พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. ลำดับและอนุกรม
  4. การทดสอบการลู่เข้า

// บทที่ 26.3 · ลำดับและอนุกรม · Convergence Tests

การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม (Convergence Tests): พจน์ที่ n ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน ราก และผังเลือกใช้

อนุกรมส่วนใหญ่หาผลบวกเป็นสูตรไม่ได้ แต่วิศวกรยังต้องรู้ว่าบวกแล้ว “จำกัด” หรือไม่ ก่อนนำไปคำนวณ หน้านี้รวบรวมการทดสอบสำหรับอนุกรมพจน์บวกทุกแบบที่ใช้ในแคลคูลัส 2 และคณิตศาสตร์วิศวกรรม พร้อมผังตัดสินใจที่บอกว่าเห็นรูปแบบไหนควรใช้อะไร และเกมฝึกให้มองเป็นภายในไม่กี่วินาที ส่วนอนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับอยู่ในหน้าอนุกรมสลับ

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
ผังเลือกการทดสอบ ปริพันธ์ เปรียบเทียบ อัตราส่วน · ราก เกมฝึก 40 ข้อ
สรุปใน 30 วินาที
  • an↛0a_n \not\to 0 ⇒ ลู่ออก · เรขาคณิต ∣r∣<1|r| < 1 · อนุกรม p p>1p > 1
  • เศษส่วนพหุนาม: เทียบลิมิตกับ 1/np1/n^{p} โดย pp = (ดีกรีล่าง − ดีกรีบน)
  • อัตราส่วน ρ=lim⁡∣an+1/an∣\rho = \lim|a_{n+1}/a_n| · ราก ρ=lim⁡∣an∣n\rho = \lim\sqrt[n]{|a_n|}: ρ<1\rho < 1 ลู่เข้า, ρ>1\rho > 1 ลู่ออก, ρ=1\rho = 1 สรุปไม่ได้
  • ปริพันธ์: f บวก ต่อเนื่อง ลดลง ⇒ ∑f(n)\sum f(n) กับ ∫f\int f ไปทางเดียวกัน และให้ขอบเขตเศษเหลือ
ระดับพื้นฐาน ใช้ได้ทุกคนกลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง กรณีที่การทดสอบปกติสรุปไม่ได้

ผังเลือกการทดสอบ: เห็นรูปแบบไหน ใช้อะไร พื้นฐาน

ทักษะที่ข้อสอบวัดจริงไม่ใช่การจำทฤษฎีบท แต่คือการมองพจน์ ana_n แล้วรู้ว่าควรใช้เครื่องมือไหน ผังนี้เรียงจากการทดสอบที่เร็วที่สุดไปหาที่ใช้แรงมากที่สุด ทำตามลำดับแล้วจะไม่เสียเวลาลองผิดลองถูก

