แนวข้อสอบลำดับและอนุกรม (Exam Practice): เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย มิดเทอม และไฟนอล พร้อมเฉลยละเอียดและโจทย์สุ่ม

$a_8 - a_3 = 5d = 15 \Rightarrow d = 3,\ a_1 = 1$ · $S_{20} = \tfrac{20}{2}\left(2\cdot1 + 19\cdot3\right) = 10\times59$

590 · S4

ตัวแรก 105 ตัวสุดท้าย 497 · $n = \tfrac{497 - 105}{7} + 1 = 57$ · $S = \tfrac{57}{2}(105 + 497) = 57\times301$

57 จำนวน ผลบวก 17,157

$r^3 = 96/12 = 8 \Rightarrow r = 2,\ a_1 = 6$ · $S_6 = 6\cdot\dfrac{2^6 - 1}{2 - 1}$

378

แยก $\sum\left(\tfrac13\right)^n + \sum\left(\tfrac12\right)^n = \dfrac{1/3}{2/3} + \dfrac{1/2}{1/2} = \tfrac12 + 1$

$\tfrac32$ · S6

$\tfrac{1}{10} + \tfrac{23}{1000}\left(1 + \tfrac{1}{100} + \cdots\right) = \tfrac{1}{10} + \tfrac{23}{990} = \tfrac{99 + 23}{990} = \tfrac{122}{990}$

$\tfrac{61}{495}$

$= \sum(k^3 + 3k^2 + 2k) = 3025 + 3(385) + 2(55)$ หรือสูตรลัด $\tfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} = \tfrac{10\cdot11\cdot12\cdot13}{4}$

4,290 · S3

$\dfrac{1}{n(n+3)} = \dfrac13\left(\dfrac1n - \dfrac{1}{n+3}\right)$ เหลือ 3 พจน์แรก: $\dfrac13\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13\right) = \dfrac13\cdot\dfrac{11}{6}$

$\tfrac{11}{18}$ · S9

คูณคอนจูเกต: $\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+3n} + \sqrt{n^2-n}} = \dfrac{4}{\sqrt{1 + 3/n} + \sqrt{1 - 1/n}} \to \dfrac42$

2

$\left[\left(1 + \tfrac2n\right)^n\right]^3 \to (e^2)^3$

$e^6$ · Q14

หารด้วย $3^n$: $\dfrac{3 + (2/3)^n}{1 - 2(2/3)^n} \to 3$

3

$\dfrac{n(n+1)/2}{n^2} \to \tfrac12$

$\tfrac12$

เขียน $6 - d,\ 6,\ 6 + d$ (เพราะผลบวก $3\times6$) · $6(36 - d^2) = 120 \Rightarrow d^2 = 16$

2, 6, 10

$\dfrac{a}{1-r} = 12$ และ $\dfrac{a}{1-r^2} = 9$ · หาร: $\dfrac{1}{1+r} = \dfrac{9}{12} \Rightarrow r = \tfrac13,\ a = 12\cdot\tfrac23$

$a = 8,\ r = \tfrac13$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}2k = 2 + n(n-1)$ · $a_{20} = 2 + 20\cdot19$

382

จุดตรึง L = −1 ⇒ $a_n + 1 = 2^{n-1}(a_1 + 1) = 2^n$

$a_n = 2^n - 1,\ a_{10} = 1023$ · Q8

ผลบวกทั้งหมด 5050 ลบผลคูณของ 3: $3(1 + 2 + \cdots + 33) = 3\cdot561 = 1683$

3,367

วิธี S − rS หรือสูตร $\dfrac{r}{(1-r)^2}$ กับ $r = \tfrac14$: $\dfrac{1/4}{9/16}$

$\tfrac49$ · S16

$n\cdot\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n^2} + 1} \to \tfrac12$

$\tfrac12$

$\dfrac{1}{1 - r} = 2 \Rightarrow r = \tfrac12$ (ตรวจ |r| < 1 ✓) · $\dfrac{x-2}{3} = \tfrac12$

