พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. เวกเตอร์
  4. หมุนแกนพิกัด

// เวกเตอร์ · ส่วนที่ 3 · Rotation of axes & rotation matrices

การหมุนแกนพิกัด: เมทริกซ์หมุน มุมออยเลอร์ และการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง

โจทย์พื้นเอียงง่ายขึ้นทันทีเมื่อหมุนแกน x ให้ขนานกับพื้น โดรนรู้ว่าตัวเองเอียงเท่าไรจากการอ่านแรงโน้มถ่วงในแกนของตัวเอง และอินเวอร์เตอร์ขับมอเตอร์ควบคุมกระแสได้นิ่งเพราะหมุนแกนตามโรเตอร์ ทั้งหมดใช้ความคิดเดียว: เวกเตอร์ไม่เปลี่ยน แต่ตัวเลขที่ใช้บรรยายมันเปลี่ยนตามกรอบ บทนี้สร้างเมทริกซ์หมุนจาก dot product แล้วต่อยอดสู่สามมิติ มุมออยเลอร์ และงานไฟฟ้า

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
หมุนแกน 2 มิติเมทริกซ์ 3 มิติมุมออยเลอร์การแปลง Park
สรุปใน 30 วินาที
  • องค์ประกอบในแกนใหม่ = dot product กับเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่
  • 2D: x′=xcos⁡θ+ysin⁡θ, y′=−xsin⁡θ+ycos⁡θx'=x\cos\theta+y\sin\theta,\ y'=-x\sin\theta+y\cos\theta คือ v′=R(θ)Tv\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v
  • RTR=I, det⁡R=1R^{\mathsf T}R=I,\ \det R=1: ความยาวและมุมไม่เปลี่ยน
  • 3D: R=Rz(ψ)Ry(θ)Rx(ϕ)R=R_z(\psi)R_y(\theta)R_x(\phi) ลำดับสำคัญ — คูณสลับแล้วได้คนละการหมุน

1. แนวคิด: ลูกศรเดิม ตัวเลขใหม่ พื้นฐาน

เวกเตอร์ความยาว 7.21 หน่วยที่ชี้ไปทางหนึ่ง อาจเขียนเป็น (6, 4) ในแกน xy หรือ (7.20, 0.46) ในแกนที่หมุนไป 30° ทั้งสองชุดบรรยายลูกศรเส้นเดียวกัน การเลือกกรอบที่ดีทำให้สมการง่ายลง เช่น ให้แกนหนึ่งขนานกับพื้นเอียง กับเพลามอเตอร์ หรือกับแขนหุ่นยนต์

เครื่องมือที่ทำงานนี้คือ dot product: ถ้า e1′\mathbf e_1' คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกน x′ องค์ประกอบ x′ ของ v\mathbf v คือ v⋅e1′\mathbf v\cdot\mathbf e_1' (การฉายบนแกนใหม่ ดู Component · Projection)

2. หมุนแกนในระนาบ พื้นฐาน

หมุนแกนไปทวนเข็ม θ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแกนใหม่คือ e1′=(cos⁡θ,sin⁡θ)\mathbf e_1'=(\cos\theta,\sin\theta) และ e2′=(−sin⁡θ,cos⁡θ)\mathbf e_2'=(-\sin\theta,\cos\theta) จึงได้

T1 Rotation of axes (2D) องค์ประกอบในแกนที่หมุน θ

x′=v⋅e1′=xcos⁡θ+ysin⁡θ,y′=v⋅e2′=−xsin⁡θ+ycos⁡θx'=\mathbf v\cdot\mathbf e_1'=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad y'=\mathbf v\cdot\mathbf e_2'=-x\sin\theta+y\cos\theta [x′y′]=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][xy]=R(θ)T[xy]\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=R(\theta)^{\mathsf T}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

