พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. พีชคณิตเชิงเส้น
  4. อินเวอร์ส

// บทที่ 7.4 · พีชคณิตเชิงเส้น · Matrix Inverse

อินเวอร์สของเมทริกซ์ (Matrix Inverse): วิธีหาและสมบัติ

เมทริกซ์ไม่มีการหาร แต่มีอินเวอร์สทำหน้าที่แทน ถ้า Ax=bA\mathbf x = \mathbf b และ AA มีอินเวอร์ส คำตอบคือ x=A−1b\mathbf x = A^{-1}\mathbf b หน้านี้รวมสามวิธีหาอินเวอร์ส สมบัติที่ต้องจำ และสูตรขั้นสูงที่วิศวกรใช้เมื่อวงจรเปลี่ยนไปเพียงเล็กน้อย สูตรใช้รหัส I

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สูตร 2×2 วิธีแอดจอยต์ เกาส์-จอร์แดน สมบัติ
สรุปใน 30 วินาที
  • AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I มีได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสที่ det⁡A≠0\det A \ne 0
  • 2×2: สลับทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายทแยงรอง หารด้วย det⁡\det
  • n×n: A−1=adj⁡Adet⁡AA^{-1} = \dfrac{\operatorname{adj}A}{\det A} หรือลดแถว [A∣I]→[I∣A−1][A\mid I] \to [I\mid A^{-1}]
  • (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} และ x=A−1b\mathbf x = A^{-1}\mathbf b (คูณทางซ้ายเสมอ)
ระดับพื้นฐาน ม.ปลาย · ปี 1กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท · งานวิจัย
อ่านวิธีทำตัวหลัก (pivot)ค่าที่กำลังเปลี่ยน · สูตรที่ใช้คำตอบ

อินเวอร์สคืออะไร พื้นฐาน

สำหรับตัวเลข a≠0a \ne 0 มี a−1=1/aa^{-1} = 1/a ที่ทำให้ a⋅a−1=1a\cdot a^{-1} = 1 เมทริกซ์ก็เช่นกัน อินเวอร์ส (inverse, เมทริกซ์ผกผัน) คือเมทริกซ์ที่คูณแล้วได้ II เชิงเรขาคณิตคือการแปลงที่ “ย้อนกลับ” การแปลงของ AA ซึ่งทำได้ก็ต่อเมื่อ AA ไม่ได้บีบพื้นที่จนแบน (det⁡A≠0\det A \ne 0)

I1 Definition of the inverse นิยามอินเวอร์ส

AA−1=A−1A=I,A−1 มีจริง  ⟺  det⁡A≠0AA^{-1} = A^{-1}A = I, \qquad A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0

ใช้ได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส · ถ้ามีอินเวอร์ส มีได้ตัวเดียว (unique) · เรียก AA ว่า invertible หรือ nonsingular ส่วน det⁡A=0\det A = 0 เรียก singular (เอกฐาน) · A−1A^{-1} ไม่ได้แปลว่า 1/aij1/a_{ij} ทีละช่อง

สูตรลัด 2×2 พื้นฐาน

I2 2×2 inverse อินเวอร์ส 2×2

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca),ad−bc≠0\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} \hlF{d} & \hlP{-b} \\ \hlP{-c} & \hlF{a} \end{pmatrix}, \qquad ad - bc \ne 0

จำสามคำ: สลับ aa กับ dd · เปลี่ยนเครื่องหมาย bb กับ cc · หารด้วยดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่าง I-1 · อินเวอร์ส 2×2

หา A−1A^{-1} เมื่อ A=(4726)A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}

  1. หาดีเทอร์มิแนนต์ก่อนเสมอ ถ้าเป็นศูนย์หยุดได้เลย D1

    det⁡A=(4)(6)−(7)(2)=24−14=10≠0\det A = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10 \ne 0

  2. สลับ เปลี่ยนเครื่องหมาย หาร I2

    A−1=110(6−7−24)=(0.6−0.7−0.20.4)A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} \hlF{6} & \hlP{-7} \\ \hlP{-2} & \hlF{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}

