ฝึกวาดรูทโลคัสด้วยมือ: ทีละขั้นจนคล่อง

1. ขั้ว $-1, -3$ ไม่มีศูนย์ · ส่วนแกนจริง: $[-3, -1]$ (ทางขวามี 1 ตัว)

2. $n - m = 2$: $\theta_a = \pm90^\circ$, $\sigma_a = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2$

3. จุดแยก: $\dfrac{1}{\sigma + 1} + \dfrac{1}{\sigma + 3} = 0 \Rightarrow \sigma = -2$ ($K = 1 \cdot 1 = 1$)

4. ไม่ตัดแกน $j\omega$ ($s^2 + 4s + 3 + K$ สัมประสิทธิ์บวกเสมอ)

สองกิ่งวิ่งเข้าหากันบนแกนจริง ชนที่ $-2$ เมื่อ $K = 1$ แล้วแยกขึ้นลงเป็นเส้นดิ่ง ขั้ววงปิดคือ $-2 \pm j\sqrt{K - 1}$

ข้อสังเกตสำคัญ: ส่วนจริงคงที่ $-2$ ทุก $K \gt 1$ แปลว่าเวลาเข้าที่ $t_s \approx 4/2 = 2$ sไม่ดีขึ้นเลยเมื่อเพิ่มเกน มีแต่แกว่งเร็วขึ้นและ overshoot มากขึ้น ตัวควบคุม P จึงมีขีดจำกัด

1. ขั้ว $0, -1$ ศูนย์ $-3$ · ส่วนแกนจริง: $[-1, 0]$ และ $(-\infty, -3]$ · $n - m = 1$ กิ่งเดียวไปอนันต์ที่ $180^\circ$

2. วงกลม W2: $r = \sqrt{3 \times 2} = \sqrt6 = 2.449$ รอบ $-3$

3. จุดแยก $-3 + \sqrt6 = -0.551$ ($K = 0.101$) · จุดเข้า $-3 - \sqrt6 = -5.449$ ($K = 9.899$)

สองกิ่งแยกที่ −0.551 วนตามวงกลมรอบศูนย์ แล้วกลับเข้าแกนจริงที่ −5.449 กิ่งหนึ่งไปหาศูนย์ −3 อีกกิ่งไป −∞ เสถียรทุก $K \gt 0$

เทียบกับ W-1: ศูนย์ดึงโลคัสไปทางซ้ายและโค้งกลับเข้าแกนจริง เกนสูงจึงไม่แกว่งอีกต่อไป นี่คือพลังของศูนย์ (PD, lead) · $\zeta$ ต่ำสุดอยู่ที่จุดสัมผัสวงกลมกับเส้นจากจุดกำเนิด: $\sin\theta = \sqrt6/3 \Rightarrow \zeta_{min} = \sqrt{1 - 6/9} = 0.577$

1. ขั้ว $0,\ -1 \pm j$ · แกนจริง: $(-\infty, 0]$ ทั้งเส้น (ทางขวามีขั้วจริงตัวเดียว คู่เชิงซ้อนไม่นับ)

2. $n - m = 3$: $\theta_a = \pm60^\circ, 180^\circ$ · $\sigma_a = \dfrac{0 + (-1) + (-1)}{3} = -\tfrac23$

3. จุดแยก: $\dfrac{dK}{ds} = -(3s^2 + 4s + 2) = 0 \Rightarrow s = \dfrac{-2 \pm j\sqrt2}{3}$ เชิงซ้อนและไม่ผ่านเงื่อนไขมุม จึงไม่มีจุดแยก

4. ตัด $j\omega$: $s^3 + 2s^2 + 2s + K$ สูตรลัด $2 \cdot 2 \gt K \Rightarrow K_{cr} = 4$ · $2s^2 + 4 = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt2$

5. มุมออกจาก $-1 + j$: $180^\circ - (135^\circ + 90^\circ) = -45^\circ$ (จากตัวอย่าง L-2)

กิ่งจากขั้วเชิงซ้อนออกที่ $-45^\circ$ โค้งเข้าหาเส้นกำกับ $\pm60^\circ$ ตัดแกน $j\omega$ ที่ $\pm j\sqrt2$ เมื่อ $K = 4$ · กิ่งจาก 0 วิ่งไปทางซ้ายตลอดแกนจริง

ถ้าคำนวณมุมออกผิดเป็น $+45^\circ$ กิ่งจะวิ่งขึ้นซ้ายผิดทิศ ทั้งที่จุดตัดแกนถูก มุมออกจึงจำเป็นสำหรับรูปที่ถูก

1. ขั้ว $-1 \pm j\sqrt2$ ($\pm j1.414$) ศูนย์ $-2$ · แกนจริง: $(-\infty, -2]$ · $n - m = 1$

2. มุมออกจาก $p = -1 + j\sqrt2$: มุมจากศูนย์ $\angle(1 + j\sqrt2) = 54.7^\circ$ มุมจากขั้วคู่ $90^\circ$

   $$\theta_d = 180^\circ - 90^\circ + 54.7^\circ = \hlC{144.7^\circ}$$

3. จุดเข้า: $K = -\dfrac{s^2 + 2s + 3}{s + 2}$, $\dfrac{dK}{ds} = 0 \Rightarrow s^2 + 4s + 1 = 0 \Rightarrow s = -2 \pm \sqrt3$ ใช้ $-3.732$ (อยู่บนโลคัส $K = 5.46$) ทิ้ง $-0.268$