T2 Active vs passive rotation หมุนเวกเตอร์กับหมุนแกน

หมุนเวกเตอร์ (active): vnew=R(θ)v,หมุนแกน (passive): v′=R(θ)Tv=R(−θ)v,R(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\text{หมุนเวกเตอร์ (active): }\mathbf v_{\text{new}}=R(\theta)\mathbf v,\qquad \text{หมุนแกน (passive): }\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v=R(-\theta)\mathbf v,\qquad R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}

ความสับสนอันดับหนึ่งของบทนี้: ตำราหุ่นยนต์มักใช้ active ส่วนตำรากลศาสตร์มักใช้ passive ให้ดูว่าอะไรถูกหมุน — ลูกศรหรือแกน

ตัวอย่าง T-1 · อ่านเวกเตอร์ในแกนที่หมุน 30°

v=(6,4)\mathbf v=(6,4) จงหาองค์ประกอบในแกนที่หมุนทวนเข็ม 30°

  1. x′=6cos⁡30∘+4sin⁡30∘=5.196+2=7.196x'=6\cos30^\circ+4\sin30^\circ=5.196+2=7.196

  2. y′=−6sin⁡30∘+4cos⁡30∘=−3+3.464=0.464y'=-6\sin30^\circ+4\cos30^\circ=-3+3.464=0.464

  3. ตรวจความยาว: 62+42=7.211\sqrt{6^2+4^2}=7.211 และ 7.1962+0.4642=7.211\sqrt{7.196^2+0.464^2}=7.211 ✓

v′=(7.196, 0.464)\mathbf v'=(7.196,\ 0.464) — แกน x′ เกือบขนานกับ v จึงได้ y′ เล็ก

3. เมทริกซ์หมุนเป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก กลาง

T3 Properties of rotation matrices สมบัติของเมทริกซ์หมุน

RTR=RRT=I,R−1=RT,det⁡R=+1,∥Rv∥=∥v∥,(Ra)⋅(Rb)=a⋅bR^{\mathsf T}R=RR^{\mathsf T}=I,\qquad R^{-1}=R^{\mathsf T},\qquad \det R=+1,\qquad \lVert R\mathbf v\rVert=\lVert\mathbf v\rVert,\qquad (R\mathbf a)\cdot(R\mathbf b)=\mathbf a\cdot\mathbf b

ทุกคอลัมน์คือแกนใหม่หนึ่งแกนที่เขียนในกรอบเดิม ถ้า det = −1 คือการสะท้อน (กลับมือ) ไม่ใช่การหมุน อินเวอร์สที่ได้จากการทรานสโพสทำให้คอมพิวเตอร์คำนวณเร็วมาก

เชื่อมกับ เมทริกซ์และการดำเนินการ และ ค่าเฉพาะ: เมทริกซ์หมุนสามมิติมีค่าเฉพาะ 1 หนึ่งค่า เวกเตอร์เฉพาะคู่กับค่านี้คือแกนหมุน

4. ใช้จริงครั้งแรก: พื้นเอียง พื้นฐาน

วางแกน x′ ตามพื้นเอียงมุม θ และ y′ ตั้งฉากพื้น น้ำหนัก W=(0,−mg)\mathbf W=(0,-mg) ในแกนเดิม หมุนแกนด้วย T1 ได้ Wx′=−mgsin⁡θW_{x'}=-mg\sin\theta (ลงเนิน) และ Wy′=−mgcos⁡θW_{y'}=-mg\cos\theta (กดพื้น) ทันที ไม่ต้องจำรูปสามเหลี่ยมที่สับสนมุม

ตัวอย่าง T-2 · กล่อง 10 kg บนพื้นเอียง 30°

จงหาองค์ประกอบน้ำหนักขนานและตั้งฉากกับพื้นด้วยการหมุนแกน

  1. W=(0,−98.1)\mathbf W=(0,-98.1) N, θ = 30°

  2. Wx′=0⋅cos⁡30∘+(−98.1)sin⁡30∘=−49.05W_{x'}=0\cdot\cos30^\circ+(-98.1)\sin30^\circ=-49.05 N · Wy′=−0⋅sin⁡30∘+(−98.1)cos⁡30∘=−84.96W_{y'}=-0\cdot\sin30^\circ+(-98.1)\cos30^\circ=-84.96 N