aₙ → 0 ?ไม่ → ลู่ออกใช่เรขาคณิต / อนุกรม p ?|r| < 1 · p > 1ใช่ไม่แยกเศษส่วนย่อยได้ ?กล้องส่องทางไกลใช่ไม่เศษส่วนพหุนาม / ราก ?เปรียบเทียบลิมิต 1/nᵖใช่ไม่มี n!, cⁿ, nⁿ ?อัตราส่วนใช่ไม่ยกกำลัง n ทั้งก้อน ?รากใช่ไม่มี ln / อินทิเกรตง่าย ?ปริพันธ์ใช่ไม่เครื่องหมายสลับ ?Σ|aₙ| ก่อน แล้วไลบ์นิซใช่
ผังตัดสินใจเลือกการทดสอบการลู่เข้า (อ่านจากบนลงล่าง หยุดที่ข้อแรกที่ใช้ได้)
เห็นอะไรในพจน์ใช้การทดสอบตัวอย่าง
พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 (nn+1\tfrac{n}{n+1}, (1+1n)n(1 + \tfrac1n)^n, cos⁡n\cos n)พจน์ที่ n ⇒ ลู่ออก∑nn+1\sum \tfrac{n}{n+1}
arnar^n, cnp\tfrac{c}{n^p}เรขาคณิต · อนุกรม p (จำผล)∑54n\sum \tfrac{5}{4^n}, ∑1n\sum \tfrac{1}{\sqrt n}
แยกเศษส่วนย่อยได้ / ผลต่างของลำดับกล้องส่องทางไกล∑1n(n+1)\sum \tfrac{1}{n(n+1)}
เศษส่วนของพหุนาม ราก (3n+5n3−2\tfrac{3n+5}{n^3-2})เปรียบเทียบแบบลิมิต กับ 1/np1/n^p∑n+1n3−n+2\sum \tfrac{n+1}{n^3 - n + 2}
มี sin, cos ที่มีขอบเขตเปรียบเทียบตรง∑2+sin⁡nn2\sum \tfrac{2 + \sin n}{n^2}
n!n!, cnc^n, nnn^nอัตราส่วน∑n33n\sum \tfrac{n^3}{3^n}
ยกกำลัง n ทั้งก้อน (⋯ )n(\cdots)^nราก∑(2n3n+1)n\sum \left(\tfrac{2n}{3n+1}\right)^n
มี ln⁡n\ln n, หาปริพันธ์ได้ (1nln⁡n\tfrac{1}{n\ln n}, ne−n2ne^{-n^2})ปริพันธ์∑1n(ln⁡n)2\sum \tfrac{1}{n(\ln n)^2}
อัตราส่วน/ราก ได้ 1 แต่มีแฟกทอเรียลราบี · สเตอร์ลิง∑(2n)!(n!)24n\sum \tfrac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}
เครื่องหมายสลับ (−1)n(-1)^nอนุกรมสลับ · ค่าสัมบูรณ์∑(−1)nn\sum \tfrac{(-1)^n}{\sqrt n}

การทดสอบพจน์ที่ n (n-th Term Test) พื้นฐาน

T1 n-th term test for divergence การทดสอบพจน์ที่ n

lim⁡n→∞an≠0 (หรือไม่มีลิมิต) ⟹ ∑an ลู่ออก\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \ \text{(หรือไม่มีลิมิต)} \ \Longrightarrow\ \sum a_n \ \text{ลู่ออก}

ใช้เป็นด่านแรกทุกข้อ ใช้เวลา 5 วินาที · ถ้าได้ an→0a_n \to 0 สรุปไม่ได้ ต้องไปข้อถัดไปในผัง

การทดสอบด้วยปริพันธ์ (Integral Test) และขอบเขตเศษเหลือ กลาง

ถ้าพจน์มาจากฟังก์ชันที่ลดลง ผลบวกของพจน์คือพื้นที่สี่เหลี่ยมกว้าง 1 ซึ่งประกบพื้นที่ใต้กราฟจากทั้งบนและล่าง อนุกรมกับปริพันธ์จึงลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน และยิ่งไปกว่านั้น ปริพันธ์บอกได้ว่าผลบวกจริงอยู่ในช่วงใด

123456700.51xy = f(x)ฟ้า: สูง f(n) อยู่เหนือกราฟส้ม: สูง f(n+1) อยู่ใต้กราฟ
สี่เหลี่ยมสูง f(n+1)f(n+1) อยู่ใต้กราฟ (ส้ม) และสี่เหลี่ยมสูง f(n)f(n) อยู่เหนือกราฟ (ฟ้า) จึงได้ ∑n≥2an≤∫1∞f≤∑n≥1an\sum_{n\ge2} a_n \le \int_1^\infty f \le \sum_{n\ge1} a_n

T2 Integral test การทดสอบด้วยปริพันธ์

an=f(n), f บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ x≥N:∑n=N∞an ลู่เข้า  ⟺  ∫N∞f(x) dx ลู่เข้าa_n = f(n),\ f \text{ บวก ต่อเนื่อง ลดลงเมื่อ } x \ge N:\qquad \sum_{n=N}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \text{ ลู่เข้า}

ตรวจ “ลดลง” ด้วย f′(x)<0f'(x) < 0 · ค่าปริพันธ์ ≠ ผลบวกของอนุกรม · ใช้พิสูจน์อนุกรม p (∫1∞x−pdx\int_1^\infty x^{-p}dx จำกัด ⇔ p>1p > 1)

