พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. อินทิกรัล
  4. แคลคูลัสเบื้องต้น

// บทที่ 5.1 · อินทิกรัล · Basic Calculus

แคลคูลัสเบื้องต้นสำหรับวิศวกรรมไฟฟ้า

แคลคูลัสคือภาษาของสิ่งที่เปลี่ยนแปลง แรงดันที่ขึ้นลง กระแสที่ไหลเข้าตัวเก็บประจุ พลังงานที่สะสมทีละน้อย ทั้งหมดอธิบายได้ด้วยเครื่องมือสามอย่าง คือ ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
สรุปใน 30 วินาที
  • ลิมิต คือค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้ เมื่อตัวแปรเข้าใกล้ค่าหนึ่ง
  • อนุพันธ์ คืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง เช่น i=C dvdti = C\,\dfrac{dv}{dt}
  • ปริพันธ์ คือการสะสม เช่น พลังงาน W=∫p dtW = \int p\,dt
  • ไฟบ้าน 220 V คือค่า RMS ค่ายอดจริงคือ 2202≈311220\sqrt2 \approx 311 V

แคลคูลัสใช้ทำอะไรในงานไฟฟ้า

ลองดูความสัมพันธ์ของอุปกรณ์พื้นฐานสามตัวในวงจร

v=R ii=C dvdtv=L didtv = R\,i \qquad i = C\,\frac{dv}{dt} \qquad v = L\,\frac{di}{dt}
ตัวต้านทานใช้แค่พีชคณิต แต่ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำต้องใช้อนุพันธ์

ตัวต้านทานตอบสนองต่อค่าของแรงดัน ณ ขณะนั้น แต่ตัวเก็บประจุตอบสนองต่อ การเปลี่ยนแปลง ของแรงดัน ถ้าแรงดันคงที่ กระแสในตัวเก็บประจุจะเป็นศูนย์ นี่คือเหตุผลที่ตัวเก็บประจุ "กั้นไฟตรง" และเป็นเหตุผลที่วิศวกรไฟฟ้าต้องเข้าใจแคลคูลัส

หน้านี้คือบทสรุปสั้นสำหรับทบทวนก่อนเริ่มอินทิกรัล แต่ละหัวข้อมีหน้าเต็มของตัวเองแล้ว: ฟังก์ชัน · ลิมิตและความต่อเนื่อง (นิยาม ε–δ แบบลากได้) · อนุพันธ์ (สูตรครบ กฎลูกโซ่ ค่าสุดขีด นิวตัน-ราฟสัน) · อินทิกรัล และการประยุกต์อินทิกรัลในงานไฟฟ้า เครื่องกล โยธา

ลิมิต: ค่าที่เข้าใกล้

ลิมิตตอบคำถามว่า เมื่อ xx เข้าใกล้ aa มาก ๆ ค่าของ f(x)f(x) เข้าใกล้อะไร เขียนว่า

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L

สิ่งสำคัญคือ ลิมิตไม่สนใจว่า f(a)f(a) มีค่าหรือไม่ สนใจเพียงพฤติกรรมของฟังก์ชันรอบ ๆ จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 1

หาค่า lim⁡x→2x2−4x−2\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}

แทน x=2x = 2 ตรง ๆ จะได้ 00\tfrac{0}{0} ซึ่งไม่มีความหมาย แต่ไม่ได้แปลว่าลิมิตไม่มีค่า

ดูวิธีทำ

แยกตัวประกอบตัวเศษ แล้วตัดกัน (ทำได้เพราะ x≠2x \ne 2 ขณะเข้าใกล้)

lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4

ลิมิตมีค่าเท่ากับ 4 แม้ฟังก์ชันเดิมจะไม่นิยามที่ x=2x = 2

อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง

อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัสกราฟ หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง นิยามด้วยลิมิตดังนี้

f′(x)=dfdx=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \frac{df}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในช่วงสั้น ๆ hh เมื่อทำให้ช่วงนั้นเล็กลงจนเข้าใกล้ศูนย์
ตัวอย่างที่ 2

หาอนุพันธ์ของ f(x)=x3f(x) = x^3 จากนิยาม

ดูวิธีทำ (x+h)3−x3h=3x2h+3xh2+h3h=3x2+3xh+h2\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2

เมื่อ h→0h \to 0 สองพจน์หลังหายไป

ddxx3=3x2\dfrac{d}{dx}x^3 = 3x^2 ซึ่งตรงกับกฎยกกำลัง ddxxn=nxn−1\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

กฎที่ใช้บ่อย

กฎสูตร
ยกกำลังddxxn=nxn−1\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
ผลคูณ(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
ผลหาร(uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}
ลูกโซ่ddxf(g(x))=f′(g(x)) g′(x)\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)
ฟังก์ชันพื้นฐาน(sin⁡x)′=cos⁡x, (cos⁡x)′=−sin⁡x, (ex)′=ex, (ln⁡x)′=1x(\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x,\ (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \dfrac{1}{x}
ตัวอย่างที่ 3 · วงจร

กระแสในตัวเก็บประจุ

ป้อนแรงดัน v(t)=10sin⁡(100t)v(t) = 10\sin(100t) V ให้ตัวเก็บประจุ C=1 μFC = 1\ \mu\text{F} กระแสที่ไหลเป็นเท่าใด