$x = \tfrac72$

$L = \tfrac12$ · $a_n - \tfrac12 = \dfrac{n + 2}{4n^2 - 2n}$ (บวกและลดลง) ต้องการ $\dfrac{n+2}{4n^2 - 2n} < 0.01 \iff 0.04n^2 - 1.02n - 2 > 0 \iff n > 27.3$

$L = \tfrac12,\ N = 27$ · Q11

เทียบลิมิตกับ $\tfrac1n$: $\lim\dfrac{n^3 + n}{n^3 + 2n} = 1$ ฮาร์มอนิกลู่ออก

ลู่ออก · T5

อัตราส่วน $\tfrac{(n+1)^2}{2n^2} \to \tfrac12$ ลู่เข้า · สูตร $\sum n^2r^n = \dfrac{r(1+r)}{(1-r)^3} = \dfrac{(1/2)(3/2)}{1/8}$

ลู่เข้า ผลบวก 6

$b_n = \tfrac{1}{\sqrt n + 1}$ ลดลง → 0 ลู่เข้า (ไลบ์นิซ) · ค่าสัมบูรณ์เทียบลิมิตกับ $1/\sqrt n$ ลู่ออก

ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข · A5

$\ln(1 + u) \sim u$ ⇒ เทียบลิมิตกับ $1/n^2$ ได้ 1

ลู่เข้า · T6

ตัวเด่น $(2/3)^n$: $\lim\dfrac{(2^n + n)/(3^n - n)}{(2/3)^n} = 1$ อนุกรมเรขาคณิต r = 2/3 ลู่เข้า

ลู่เข้า

$\sum nr^n = \dfrac{r}{(1-r)^2}$ กับ $r = e^{-1}$: $\dfrac{e^{-1}}{(1 - e^{-1})^2} = \dfrac{e}{(e-1)^2}$

$\dfrac{e}{(e-1)^2} \approx 0.9207$

อัตราส่วน $\tfrac{|x+1|}{3}$ ⇒ $R = 3$ รอบ −1 · x = −4: $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ ลู่เข้า · x = 2: $\sum\tfrac1n$ ลู่ออก

$[-4, 2)$ · P5

อัตราส่วน $\tfrac{|x|}{2}$ ⇒ $R = 2$ · ที่ $x = \pm2$: $|a_n| = \tfrac{n}{n+1} \to 1 \ne 0$ ลู่ออกทั้งสองปลาย

$(-2, 2)$

อนุกรมใน $u = (x-1)^2/9$: ลู่เข้าเมื่อ $|x - 1| < 3$ · ปลาย: $\sum\tfrac{1}{n^2}$ ลู่เข้าทั้งคู่

$[-2, 4]$

$\left|\tfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \dfrac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = \dfrac{1}{2(2n+1)} \to 0$

$R = \infty$

$x^2\left(1 - x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{6} + \cdots\right)$

$x^2 - x^3 + \tfrac{x^4}{2} - \tfrac{x^5}{6}$ · Y16

$\dfrac{1}{2 + (x-2)} = \dfrac12\cdot\dfrac{1}{1 + \frac{x-2}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$ · ลู่เข้าเมื่อ $|x - 2| < 2$

$\sum\tfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$, ช่วง $(0, 4)$

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \tfrac{x^4}{2} + \cdots$

$\tfrac12$ · ลิมิตด้วยอนุกรม

$\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \cdots$

$\tfrac13$

เป็นอนุกรมของ $\sin x$ ที่ $x = \tfrac{\pi}{4}$

$\tfrac{\sqrt2}{2}$

$\ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ ที่ $x = \tfrac12$

$\ln\tfrac32 \approx 0.4055$

$\dfrac{1}{1+x^4} = 1 - x^4 + x^8 - \cdots$ อินทิกรัล: $0.5 - \tfrac{0.5^5}{5} + \tfrac{0.5^9}{9} - \tfrac{0.5^{13}}{13} + \cdots$ · พจน์ที่สี่ $9.4\times10^{-6} < 10^{-4}$ จึงพอที่สามพจน์: $0.5 - 0.00625 + 0.000217$

