// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Force systems, moments & equilibrium

ระบบแรง: โมเมนต์ แรงคู่ควบ ระบบสมมูล และสมดุล

แรงลัพธ์บอกได้ว่าวัตถุจะ “เลื่อน” อย่างไร แต่ไม่บอกว่าจะ “หมุน” หรือไม่ แรงสองแรงที่รวมกันเป็นศูนย์อาจบิดพวงมาลัยให้หมุนได้ บทนี้จัดระบบเครื่องมือของวิชากลศาสตร์วิศวกรรม: โมเมนต์เชิงเวกเตอร์ แรงคู่ควบ การย้ายแรง การลดทั้งระบบให้เหลือแรงเดียว และการหาแรงปฏิกิริยาจากสมการสมดุลสามสมการ ซึ่งเป็นพื้นฐานของงานออกแบบโครงสร้าง ตู้ไฟฟ้า บัสบาร์ และเสาสายส่ง

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต 13 ต.ค. 2569

โมเมนต์ M = r × F แรงคู่ควบ แรงลัพธ์เดี่ยว แรงปฏิกิริยาคาน

สรุปใน 30 วินาที

$\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F$ ; ในระนาบ $M_O=xF_y-yF_x$ (ทวนเข็ม +) หรือ $M_O=Fd$
แรงคู่ควบ: $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ แต่ $M=Fd$ เท่ากันทุกจุด
ระบบใดก็ลดเป็น $\mathbf R=\sum\mathbf F$ ที่ O + $\mathbf M_O=\sum\mathbf r\times\mathbf F$ ได้เสมอ
สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง: $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ และ $\sum\mathbf M=\mathbf 0$

1. ชนิดของระบบแรงและจำนวนสมการที่ต้องใช้ พื้นฐาน

ระบบแรง	ลักษณะ	สมการสมดุลที่เป็นอิสระ	ตัวอย่าง
แรงร่วมจุด (concurrent) ในระนาบ	แนวแรงตัดกันที่จุดเดียว	2: ΣFx = 0, ΣFy = 0	ห่วงบนโต๊ะแรง โคมไฟแขวน
แรงร่วมจุดสามมิติ	ตัดที่จุดเดียวในอวกาศ	3: ΣFx, ΣFy, ΣFz	ยอดเสาที่มีสายยึดหลายเส้น
แรงขนาน (parallel)	แนวแรงขนานกันทั้งหมด	2: ΣFy = 0, ΣM = 0	คานรับน้ำหนักแนวดิ่ง
แรงในระนาบทั่วไป (coplanar)	อยู่ในระนาบเดียว แนวไม่ร่วมจุด	3: ΣFx, ΣFy, ΣM	คาน เฟรม โครงถัก
แรงสามมิติทั่วไป	ไม่มีข้อจำกัด	6: ΣF (3) + ΣM (3)	แขนกล ตู้ไฟฟ้าบนฐานสี่จุด

จำนวนสมการบอกว่าหาแรงที่ไม่ทราบได้สูงสุดกี่ตัว ถ้ามีตัวไม่ทราบมากกว่า เรียกว่า statically indeterminate ต้องใช้สมการการเสียรูปเพิ่มในวิชากลศาสตร์วัสดุ

2. โมเมนต์ของแรงรอบจุด: สเกลาร์และเวกเตอร์ พื้นฐาน

โมเมนต์วัด “ความสามารถในการหมุน” ของแรงรอบจุด O ขึ้นกับขนาดแรงและระยะตั้งฉากจาก O ถึงแนวแรง (แขนโมเมนต์) แรงที่แนวผ่าน O ไม่ทำให้หมุนรอบ O เลยไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด

แขนโมเมนต์ d คือระยะตั้งฉากจาก O ถึงแนวแรง (เส้นประ) ไม่ใช่ความยาวของ r

S1 Scalar moment โมเมนต์แบบสเกลาร์

M_O=F\,d=F\,r\sin\theta \qquad[\text{N}\cdot\text{m}]

ทิศหมุนบอกด้วยเครื่องหมาย: ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก (กฎมือขวาชี้ออกจากกระดาษ +z)

S2 Vector moment โมเมนต์เชิงเวกเตอร์

\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}

ขนาดคือโมเมนต์ ทิศคือแกนหมุนตามกฎมือขวา วิธีนี้จำเป็นในสามมิติที่หาระยะตั้งฉากยาก

S3 Planar moment from components โมเมนต์ในระนาบจากองค์ประกอบ

M_O=x\,F_y-y\,F_x

คือองค์ประกอบ z ของ $\mathbf r\times\mathbf F$ เมื่อ $r_z=F_z=0$ วิธีนี้แทนการหาแขนโมเมนต์ทั้งหมด

