// บทที่ 13.2 · ระบบควบคุม · Mathematical Modeling

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์: วงจรไฟฟ้า มอเตอร์ กลไก ความร้อน

ตัวควบคุมจะดีได้เท่ากับแบบจำลองที่ใช้ออกแบบ หน้านี้เปลี่ยนกฎฟิสิกส์ (KVL, KCL, นิวตัน, สมดุลพลังงาน) ให้เป็นฟังก์ชันถ่ายโอน เริ่มจากวงจรไฟฟ้าที่นักศึกษาไฟฟ้าถนัดที่สุด แล้วใช้ความคล้ายเชิงอุปมาข้ามไปกลไก ความร้อน และของไหล จนถึงมอเตอร์ DC ซึ่งเป็นหัวใจของเมคาทรอนิกส์และหุ่นยนต์ สูตรใช้รหัส M

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 12 ต.ค. 2569

สรุปใน 30 วินาที

ฟังก์ชันถ่ายโอน = $Y(s)/U(s)$ ที่เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ · วงจรใช้อิมพีแดนซ์ $R,\ sL,\ 1/(sC)$ แล้ววิเคราะห์เหมือน DC
RLC อนุกรม: $\omega_n = 1/\sqrt{LC}$ , $\zeta = \frac R2\sqrt{C/L}$ · มอเตอร์ DC (ความเร็ว): $\frac{K}{\tau s + 1}$ · (ตำแหน่ง): $\frac{K}{s(\tau s + 1)}$
มวล ↔ ตัวเหนี่ยวนำ, สปริง ↔ ตัวเก็บประจุ, แดมเปอร์ ↔ ตัวต้านทาน
ระบบไม่เชิงเส้น: ทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงานด้วยอนุกรมเทย์เลอร์

ฟังก์ชันถ่ายโอนและวิธีอิมพีแดนซ์ พื้นฐาน

M1 Transfer function ฟังก์ชันถ่ายโอน

a_n y^{(n)} + \cdots + a_1\dot y + a_0y = b_mu^{(m)} + \cdots + b_0u \ \xrightarrow{\ \mathcal L,\ \text{IC} = 0\ }\ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_0}

รากตัวส่วน = ขั้ว (poles) · รากตัวเศษ = ศูนย์ (zeros) · $n$ = อันดับของระบบ · ระบบจริงเกือบทั้งหมด proper ( $m \le n$ )

M2 Impedance method วิธีอิมพีแดนซ์ในโดเมน s

Z_R = R, \quad Z_L = sL, \quad Z_C = \frac{1}{sC}, \qquad \frac{V_o}{V_i} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \ \text{(ตัวแบ่งแรงดัน)}

ใช้ KVL KCL โนด เมช เหมือนวงจร DC ทุกประการ (ดูประยุกต์พีชคณิตเชิงเส้นกับวงจร) · ไม่ต้องเขียนสมการเชิงอนุพันธ์

วงจรไฟฟ้า พื้นฐาน

M3 RC low-pass วงจร RC

\frac{V_C}{V_i} = \frac{1/(sC)}{R + 1/(sC)} = \frac{1}{RCs + 1}

ระบบอันดับหนึ่ง $\tau = RC$ ขั้วที่ $-1/RC$ · ดูแล็บระบบอันดับหนึ่ง

M4 Series RLC วงจร RLC อนุกรม (เอาต์พุตที่ C)

\frac{V_C}{V_i} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}, \quad \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \zeta = \frac R2\sqrt{\frac CL}

ดูแล็บระบบอันดับสอง · LC ฟิลเตอร์ของบั๊กคอนเวอร์เตอร์คือวงจรนี้

M5 Inverting op-amp ออปแอมป์อินเวอร์ติง

\frac{V_o}{V_i} = -\frac{Z_f(s)}{Z_i(s)} \qquad \text{เช่น } Z_f = \frac{1}{sC},\ Z_i = R:\ -\frac{1}{RCs} \ (\text{อินทิเกรเตอร์})