T3 Remainder estimate ขอบเขตเศษเหลือจากปริพันธ์

∫N+1∞f(x) dx ≤ RN=∑n=N+1∞an ≤ ∫N∞f(x) dx⇒SN+∫N+1∞f≤S≤SN+∫N∞f\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \ \le\ R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \ \le\ \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad S_N + \int_{N+1}^{\infty} f \le S \le S_N + \int_N^{\infty} f

ค่ากลางของช่วงเป็นค่าประมาณที่ดีมากโดยบวกพจน์ไม่กี่ตัว

ตัวอย่าง T-1 · ประมาณผลบวก

ประมาณ ∑n=1∞1n3\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} โดยบวก 10 พจน์ แล้วหาช่วงที่ผลบวกจริงอยู่

  1. S10=1+18+127+⋯+11000=1.1975320S_{10} = 1 + \tfrac18 + \tfrac1{27} + \cdots + \tfrac{1}{1000} = 1.1975320

  2. ∫N∞dxx3=12N2\displaystyle\int_N^{\infty}\frac{dx}{x^3} = \frac{1}{2N^2} ⇒ ขอบล่าง S10+12⋅112=1.2016642S_{10} + \tfrac{1}{2\cdot 11^2} = 1.2016642 · ขอบบน S10+12⋅102=1.2025320S_{10} + \tfrac{1}{2\cdot10^2} = 1.2025320

  3. ค่ากลาง 1.2020981±0.00043391.2020981 \pm 0.0004339 ผลบวกจริง ζ(3)=1.2020569\zeta(3) = 1.2020569 อยู่ในช่วง

1.20166≤S≤1.202531.20166 \le S \le 1.20253 — แม่นถึงทศนิยม 3 ตำแหน่งด้วยพจน์เพียง 10 ตัว ขณะที่ S10S_{10} อย่างเดียวคลาดถึง 0.0045

ตัวอย่าง T-2 · ลู่เข้าหรือลู่ออก

(ก) ∑n=1∞ne−n2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n^2} (ข) ∑n=2∞1nln⁡n\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}

  1. (ก) f(x)=xe−x2f(x) = xe^{-x^2} บวก ต่อเนื่อง และ f′(x)=e−x2(1−2x2)<0f'(x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2) < 0 เมื่อ x≥1x \ge 1 · ∫1∞xe−x2dx=[−12e−x2]1∞=12e\int_1^\infty xe^{-x^2}dx = \left[-\tfrac12 e^{-x^2}\right]_1^\infty = \tfrac{1}{2e} จำกัด ⇒ ลู่เข้า

  2. (ข) แทน u=ln⁡xu = \ln x: ∫2∞dxxln⁡x=∫ln⁡2∞u−1/2du=[2u]ln⁡2∞=∞\int_2^\infty \dfrac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int_{\ln2}^\infty u^{-1/2}du = \left[2\sqrt u\right]_{\ln 2}^{\infty} = \infty ⇒ ลู่ออก

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่ออก — ข้อ (ข) คืออนุกรม ∑1/(n(ln⁡n)p)\sum 1/(n(\ln n)^p) ที่ p=12≤1p = \tfrac12 \le 1

การทดสอบโดยการเปรียบเทียบ (Direct Comparison Test) กลาง

หลักคิดง่ายมาก: ถ้าตัวใหญ่บวกแล้วจำกัด ตัวเล็กก็จำกัด ถ้าตัวเล็กบวกแล้วไม่จำกัด ตัวใหญ่ก็ไม่จำกัด สิ่งที่ต้องระวังคือทิศของอสมการ: เทียบกับตัวใหญ่ที่ลู่ออก หรือตัวเล็กที่ลู่เข้า สรุปอะไรไม่ได้

T4 Direct comparison test การเปรียบเทียบโดยตรง

0≤an≤bn (n≥N):∑bn ลู่เข้า⇒∑an ลู่เข้า;∑an ลู่ออก⇒∑bn ลู่ออก0 \le a_n \le b_n \ (n \ge N):\qquad \sum b_n \text{ ลู่เข้า} \Rightarrow \sum a_n \text{ ลู่เข้า};\qquad \sum a_n \text{ ลู่ออก} \Rightarrow \sum b_n \text{ ลู่ออก}