S4 Varignon's theorem ทฤษฎีวาริยอง

\mathbf r\times(\mathbf F_1+\mathbf F_2+\cdots)=\mathbf r\times\mathbf F_1+\mathbf r\times\mathbf F_2+\cdots

โมเมนต์ของแรงเท่ากับผลรวมโมเมนต์ขององค์ประกอบ จึงแตกแรงเอียงเป็น F_x, F_y แล้วคิดทีละส่วนได้ (มาจากสมบัติการแจกแจงของ cross product)

ตัวอย่าง S-1 · ประแจขันน็อตตู้ไฟ

ออกแรง 200 N ที่ปลายประแจยาว 0.25 m แรงทำมุม 60° กับด้ามประแจ จงหาแรงบิดที่น็อต

แขนโมเมนต์ $d=r\sin60^\circ=0.25(0.8660)=0.2165$ m
$M=Fd=200(0.2165)=43.30$ N·m
ถ้าดึงตั้งฉากกับด้าม (θ = 90°) จะได้สูงสุด 50 N·m — แรงบิดที่ระบุบนน็อต (torque spec) ต้องใช้ประแจทอร์กที่ดึงตั้งฉาก

M = 43.3 N·m

3. โมเมนต์รอบแกน: ส่วนของโมเมนต์ที่ทำให้หมุนจริง กลาง

ประตูหมุนได้รอบบานพับเท่านั้น โมเมนต์ส่วนที่ตั้งฉากกับบานพับจะถูกบานพับรับไป สิ่งที่ทำให้ประตูหมุนคือส่วนฉายของ $\mathbf M_O$ บนแกน ซึ่งเป็น scalar triple product

S5 Moment about an axis โมเมนต์รอบแกน a

M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)=\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\ r_x&r_y&r_z\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}

$\mathbf r$ คือเวกเตอร์จากจุดใดก็ได้บนแกนไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง $\mathbf u_a$ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกน เครื่องหมายบอกทิศหมุนตามกฎมือขวารอบ $\mathbf u_a$

ตัวอย่าง S-2 · แรงกดบนแขนยื่นของตู้

แรง $\mathbf F=(0,0,-200)$ N กระทำที่จุด $\mathbf r=(0.5,\ 0.8,\ 0)$ m จากจุดยึด O จงหา $\mathbf M_O$ และโมเมนต์รอบแกน x และรอบแนว (1,1,0)

$\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F=\big(0.8(-200)-0,\ 0-0.5(-200),\ 0\big)=(-160,\ 100,\ 0)$ N·m
$|\mathbf M_O|=\sqrt{160^2+100^2}=188.7$ N·m แขนโมเมนต์ $188.7/200=0.943$ m
รอบแกน x: $M_x=\mathbf i\cdot\mathbf M_O=-160$ N·m (ตามเข็มเมื่อมองจากปลายแกน +x)
รอบแนว $\mathbf u=(1,1,0)/\sqrt2$ : $M_u=(-160+100)/\sqrt2=-42.43$ N·m

$\mathbf M_O=(-160,100,0)$ N·m · $M_x=-160$ · $M_u=-42.4$ N·m

4. แรงคู่ควบ: หมุนโดยไม่เลื่อน พื้นฐาน

S6 Couple moment โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

\mathbf M=\mathbf r_{AB}\times\mathbf F,\qquad M=F\,d

แรง $\mathbf F$ ที่ B กับ $-\mathbf F$ ที่ A โมเมนต์รอบจุด O ใด ๆ คือ $\mathbf r_B\times\mathbf F+\mathbf r_A\times(-\mathbf F)=(\mathbf r_B-\mathbf r_A)\times\mathbf F$ ไม่ขึ้นกับ O เลย จึงเป็น free vector

ตัวอย่าง S-3 · พวงมาลัยและเพลามอเตอร์

มือสองข้างหมุนพวงมาลัยเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.4 m ด้วยแรงข้างละ 30 N ในทิศตรงข้าม จงหาแรงบิด

สองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวห่างกัน d = 0.4 m → แรงคู่ควบ
$M=Fd=30(0.4)=12$ N·m และ $\sum\mathbf F=\mathbf 0$ : ไม่ดันพวงมาลัยไปด้านใด
เพลามอเตอร์ไฟฟ้าก็ได้แรงบิดเป็นแรงคู่ควบจากแรงแม่เหล็กบนขดลวดสองข้าง ดู τ = m × B

