เกณฑ์เสถียรภาพของเราท์–เฮอร์วิตซ์ (Routh–Hurwitz Criterion)

1. เงื่อนไขจำเป็น R1: สัมประสิทธิ์ 1, 2, 3, 4, 5 บวกหมด ไม่มีพจน์หาย ผ่าน แต่ยังสรุปไม่ได้ ต้องสร้างตาราง

2. เขียนสองแถวแรกแบบสลับ R2: แถว $s^4$ ได้ 1, 3, 5 และแถว $s^3$ ได้ 2, 4, 0

3. แถว $s^2$ R3

   $$b_1 = \frac{2\cdot3 - 1\cdot4}{2} = \hlP{1}, \qquad b_2 = \frac{2\cdot5 - 1\cdot0}{2} = 5$$

4. แถว $s^1$ ใช้แถว $s^3$ และ $s^2$

   $$c_1 = \frac{1\cdot4 - 2\cdot5}{1} = \hlP{-6}$$

5. แถว $s^0$: $d_1 = \dfrac{(-6)(5) - 1\cdot0}{-6} = \hlP{5}$ (เท่ากับ $a_n = 5$ ตามที่ควรเป็น ✓)

   หลักแรก: + + + − + เปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้ง (1 → −6 และ −6 → 5)

   s⁴	1	3	5
   s³	2	4	0
   s²	1	5
   s¹	−6
   s⁰	5

หลักแรกเปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง R4 จึงมีรากฝั่งขวา 2 ตัว ระบบไม่เสถียร แม้สัมประสิทธิ์จะเป็นบวกทั้งหมด

ตรวจด้วยรากจริง: $s = 0.288 \pm j1.416$ (ฝั่งขวา 2 ตัว ✓) และ $s = -1.288 \pm j0.858$

1. (ก) สัมประสิทธิ์บวกหมด ตรวจ $a_2a_1 \gt a_3a_0$ R6: $4 \times 3 = 12 \gt 2 \times 5 = 10$ ✓

2. (ข) สัมประสิทธิ์บวกหมด แต่ $1 \times 2 = 2 \lt 1 \times 3 = 3$ ✗ สร้างตารางยืนยัน

   s³	1	2
   s²	1	3
   s¹	(1·2 − 1·3)/1 = −1
   s⁰	3

(ก) เสถียร · (ข) ไม่เสถียร มีรากฝั่งขวา 2 ตัว

รากจริง (ก): $-1.902$ และ $-0.049 \pm j1.145$ เสถียรแต่ใกล้แกน $j\omega$ มาก (12 กับ 10 ห่างกันนิดเดียว) · (ข): $0.138 \pm j1.527$ และ $-1.276$ ✓

1. สองแถวแรก $s^5$: 1, 2, 11 และ $s^4$: 2, 4, 10

2. แถว $s^3$: $\dfrac{2\cdot2 - 1\cdot4}{2} = \hlP{0}$, $\dfrac{2\cdot11 - 1\cdot10}{2} = 6$ หลักแรกเป็นศูนย์แต่แถวไม่เป็นศูนย์ แทนด้วย $\varepsilon$ R7

3. แถว $s^2$

   $$\frac{\varepsilon\cdot4 - 2\cdot6}{\varepsilon} = \frac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon} \xrightarrow{\ \varepsilon \to 0^+\ } -\infty \ (\text{ลบ}), \qquad \frac{\varepsilon\cdot10 - 2\cdot0}{\varepsilon} = 10$$

4. แถว $s^1$: ให้ $c_1 = \frac{4\varepsilon - 12}{\varepsilon}$ ได้ $\dfrac{c_1\cdot6 - \varepsilon\cdot10}{c_1} = 6 - \dfrac{10\varepsilon^2}{4\varepsilon - 12} \to 6$ (บวก) และแถว $s^0$ = 10

   หลักแรกเมื่อ ε → 0⁺: + + + − + +

   s⁵	1	2	11
   s⁴	2	4	10
   s³	ε (+)	6
   s²	(4ε − 12)/ε → −	10
   s¹	→ 6
   s⁰	10

เปลี่ยนเครื่องหมาย 2 ครั้ง (ε → ลบ → 6) จึงมีรากฝั่งขวา 2 ตัว ไม่เสถียร

รากจริง: $0.895 \pm j1.456$ (ฝั่งขวา 2 ตัว ✓), $-1.241 \pm j1.038$, $-1.309$ · ถ้าใช้ $\varepsilon \lt 0$ หลักแรกจะเป็น + + − + + + ก็เปลี่ยน 2 ครั้งเท่ากัน

1. สองแถวแรก $s^5$: 1, 6, 8 และ $s^4$: 7, 42, 56 หารแถว $s^4$ ด้วย 7 ได้ 1, 6, 8 R5