A−1=110(6−7−24)A^{-1} = \dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}

ตรวจ: (4726)(0.6−0.7−0.20.4)=(2.4−1.4−2.8+2.81.2−1.2−1.4+2.4)=(1001)\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.4 - 1.4 & -2.8 + 2.8 \\ 1.2 - 1.2 & -1.4 + 2.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ✓

วิธีเมทริกซ์ผูกพัน (Adjugate / Adjoint) พื้นฐาน → กลาง

หาโคแฟกเตอร์ทุกตัว (ทบทวน D3) เรียงเป็นเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ แล้วทรานสโพส ได้เมทริกซ์ผูกพัน adj⁡A\operatorname{adj}A (ตำราเก่าเรียก adjoint) จากนั้นหารด้วยดีเทอร์มิแนนต์ สูตร 2×2 ข้างบนก็คือกรณีพิเศษของวิธีนี้

I3 Adjugate formula สูตรเมทริกซ์ผูกพัน

adj⁡A=CT=[Cji],A−1=1det⁡Aadj⁡A,Aadj⁡A=(det⁡A) I\operatorname{adj}A = C^T = [C_{ji}], \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A, \qquad A\operatorname{adj}A = (\det A)\,I

C=[Cij]C = [C_{ij}] คือเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ · อย่าลืมทรานสโพส ซึ่งเป็นจุดที่ผิดบ่อยที่สุด · ตรวจ det⁡A\det A ได้ฟรีจากแถวแรก: det⁡A=a11C11+a12C12+a13C13\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}

ตัวอย่าง I-2 · อินเวอร์ส 3×3 ด้วยแอดจอยต์

หา A−1A^{-1} เมื่อ A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}

  1. โคแฟกเตอร์แถว 1 (เครื่องหมาย +,−,++,-,+) D3

    C11=+∣1460∣=−24,C12=−∣0450∣=20,C13=+∣0156∣=−5C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = -24, \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 20, \quad C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = -5

  2. ได้ det⁡A\det A ทันทีจากแถว 1

    det⁡A=(1)(−24)+(2)(20)+(3)(−5)=−24+40−15=1\det A = (1)(-24) + (2)(20) + (3)(-5) = -24 + 40 - 15 = 1

  3. โคแฟกเตอร์แถว 2 (เครื่องหมาย −,+,−-,+,-) และแถว 3 (+,−,++,-,+)

    C21=−∣2360∣=18,C22=+∣1350∣=−15,C23=−∣1256∣=4C31=+∣2314∣=5,C32=−∣1304∣=−4,C33=+∣1201∣=1\begin{aligned} C_{21} &= -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = 18, & C_{22} &= +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -15, & C_{23} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 4 \\ C_{31} &= +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 5, & C_{32} &= -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4, & C_{33} &= +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \end{aligned}

  4. เรียงเป็นเมทริกซ์โคแฟกเตอร์แล้วทรานสโพส I3

    C=(−2420−518−1545−41) → T  adj⁡A=(−2418520−15−4−541)C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} \ \xrightarrow{\ T\ }\ \operatorname{adj}A = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}
  5. A−1=1det⁡Aadj⁡A=11adj⁡AA^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A = \frac{1}{1}\operatorname{adj}A

A−1=(−2418520−15−4−541)A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}

ตรวจแถว 1 ของ AA คูณหลัก 1 ของ A−1A^{-1}: (1)(−24)+(2)(20)+(3)(−5)=1(1)(-24) + (2)(20) + (3)(-5) = 1 ✓ และแถว 1 คูณหลัก 2: 18−30+12=018 - 30 + 12 = 0 ✓

วิธีเกาส์-จอร์แดน [A | I] พื้นฐาน → กลาง

วาง II ไว้ข้าง AA แล้วลดแถวทั้งก้อนจนด้านซ้ายกลายเป็น II ด้านขวาจะเป็น A−1A^{-1} เอง ถ้าระหว่างทางด้านซ้ายมีแถวศูนย์ แปลว่า det⁡A=0\det A = 0 ไม่มีอินเวอร์ส