เครื่องมือสร้างตัวควบคุมแบบแอนะล็อก: PID, lead/lag · ดูแล็บออปแอมป์

ตัวอย่าง M-1 · RLC จริง

วงจร RLC อนุกรม $R = 10\ \Omega,\ L = 10\ \text{mH},\ C = 100\ \mu\text{F}$ หาฟังก์ชันถ่ายโอนไปที่แรงดันตัวเก็บประจุ $\omega_n$ และ $\zeta$

$LC = 10^{-2} \times 10^{-4} = 10^{-6}$ , $RC = 10^{-3}$ M4
$G(s) = \frac{1}{10^{-6}s^2 + 10^{-3}s + 1} = \frac{10^6}{s^2 + 1000s + 10^6}$
$\omega_n = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000$ rad/s (159 Hz) · $\zeta = 5\sqrt{10^{-4}/10^{-2}} = 0.5$

$\omega_n = 1000$ rad/s, $\zeta = 0.5$ : ตอบสนองขั้นบันไดพุ่งเกิน 16.3% ที่เวลา $t_p = \pi/(1000\sqrt{0.75}) = 3.6$ ms

มอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรง: หัวใจของเมคาทรอนิกส์ กลาง

มอเตอร์ DC ที่ควบคุมด้วยแรงดันอาร์เมเจอร์ $v$ มีสองโลกเชื่อมกัน: วงจรไฟฟ้า ( $R, L$ , แรงเคลื่อนไฟฟ้าต้าน $K_e\omega$ ) และกลไก ( $J, b$ , แรงบิด $K_ti$ ) ในหน่วย SI $K_t = K_e = K$

M6 DC motor equations สมการมอเตอร์ DC

v = Ri + L\frac{di}{dt} + K_e\omega, \qquad J\frac{d\omega}{dt} + b\omega = K_ti - T_L \ \Rightarrow\ \frac{\Omega(s)}{V(s)} = \frac{K_t}{(Js + b)(Ls + R) + K_tK_e}

$T_L$ = แรงบิดโหลด (การรบกวน) · ตำแหน่ง $\theta = \omega/s$ จึงมีอินทิเกรเตอร์เพิ่มหนึ่งตัว

M7 Simplified motor model แบบจำลองอย่างง่าย ( $L/R \ll \tau_m$ )

\frac{\Omega}{V} \approx \frac{K_m}{\tau_ms + 1}, \qquad \frac{\Theta}{V} \approx \frac{K_m}{s(\tau_ms + 1)}, \qquad K_m = \frac{K_t}{Rb + K_tK_e}, \quad \tau_m = \frac{RJ}{Rb + K_tK_e}

นี่คือพลานต์ $\frac{K}{s(s+a)}$ ที่เห็นในรูทโลคัสและ PD ทั้งชุด · ใส่เกียร์ $N$ : ความเฉื่อยโหลดสะท้อนมาเป็น $J_L/N^2$ M10

ตัวอย่าง M-2 · มอเตอร์ DC ขนาดเล็ก

มอเตอร์มี $R = 2\ \Omega,\ L = 1\ \text{mH},\ J = 10^{-5}\ \text{kg\,m}^2,\ b = 10^{-6}\ \text{N\,m\,s},\ K_t = K_e = 0.02$ หาแบบจำลองความเร็ว

แบบเต็ม M6: $(10^{-5}s + 10^{-6})(10^{-3}s + 2) + 4\times10^{-4} = 10^{-8}s^2 + 2.0\times10^{-5}s + 4.02\times10^{-4}$

ขั้วที่ $-20.3$ (กลไก) และ $-1980$ (ไฟฟ้า) ห่างกันเกือบ 100 เท่า
แบบย่อ M7: $Rb + K^2 = 2\times10^{-6} + 4\times10^{-4} = 4.02\times10^{-4}$
$K_m = \frac{0.02}{4.02\times10^{-4}} = 49.8\ \tfrac{\text{rad/s}}{\text{V}}, \quad \tau_m = \frac{2\times10^{-5}}{4.02\times10^{-4}} = 0.0498\ \text{s}$