กิ่งออกจากขั้วเชิงซ้อนที่ $144.7^\circ$ โค้งเป็นวงกลมรัศมี $\sqrt3$ รอบศูนย์ $-2$ เข้าแกนจริงที่ $-3.732$ แล้วกิ่งหนึ่งไปหา $-2$ อีกกิ่งไป $-\infty$

รัศมี = ระยะจากศูนย์ถึงขั้ว $|-1 + j\sqrt2 + 2| = \sqrt{1 + 2} = \sqrt3$ ✓ และ $-2 - \sqrt3 = -3.732$ ✓

1. ขั้ว $0, -4, -2 \pm j4$ · แกนจริง: $[-4, 0]$ · $n - m = 4$: $\theta_a = \pm45^\circ, \pm135^\circ$ · $\sigma_a = \dfrac{0 - 4 - 2 - 2}{4} = -2$

2. $K = -(s^4 + 8s^3 + 36s^2 + 80s)$ · $\dfrac{dK}{ds} = -4(s^3 + 6s^2 + 18s + 20) = 0$

   $$(s + 2)(s^2 + 4s + 10) = 0 \ \Rightarrow\ s = -2,\ \ -2 \pm j\sqrt6$$

   $s = -2$: $K = 64$ ✓ · $s = -2 \pm j2.449$: แทนแล้วได้ $K = 100$ เป็นจำนวนจริงบวก ✓ อยู่บนโลคัสทั้งสามจุด

3. มุมออกจาก $-2 + j4$: จาก 0 คือ $116.6^\circ$ จาก −4 คือ $63.4^\circ$ จาก $-2 - j4$ คือ $90^\circ$

   $$\theta_d = 180^\circ - (116.6^\circ + 63.4^\circ + 90^\circ) = -90^\circ$$

4. Routh ของ $s^4 + 8s^3 + 36s^2 + 80s + K$: แถว $s^2$: $26,\ K$ · แถว $s^1$: $\dfrac{2080 - 8K}{26}$ ได้ $K_{cr} = 260$ · $26\omega^2 = 260 \Rightarrow \omega = \sqrt{10} = 3.162$

กิ่งจากขั้วเชิงซ้อนพุ่งลงตรง ($-90^\circ$) มาชนกันที่ $-2 \pm j2.45$ เมื่อ $K = 100$ ส่วนกิ่งจาก 0 และ −4 ชนกันที่ −2 เมื่อ $K = 64$ แล้วแยกขึ้นลงตามเส้น $\sigma = -2$ ไปพบกิ่งเชิงซ้อน จากนั้นทั้งสี่กิ่งแยกไปตามเส้นกำกับ ตัดแกน $j\omega$ ที่ $\pm j3.162$ เมื่อ $K = 260$

โจทย์นี้ (จากตำรา Ogata) หลอกคนที่ใช้เฉพาะรากจริงของ $dK/ds$ · ขั้วทั้งสี่สมมาตรรอบ $\sigma = -2$ โลคัสจึงสมมาตรรอบเส้นนั้นด้วย

1. ขั้ว $0, 0, -9$ ศูนย์ $-1$ · แกนจริง: $[-9, -1]$ (ช่วง $(-1, 0)$ มีขั้วทางขวา 2 ตัว ไม่ใช่)

2. ขั้วคู่ที่ 0: มุมจากศูนย์และขั้ว −9 เป็น $0^\circ$ ได้ $2\theta_d = 180^\circ \Rightarrow \theta_d = \pm90^\circ$ W3

3. $n - m = 2$: $\pm90^\circ$ · $\sigma_a = \dfrac{-9 - (-1)}{2} = -4$

4. $\dfrac{dK}{ds} = 0 \Rightarrow 2s(s + 3)^2 = 0$ ได้ $s = -3$ รากซ้ำ ($K = 27$) สามกิ่งพบกันพร้อมกัน

สองกิ่งออกจากจุดกำเนิดขึ้นลง โค้งวนมาพบกับกิ่งจาก −9 ที่ −3 พร้อมกันเมื่อ $K = 27$ (ขั้ววงปิดซ้ำสามตัว) แล้วแยกเป็นหนึ่งกิ่งไปหาศูนย์ −1 และสองกิ่งไปตามเส้นกำกับ $\sigma = -4$

ตรวจ: $s^3 + 9s^2 + 27s + 27 = (s + 3)^3$ ✓ ที่ $K = 27$ · ระบบ type 2 แบบนี้พบในเซอร์โวที่ต้องติดตามความเร็วคงที่ได้ไม่มีความผิดพลาด

1. แกนจริง: $[-2, -1]$ และ $[-4, -3]$ · $\theta_a = \pm45^\circ, \pm135^\circ$ · $\sigma_a = -10/4 = -2.5$

2. $\dfrac{dK}{ds} = 0$: $4s^3 + 30s^2 + 70s + 50 = 0 \Rightarrow s = -2.5,\ -2.5 \pm \tfrac{\sqrt5}{2}$ ใช้ $-1.382$ และ $-3.618$ (ทั้งคู่ $K = 1$) ทิ้ง $-2.5$ (ไม่อยู่บนโลคัส)

3. Routh ของ $s^4 + 10s^3 + 35s^2 + 50s + (24 + K)$: $K_{cr} = 126$, $\omega = \sqrt5 = 2.236$

สองคู่ชนกันที่ −1.382 และ −3.618 พร้อมกันที่ $K = 1$ แยกออกไปตามเส้นกำกับ คู่ขวาตัดแกน $j\omega$ ที่ $\pm j2.236$ เมื่อ $K = 126$