M = 12 N·m

5. ย้ายแรงโดยไม่เปลี่ยนผล: ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูล กลาง

ถ้าอยากย้ายแรง F จากจุด A ไปจุด O (ที่ไม่อยู่บนแนวแรง) ให้ใส่ F และ −F ที่ O (รวมเป็นศูนย์ ไม่เปลี่ยนอะไร) แล้วสังเกตว่า −F ที่ O กับ F ที่ A เป็นแรงคู่ควบ ผลลัพธ์คือแรง F ที่ O บวกโมเมนต์ $\mathbf r_{OA}\times\mathbf F$

S7 Equivalent force–couple system ระบบแรง-แรงคู่ควบสมมูลที่จุด O

\mathbf F_R=\sum\mathbf F_i,\qquad (\mathbf M_R)_O=\sum\mathbf r_{i}\times\mathbf F_i+\sum\mathbf M_{\text{couple}}

ทุกระบบแรงลดรูปเหลือ “หนึ่งแรง + หนึ่งโมเมนต์” ที่จุดใดก็ได้ ถ้าย้ายจุดอ้างอิง แรงเท่าเดิมแต่โมเมนต์เปลี่ยน: $\mathbf M_P=\mathbf M_O+\mathbf r_{PO}\times\mathbf F_R$

6. ลดระบบแรงในระนาบเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว กลาง

S8 Single resultant (coplanar) ตำแหน่งของแรงลัพธ์เดี่ยว

\bar x=\frac{(M_R)_O}{R_y}\quad(\text{จุดตัดแกน }x),\qquad d=\frac{|(M_R)_O|}{R}\quad(\text{ระยะตั้งฉากจาก }O)

ใช้ได้เมื่อ $\mathbf R\ne\mathbf 0$ ถ้า $\mathbf R=\mathbf 0$ แต่ $M\ne0$ ระบบเป็นแรงคู่ควบล้วน ไม่มีแรงเดียวที่แทนได้

ตัวอย่าง S-4 · แรงสามแรงบนคานยาว 6 m

F₁ = 800 N ลงในแนวดิ่งที่ x = 1.5 m, F₂ = 600 N ที่ 240° (ลงซ้าย) ที่ x = 3.5 m, F₃ = 400 N ขึ้นที่ x = 5 m จงหาระบบสมมูลที่ O (x = 0) และแรงลัพธ์เดี่ยว

องค์ประกอบ F₂: $600\cos240^\circ=-300$ , $600\sin240^\circ=-519.6$ N
$R_x=-300$ N, $R_y=-800-519.6+400=-919.6$ N, $R=967.3$ N ที่ 251.9°
$M_O=\sum xF_y=1.5(-800)+3.5(-519.6)+5(400)=-1018.7$ N·m (ตามเข็ม) — แรงตามแนวคาน ( $F_x$ , y = 0) ไม่มีโมเมนต์
$\bar x=M_O/R_y=-1018.7/-919.6=1.108$ m

ระบบทั้งหมดเทียบเท่าแรง 967 N ที่ 251.9° กระทำที่ x = 1.11 m — ค่าเริ่มต้นของแล็บด้านล่าง

7. แรงกระจายเป็นแรงเดียว กลาง

น้ำหนักรางเคเบิล ลม หรือแรงดันน้ำ เป็นแรงกระจาย $w(x)$ (N/m) ใช้ S8 แบบต่อเนื่อง: แรงลัพธ์เท่ากับพื้นที่ใต้กราฟ และกระทำที่จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่นั้น

S9 Distributed load แรงลัพธ์ของแรงกระจาย

W=\int_0^L w(x)\,dx,\qquad \bar x=\frac{\int_0^L x\,w(x)\,dx}{W};\qquad \text{สม่ำเสมอ: }W=wL,\ \bar x=\tfrac L2;\quad \text{สามเหลี่ยม: }W=\tfrac12w_0L,\ \bar x=\tfrac L3\ \text{จากด้านสูง}

ตัวอย่าง S-5 · รางเคเบิลบนขายึดยื่น

รางเคเบิลกดขายึดยื่นยาว 0.6 m ด้วยน้ำหนักกระจายสม่ำเสมอ 1.5 kN/m และมีแรงจุด 0.2 kN ที่ปลาย จงหาโมเมนต์ที่โคนขายึด

แรงกระจาย → แรงเดียว $W=1.5(0.6)=0.9$ kN ที่ 0.3 m
$M=-(0.9)(0.3)-(0.2)(0.6)=-0.27-0.12=-0.39$ kN·m (ตามเข็ม)
โคนต้องให้โมเมนต์ปฏิกิริยา +0.39 kN·m และแรงขึ้น 1.1 kN — ใช้เลือกพุกและขนาดเหล็ก