ตัวเทียบยอดนิยม: 1np\tfrac{1}{n^p}, rnr^n · อสมการช่วย ∣sin⁡x∣≤1|\sin x| \le 1, ln⁡n<n\ln n < \sqrt n, ln⁡n<nϵ\ln n < n^{\epsilon} (n ใหญ่พอ), n!≥2n−1n! \ge 2^{n-1}

ตัวอย่าง T-3 · เปรียบเทียบตรง

(ก) ∑12n+1\sum \dfrac{1}{2^n + 1} (ข) ∑2+sin⁡nn2\sum \dfrac{2 + \sin n}{n^2} (ค) ∑n=2∞1n−1\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n - 1}

  1. (ก) 12n+1<12n\dfrac{1}{2^n + 1} < \dfrac{1}{2^n} และ ∑(1/2)n\sum (1/2)^n ลู่เข้า ⇒ ลู่เข้า

  2. (ข) 0<2+sin⁡nn2≤3n20 < \dfrac{2 + \sin n}{n^2} \le \dfrac{3}{n^2} และ ∑3/n2\sum 3/n^2 ลู่เข้า ⇒ ลู่เข้า

  3. (ค) 1n−1>1n\dfrac{1}{\sqrt n - 1} > \dfrac{1}{\sqrt n} และ ∑1/n\sum 1/\sqrt n ลู่ออก (p = ½) ⇒ ลู่ออก

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่เข้า · (ค) ลู่ออก

การเปรียบเทียบแบบลิมิต (Limit Comparison Test) กลาง

ในทางปฏิบัติ การทดสอบนี้ใช้บ่อยที่สุด เพราะไม่ต้องหาอสมการที่ถูกทิศ ดูแค่ว่าเมื่อ n ใหญ่ พจน์ “ประพฤติเหมือน” อะไร โดยเก็บเฉพาะตัวเด่น (dominant term) ของเศษและส่วน

T5 Limit comparison test การเปรียบเทียบแบบลิมิต

an,bn>0,lim⁡n→∞anbn=c,  0<c<∞ ⇒ ∑an, ∑bn ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกันa_n, b_n > 0,\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = c,\ \ 0 < c < \infty\ \Rightarrow\ \sum a_n,\ \sum b_n \text{ ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน}

c=0c = 0 และ ∑bn\sum b_n ลู่เข้า ⇒ ∑an\sum a_n ลู่เข้า · c=∞c = \infty และ ∑bn\sum b_n ลู่ออก ⇒ ∑an\sum a_n ลู่ออก · เลือก bnb_n = ตัวเด่นบน/ตัวเด่นล่าง

T6 Asymptotic equivalents พจน์ที่สมมูลกันเมื่อ n ใหญ่

sin⁡1n∼1n,1−cos⁡1n∼12n2,ln⁡(1+1n)∼1n,e1/n−1∼1n\sin\tfrac1n \sim \tfrac1n,\quad 1 - \cos\tfrac1n \sim \tfrac{1}{2n^2},\quad \ln\left(1 + \tfrac1n\right) \sim \tfrac1n,\quad e^{1/n} - 1 \sim \tfrac1n

มาจากอนุกรมเทย์เลอร์ พจน์แรก · ใช้คู่กับ T5 ได้ทันที

ตัวอย่าง T-4 · เปรียบเทียบแบบลิมิต

(ก) ∑n+1n3−n+2\sum \dfrac{n+1}{n^3 - n + 2} (ข) ∑1n2+1\sum \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} (ค) ∑sin⁡1n2\sum \sin\dfrac{1}{n^2}

  1. (ก) ตัวเด่น nn3=1n2\tfrac{n}{n^3} = \tfrac{1}{n^2}: lim⁡(n+1)/(n3−n+2)1/n2=lim⁡n3+n2n3−n+2=1\lim \dfrac{(n+1)/(n^3-n+2)}{1/n^2} = \lim\dfrac{n^3 + n^2}{n^3 - n + 2} = 1 ⇒ ลู่เข้าเหมือน ∑1/n2\sum 1/n^2