≈ 0.49397 (ค่าจริง 0.493958)

$R_N \le \int_N^\infty x^{-4}dx = \dfrac{1}{3N^3} < 10^{-4} \iff N^3 > 3333.3$ · $14^3 = 2744,\ 15^3 = 3375$

15 พจน์ · T3

$1 - \tfrac{0.09}{2} + \tfrac{0.0081}{24} = 0.9553375$ · อนุกรมสลับ: $|R| \le \tfrac{0.3^6}{720} = 1.01\times10^{-6}$

0.9553375 ± 1.0×10⁻⁶ (จริง 0.9553365)

$\int_3^\infty\dfrac{dx}{x\ln x\ln\ln x} = \left[\ln\ln\ln x\right]_3^\infty = \infty$ (ลู่ออกช้าที่สุดเท่าที่จะนึกออก)

ลู่ออก · T2

$\dfrac{1}{z(z-2)} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{z-2} - \dfrac1z\right)$ · (ก) $\dfrac{1}{z-2} = -\sum\dfrac{z^n}{2^{n+1}}$ · (ข) $\dfrac{1}{z-2} = \sum\dfrac{2^n}{z^{n+1}}$ แล้วพจน์ $\tfrac{1}{2z}$ หักล้าง

(ก) $-\tfrac{1}{2z} - \tfrac14 - \tfrac{z}{8} - \tfrac{z^2}{16} - \cdots$ · (ข) $\tfrac{1}{z^2} + \tfrac{2}{z^3} + \tfrac{4}{z^4} + \cdots$ · L-1

z = 1 (อย่างง่าย): $\dfrac{1}{9}$ · z = −2 (อันดับ 2): $\dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{z}{z-1}\right]_{-2} = \dfrac{-1}{(z-1)^2}\Big|_{-2} = -\dfrac19$

$\tfrac19$ และ $-\tfrac19$ (ผลรวมเป็น 0 เพราะดีกรีล่างมากกว่าบน 2)

Res ที่ 0: $\tfrac{1}{-1} = -1$ · Res ที่ 1: $\tfrac{2}{1} = 2$ · รวม 1

$2\pi i$ · L9

โพล $-2 \pm i$ ครึ่งบน $-2 + i$: Res $= \tfrac{1}{2i}$ ⇒ $2\pi i\cdot\tfrac{1}{2i}$

$\pi$

ใช้ $\dfrac{e^{iz}}{z^2+1}$ (บนครึ่งบน $|e^{iz}| \le 1$) Res ที่ i: $\dfrac{e^{-1}}{2i}$ ⇒ ส่วนจริงของ $2\pi i\cdot\dfrac{e^{-1}}{2i}$

$\dfrac{\pi}{e} \approx 1.1557$

$\dfrac{1}{z^5}\left(\tfrac{z^2}{2} - \tfrac{z^4}{24} + \cdots\right) = \dfrac{1}{2z^3} - \dfrac{1}{24z} + \cdots$

โพลอันดับ 3 · Res $= -\tfrac{1}{24}$

$z\left(\tfrac1z - \tfrac{1}{6z^3} + \tfrac{1}{120z^5} - \cdots\right) = 1 - \tfrac{1}{6z^2} + \cdots$ ส่วนหลักอนันต์พจน์

เอกฐานแท้ · Res = 0 (ไม่มีพจน์ $z^{-1}$)

คู่พื้นฐาน $a^nu[n] \leftrightarrow \tfrac{z}{z-a}$ ROC ข้างนอก

$x[n] = 2(0.8)^n u[n]$ · L11

$\dfrac{z}{z - 3}$ ROC ข้างใน ⇒ กระจายกำลังบวกของ z: $-\sum_{m\ge1}3^{-m}z^m$ ⇒ ข้างซ้าย