M_โคน = 0.39 kN·m (390 N·m)

8. สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งและแรงปฏิกิริยา กลาง

S10 Equilibrium of a rigid body เงื่อนไขสมดุล

\sum\mathbf F=\mathbf 0,\qquad \sum\mathbf M_O=\mathbf 0\qquad\Longrightarrow\qquad \text{ระนาบ: }\sum F_x=0,\ \sum F_y=0,\ \sum M_O=0

เลือกจุดหมุนที่มีแรงไม่ทราบผ่านมากที่สุด เพื่อให้สมการโมเมนต์มีตัวไม่ทราบน้อยที่สุด

ฐานรองรับ	แรงปฏิกิริยาที่ให้	สัญลักษณ์ใน FBD
ล้อเลื่อน / ผิวเรียบ	1 แรง ตั้งฉากกับผิว	B_y
หมุด (pin)	2 แรง	A_x, A_y
ยึดแน่น (fixed)	2 แรง + 1 โมเมนต์	A_x, A_y, M_A
เชือก / สายเคเบิล	1 แรงดึงตามสาย	T

ตัวอย่าง S-6 · คานช่วงเดียว

คาน S-4 วางบนหมุด A (x = 0) และล้อเลื่อน B (x = 6 m) จงหาแรงปฏิกิริยา

วาด FBD: A_x, A_y ที่ A และ B_y ที่ B พร้อมแรงทั้งสาม
$\sum M_A=0:\ 6B_y+(-1018.7)=0\Rightarrow B_y=169.8$ N
$\sum F_y=0:\ A_y+169.8-919.6=0\Rightarrow A_y=749.8$ N
$\sum F_x=0:\ A_x-300=0\Rightarrow A_x=300$ N (หมุดต้านแรงแนวนอนจาก F₂)
ตรวจด้วย $\sum M_B=0$ : $-6(749.8)+(-4.5)(-800)+(-2.5)(-519.6)+(-1)(400)=-4498.8+3600+1299+(-400)\approx0$ ✓

A_x = 300 N, A_y = 749.8 N, B_y = 169.8 N — สอดคล้องกับ x̄ = 1.11 m ที่ใกล้ A

9. ระบบแรงในงานไฟฟ้า กลาง

บัสบาร์

แรงลัดวงจร

กระแสลัดวงจร 20 kA ในบาร์ขนานห่าง 0.1 m สร้างแรง 800 N ต่อเมตร (M11) เป็นแรงกระจายบนบาร์ ฉนวนรองรับต้องรับแรงปฏิกิริยาตาม S9–S10

เสาไฟฟ้า

สายและสายยึด

แรงดึงสายไฟสามมิติรวมกันที่ยอดเสา (K-4) ส่วนแนวนอนสร้างโมเมนต์ที่โคนเสา ต้องหักล้างด้วยสายยึด

มอเตอร์

แรงบิดและฐาน

แรงบิดของมอเตอร์เป็นแรงคู่ควบ ฐานยึดต้องให้แรงคู่ควบตรงข้าม แรงที่สลักเกลียวจึงขึ้นกับระยะห่างของสลักเกลียว (M = F d)

10. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาด	วิธีป้องกัน
ใช้ความยาวของ r เป็นแขนโมเมนต์	ใช้ d ตั้งฉาก หรือใช้ $xF_y-yF_x$
สลับลำดับ $\mathbf F\times\mathbf r$	ทิศกลับ ต้องเป็น $\mathbf r\times\mathbf F$ เสมอ (r จากจุดอ้างอิงไปหาแรง)
ΣF = 0 แล้วสรุปว่าสมดุล	ต้องตรวจ ΣM = 0 ด้วย แรงคู่ควบมี ΣF = 0 แต่หมุน
ลืมแรงปฏิกิริยาแนวนอนที่หมุด	หมุดให้สองแรงเสมอ ถ้าไม่มีแรงแนวนอนผลจะออกมาเป็นศูนย์เอง
วางแรงกระจายผิดตำแหน่ง	แรงลัพธ์อยู่ที่เซนทรอยด์ของพื้นที่ใต้กราฟ ไม่ใช่กึ่งกลางเสมอ

11. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

แรง $\mathbf F=(30,40)$ N กระทำที่จุด (2, 1) m จงหาโมเมนต์รอบจุดกำเนิด
แรง $\mathbf F=(100,-50,200)$ N กระทำที่ $\mathbf r=(0.3,0.2,0)$ m จงหา $\mathbf M_O$ และ $M_z$
คานยาว 4 m รับแรง 2 kN ลงที่กึ่งกลาง และ 1 kN ลงที่ปลาย B (x = 4 m) วางบนหมุด A กับล้อเลื่อน B จงหาแรงปฏิกิริยา
แรงคู่ควบ 50 N ห่างกัน 0.12 m กับแรงคู่ควบอีกคู่ 80 N ห่าง 0.05 m ทิศตรงข้ามกัน โมเมนต์รวมเท่าไร?