  2. (ข) n2+1∼n\sqrt{n^2+1} \sim n: lim⁡1/n2+11/n=1\lim \dfrac{1/\sqrt{n^2+1}}{1/n} = 1 ⇒ ลู่ออกเหมือนฮาร์มอนิก

  3. (ค) lim⁡sin⁡(1/n2)1/n2=1\lim \dfrac{\sin(1/n^2)}{1/n^2} = 1 (เพราะ sin⁡uu→1\tfrac{\sin u}{u} \to 1) ⇒ ลู่เข้าเหมือน ∑1/n2\sum 1/n^2

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่ออก · (ค) ลู่เข้า

สูตรลัดสำหรับเศษส่วนของพหุนามถ้า an=P(n)Q(n)a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)} โดย P ดีกรี p และ Q ดีกรี q แล้ว an∼Cnq−pa_n \sim \dfrac{C}{n^{q-p}} อนุกรมลู่เข้า ⇔ q−p>1q - p > 1 (ดีกรีล่างมากกว่าบนอย่างน้อย 2) · รากนับดีกรีครึ่ง เช่น n3+1\sqrt{n^3 + 1} มีดีกรี 3/2

การทดสอบอัตราส่วน (Ratio Test) กลาง

ถ้าพจน์ถัดไปเล็กกว่าพจน์ก่อนหน้าด้วยอัตราส่วนเกือบคงที่ ρ\rho อนุกรมก็ประพฤติเหมือนอนุกรมเรขาคณิตอัตราส่วน ρ\rho การทดสอบนี้จึงเก่งกับพจน์ที่มีการคูณซ้ำ เช่น แฟกทอเรียลและเลขยกกำลัง

T7 Ratio test (d'Alembert) การทดสอบอัตราส่วน

ρ=lim⁡n→∞∣an+1an∣:ρ<1⇒ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์,ρ>1 (หรือ ∞)⇒ลู่ออก,ρ=1⇒สรุปไม่ได้\rho = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|:\qquad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \text{ (หรือ } \infty) \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้}

อนุกรม p ทุกตัวให้ ρ=1\rho = 1 จึงใช้ ratio test กับเศษส่วนของพหุนามไม่ได้ · ตัวช่วย (n+1)!n!=n+1\dfrac{(n+1)!}{n!} = n+1, (nn+1)n→1e\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac1e

ตัวอย่าง T-5 · อัตราส่วน

(ก) ∑n33n\sum \dfrac{n^3}{3^n} (ข) ∑(2n)!(n!)2 5n\sum \dfrac{(2n)!}{(n!)^2\,5^n} (ค) ∑nnn!\sum \dfrac{n^n}{n!}

  1. (ก) an+1an=(n+1)33n+1⋅3nn3=13(1+1n)3→13<1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^3}{3^{n+1}}\cdot\dfrac{3^n}{n^3} = \dfrac13\left(1 + \dfrac1n\right)^3 \to \dfrac13 < 1 ⇒ ลู่เข้า

  2. (ข) an+1an=(2n+2)(2n+1)(n+1)2⋅5=2(2n+1)5(n+1)→45<1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2\cdot5} = \dfrac{2(2n+1)}{5(n+1)} \to \dfrac45 < 1 ⇒ ลู่เข้า

  3. (ค) an+1an=(n+1)n+1(n+1)!⋅n!nn=(n+1n)n→e>1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{n^n} = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n \to e > 1 ⇒ ลู่ออก

(ก) ลู่เข้า · (ข) ลู่เข้า · (ค) ลู่ออก

การทดสอบราก (Root Test) กลาง

T8 Root test (Cauchy) การทดสอบราก

ρ=lim⁡n→∞∣an∣n (ทั่วไปใช้ lim sup⁡):ρ<1⇒ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์,ρ>1⇒ลู่ออก,ρ=1⇒สรุปไม่ได้\rho = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\ \left(\text{ทั่วไปใช้ } \limsup\right):\quad \rho < 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์},\quad \rho > 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก},\quad \rho = 1 \Rightarrow \text{สรุปไม่ได้}

เหมาะกับ (⋯ )n(\cdots)^n · ตัวช่วย nn→1\sqrt[n]{n} \to 1, nkn→1\sqrt[n]{n^k} \to 1, cn→1\sqrt[n]{c} \to 1