I4 Gauss–Jordan inversion หาอินเวอร์สด้วยการลดแถว

[ A∣I ] →การดำเนินการตามแถว [ I∣A−1 ][\,A \mid I\,] \ \xrightarrow{\text{การดำเนินการตามแถว}}\ [\,I \mid A^{-1}\,]

I7 Why it works: elementary matrices ทำไมวิธีนี้ได้ผล

Ek⋯E2E1A=I ⇒ A−1=Ek⋯E2E1=Ek⋯E2E1 IE_k\cdots E_2E_1A = I \ \Rightarrow\ A^{-1} = E_k\cdots E_2E_1 = E_k\cdots E_2E_1\,I

การดำเนินการแถวแต่ละครั้งเท่ากับคูณทางซ้ายด้วยเมทริกซ์มูลฐาน EE (ได้จากทำการดำเนินการนั้นกับ II) ทำกับ AA และ II พร้อมกัน ด้านขวาจึงสะสมผลคูณ Ek⋯E1E_k\cdots E_1 ซึ่งก็คือ A−1A^{-1}

ตัวอย่าง I-3 · เมทริกซ์เดิม ด้วยเกาส์-จอร์แดน

หา A−1A^{-1} ของ A=(123014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} โดยลดแถว [A∣I][A\mid I]

  1. [123100014010560001]→R3←R3−5R1[1231000140100−4−15−501]\left[\begin{array}{ccc|ccc} \hlP{1} & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \hlP{1} & 4 & 0 & 1 & 0 \\ \hlF{0} & \hlF{-4} & \hlF{-15} & \hlF{-5} & \hlF{0} & \hlF{1} \end{array}\right]
  2. →R3←R3+4R2[123100014010001−541]\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \hlP{1} & \hlF{-5} & \hlF{4} & \hlF{1} \end{array}\right]

    ตัวหลักแถว 3 เป็น 1 พอดี (เพราะ det⁡A=1\det A = 1) ไม่ต้องหาร

  3. ล้างเหนือตัวหลักของหลักที่ 3

    →R1←R1−3R3R2←R2−4R3[12016−12−301020−15−4001−541]\xrightarrow[R_1 \leftarrow R_1 - 3R_3]{R_2 \leftarrow R_2 - 4R_3} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3 \\ 0 & \hlP{1} & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array}\right]
  4. →R1←R1−2R2[100−2418501020−15−4001−541]\xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \hlU{-24} & \hlU{18} & \hlU{5} \\ 0 & 1 & 0 & \hlU{20} & \hlU{-15} & \hlU{-4} \\ 0 & 0 & 1 & \hlU{-5} & \hlU{4} & \hlU{1} \end{array}\right]

ด้านขวาคือ A−1A^{-1} ตรงกับวิธีแอดจอยต์ทุกตัว ใช้ห้าการดำเนินการแถว เทียบกับดีเทอร์มิแนนต์ 2×2 เก้าตัว

สมบัติของอินเวอร์ส กลาง

I5 Properties of the inverse สมบัติของอินเวอร์ส

(A−1)−1=A(AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T(kA)−1=1kA−1 (k≠0)(Ak)−1=(A−1)kdet⁡(A−1)=1det⁡A\begin{gathered} (A^{-1})^{-1} = A \qquad \hlF{(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}} \qquad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \\ (kA)^{-1} = \tfrac1k A^{-1}\ (k \ne 0) \qquad (A^k)^{-1} = (A^{-1})^k \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A} \end{gathered}

กฎถุงเท้า-รองเท้า: ใส่ถุงเท้า (B) แล้วใส่รองเท้า (A) ตอนถอดต้องถอดรองเท้าก่อน · ไม่มีสูตร (A+B)−1(A + B)^{-1} แบบง่าย

I6 Inverses you can write immediately อินเวอร์สที่เขียนได้ทันที

diag⁡(d1,…,dn)−1=diag⁡ ⁣(1d1,…,1dn)Q−1=QT (เชิงตั้งฉาก)(AOOD)−1=(A−1OOD−1)(1k01)−1=(1−k01)\begin{gathered} \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)^{-1} = \operatorname{diag}\!\left(\tfrac{1}{d_1}, \dots, \tfrac{1}{d_n}\right) \qquad Q^{-1} = Q^T \ (\text{เชิงตั้งฉาก}) \\ \begin{pmatrix} A & O \\ O & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & D^{-1} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{gathered}

