อนุพันธ์ (Differential Calculus): นิยาม สูตร และวิธีทำทีละขั้น

1. D1Derivativeนิยามอนุพันธ์
   $$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
2. D2Tangent lineสมการเส้นสัมผัส
   $$y = f(a) + f'(a)(x - a)$$
3. D3Differentiabilityหาอนุพันธ์ได้ ⇒ ต่อเนื่อง
   $$f'(a) \text{ มีค่า} \Rightarrow f \text{ ต่อเนื่องที่ } a\quad(\text{กลับกันไม่จริง: } |x| \text{ ที่ } 0)$$
4. D4Constant ruleค่าคงที่
   $$\frac{d}{dx}c = 0$$
5. D5Power ruleกฎยกกำลัง
   $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1},\quad n \in \mathbb{R}$$
6. D6Linearityผลบวกและตัวคูณ
   $$(af + bg)' = af' + bg'$$
7. D7Product ruleผลคูณ
   $$(uv)' = u'v + uv'$$
8. D8Quotient ruleผลหาร
   $$\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
9. D9Chain ruleกฎลูกโซ่
   $$\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\,g'(x),\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$
10. D10Natural exponential
    $$\frac{d}{dx}e^x = e^x,\qquad \frac{d}{dx}e^{ax} = ae^{ax}$$
11. D11General exponential
    $$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$$
12. D12Natural logarithm
    $$\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac1x$$
13. D13Logarithm base a
    $$\frac{d}{dx}\log_ax = \frac{1}{x\ln a}$$
14. D14sin, cos
    $$(\sin x)' = \cos x,\qquad (\cos x)' = -\sin x$$
15. D15tan, cot
    $$(\tan x)' = \sec^2x,\qquad (\cot x)' = -\csc^2x$$
16. D16sec, csc
    $$(\sec x)' = \sec x\tan x,\qquad (\csc x)' = -\csc x\cot x$$
17. D17arcsin, arccos
    $$(\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\cos^{-1}x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
18. D18arctan, arccot
    $$(\tan^{-1}x)' = \frac{1}{1+x^2},\qquad (\cot^{-1}x)' = -\frac{1}{1+x^2}$$
19. D19Hyperbolic
    $$(\sinh x)' = \cosh x,\qquad (\cosh x)' = \sinh x$$
20. D20Implicit differentiationอนุพันธ์โดยปริยาย
    $$F(x, y) = 0 \Rightarrow \text{หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบ } x \text{ โดยถือ } y = y(x)$$
21. D21Logarithmic differentiationใส่ ln ก่อนหาอนุพันธ์
    $$y = f(x)^{g(x)} \Rightarrow \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\big[g\ln f\big]$$
22. D22Higher derivativesอนุพันธ์อันดับสูง
    $$f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2},\quad f^{(n)}(x) = \frac{d^ny}{dx^n}$$
23. D23Parametric curvesอิงพารามิเตอร์
    $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt},\qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$
24. D24Critical pointsจุดวิกฤต
    $$f'(c) = 0 \text{ หรือ } f'(c) \text{ ไม่นิยาม}$$
25. D25First derivative test
    $$f': +\to- \Rightarrow \text{สูงสุด},\qquad -\to+ \Rightarrow \text{ต่ำสุด}$$
26. D26Second derivative test
    $$f'(c) = 0:\ f''(c) < 0 \Rightarrow \text{สูงสุด},\ f''(c) > 0 \Rightarrow \text{ต่ำสุด}$$
27. D27Concavity & inflectionความเว้า
    $$f'' > 0 \text{ เว้าขึ้น},\ f'' < 0 \text{ เว้าลง},\ f'' \text{ เปลี่ยนเครื่องหมาย} \Rightarrow \text{จุดเปลี่ยนเว้า}$$
28. D28Closed-interval methodค่าสุดขีดสัมบูรณ์บน [a, b]
    $$\max_{[a,b]}f = \max\{f(a),\ f(b),\ f(c_1),\ \dots\},\quad c_i = \text{จุดวิกฤตใน } (a, b)$$
29. D29Mean value theoremทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
    $$\exists c \in (a, b):\ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
30. D30Linearizationการประมาณเชิงเส้น
    $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$
31. D31Differentials & error propagationการแพร่ของความคลาดเคลื่อน
    $$dy = f'(x)\,dx,\qquad y = kx^n \Rightarrow \frac{dy}{y} = n\frac{dx}{x}$$
32. D32Newton–Raphson iteration
    $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
33. A1Capacitorตัวเก็บประจุ
    $$i_C = C\frac{dv_C}{dt}$$
34. A2Inductorตัวเหนี่ยวนำ
    $$v_L = L\frac{di_L}{dt}$$
35. A3Faraday's lawกฎของฟาราเดย์
    $$e = -N\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\lambda}{dt}$$
36. A4Maximum power transferถ่ายโอนกำลังสูงสุด
    $$P = \frac{V_s^2R_L}{(R_s + R_L)^2},\quad \frac{dP}{dR_L} = 0 \Rightarrow R_L = R_s,\ P_{\max} = \frac{V_s^2}{4R_s}$$
37. A5Small-signal resistanceความต้านทานพลวัต
    $$r_d = \frac{dV_D}{dI_D} = \frac{nV_T}{I_D}$$
38. A6Sensitivityความไว
    $$S_x^y = \frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{x}{y} \approx \frac{\Delta y/y}{\Delta x/x}$$
39. A7Kinematicsจลนศาสตร์
    $$v = \frac{dx}{dt},\quad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2},\quad a = v\frac{dv}{dx}$$
40. A8Slider–crankข้อเหวี่ยง-ก้านสูบ
    $$x(\theta) = r\cos\theta + \sqrt{l^2 - r^2\sin^2\theta},\quad v = \omega\frac{dx}{d\theta},\quad a \approx -r\omega^2\left(\cos\theta + \frac rl\cos2\theta\right)$$
41. A9Newton's second law
    $$F = \frac{dp}{dt} = m\frac{dv}{dt}\ (m \text{ คงที่})$$
42. A10Fourier's lawการนำความร้อน
    $$q = -k\frac{dT}{dx}\ \ (\text{W/m}^2)$$
43. A11Motor powerกำลังของมอเตอร์ DC
    $$T = T_0\left(1 - \frac{\omega}{\omega_0}\right),\ P = T\omega \Rightarrow P_{\max} = \frac{T_0\omega_0}{4}\ \text{ที่ } \omega = \frac{\omega_0}{2}$$
44. A12Beam relationsความสัมพันธ์ของคาน
    $$\frac{dV}{dx} = -w(x),\qquad \frac{dM}{dx} = V(x),\qquad \theta = \frac{dy}{dx},\qquad EI\frac{d^2y}{dx^2} = M(x)$$
45. A13Vertical curveโค้งทางดิ่งแบบพาราโบลา
    $$y = g_1x + \frac{g_2 - g_1}{2L}x^2,\quad y' = 0 \Rightarrow x = \frac{g_1L}{g_1 - g_2}$$
46. A14Best rectangular channelหน้าตัดรางน้ำดีที่สุด
    $$P = \frac{A}{y} + 2y,\quad \frac{dP}{dy} = 0 \Rightarrow b = 2y$$

ไม่พบสูตรที่ตรงกัน ลองพิมพ์คำอื่น หรือใช้ภาษาอังกฤษ เช่น inverse, determinant, eigenvalue