$\dfrac{\Omega}{V} \approx \dfrac{49.8}{0.0498s + 1}$ (ประมาณ 475 rpm ต่อโวลต์ ถึง 63% ของความเร็วสุดท้ายใน 50 ms) · ขั้วไฟฟ้าที่ −1980 ตัดทิ้งได้สำหรับลูปความเร็ว แต่ต้องใช้เมื่อออกแบบลูปกระแส

กลไก ความร้อน ของไหล และความคล้ายเชิงอุปมา พื้นฐาน

M8 Mass–spring–damper มวล-สปริง-ดัมเปอร์

m\ddot x + b\dot x + kx = f \ \Rightarrow\ \frac{X}{F} = \frac{1}{ms^2 + bs + k}

$\omega_n = \sqrt{k/m}$ , $\zeta = \frac{b}{2\sqrt{km}}$ · ระบบหมุน: $J\ddot\theta + b\dot\theta + k\theta = T$

M9 Thermal system ระบบความร้อน

C_t\frac{d\theta}{dt} = q - \frac{\theta}{R_t} \ \Rightarrow\ \frac{\Theta}{Q} = \frac{R_t}{R_tC_ts + 1}

$\theta$ = อุณหภูมิเหนือแวดล้อม · $C_t$ (J/K) $R_t$ (K/W) · วงจร RC เป๊ะ · ระดับน้ำในถัง: $A\dot h = q_{in} - h/R$ รูปเดียวกัน

M10 Gear train ชุดเกียร์ทด $N$ (มอเตอร์หมุนเร็วกว่า $N$ เท่า)

\omega_L = \frac{\omega_m}{N}, \quad T_L = NT_m, \quad J_{eq} = J_m + \frac{J_L}{N^2}, \quad b_{eq} = b_m + \frac{b_L}{N^2}

เกียร์ทดสูงทำให้โหลดหนัก ๆ “ดูเบา” สำหรับมอเตอร์ เหตุผลที่หุ่นยนต์ใช้ harmonic drive

M11 Force–voltage analogy ความคล้ายแรง-แรงดัน

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{ไฟฟ้า} & v & i & L & R & \tfrac1C \\ \hline \text{กลไกเลื่อนที่} & f & \dot x & m & b & k \\ \text{กลไกหมุน} & T & \omega & J & b & k \\ \text{ความร้อน} & \theta & q & - & R_t & \tfrac{1}{C_t} \end{array}

$L\frac{di}{dt} + Ri + \frac1C\int i\,dt = v$ ↔ $m\ddot x + b\dot x + kx = f$ · ทุกอย่างที่รู้เรื่องวงจร RLC ใช้กับกลไกได้ทันที

ตัวอย่าง M-3 · เตาอบ

เตาอบมีความจุความร้อน $C_t = 500$ J/K ความต้านทานความร้อนต่อห้อง $R_t = 0.2$ K/W ฮีตเตอร์ 1 kW จะร้อนขึ้นเท่าไร และใช้เวลานานเท่าไร

M9: $G(s) = \dfrac{0.2}{100s + 1}$ (K/W) · $\tau = 0.2 \times 500 = 100$ s
สุดท้าย: $0.2 \times 1000 = 200$ K เหนือห้อง · ถึง 98% ใน $4\tau = 400$ s

ร้อนขึ้น 200 °C ใช้เวลาเกือบ 7 นาที · เตาจริงมีหน่วงเวลาจากตำแหน่งเซนเซอร์ด้วย จึงนิยมประมาณเป็น $\frac{Ke^{-Ls}}{Ts + 1}$ ในการจูน PID