T9 Ratio vs root อัตราส่วนกับราก

lim⁡∣an+1an∣=L ⇒ lim⁡∣an∣n=L\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L \ \Rightarrow\ \lim\sqrt[n]{|a_n|} = L

รากแข็งแรงกว่า: บางอนุกรมอัตราส่วนแกว่ง (ไม่มีลิมิต) แต่รากยังสรุปได้ เช่น ∑2−n+(−1)n\sum 2^{-n + (-1)^n}

ตัวอย่าง T-6 · ราก

(ก) ∑(2n3n+1)n\sum\left(\dfrac{2n}{3n+1}\right)^n (ข) ∑(1+1n)−n2\sum\left(1 + \dfrac1n\right)^{-n^2}

  1. (ก) ann=2n3n+1→23<1\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{2n}{3n+1} \to \dfrac23 < 1 ⇒ ลู่เข้า

  2. (ข) ann=(1+1n)−n→1e<1\sqrt[n]{a_n} = \left(1 + \dfrac1n\right)^{-n} \to \dfrac1e < 1 ⇒ ลู่เข้า (ใช้อัตราส่วนจะยุ่งกว่ามาก)

ลู่เข้าทั้งคู่

เมื่อการทดสอบปกติได้ 1: ควบแน่นของโคชี ราบี และสเตอร์ลิง ขั้นสูง

ข้อสอบไฟนอลและคณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูงชอบอนุกรมที่ ratio test ได้ 1 พอดี เครื่องมือสามชิ้นนี้ปิดช่องว่างนั้น

T10 Cauchy condensation test การทดสอบควบแน่นของโคชี

an↓0:∑n=1∞an ลู่เข้า  ⟺  ∑k=0∞2ka2k ลู่เข้าa_n \downarrow 0:\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ ลู่เข้า} \iff \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} \text{ ลู่เข้า}

∑1n(ln⁡n)p→∑2k2k(kln⁡2)p=1(ln⁡2)p∑1kp\sum \dfrac{1}{n(\ln n)^p} \to \sum \dfrac{2^k}{2^k (k\ln 2)^p} = \dfrac{1}{(\ln2)^p}\sum\dfrac{1}{k^p} ลู่เข้า ⇔ p>1p > 1

T11 Raabe's test การทดสอบราบี

R=lim⁡n→∞n(anan+1−1):R>1⇒ลู่เข้า,R<1⇒ลู่ออกR = \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right):\quad R > 1 \Rightarrow \text{ลู่เข้า},\quad R < 1 \Rightarrow \text{ลู่ออก}

ใช้เมื่อ ratio test ได้ ρ=1\rho = 1 · อนุกรม p ให้ R=pR = p พอดี จึงเป็นการวัด “p ที่แฝงอยู่”

T12 Stirling's approximation สูตรประมาณของสเตอร์ลิง

n!∼2πn(ne)n,(2nn)∼4nπnn! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\qquad \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}

เปลี่ยนแฟกทอเรียลเป็นกำลัง แล้วใช้ T5 หรือ T1 · 10!=3,628,80010! = 3{,}628{,}800 สูตรให้ 3,598,696 (คลาด 0.8 %)

ตัวอย่าง T-7 · ราบี

∑n=1∞1⋅3⋅5⋯(2n−1)2⋅4⋅6⋯(2n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)} ลู่เข้าหรือไม่

  1. an+1an=2n+12n+2→1\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{2n+1}{2n+2} \to 1 ratio test สรุปไม่ได้

  2. ราบี: n(anan+1−1)=n(2n+22n+1−1)=n2n+1→12<1n\left(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) = n\left(\dfrac{2n+2}{2n+1} - 1\right) = \dfrac{n}{2n+1} \to \dfrac12 < 1 ⇒ ลู่ออก

  3. ยืนยันด้วยสเตอร์ลิง: an=(2n)!4n(n!)2=14n(2nn)∼1πna_n = \dfrac{(2n)!}{4^n (n!)^2} = \dfrac{1}{4^n}\binom{2n}{n} \sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}} เทียบลิมิตกับ 1/n1/\sqrt n ซึ่งลู่ออก

ลู่ออก (พจน์ลดลงช้าเหมือน 1/n1/\sqrt{n})