อินเวอร์สของสามเหลี่ยมบน (ล่าง) ยังเป็นสามเหลี่ยมบน (ล่าง) · เมทริกซ์หมุน R(θ)−1=R(−θ)=R(θ)TR(\theta)^{-1} = R(-\theta) = R(\theta)^T

I10 Invertible matrix theorem ทฤษฎีบทเมทริกซ์หาอินเวอร์สได้ (สำหรับ AA ขนาด n×nn\times n ข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน)

A−1 มีจริง  ⟺  det⁡A≠0  ⟺  rank⁡A=n  ⟺  RREF⁡(A)=I  ⟺  Ax=0 มีแต่คำตอบ 0  ⟺  Ax=b มีคำตอบเดียวทุก b  ⟺  หลัก (แถว) ของ A อิสระเชิงเส้น  ⟺  0 ไม่เป็นค่าเฉพาะของ A\begin{gathered} A^{-1} \text{ มีจริง} \iff \det A \ne 0 \iff \operatorname{rank}A = n \iff \operatorname{RREF}(A) = I \\ \iff A\mathbf x = \mathbf 0 \text{ มีแต่คำตอบ } \mathbf 0 \iff A\mathbf x = \mathbf b \text{ มีคำตอบเดียวทุก } \mathbf b \\ \iff \text{หลัก (แถว) ของ } A \text{ อิสระเชิงเส้น} \iff 0 \text{ ไม่เป็นค่าเฉพาะของ } A \end{gathered}

รู้ข้อเดียวรู้ทั้งหมด เช่น ถ้าเห็นค่าเฉพาะเป็นศูนย์ ก็รู้ทันทีว่าไม่มีอินเวอร์สและระบบไม่มีคำตอบเดียว

แก้ระบบและสมการเมทริกซ์ด้วยอินเวอร์ส พื้นฐาน → กลาง

I8 Solving with the inverse แก้ระบบด้วยอินเวอร์ส

Ax=b ⇒ x=A−1bA\mathbf x = \mathbf b \ \Rightarrow\ \mathbf x = A^{-1}\mathbf b

คูณ A−1A^{-1} ทางซ้ายทั้งสองข้าง ไม่ใช่ bA−1\mathbf bA^{-1} (ขนาดไม่เข้ากัน)

I9 Matrix equations สมการเมทริกซ์

AX=B⇒X=A−1B,XA=B⇒X=BA−1AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B, \qquad XA = B \Rightarrow X = BA^{-1}

A−1A^{-1} ต้องอยู่ฝั่งเดียวกับที่ AA อยู่ · สองคำตอบนี้ต่างกันโดยทั่วไป

ตัวอย่าง I-4 · แก้ระบบด้วย A⁻¹

แก้ x+2y+3z=1y+4z=25x+6y=3\begin{aligned} x + 2y + 3z &= 1 \\ y + 4z &= 2 \\ 5x + 6y &= 3 \end{aligned} โดยใช้ A−1A^{-1} จากตัวอย่าง I-2

  1. x=A−1b=(−2418520−15−4−541)(123)=(−24+36+1520−30−12−5+8+3)\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 + 36 + 15 \\ 20 - 30 - 12 \\ -5 + 8 + 3 \end{pmatrix}

(x,y,z)=(27,−22,6)(x, y, z) = (27, -22, 6)

ตรวจ: 27−44+18=127 - 44 + 18 = 1 ✓ · −22+24=2-22 + 24 = 2 ✓ · 135−132=3135 - 132 = 3 ✓

ตัวอย่าง I-5 · AX = B กับ XA = B ไม่เหมือนกัน

ให้ A=(4726), B=(2103)A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} หา XX ที่ทำให้ AX=BAX = B และ YY ที่ทำให้ YA=BYA = B