เปิดเฉลย

$M_O=xF_y-yF_x=2(40)-1(30)=50$ N·m (ทวนเข็ม)
$\mathbf M_O=(0.2\cdot200-0,\ 0-0.3\cdot200,\ 0.3(-50)-0.2(100))=(40,\ -60,\ -35)$ N·m; $M_z=-35$ N·m
$\sum M_A:\ 4B_y-2(2)-1(4)=0\Rightarrow B_y=2$ kN; $A_y=3-2=1$ kN; $A_x=0$
$50(0.12)-80(0.05)=6-4=2$ N·m ในทิศของคู่แรก

12. สรุปสูตร

หัวข้อ	สูตร
S1–S3 โมเมนต์	$M=Fd$ , $\mathbf M=\mathbf r\times\mathbf F$ , $M=xF_y-yF_x$
S4 วาริยอง	โมเมนต์ของผลรวม = ผลรวมของโมเมนต์
S5 รอบแกน	$M_a=\mathbf u_a\cdot(\mathbf r\times\mathbf F)$
S6 แรงคู่ควบ	$M=Fd$ เท่ากันทุกจุด
S7–S8 ระบบสมมูล	$\mathbf R=\sum\mathbf F$ , $\mathbf M_O=\sum\mathbf r\times\mathbf F$ , $\bar x=M_O/R_y$
S9 แรงกระจาย	$W=\int w\,dx$ ที่เซนทรอยด์
S10 สมดุล	$\sum\mathbf F=\mathbf 0,\ \sum\mathbf M=\mathbf 0$

13. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

OpenStax University Physics Vol. 1 §12.1–12.2 Static Equilibrium — เงื่อนไขสมดุลและตัวอย่าง
OpenStax University Physics Vol. 1 §10.6 Torque — แรงบิดเชิงเวกเตอร์
Baker & Haynes, Engineering Statics: Open and Interactive — ตำราสแตติกส์เปิดพร้อมภาพโต้ตอบ (บทที่ 4–5)

ต่อไป: เปลี่ยนกรอบพิกัดให้คำนวณง่ายขึ้นใน การหมุนแกนพิกัด หรือใช้โมเมนต์กับข้อต่อหุ่นยนต์ใน เวกเตอร์ในแขนกล

คำถามที่พบบ่อย

โมเมนต์ของแรงคำนวณอย่างไร?

แบบเวกเตอร์ M_O = r × F โดย r คือเวกเตอร์จากจุด O ไปยังจุดใดก็ได้บนแนวแรง แบบสเกลาร์ M_O = F·d โดย d คือระยะตั้งฉากจากจุด O ถึงแนวแรง ในสองมิติใช้ M_O = x F_y − y F_x (ทวนเข็มเป็นบวก)

แรงคู่ควบคืออะไร?

แรงสองแรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้าม แนวขนานกันห่างกัน d ผลรวมแรงเป็นศูนย์แต่ทำให้หมุนด้วยโมเมนต์ M = F·d ซึ่งมีค่าเท่ากันรอบทุกจุด จึงย้ายไปไว้ที่ใดก็ได้บนวัตถุ เช่น แรงบิดจากมอเตอร์หรือการหมุนพวงมาลัยสองมือ

วัตถุแข็งเกร็งสมดุลเมื่อใด?

เมื่อผลรวมแรงเป็นศูนย์และผลรวมโมเมนต์รอบจุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ด้วย ในระนาบได้สามสมการ ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 จึงหาแรงปฏิกิริยาที่ไม่ทราบได้สามตัว เช่น หมุดหนึ่งตัวกับล้อเลื่อนหนึ่งตัวของคานช่วงเดียว

ทำไมต้องลดระบบแรงเป็นแรงลัพธ์เดี่ยว?

ทำให้รู้ว่าระบบแรงทั้งหมดมีผลเหมือนแรงเดียวที่ตำแหน่งใด ใช้ออกแบบฐานรากให้แรงลงตรงกลาง วางตำแหน่งจุดยก หรือหาจุดศูนย์กลางของแรงกระจาย ตำแหน่งได้จาก x̄ = M_O / R_y

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์