$x[n] = -3^n u[-n-1]$

$\sum|h[n]| = \sum_{n\ge0}0.5^n + \sum_{n\le-1}2^n = 2 + 1 = 3$ จำกัด · ROC $0.5 < |z| < 2$ มีวงกลมหนึ่งหน่วย

เสถียร (แต่ไม่ causal) · L12

$(n+1)c_{n+1} = 2c_{n-1}$, $c_1 = 0$ ⇒ $c_{2k} = \tfrac{1}{k!}$, พจน์คี่เป็น 0

$y = \sum\tfrac{x^{2k}}{k!} = e^{x^2}$ · P13

$(n+2)(n+1)c_{n+2} = (n+1)c_n \Rightarrow c_{n+2} = \dfrac{c_n}{n+2}$ · $c_0 = 1$: $c_2 = \tfrac12,\ c_4 = \tfrac18,\ c_6 = \tfrac1{48}$

$y = \sum\dfrac{x^{2k}}{2^k k!} = e^{x^2/2}$

อัตราส่วน → 1 และราบีได้ $n\left(\tfrac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2} - 1\right) \to 1$ สรุปไม่ได้ทั้งคู่ · สเตอร์ลิง: $a_n \sim \dfrac{1}{\pi n}$ เทียบลิมิตกับฮาร์มอนิก

ลู่ออก · T12

สูตร $\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac{p}{q}$ กับ p = 3, q = 2

$\ln 2 + \tfrac12\ln\tfrac32 \approx 0.8959$ · A8

f: R = 1 ปลายทั้งสอง $\sum\tfrac{(\pm1)^n}{n^2}$ ลู่เข้า ⇒ [−1, 1] · $f' = \sum\tfrac{x^{n-1}}{n}$: ที่ x = 1 ฮาร์มอนิกลู่ออก x = −1 ลู่เข้า

f: $[-1, 1]$ · f′: $[-1, 1)$ — R เท่าเดิม แต่ปลายช่วงเปลี่ยน (P6)

$\dfrac{1}{1+x^3} = \sum(-1)^nx^{3n}$ อินทิกรัล 0 ถึง 1 ทีละพจน์ (ทฤษฎีบทของอาเบลรองรับที่ x = 1): $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^3}$

$\dfrac{\ln 2}{3} + \dfrac{\pi}{3\sqrt3} \approx 0.83565$

$R_n \le \dfrac{3}{(n+1)!} < 10^{-10} \iff (n+1)! > 3\times10^{10}$ · $13! = 6.2\times10^9$ ไม่พอ · $14! = 8.7\times10^{10}$ ✓

ดีกรี 13 (14 พจน์) · Y13

$H_n \approx \ln n + \gamma + \tfrac{1}{2n} = 6.90776 + 0.57722 + 0.0005$

≈ 7.48547 (ค่าจริง 7.4854709) · S12

$J_0(1) = 1 - \tfrac14 + \tfrac{1}{64} - \tfrac{1}{2304} + \cdots = 0.765191$ · อนุกรมสลับ พจน์ถัดไป $\tfrac{(1/2)^8}{(4!)^2} = 6.8\times10^{-6}$

0.76519 ± 7×10⁻⁶ (จริง 0.7651977) · P14

ที่ $z = n \ne 0$ (โพลอย่างง่ายของ cot): Res $= \tfrac{1}{n^2}$ · $\sum_{n\ne0}\tfrac{1}{n^2} - \tfrac{\pi^2}{3} = 0 \Rightarrow 2\sum_{n\ge1}\tfrac{1}{n^2} = \tfrac{\pi^2}{3}$

$\tfrac{\pi^2}{6}$ — ปัญหาบาเซิลแก้ด้วยเรซิดิว