  1. A−1=110(6−7−24)A^{-1} = \tfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} จากตัวอย่าง I-1 · AX=BAX = B คูณ A−1A^{-1} ทางซ้าย I9

    X=A−1B=110(12−15−410)=(1.2−1.5−0.41)X = A^{-1}B = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 12 & -15 \\ -4 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.2 & -1.5 \\ -0.4 & 1 \end{pmatrix}

  2. YA=BYA = B คูณ A−1A^{-1} ทางขวา

    Y=BA−1=110(10−10−612)=(1−1−0.61.2)Y = BA^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 10 & -10 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -0.6 & 1.2 \end{pmatrix}

X≠YX \ne Y ทั้งที่ “หน้าตาโจทย์” คล้ายกัน ลำดับการคูณจึงต้องเขียนให้ชัดทุกครั้ง

ตัวอย่าง I-6 · งานวงจร: หาอินเวอร์สครั้งเดียว ใช้ได้กับทุกแหล่งจ่าย

วงจรสามโนดมีสมการโนด Gv=iG\mathbf v = \mathbf i โดย G=(1.5−0.50−0.51.25−0.50−0.51)G = \begin{pmatrix} 1.5 & -0.5 & 0 \\ -0.5 & 1.25 & -0.5 \\ 0 & -0.5 & 1 \end{pmatrix} S และ G−1=(0.80.40.20.41.20.60.20.61.3) ΩG^{-1} = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.4 & 0.2 \\ 0.4 & 1.2 & 0.6 \\ 0.2 & 0.6 & 1.3 \end{pmatrix}\ \Omega หาแรงดันโนดเมื่อ (ก) ฉีดกระแส 10 A เข้าโนด 1 (ข) ฉีด 2 A เข้าโนด 3 (ค) ทั้งสองพร้อมกัน

  1. (ก) i=(10,0,0)T\mathbf i = (10, 0, 0)^T ได้ 10 เท่าของหลักที่ 1 ของ G−1G^{-1} I8

    v=10(0.80.40.2)=(842) V\mathbf v = 10\begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.4 \\ 0.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\text{ V}

  2. (ข) i=(0,0,2)T\mathbf i = (0, 0, 2)^T ได้ 2 เท่าของหลักที่ 3

    v=2(0.20.61.3)=(0.41.22.6) V\mathbf v = 2\begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.6 \\ 1.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 1.2 \\ 2.6 \end{pmatrix}\text{ V}

  3. (ค) เชิงเส้นจึงบวกกันได้เลย (หลักการซ้อนทับ superposition)

    v=(8.45.24.6) V\mathbf v = \begin{pmatrix} 8.4 \\ 5.2 \\ 4.6 \end{pmatrix}\text{ V}

หลักที่ jj ของ G−1G^{-1} คือแรงดันทุกโนดเมื่อฉีดกระแส 1 A เข้าโนด jj ค่าบนเส้นทแยง 0.8, 1.2, 1.3 Ω0.8,\ 1.2,\ 1.3\ \Omega จึงเป็นความต้านทานขาเข้า (driving-point resistance) ของแต่ละโนดเทียบกราวด์

ที่มาของวงจรนี้อยู่ใน การวิเคราะห์โนด

สูตรอินเวอร์สขั้นสูง ขั้นสูง

I11 Sherman–Morrison formula อัปเดตอินเวอร์สเมื่อเมทริกซ์เปลี่ยนแรงก์หนึ่ง

(A+uvT)−1=A−1−A−1u vTA−11+vTA−1u,1+vTA−1u≠0(A + \mathbf u\mathbf v^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}\mathbf u\,\mathbf v^TA^{-1}}{1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u \ne 0

เปลี่ยนตัวต้านทานตัวเดียวในวงจร GG เปลี่ยนแบบแรงก์หนึ่งพอดี จึงได้แรงดันใหม่โดยไม่ต้องหาอินเวอร์สใหม่ (ใช้ในการวิเคราะห์ความไว และ contingency analysis ในระบบไฟฟ้ากำลัง)