ตัวทดสอบอนุกรมแบบโต้ตอบ พื้นฐาน

เลือกอนุกรมมาตรฐานเพื่อดูเหตุผลเต็ม หรือพิมพ์ ana_n เองเพื่อดูอัตราส่วน รากที่ n และผลบวกย่อย (หลักฐานเชิงตัวเลข ไม่ใช่บทพิสูจน์)

เกมฝึกเลือกการทดสอบ กลาง

40 อนุกรมจากง่ายไปยาก รวมกับดักที่เจอในข้อสอบจริง เช่น ∑1/n1+1/n\sum 1/n^{1+1/n} และ ∑(1+1/n)n\sum (1 + 1/n)^n เลือกการทดสอบและผลสรุปแล้วกดตรวจ

แบบฝึกหัดผสม (ซ่อนเฉลย) กลาง

1∑n=1∞n2+2n4+1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+2}{n^4+1}

เทียบลิมิตกับ 1/n21/n^2: lim⁡n4+2n2n4+1=1\lim\dfrac{n^4 + 2n^2}{n^4+1} = 1 ⇒ ลู่เข้า

2∑n=1∞5nn!\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^n}{n!}

อัตราส่วน 5n+1→0\dfrac{5}{n+1} \to 0 ⇒ ลู่เข้า (ผลบวก e5−1e^5 - 1)

3∑n=2∞nln⁡n\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{\ln n}

nln⁡n→∞≠0\dfrac{n}{\ln n} \to \infty \ne 0 ⇒ ลู่ออก ด้วยพจน์ที่ n

4∑n=1∞(nn+1)n2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}

ราก: (nn+1)n→1e<1\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n} \to \dfrac1e < 1 ⇒ ลู่เข้า

5∑n=1∞arctan⁡nn2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n^2}

0<arctan⁡n<π20 < \arctan n < \tfrac{\pi}{2} ⇒ an<π/2n2a_n < \dfrac{\pi/2}{n^2} ⇒ ลู่เข้า (เปรียบเทียบตรง)

6∑n=1∞2n n!nn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\,n!}{n^n}

อัตราส่วน 2(nn+1)n→2e≈0.736<12\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \to \dfrac2e \approx 0.736 < 1 ⇒ ลู่เข้า (ถ้าเปลี่ยน 2 เป็น 3 จะได้ 3/e > 1 ลู่ออก)

7∑n=1∞1n1.01\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1.01}} เทียบกับ ∑n=1∞1n⋅1.01\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot 1.01}

ตัวแรกเป็นอนุกรม p ที่ p=1.01>1p = 1.01 > 1 ลู่เข้า · ตัวที่สองคือ 11.01∑1n\tfrac{1}{1.01}\sum\tfrac1n ลู่ออก ระวังอ่านโจทย์

8∑n=1∞13n−n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n - n}

เทียบลิมิตกับ 1/3n1/3^n: lim⁡3n3n−n=1\lim\dfrac{3^n}{3^n - n} = 1 ⇒ ลู่เข้า (เปรียบเทียบตรงใช้ไม่ได้ทันทีเพราะ 13n−n>13n\tfrac{1}{3^n - n} > \tfrac{1}{3^n})

ตารางสรุปการทดสอบ พื้นฐาน

การทดสอบเงื่อนไขลู่เข้าเมื่อลู่ออกเมื่อสรุปไม่ได้
พจน์ที่ n (T1)ใด ๆ—an↛0a_n \not\to 0an→0a_n \to 0
เรขาคณิต∑arn\sum ar^n∣r∣<1|r| < 1∣r∣≥1|r| \ge 1—
อนุกรม p∑1/np\sum 1/n^pp>1p > 1p≤1p \le 1—
ปริพันธ์ (T2)f บวก ต่อเนื่อง ลด∫f\int f จำกัด∫f=∞\int f = \infty—
เปรียบเทียบ (T4)0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n∑bn\sum b_n ลู่เข้า∑an\sum a_n ลู่ออกทิศผิด
เปรียบเทียบลิมิต (T5)an,bn>0a_n, b_n > 00<c<∞0 < c < \infty: ไปทางเดียวกับ ∑bn\sum b_nc=0,∞c = 0,\infty บางกรณี
อัตราส่วน (T7)an≠0a_n \ne 0ρ<1\rho < 1ρ>1\rho > 1ρ=1\rho = 1
ราก (T8)ใด ๆρ<1\rho < 1ρ>1\rho > 1ρ=1\rho = 1
ราบี (T11)an>0a_n > 0R>1R > 1R<1R < 1R=1R = 1

