดับ = กลับทิศ
ลืมกลับทิศสำหรับอิเล็กตรอนq < 0 ทำให้แรงตรงข้ามกฎมือขวา
ใช้ A เป็นสเกลาร์ในฟลักซ์ผิวเอียงใช้ B⋅A\mathbf B\cdot\mathbf A และนิยามทิศ n^\hat{\mathbf n} ให้ชัด

10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

  1. ประจุ +5 μC สองตัวอยู่ที่ (±0.1, 0) m สนามที่ (0, 0.1) m เท่าไร?
  2. อิเล็กตรอนวิ่ง v=106 i\mathbf v=10^6\,\mathbf i m/s ใน B=0.01 k\mathbf B=0.01\,\mathbf k T แรงชี้ทางไหน รัศมีเท่าไร?
  3. ลวดยาว 0.5 m กระแส 10 A ทำมุม 30° กับสนาม 0.2 T แรงเท่าไร?
  4. สายไฟสองเส้นในบ้าน ห่าง 5 mm กระแส 10 A สวนทางกัน แรงต่อเมตรเท่าไร?
เปิดเฉลย
  1. r = 0.1414 m, |E_i| = k(5μ)/0.02 = 2.247×10⁶ N/C; องค์ประกอบ x หักล้าง, y รวม = 2 × 2.247×10⁶ × (0.1/0.1414) = 3.178×10⁶ N/C ตาม +y
  2. v×B=104(i×k)=−104j\mathbf v\times\mathbf B=10^4(\mathbf i\times\mathbf k)=-10^4\mathbf j แต่ q < 0 → แรงตาม +j; r = (9.109×10⁻³¹)(10⁶)/(1.602×10⁻¹⁹ × 0.01) = 0.569 mm
  3. F = 10(0.5)(0.2)sin30° = 0.5 N
  4. 2×10⁻⁷ × 100/0.005 = 4 mN/m ผลักกัน (เล็กมากในภาวะปกติ)

11. สรุปสูตร

หัวข้อสูตรชนิดผลคูณ
M1 คูลอมบ์kq1q2 r/r3kq_1q_2\,\mathbf r/r^3คูณสเกลาร์
M3 ซ้อนทับE=∑Ei\mathbf E=\sum\mathbf E_iบวกเวกเตอร์
M4 ศักย์V=∑kq/rV=\sum kq/rสเกลาร์
M6 ฟลักซ์Φ=B⋅A\Phi=\mathbf B\cdot\mathbf Adot
M7 ลอเรนซ์q(E+v×B)q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)cross
M9 ลวดIL×BI\mathbf L\times\mathbf Bcross
M10–M11 ลวดตรงμ0I/(2πr)\mu_0I/(2\pi r), μ0I1I2/(2πd)\mu_0I_1I_2/(2\pi d)cross (ทิศ φ̂)
M12 แรงบิดขดลวดm×B\mathbf m\times\mathbf Bcross

12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

ต่อไป: ขดลวดที่หมุนในสนามให้แรงดันรูปไซน์ ไปต่อที่ ความสัมพันธ์ sin–cos ในไฟฟ้ากระแสสลับ หรือทดลองครบใน แล็บสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

คำถามที่พบบ่อย

หาสนามไฟฟ้าจากประจุหลายตัวอย่างไร?

ใช้หลักการซ้อนทับ หาเวกเตอร์สนามจากประจุแต่ละตัว E_i = k q_i r̂_i / r_i² แยกเป็นองค์ประกอบ แล้วบวกองค์ประกอบ x y z ทีละแกน ห้ามบวกขนาดของสนามตรง ๆ เพราะทิศต่างกัน ส่วนศักย์ไฟฟ้าเป็นสเกลาร์ บวกตัวเลขได้เลย V = Σ k q_i / r_i

แรงลอเรนซ์คืออะไร?

แรงที่กระทำต่อประจุ q ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในสนามไฟฟ้า E และสนามแม่เหล็ก B คือ F = q(E + v × B) ส่วนแม่เหล็กตั้งฉากกับความเร็วเสมอ จึงไม่ทำงานและไม่เปลี่ยนอัตราเร็ว แค่เลี้ยวทิศ ประจุจึงวิ่งเป็นวงกลมหรือเกลียวรัศมี r = mv⊥/(|q|B)

แรงบนลวดตัวนำในสนามแม่เหล็กหาอย่างไร?

F = I L × B โดย L เป็นเวกเตอร์ยาวเท่าช่วงลวดที่อยู่ในสนามและชี้ตามทิศกระแส ขนาด F = I L B sin θ ทิศตามกฎมือขวา ถ้าลวดขนานกับสนามจะไม่มีแรง หลักนี้คือที่มาของมอเตอร์ไฟฟ้า

ทำไมบัสบาร์ต้องยึดแน่นในตู้ไฟ?

ขณะลัดวงจร กระแสหลายหมื่นแอมแปร์ในบาร์ขนานสร้างแรงระหว่างกัน F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) เช่น 20 kA ห่าง 10 cm ได้ 800 N ต่อเมตร (ค่ายอดอาจสูงกว่านี้มากเพราะ DC offset) ฉนวนรองรับและระยะยึดต้องออกแบบให้รับแรงนี้

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์