49.05 N ลงเนิน และ 84.96 N กดพื้น — ต่อด้วยแรงเสียดทานในแล็บด้านล่าง

5. หมุนในสามมิติ: Rx Ry Rz และลำดับการหมุน กลาง

T4 Elementary rotations (active, right-hand rule) เมทริกซ์หมุนรอบแกนหลัก

Rx(ϕ)=[1000cos⁡ϕ−sin⁡ϕ0sin⁡ϕcos⁡ϕ],Ry(θ)=[cos⁡θ0sin⁡θ010−sin⁡θ0cos⁡θ],Rz(ψ)=[cos⁡ψ−sin⁡ψ0sin⁡ψcos⁡ψ0001]R_x(\phi)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\phi&-\sin\phi\\0&\sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix},\quad R_y(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix},\quad R_z(\psi)=\begin{bmatrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\\sin\psi&\cos\psi&0\\0&0&1\end{bmatrix}

สังเกตเครื่องหมายของ R_y สลับตำแหน่งกับอีกสองตัว เพราะลำดับวงจร z → x (x × z = −y)

T5 Composition is not commutative ลำดับการหมุนสำคัญ

Rz(90∘)Rx(90∘) i=jแต่Rx(90∘)Rz(90∘) i=kR_z(90^\circ)R_x(90^\circ)\,\mathbf i=\mathbf j\qquad\text{แต่}\qquad R_x(90^\circ)R_z(90^\circ)\,\mathbf i=\mathbf k

ลองกับโทรศัพท์จริง: หมุนรอบแกนตั้งก่อนแล้วพลิก กับพลิกก่อนแล้วหมุน หน้าจอจะชี้คนละทิศ

6. มุมออยเลอร์ Z-Y-X: yaw pitch roll ของโดรนและแขนกล ขั้นสูง

T6 Z-Y-X Euler angles มุมออยเลอร์แบบ yaw-pitch-roll

R=Rz(ψ) Ry(θ) Rx(ϕ),vworld=R vbody,vbody=RTvworldR=R_z(\psi)\,R_y(\theta)\,R_x(\phi),\qquad \mathbf v_{\text{world}}=R\,\mathbf v_{\text{body}},\qquad \mathbf v_{\text{body}}=R^{\mathsf T}\mathbf v_{\text{world}}

ψ (yaw) หันรอบแกนตั้ง θ (pitch) เงยรอบแกน y ใหม่ φ (roll) หมุนควงรอบแกน x ใหม่ เมื่อ θ = ±90° จะเกิด gimbal lock (yaw กับ roll กลายเป็นแกนเดียวกัน) ระบบจริงจึงนิยม quaternion ภายใน

T7 Tilt from gravity (accelerometer at rest) หามุมเอียงจากแรงโน้มถ่วง

fbody=RT[00g]=g[−sin⁡θsin⁡ϕcos⁡θcos⁡ϕcos⁡θ] ⇒ θ=atan2⁡ ⁣(−fx,fy2+fz2),ϕ=atan2⁡(fy,fz)\mathbf f_{\text{body}}=R^{\mathsf T}\begin{bmatrix}0\\0\\g\end{bmatrix}=g\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi\cos\theta\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \theta=\operatorname{atan2}\!\big(-f_x,\sqrt{f_y^2+f_z^2}\big),\quad \phi=\operatorname{atan2}(f_y,f_z)

yaw หาจากแรงโน้มถ่วงไม่ได้ (การหมุนรอบแกนตั้งไม่เปลี่ยนทิศของ g) ต้องใช้แมกนีโตมิเตอร์ช่วย ดูตัวอย่าง K-5