2. แถว $s^3$: $\dfrac{1\cdot6 - 1\cdot6}{1} = 0$, $\dfrac{1\cdot8 - 1\cdot8}{1} = 0$ ศูนย์ทั้งแถว

3. สร้างพหุนามช่วยจากแถว $s^4$ (1, 6, 8) แล้วหาอนุพันธ์ R9

   $$A(s) = s^4 + 6s^2 + 8, \qquad \frac{dA}{ds} = \hlP{4}s^3 + 12s \ \Rightarrow\ \text{แถว } s^3 = 4,\ 12 \ (\text{หารด้วย 4 ได้ } 1,\ 3)$$

4. ทำต่อ แถว $s^2$: $\dfrac{1\cdot6 - 1\cdot3}{1} = 3$, $8$ · แถว $s^1$: $\dfrac{3\cdot3 - 1\cdot8}{3} = \tfrac13$ · แถว $s^0$: 8

   แถว s⁴ ถูกหารด้วย 7 · แถว s³ มาจาก dA/ds (หารด้วย 4)

   s⁵	1	6	8
   s⁴	1	6	8
   s³	1	3
   s²	3	8
   s¹	1/3
   s⁰	8

5. ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย รากทั้ง 4 ของ $A(s)$ จึงอยู่บนแกน $j\omega$ แยกตัวประกอบได้

   $$A(s) = (s^2 + 2)(s^2 + 4) \ \Rightarrow\ s = \pm j\sqrt2,\ \pm j2$$

ไม่มีรากฝั่งขวา มีรากบนแกน $j\omega$ 4 ตัว (ไม่ซ้ำ) และอีก 1 ตัวฝั่งซ้าย ระบบเสถียรวิกฤต (marginally stable) จะแกว่งค้างที่ $\omega = \sqrt2$ และ $2$ rad/s

ตรวจ: หารยาว $s^5 + 7s^4 + 6s^3 + 42s^2 + 8s + 56 = (s + 7)(s^4 + 6s^2 + 8)$ รากที่เหลือคือ $-7$ ✓

1. สมการลักษณะเฉพาะ: $1 + \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)} = 0 \Rightarrow s(s^2 + 3s + 2) + K = 0$

   $$s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0$$

2. สร้างตาราง

   s³	1	2
   s²	3	K
   s¹	(6 − K)/3
   s⁰	K

3. ให้หลักแรกเป็นบวกทุกตัว: $\dfrac{6 - K}{3} \gt 0 \Rightarrow K \lt 6$ และ $K \gt 0$ ได้ $\hlC{0 \lt K \lt 6}$ (ตรงกับสูตรลัด R6: $3 \cdot 2 \gt 1 \cdot K$)

4. ที่ $K_{cr} = 6$ แถว $s^1$ เป็นศูนย์ ใช้แถว $s^2$ เป็นพหุนามช่วย R10

   $$3s^2 + 6 = 0 \ \Rightarrow\ s = \pm j\sqrt2 \ \Rightarrow\ \hlC{\omega_{cr} = \sqrt2 = 1.414\ \text{rad/s}}$$

เสถียรเมื่อ $0 \lt K \lt 6$ · ที่ $K = 6$ ระบบแกว่งค้างที่ $\omega = \sqrt2$ rad/s (คาบ $T_{cr} = 2\pi/\sqrt2 = 4.44$ s)

ตรวจ: $s^3 + 3s^2 + 2s + 6 = (s + 3)(s^2 + 2)$ รากคือ $-3,\ \pm j\sqrt2$ ✓ · ลากแถบ $K$ ในแล็บท้ายหน้าไปที่ 6 จุดส้มจะอยู่บนแกน $j\omega$ พอดี

1. $s(s - 1)(s + 6) + K(s + 1) = s^3 + 5s^2 - 6s + Ks + K$

   $$s^3 + 5s^2 + (K - 6)s + K = 0$$

2. ตาราง: $s^3$: 1, $K - 6$ · $s^2$: 5, $K$ · $s^1$: $\dfrac{5(K - 6) - K}{5} = \dfrac{4K - 30}{5}$ · $s^0$: $K$

3. เงื่อนไข: $4K - 30 \gt 0 \Rightarrow K \gt 7.5$ และ $K \gt 0$

4. ที่ $K = 7.5$: แถว $s^2$ ให้ $5s^2 + 7.5 = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt{1.5} = 1.225$ rad/s

เสถียรเมื่อ $\hlC{K \gt 7.5}$ ต่างจาก R-5 ตรงที่ต้องใช้เกนสูงพอจึงเสถียร เพราะพลานต์มีขั้วที่ $s = +1$ ต้องอาศัยการป้อนกลับที่แรงพอดึงขั้วนั้นกลับมาฝั่งซ้าย