ต่อไป: อนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับ

ทุกการทดสอบในหน้านี้ต้องการพจน์บวก (หรือใช้กับค่าสัมบูรณ์) อนุกรมอย่าง 1−12+13−⋯1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots ต้องใช้แนวคิดใหม่คือการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ไปต่อที่ อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ · อ่านบทความผังตัดสินใจฉบับย่อ เลือกการทดสอบการลู่เข้าอย่างไร (English) · ฝึกเพิ่มที่ แนวข้อสอบชุด B

คำถามที่พบบ่อย

ควรเลือกใช้การทดสอบการลู่เข้าแบบไหนก่อน?

ไล่ตามลำดับนี้: (1) พจน์ไม่เข้าใกล้ 0 ⇒ ลู่ออก (2) เป็นเรขาคณิตหรืออนุกรม p ตอบได้ทันที (3) แยกเศษส่วนย่อยได้ ลองกล้องส่องทางไกล (4) เป็นเศษส่วนของพหุนามหรือราก ใช้เปรียบเทียบแบบลิมิตกับ 1/nᵖ (5) มีแฟกทอเรียลหรือ cⁿ ใช้อัตราส่วน (6) ยกกำลัง n ทั้งก้อนใช้ราก (7) มี ln หรือหาปริพันธ์ได้ง่ายใช้ปริพันธ์ (8) เครื่องหมายสลับใช้การทดสอบอนุกรมสลับ

ratio test ได้ค่า 1 แปลว่าอะไร?

แปลว่าสรุปไม่ได้ อนุกรมอาจลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ เช่น ∑1/n\sum 1/n และ ∑1/n2\sum 1/n^2 ให้อัตราส่วนเข้าใกล้ 1 ทั้งคู่ แต่ตัวแรกลู่ออก ตัวที่สองลู่เข้า ต้องใช้การทดสอบอื่น เช่น เปรียบเทียบ ปริพันธ์ หรือราบี

comparison test กับ limit comparison test ต่างกันอย่างไร?

comparison test ต้องพิสูจน์อสมการ 0≤an≤bn0 \le a_n \le b_n จริงทุกพจน์ (ใช้สรุปลู่เข้าจากตัวใหญ่ หรือลู่ออกจากตัวเล็ก) ส่วน limit comparison test ดูแค่ lim⁡an/bn=c\lim a_n/b_n = c ถ้า 0<c<∞0 < c < \infty อนุกรมทั้งสองลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน สะดวกกว่ามากสำหรับเศษส่วนของพหุนาม

integral test ใช้ได้เมื่อไร?

เมื่อ an=f(n)a_n = f(n) โดย f เป็นบวก ต่อเนื่อง และลดลงเมื่อ x มากพอ แล้วอนุกรมกับ ∫N∞f(x) dx\int_N^{\infty} f(x)\,dx ลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมกัน ค่าปริพันธ์ไม่ใช่ผลบวกของอนุกรม แต่ให้ขอบเขตเศษเหลือ ∫N+1∞f≤RN≤∫N∞f\int_{N+1}^{\infty} f \le R_N \le \int_N^{\infty} f

root test เหมาะกับอนุกรมแบบไหน?

อนุกรมที่พจน์ยกกำลัง n ทั้งก้อน เช่น (n2n+1)n(\tfrac{n}{2n+1})^n หรือ (1−1/n)n2(1 - 1/n)^{n^2} เพราะ ann\sqrt[n]{a_n} ทำให้เลขชี้กำลังหายไป root test แข็งแรงกว่า ratio test เล็กน้อย (ถ้า ratio test สรุปได้ root test สรุปได้เหมือนกัน) และใช้หารัศมีการลู่เข้าของอนุกรมกำลังได้ด้วย

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์