ดูวิธีทำ

ใช้ i=C dv/dti = C\,dv/dt และกฎลูกโซ่ ddtsin⁡(100t)=100cos⁡(100t)\dfrac{d}{dt}\sin(100t) = 100\cos(100t)

i(t)=(1×10−6)(10)(100)cos⁡(100t)=1×10−3cos⁡(100t) A\begin{aligned} i(t) &= (1\times10^{-6})(10)(100)\cos(100t) \\ &= 1\times10^{-3}\cos(100t)\ \text{A} \end{aligned}

i(t)=1cos⁡(100t)i(t) = 1\cos(100t) mA สังเกตว่ากระแสเป็นโคไซน์ แรงดันเป็นไซน์ กระแสจึง นำหน้า แรงดันอยู่ 90° ซึ่งเป็นคุณสมบัติของตัวเก็บประจุในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ

ปริพันธ์: การสะสม

ปริพันธ์ทำงานกลับกับอนุพันธ์ ถ้ารู้อัตราการเปลี่ยนแปลง ปริพันธ์จะบอกว่าสะสมได้เท่าไร ในเชิงเรขาคณิตคือพื้นที่ใต้กราฟ เครื่องมือหลักคือทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)เมื่อ F′(x)=f(x)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \qquad \text{เมื่อ } F'(x) = f(x)
หาพื้นที่ได้ด้วยการหาฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันคือ f(x)f(x)
ตัวอย่างที่ 4 · วงจร

พลังงานที่สะสมในตัวเก็บประจุ

ประจุตัวเก็บประจุ C=100 μFC = 100\ \mu\text{F} จาก 0 ถึง 12 V สะสมพลังงานได้เท่าใด

ดูวิธีทำ

กำลังไฟฟ้า p=vi=v C dvdtp = vi = v\,C\,\dfrac{dv}{dt} ดังนั้น dW=p dt=Cv dvdW = p\,dt = Cv\,dv อินทิเกรตตั้งแต่ 0 ถึง VV

W=∫0VCv dv=12CV2=12(100×10−6)(12)2=7.2×10−3 J\begin{aligned} W &= \int_0^{V} Cv\,dv = \frac{1}{2}CV^2 \\ &= \frac{1}{2}(100\times10^{-6})(12)^2 = 7.2\times10^{-3}\ \text{J} \end{aligned}

พลังงาน 7.2 mJ และได้สูตร 12CV2\tfrac12 CV^2 มาจากการอินทิเกรต ไม่ต้องท่องจำ

ตัวอย่างที่ 5 · ไฟฟ้ากระแสสลับ

ทำไมไฟบ้าน 220 V จึงมีค่ายอด 311 V

ค่า RMS (root mean square) คือรากที่สองของค่าเฉลี่ยของกำลังสอง เป็นค่าที่ให้ความร้อนในตัวต้านทานเท่ากับไฟตรงขนาดเดียวกัน

ดูวิธีทำ Vrms=1T∫0Tv2(t) dtV_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}

แทน v=Vmsin⁡ωtv = V_m\sin\omega t และใช้เอกลักษณ์ sin⁡2θ=12(1−cos⁡2θ)\sin^2\theta = \tfrac{1}{2}(1-\cos 2\theta) ส่วนที่เป็นโคไซน์อินทิเกรตครบคาบได้ศูนย์

1T∫0TVm2sin⁡2ωt dt=Vm22⇒Vrms=Vm2\frac{1}{T}\int_0^T V_m^2\sin^2\omega t\,dt = \frac{V_m^2}{2} \quad\Rightarrow\quad V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt2}

ไฟบ้าน Vrms=220V_{\text{rms}} = 220 V จึงมีค่ายอด Vm=2202≈311V_m = 220\sqrt2 \approx 311 V

อยากฝึกอินทิเกรตให้คล่อง: สูตรครบทุกกลุ่มพร้อมชื่อสากล การเปลี่ยนตัวแปร u การหารยาว เศษส่วนย่อย และอินทิกรัลจำกัดเขตแบบแทนค่าทีละขั้น อยู่ในบทอินทิกรัล: สูตรและวิธีทำ

ต่อยอดไปบทถัดไป

อนุพันธ์และปริพันธ์เป็นเครื่องมือที่ใช้ตลอดทั้งคลังความรู้นี้ ฝึกต่อที่สูตรอินทิเกรตและวิธีทำทีละขั้น แล้วดูว่าวิศวกรใช้อินทิกรัลทำอะไรในหน้าการประยุกต์ ซึ่งมีแล็บคานให้ดูน้ำหนัก แรงเฉือน โมเมนต์ และการโก่งต่อกันเป็นสายอินทิกรัล หลังจากนั้นคือ พีชคณิตของเวกเตอร์ และเมื่อถึง การแปลงลาปลาซ สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรจะกลายเป็นพีชคณิตที่แก้ได้ง่ายขึ้นมาก

คำถามที่พบบ่อย

แคลคูลัสเบื้องต้นต้องมีพื้นฐานอะไรบ้าง?

พีชคณิต ฟังก์ชัน และตรีโกณมิติระดับมัธยมปลาย โดยเฉพาะการแยกตัวประกอบ เลขยกกำลัง และฟังก์ชัน sin, cos

อนุพันธ์กับปริพันธ์ต่างกันอย่างไร?

อนุพันธ์บอกอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะหนึ่ง ส่วนปริพันธ์บอกปริมาณที่สะสมรวมกัน ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบอกว่าสองอย่างนี้เป็นกระบวนการย้อนกลับของกันและกัน

ทำไมนักศึกษาวิศวกรรมไฟฟ้าต้องเรียนแคลคูลัส?

เพราะความสัมพันธ์พื้นฐานของวงจรเขียนด้วยแคลคูลัส เช่น กระแสในตัวเก็บประจุ i=C dv/dti = C\,dv/dt แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ v=L di/dtv = L\,di/dt พลังงานที่สะสม และค่า RMS ของไฟฟ้ากระแสสลับ

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์