ตรวจ $K = 7.5$: $s^3 + 5s^2 + 1.5s + 7.5 = (s + 5)(s^2 + 1.5)$ ✓ · พลานต์แบบนี้พบในลูกตุ้มกลับหัว ลอยแม่เหล็ก และหุ่นยนต์ทรงตัว

1. $s^4$: 1, 3, $K$ · $s^3$: 3, 2 · $s^2$: $\dfrac{3\cdot3 - 1\cdot2}{3} = \dfrac73$, $\dfrac{3K - 0}{3} = K$

2. $s^1$: $\dfrac{\frac73\cdot2 - 3K}{\frac73} = 2 - \dfrac{9K}{7}$ · $s^0$: $K$

3. $2 - \dfrac{9K}{7} \gt 0 \Rightarrow K \lt \dfrac{14}{9}$ และ $K \gt 0$

4. ที่ $K = \tfrac{14}{9}$: $\tfrac73s^2 + \tfrac{14}{9} = 0 \Rightarrow s^2 = -\tfrac23 \Rightarrow \omega = \sqrt{2/3} = 0.816$ rad/s

$\hlC{0 \lt K \lt 14/9 \approx 1.556}$ · แกว่งที่ $\omega = 0.816$ rad/s

รากที่ $K = 14/9$: $\pm j0.8165$ และ $-1.5 \pm j0.289$ ✓

1. $1 + \dfrac{K_Ps + K_I}{s(s+1)(s+2)} = 0 \Rightarrow s^3 + 3s^2 + (2 + K_P)s + K_I = 0$

2. สูตรลัดอันดับสาม R6: ทุกสัมประสิทธิ์บวก และ $3(2 + K_P) \gt K_I$

$\hlC{K_P \gt -2,\quad 0 \lt K_I \lt 3(2 + K_P)}$ เป็นบริเวณสามเหลี่ยมเปิดในระนาบ $K_P$–$K_I$ ยิ่งเพิ่ม $K_P$ ยิ่งใส่ $K_I$ ได้มาก แต่ $K_I$ มากเกินไปจะไม่เสถียรเสมอ (เทอม I เพิ่มความล่าช้าเฟส)

ตรวจขอบ $K_P = 3,\ K_I = 15$: $s^3 + 3s^2 + 5s + 15 = (s + 3)(s^2 + 5)$ รากบนแกนที่ $\pm j\sqrt5$ ✓ · ดูต่อที่หน้า PID

1. แทน $s = z - \tfrac14$ แล้วกระจาย R11

   $$z^3 + \tfrac94z^2 + \tfrac{11}{16}z + \left(K - \tfrac{21}{64}\right) = 0$$

2. สูตรลัดอันดับสาม: $K - \tfrac{21}{64} \gt 0$ และ $\tfrac94 \cdot \tfrac{11}{16} \gt K - \tfrac{21}{64} \Rightarrow K \lt \tfrac{15}{8}$

3. ลอง $\sigma = 0.5$: แทน $s = z - \tfrac12$ ได้ $z^3 + \tfrac32z^2 - \tfrac14z + \left(K - \tfrac38\right)$ สัมประสิทธิ์ของ $z$ เป็นลบไม่ว่า $K$ เท่าไร R1

$\hlC{21/64 \lt K \lt 15/8}$ ขั้วทุกตัวอยู่ซ้ายของ $-0.25$ · แต่ไม่มี $K$ ใดที่ดันขั้วทุกตัวไปซ้ายของ $-0.5$ ได้ ตัวควบคุมแบบ P อย่างเดียวทำไม่ได้ ต้องเพิ่มศูนย์ด้วย lead หรือ PD ซึ่งรูทโลคัสจะอธิบายว่าทำไม

ตรวจ $K = 15/8$: รากคือ $-2.5,\ -0.25 \pm j0.829$ ✓ · $K = 21/64$: $-2.135,\ -0.615,\ -0.25$ ✓

1. $a_0 = 1,\ a_1 = 2,\ a_2 = 3,\ a_3 = 4,\ a_4 = 5$ R12

   $$H = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \Delta_1 = 2,\ \Delta_2 = 2,\ \Delta_3 = -12,\ \Delta_4 = -60$$

2. อัตราส่วน: $1,\ 2,\ \tfrac22 = 1,\ \tfrac{-12}{2} = -6,\ \tfrac{-60}{-12} = 5$

ได้ 1, 2, 1, −6, 5 ตรงกับหลักแรกของตารางเราท์ในตัวอย่าง R-1 ทุกตัว ✓