I12 Block inverse (Schur complement) อินเวอร์สแบบบล็อก

(ABCD)−1=(A−1+A−1BS−1CA−1−A−1BS−1−S−1CA−1S−1),S=D−CA−1B\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}BS^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS^{-1} \\ -S^{-1}CA^{-1} & S^{-1} \end{pmatrix}, \qquad S = D - CA^{-1}B

I13 Neumann series อนุกรมนอยมันน์

(I−A)−1=I+A+A2+A3+⋯(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots

ลู่เข้าเมื่อค่าเฉพาะทุกตัวมี ∣λ∣<1|\lambda| \lt 1 เป็นที่มาของวิธีวนซ้ำแบบจาโคบีและเกาส์-ไซเดล และของสูตรป้อนกลับ T=G/(1+GH)T = G/(1 + GH)

I14 Inverse from Cayley–Hamilton (2×2) อินเวอร์สจากพหุนามลักษณะเฉพาะ

A2−(tr⁡A)A+(det⁡A)I=O ⇒ A−1=(tr⁡A)I−Adet⁡AA^2 - (\operatorname{tr}A)A + (\det A)I = O \ \Rightarrow\ A^{-1} = \frac{(\operatorname{tr}A)I - A}{\det A}

ขยายได้ทุกขนาด ดู E14

I15 Moore–Penrose pseudo-inverse อินเวอร์สเทียม (เมทริกซ์ไม่จัตุรัส)

A+=(ATA)−1AT  (หลักอิสระ),A+=AT(AAT)−1  (แถวอิสระ),A+=VΣ+UT  (ทั่วไป ผ่าน SVD)A^{+} = (A^TA)^{-1}A^T \ \ (\text{หลักอิสระ}), \qquad A^{+} = A^T(AA^T)^{-1} \ \ (\text{แถวอิสระ}), \qquad A^{+} = V\Sigma^{+}U^T \ \ (\text{ทั่วไป ผ่าน SVD})

x^=A+b\hat{\mathbf x} = A^{+}\mathbf b ให้คำตอบกำลังสองน้อยสุด (สมการเกิน) หรือคำตอบที่บรรทัดฐานน้อยสุด (สมการขาด) L10

ตัวอย่าง I-7 · เปลี่ยนตัวต้านทานหนึ่งตัว ไม่ต้องหาอินเวอร์สใหม่

ในวงจรของตัวอย่าง I-6 เปลี่ยนตัวต้านทานจากโนด 3 ลงกราวด์จาก 2 Ω เป็น 1 Ω (ความนำเพิ่ม 0.5 S) ขณะฉีด 10 A เข้าโนด 1 หาแรงดันใหม่

  1. GG ใหม่ =G+0.5 e3e3T= G + 0.5\,\mathbf e_3\mathbf e_3^T ในสูตรจึงให้ A=G, u=0.5e3, v=e3A = G,\ \mathbf u = 0.5\mathbf e_3,\ \mathbf v = \mathbf e_3 โดย e3=(0,0,1)T\mathbf e_3 = (0, 0, 1)^T I11

    A−1u=0.5(0.20.61.3)=(0.10.30.65),1+vTA−1u=1+0.65=1.65A^{-1}\mathbf u = 0.5\begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.6 \\ 1.3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.3 \\ 0.65 \end{pmatrix}, \qquad 1 + \mathbf v^TA^{-1}\mathbf u = 1 + 0.65 = 1.65

  2. คูณสูตรเข้ากับ i\mathbf i โดยตรง: vTA−1i=v3เดิม=2\mathbf v^TA^{-1}\mathbf i = v_3^{\text{เดิม}} = 2

    vใหม่=(842)−21.65(0.10.30.65)=(8−0.1214−0.3642−0.788)\mathbf v_{\text{ใหม่}} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{2}{1.65}\begin{pmatrix} 0.1 \\ 0.3 \\ 0.65 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 0.121 \\ 4 - 0.364 \\ 2 - 0.788 \end{pmatrix}

v≈(7.879, 3.636, 1.212)\mathbf v \approx (7.879,\ 3.636,\ 1.212) V (ค่าแม่นตรง 26033,4011,4033\tfrac{260}{33}, \tfrac{40}{11}, \tfrac{40}{33}) ใช้แค่การคูณเวกเตอร์ ไม่ต้องลดแถวใหม่