ตัวอย่าง T-3 · ตรวจมุมเอียงของ IMU

บอร์ดเอียงด้วย ψ = 40°, θ = −25°, φ = 20° จงหาเมทริกซ์ R ค่าที่ accelerometer อ่านได้ขณะนิ่ง และกู้มุมเอียงกลับ

  1. R=Rz(40∘)Ry(−25∘)Rx(20∘)=[0.6943−0.7147−0.08440.58260.6269−0.51730.42260.31000.8517]R=R_z(40^\circ)R_y(-25^\circ)R_x(20^\circ)=\begin{bmatrix}0.6943&-0.7147&-0.0844\\0.5826&0.6269&-0.5173\\0.4226&0.3100&0.8517\end{bmatrix}, det R = 1

  2. f=RT(0,0,9.81)=9.81×(แถวที่ 3 ของ R)=(4.146, 3.041, 8.355)\mathbf f=R^{\mathsf T}(0,0,9.81)=9.81\times(\text{แถวที่ 3 ของ }R)=(4.146,\ 3.041,\ 8.355) m/s²

  3. θ=atan2⁡(−4.146,3.0412+8.3552)=−25.0∘\theta=\operatorname{atan2}(-4.146,\sqrt{3.041^2+8.355^2})=-25.0^\circ, ϕ=atan2⁡(3.041,8.355)=20.0∘\phi=\operatorname{atan2}(3.041,8.355)=20.0^\circ ✓

  4. ψ = 40° ไม่ปรากฏใน f เลย ยืนยันว่าต้องใช้เซนเซอร์อื่นหา yaw

accelerometer อ่าน (4.15, 3.04, 8.36) m/s² และกู้ pitch −25°, roll 20° ได้ตรง

7. หมุนรอบแกนใด ๆ: สูตรโรดริเกส ขั้นสูง

T8 Rodrigues' rotation formula หมุนรอบแกนหนึ่งหน่วย k ด้วยมุม θ

vrot=vcos⁡θ+(k×v)sin⁡θ+k(k⋅v)(1−cos⁡θ)\mathbf v_{\text{rot}}=\mathbf v\cos\theta+(\mathbf k\times\mathbf v)\sin\theta+\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v)(1-\cos\theta)

อ่านจากเวกเตอร์ล้วน: ส่วนที่ขนานกับแกน k(k⋅v)\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v) ไม่หมุน ส่วนตั้งฉากหมุนในระนาบที่มี v⊥\mathbf v_\perp และ k×v\mathbf k\times\mathbf v เป็นแกน — ใช้ทั้ง dot และ cross ในสูตรเดียว

ตัวอย่าง T-4 · หมุนรอบแนวทแยง

หมุน i=(1,0,0)\mathbf i=(1,0,0) รอบแกน k=(1,1,1)/3\mathbf k=(1,1,1)/\sqrt3 ไป 120°

  1. k⋅i=1/3\mathbf k\cdot\mathbf i=1/\sqrt3, k×i=(0,1,−1)/3\mathbf k\times\mathbf i=(0,1,-1)/\sqrt3, cos⁡120∘=−12\cos120^\circ=-\tfrac12, sin⁡120∘=32\sin120^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}

  2. v=(−12,0,0)+12(0,1,−1)+13(1,1,1)(32)=(−12+12, 12+12, −12+12)=(0,1,0)\mathbf v=(-\tfrac12,0,0)+\tfrac12(0,1,-1)+\tfrac{1}{3}(1,1,1)(\tfrac32)=(-\tfrac12+\tfrac12,\ \tfrac12+\tfrac12,\ -\tfrac12+\tfrac12)=(0,1,0)