ทำให้เป็นเชิงเส้น: ลูกตุ้มกลับหัว กลาง

M12 Linearization การทำให้เป็นเชิงเส้นรอบจุดทำงาน

\dot x = f(x, u) \ \Rightarrow\ \delta\dot x \approx \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0}\delta x + \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{0}\delta u

ใช้ได้รอบจุดสมดุล $(x_0, u_0)$ ที่ $f(x_0, u_0) = 0$ · หลักเดียวกับ “แบบจำลองสัญญาณเล็ก” ของทรานซิสเตอร์และตัวแปลงกำลัง

ตัวอย่าง M-4 · ลูกตุ้มกลับหัว

ลูกตุ้มยาว $l = 0.5$ m ตั้งตรงบนข้อต่อที่มีมอเตอร์ $ml^2\ddot\theta = mgl\sin\theta + \tau$ หาแบบจำลองเชิงเส้นรอบ $\theta = 0$ (ตั้งตรง)

รอบ $\theta = 0$ : $\sin\theta \approx \theta$ M12 ได้ $\ddot\theta = \frac gl\theta + \frac{\tau}{ml^2}$
$\dfrac{\Theta}{T} = \dfrac{1/(ml^2)}{s^2 - g/l}$ ขั้วที่ $s = \pm\sqrt{g/l} = \pm\sqrt{19.62} = \pm4.43$

มีขั้วฝั่งขวาที่ $+4.43$ : ล้มเองด้วยค่าคงเวลา ~0.23 s ต้องใช้การป้อนกลับที่เร็วกว่านั้นมาก (ดู R-6 ในเราท์ และหุ่นยนต์ทรงตัวในโรโบติกส์) · ไม้ยาวทรงตัวบนมือง่ายกว่าไม้สั้น เพราะ $\sqrt{g/l}$ เล็กกว่า

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ระบบจริงประกอบจากหลายบล็อก (ตัวขับ พลานต์ เซนเซอร์ ตัวควบคุม) ไปต่อที่บล็อกไดอะแกรมเพื่อรวมทั้งหมดเป็นฟังก์ชันเดียว ส่วนแบบจำลองหลายตัวแปรในรูปเมทริกซ์อยู่ที่ปริภูมิสถานะ

คำถามที่พบบ่อย

ทำไมฟังก์ชันถ่ายโอนต้องสมมติเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์?

เพราะฟังก์ชันถ่ายโอนนิยามเป็นอัตราส่วน Y(s)/U(s) ซึ่งต้องไม่ขึ้นกับสถานะเริ่มต้น ผลของเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นพจน์แยกที่บวกเข้ามาภายหลัง (ผลตอบสนองอิสระ) ส่วนแบบจำลองปริภูมิสถานะรวมเงื่อนไขเริ่มต้นไว้ได้โดยตรง

แบบจำลองมอเตอร์ DC ตัดตัวเหนี่ยวนำทิ้งได้เมื่อไร?

เมื่อค่าคงเวลาทางไฟฟ้า L/R เล็กกว่าค่าคงเวลาทางกลมาก (ปกติต่างกัน 10 เท่าขึ้นไป) ซึ่งจริงกับมอเตอร์ส่วนใหญ่ แบบจำลองจะลดเป็นอันดับหนึ่งสำหรับความเร็ว แต่ถ้าออกแบบลูปกระแสหรือลูปที่เร็วมาก ต้องเก็บ L ไว้

การทำให้เป็นเชิงเส้นใช้ได้แค่ไหน?

ใช้ได้ดีเมื่อระบบทำงานใกล้จุดทำงาน (operating point) เช่น ลูกตุ้มเอียงไม่เกินประมาณ 15–20 องศา sin θ ≈ θ คลาดไม่ถึง 2% ถ้าระบบออกห่างจากจุดนั้นมาก ต้องใช้แบบจำลองไม่เชิงเส้น หรือหลายแบบจำลองสลับกัน (gain scheduling)

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์