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวังจุดเหล่านี้
  • ลืมทรานสโพสเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ในวิธีแอดจอยต์ I3
  • ไม่เช็ก det⁡A\det A ก่อน แล้วพยายามหาอินเวอร์สของเมทริกซ์เอกฐาน
  • เขียน (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1} → ต้องกลับลำดับ I5
  • เขียน (A+B)−1=A−1+B−1(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1} → ผิด ไม่มีสูตรนี้
  • เขียน x=bA−1\mathbf x = \mathbf bA^{-1} หรือ “หาร” ด้วยเมทริกซ์ b/A\mathbf b/A → ไม่มีนิยาม ต้องเป็น A−1bA^{-1}\mathbf b
  • ในเกาส์-จอร์แดนทำการดำเนินการแถวกับครึ่งซ้ายแต่ลืมทำกับครึ่งขวา
  • ไม่ตรวจคำตอบ: คูณ AA−1AA^{-1} แค่แถวแรกกับหลักแรกก็จับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกครั้ง

เครื่องคิดเลขอินเวอร์สแสดงวิธีทำ

ใส่เมทริกซ์ 2×2 ถึง 4×4 เครื่องจะเช็กดีเทอร์มิแนนต์ แล้วลดแถว [A∣I][A\mid I] ทีละขั้นด้วยเศษส่วนแม่นยำ พร้อมตรวจ AA−1=IAA^{-1} = I

ต่อยอดไปหน้าถัดไป

ถ้าต้องการแค่ตัวแปรเดียว เช่น กระแสในลูปเดียว ไม่จำเป็นต้องหาอินเวอร์สทั้งก้อน กฎของคราเมอร์ ให้สูตรตรงของตัวแปรแต่ละตัวด้วยดีเทอร์มิแนนต์สองตัว ซึ่งจริง ๆ แล้วก็คือสูตรแอดจอยต์ I3 ที่คูณกับ b\mathbf b แล้วนั่นเอง

คำถามที่พบบ่อย

เมทริกซ์แบบไหนไม่มีอินเวอร์ส?

เมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัส และเมทริกซ์จัตุรัสที่ det⁡A=0\det A = 0 (เมทริกซ์เอกฐาน) เช่นมีแถวหนึ่งเป็นพหุคูณหรือผลรวมของแถวอื่น ในวิธีเกาส์-จอร์แดนจะเห็นแถวศูนย์โผล่ในครึ่งซ้าย ทำให้เป็น II ไม่ได้

ทำไม (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ไม่ใช่ A⁻¹B⁻¹?

เพราะต้องย้อนลำดับการกระทำ ตรวจได้จาก (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I ถ้าสลับเป็น A−1B−1A^{-1}B^{-1} จะได้ ABA−1B−1ABA^{-1}B^{-1} ซึ่งไม่เท่ากับ II โดยทั่วไป

วิธีแอดจอยต์กับเกาส์-จอร์แดนใช้วิธีไหนดี?

2×2 ใช้สูตรลัด 3×3 ใช้ได้ทั้งสองวิธี แอดจอยต์เป็นระบบตายตัวต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ย่อย 9 ตัว เกาส์-จอร์แดนเร็วกว่าเมื่อเมทริกซ์มีศูนย์หรือมีเลข 1 ให้ใช้เป็นตัวหลัก ตั้งแต่ 4×4 ขึ้นไปใช้เกาส์-จอร์แดนเสมอ

แก้ระบบสมการควรหาอินเวอร์สก่อนไหม?

ถ้าแก้ครั้งเดียว ลดแถวตรง ๆ เร็วกว่า แต่ถ้าเมทริกซ์ A เดิมแต่ค่าทางขวาเปลี่ยนหลายครั้ง เช่นวงจรเดิมที่เปลี่ยนแหล่งจ่าย หาอินเวอร์ส (หรือแยก LU) ครั้งเดียวแล้วคูณซ้ำจะคุ้มกว่า และหลักของ A⁻¹ ยังมีความหมายทางวงจรด้วย

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์