ฟังก์ชันหลายตัวแปร (Functions of Several Variables) คืออะไร: โดเมน กราฟผิว เส้นชั้นความสูง และลิมิต

1. ค่าใต้รากต้องไม่ติดลบ: $9 - x^2 - y^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \le 9$

2. นี่คือแผ่นวงกลมรัศมี 3 กึ่งกลางที่จุดกำเนิด รวมขอบ: $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 9\}$

3. เรนจ์: ที่จุดกำเนิด $f = 3$ (มากที่สุด) ที่ขอบ $f = 0$ (น้อยที่สุด) และ $f$ ต่อเนื่อง จึงได้ทุกค่าในช่วง $[0, 3]$

4. กราฟ $z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ คือซีกบนของทรงกลมรัศมี 3 เพราะยกกำลังสองได้ $x^2 + y^2 + z^2 = 9,\ z \ge 0$

โดเมน $= \{x^2 + y^2 \le 9\}$ · เรนจ์ $= [0, 3]$

1. $\ln(x - y)$ ต้องการ $x - y > 0$ คือ $y < x$ (ใต้เส้นตรง $y = x$ ไม่รวมเส้น)

2. $\sqrt{y + 1}$ ต้องการ $y + 1 \ge 0$ และอยู่ในตัวส่วนจึงต้อง $\ne 0$ รวมกันเป็น $y + 1 > 0$ คือ $y > -1$

3. ทั้งสองเงื่อนไขพร้อมกัน: $-1 < y < x$ · บริเวณนี้เป็น “ลิ่มเปิด” ที่อยู่เหนือเส้น $y = -1$ และใต้เส้น $y = x$ (ไม่รวมทั้งสองเส้น)

$D = \{(x, y) : -1 < y < x\}$

1. ทางคณิตศาสตร์ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์: $R \ne 0$

2. ทางฟิสิกส์ตัวต้านทานจริงมี $R > 0$ และแรงดันที่ใช้งานจริงอยู่ในพิกัดของอุปกรณ์ เช่น $0 \le V \le 250$ V

3. โดเมนจึงเป็นสี่เหลี่ยมในระนาบ $(V, R)$ เช่น $\{0 \le V \le 250,\ R \ge 1\ \Omega\}$ — โดเมนทางวิศวกรรมแคบกว่าโดเมนทางคณิตศาสตร์เสมอ

โดเมนที่ใช้งานจริงกำหนดโดยข้อจำกัดของอุปกรณ์ ไม่ใช่แค่ว่านิพจน์นิยามได้

1. ตั้ง $x^2 + 4y^2 = c$ หารด้วย $c$: $\dfrac{x^2}{c} + \dfrac{y^2}{c/4} = 1$ เป็นวงรีกึ่งแกนยาว $\sqrt{c}$ (แนว $x$) และกึ่งแกนสั้น $\sqrt{c}/2$ (แนว $y$)

2. $c = 1$: $a = 1,\ b = 0.5$ · $c = 4$: $a = 2,\ b = 1$ · $c = 9$: $a = 3,\ b = 1.5$

3. ที่ $c = 0$ เหลือจุดเดียว $(0,0)$ ซึ่งเป็นจุดต่ำสุด และ $c < 0$ ไม่มีเส้น เพราะ $f \ge 0$ เสมอ

4. สังเกต: ในแนวแกน $y$ ผิวชันกว่าแนว $x$ สองเท่าตัว วงรีจึงแบนตามแกน $y$ และเส้นที่ห่างกันเท่า ๆ ใน $c$ จะชิดกันมากกว่าตามแกน $y$

วงรีโฟกัสร่วมจุดกำเนิด กึ่งแกน $(\sqrt{c},\ \sqrt{c}/2)$

1. หารด้วย 4: $x^2 + \dfrac{y^2}{4} - \dfrac{z^2}{4} = 1$ เทียบ $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$ ได้ $a = 1,\ b = 2,\ c = 2$ — เครื่องหมายลบเพียงหนึ่งตัวและเท่ากับ 1: ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน

2. $z = 0$: $x^2 + y^2/4 = 1$ วงรีกึ่งแกน 1 (แนว $x$) และ 2 (แนว $y$) — นี่คือ “เอว” ที่แคบที่สุด

3. $z = 2$: $x^2 + y^2/4 = 1 + 1 = 2$ วงรีกึ่งแกน $\sqrt{2}$ และ $2\sqrt{2}$ — ใหญ่ขึ้นเมื่อห่างจากเอว

4. รอยตัดที่ $y = 0$: $4x^2 - z^2 = 4$ ไฮเพอร์โบลา จึงยืนยันว่าไม่ใช่ทรงรี

ไฮเพอร์โบลอยด์ 1 ตอน แกนตามแนว $z$ · เอว ($z = 0$) เป็นวงรี $x^2 + y^2/4 = 1$

1. เส้นทางที่ 1: ตามแกน $x$ ($y = 0$): $f = \dfrac{0}{x^2} = 0$ จึงได้ $0$

2. เส้นทางที่ 2: ตามเส้น $y = x$: $f = \dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac{1}{2}$ จึงได้ $\tfrac12$

3. สองเส้นทางให้ค่าต่างกัน ($0 \ne \tfrac12$) · ทั่วไป ตาม $y = mx$ ได้ $\dfrac{m}{1+m^2}$ ซึ่งเปลี่ยนตาม $m$ (ในพิกัดขั้ว $f = \sin\theta\cos\theta$ ขึ้นกับ $\theta$)

ลิมิตไม่มี (DNE) — ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่จุดกำเนิดแม้จะนิยามค่าที่นั่นอย่างไรก็ตาม

1. ลองเส้นทางก่อน: $y = mx$ ได้ $\dfrac{m x^3}{x^2(1+m^2)} = \dfrac{m x}{1+m^2} \to 0$ ทุก $m$ และตามแกนก็ $0$ จึงคาดว่าลิมิตคือ 0 (ยังไม่ใช่การพิสูจน์)

2. วิธี squeeze: $x^2 \le x^2 + y^2$ จึง $\dfrac{x^2}{x^2+y^2} \le 1$ ดังนั้น $\left|\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \le |y|$

3. เมื่อ $(x, y) \to (0, 0)$ ได้ $|y| \to 0$ โดย squeeze ลิมิตเท่ากับ 0

4. วิธีพิกัดขั้ว: $\dfrac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta$ และ $|r\cos^2\theta\sin\theta| \le r \to 0$ โดยขอบบน $r$ ไม่ขึ้นกับ $\theta$ ยืนยันคำตอบเดียวกัน

$\displaystyle\lim = 0$

1. ตามเส้น $y = mx$: $\dfrac{x \cdot m^2 x^2}{x^2 + m^4 x^4} = \dfrac{m^2 x}{1 + m^4 x^2} \to 0$ และตามแกน $y$ ($x = 0$) ก็ $0$ — เส้นตรงทุกเส้นให้ 0

2. แต่ตามพาราโบลา $x = y^2$: $\dfrac{y^2 \cdot y^2}{y^4 + y^4} = \dfrac{y^4}{2y^4} = \dfrac{1}{2}$ สำหรับทุก $y \ne 0$

3. ได้ $0$ กับ $\tfrac12$ → ต่างกัน ลิมิตไม่มี

ลิมิตไม่มี (DNE) — ตัวอย่างนี้แสดงว่าการทดสอบด้วยเส้นตรงอย่างเดียวไม่พอ ต้องลองเส้นโค้งที่ “เข้ากับ” รูปของนิพจน์ด้วย

1. แทน $x^2 + y^2 = r^2$: นิพจน์เป็น $\dfrac{\sin r^2}{r^2}$ ไม่ขึ้นกับ $\theta$ เลย

2. เมื่อ $(x, y) \to (0, 0)$ ได้ $r \to 0^{+}$ และ $u = r^2 \to 0^{+}$ จึง $\dfrac{\sin u}{u} \to 1$ (ลิมิตตัวแปรเดียวมาตรฐาน)

$\displaystyle\lim = 1$ — เทคนิคนี้ใช้ได้เสมอเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันของ $x^2 + y^2$ เท่านั้น