ได้ j\mathbf j — การหมุน 120° รอบแนว (1,1,1) สลับแกน x → y → z → x เป็นวงจร

8. งานไฟฟ้า: การแปลง Clarke และ Park คือการหมุนแกน ขั้นสูง

มอเตอร์สามเฟสที่ควบคุมด้วย field oriented control (FOC) วัดกระแส ia,ib,ici_a,i_b,i_c ที่เป็นไซน์ แปลงเป็นเวกเตอร์สองมิติ (iα,iβ)(i_\alpha,i_\beta) บนระนาบนิ่ง (Clarke) ซึ่งหมุนด้วยความเร็วซิงโครนัส จากนั้นหมุนแกนตามมุมโรเตอร์ θ (Park) เวกเตอร์กระแสจึงนิ่งในกรอบ dq ทำให้ตัวควบคุม PI ควบคุมค่าคงที่ได้ เหมือนนั่งบนม้าหมุนแล้วม้าตัวหน้าดูอยู่กับที่

T9 Clarke and Park transforms (amplitude-invariant) การแปลง Clarke และ Park

iα=23(ia−12ib−12ic),iβ=13(ib−ic);[idiq]=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][iαiβ]i_\alpha=\tfrac23\big(i_a-\tfrac12 i_b-\tfrac12 i_c\big),\quad i_\beta=\tfrac{1}{\sqrt3}(i_b-i_c);\qquad \begin{bmatrix}i_d\\i_q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix}

เมทริกซ์ Park คือ T1 ทุกประการ — เป็นการหมุนแกนแบบ passive ด้วยมุมไฟฟ้าของโรเตอร์

ตัวอย่าง T-5 · กระแสสามเฟสสมดุล 10 A ที่ ωt = 30°

ia=10cos⁡ωt, ib=10cos⁡(ωt−120∘), ic=10cos⁡(ωt+120∘)i_a=10\cos\omega t,\ i_b=10\cos(\omega t-120^\circ),\ i_c=10\cos(\omega t+120^\circ) จงหา iα,iβi_\alpha,i_\beta และ id,iqi_d,i_q เมื่อ θ = ωt = 30°

  1. ia=8.660, ib=0, ic=−8.660i_a=8.660,\ i_b=0,\ i_c=-8.660 A

  2. Clarke: iα=23(8.660−0+4.330)=8.660i_\alpha=\tfrac23(8.660-0+4.330)=8.660 A, iβ=(0+8.660)/3=5.000i_\beta=(0+8.660)/\sqrt3=5.000 A → เวกเตอร์ยาว 10 A ที่มุม 30°

  3. Park: id=8.660cos⁡30∘+5sin⁡30∘=10.00i_d=8.660\cos30^\circ+5\sin30^\circ=10.00 A, iq=−8.660sin⁡30∘+5cos⁡30∘=0i_q=-8.660\sin30^\circ+5\cos30^\circ=0 A

  4. ไม่ว่า ωt เป็นเท่าใด ได้ id=10, iq=0i_d=10,\ i_q=0 เสมอ: ไซน์สามเส้นกลายเป็นค่าคงที่สองค่า

id=10i_d=10 A, iq=0i_q=0 — นี่คือเหตุผลที่ FOC ควบคุมแรงบิดของมอเตอร์ได้เหมือนมอเตอร์ DC

รายละเอียดการควบคุมอยู่ใน ระบบควบคุมในอิเล็กทรอนิกส์กำลัง และการหมุนของเฟสเซอร์ใน พื้นฐานเฟสเซอร์

9. ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดวิธีป้องกัน
ใช้ R แทน Rᵀ (หรือกลับกัน)ถามตัวเองว่าหมุนลูกศรหรือหมุนแกน ตรวจด้วยกรณีง่าย θ = 90°
คูณเมทริกซ์ผิดลำดับZYX หมายถึง RzRyRxR_zR_yR_x เวกเตอร์ถูกคูณด้วย R_x ก่อน (อยู่ขวาสุด)
ลืมแปลงองศาเป็นเรเดียนในโปรแกรมMath.cos ใน JavaScript/Python รับเรเดียน
ปัดเศษเมทริกซ์จนไม่ตั้งฉากตรวจ RTR≈IR^{\mathsf T}R\approx I และ det ≈ 1 หลังคำนวณเสมอ
คิดว่าหา yaw จาก accelerometer ได้การหมุนรอบแกนแรงโน้มถ่วงไม่เปลี่ยนค่าที่อ่าน ต้องใช้เข็มทิศหรือไจโร

10. แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย

  1. v=(3,−4)\mathbf v=(3,-4) จงหาองค์ประกอบในแกนที่หมุน 90° และ −53.13°
  2. หมุนเวกเตอร์ (1, 2, 0) ด้วย Rz(90∘)R_z(90^\circ)
  3. accelerometer นิ่งอ่าน (0, 4.905, 8.496) m/s² บอร์ดเอียงอย่างไร?
  4. กระแส iα=0, iβ=7i_\alpha=0,\ i_\beta=7 A และ θ = 90° จงหา id,iqi_d, i_q
เปิดเฉลย
  1. θ = 90°: (−4, −3) · θ = −53.13° (cos = 0.6, sin = −0.8): x′ = 3(0.6) + (−4)(−0.8) = 5, y′ = −3(−0.8) + (−4)(0.6) = 0 → (5, 0) แกน x′ ชี้ตามเวกเตอร์พอดี
  2. Rz(90∘)(1,2,0)=(−2,1,0)R_z(90^\circ)(1,2,0)=(-2,1,0)
  3. θ=atan2⁡(0,9.81)=0∘\theta=\operatorname{atan2}(0,9.81)=0^\circ, ϕ=atan2⁡(4.905,8.496)=30∘\phi=\operatorname{atan2}(4.905,8.496)=30^\circ: roll 30° ไม่เงย
  4. id=0⋅0+7⋅1=7i_d=0\cdot0+7\cdot1=7 A, iq=−0+7⋅0=0i_q=-0+7\cdot0=0

11. สรุปสูตร

หัวข้อสูตร
T1 หมุนแกน 2Dv′=R(θ)Tv\mathbf v'=R(\theta)^{\mathsf T}\mathbf v
T2 หมุนเวกเตอร์vnew=R(θ)v\mathbf v_{\text{new}}=R(\theta)\mathbf v
T3 สมบัติRTR=I, det⁡R=1R^{\mathsf T}R=I,\ \det R=1
T4–T6 สามมิติR=RzRyRxR=R_zR_yR_x ลำดับสำคัญ
T7 มุมเอียงจาก gθ=atan2⁡(−fx,fy2+fz2), ϕ=atan2⁡(fy,fz)\theta=\operatorname{atan2}(-f_x,\sqrt{f_y^2+f_z^2}),\ \phi=\operatorname{atan2}(f_y,f_z)
T8 โรดริเกสvcos⁡θ+(k×v)sin⁡θ+k(k⋅v)(1−cos⁡θ)\mathbf v\cos\theta+(\mathbf k\times\mathbf v)\sin\theta+\mathbf k(\mathbf k\cdot\mathbf v)(1-\cos\theta)
T9 Clarke–Parkหมุนแกน αβ ตามมุมโรเตอร์ได้ dq

12. แหล่งอ้างอิงและอ่านต่อ

ต่อไป: ใช้เมทริกซ์หมุนต่อกันเป็นโซ่ใน เวกเตอร์ในแขนกล หรือหมุนกรอบเองใน สตูดิโอเวกเตอร์ (ติ๊ก “กรอบหมุน”)

คำถามที่พบบ่อย

หมุนแกนกับหมุนเวกเตอร์ต่างกันอย่างไร?

หมุนเวกเตอร์ (active) คือย้ายลูกศรไปชี้ทิศใหม่ในกรอบเดิม v_new = R v ส่วนหมุนแกน (passive) คือเวกเตอร์อยู่ที่เดิมแต่เราอ่านองค์ประกอบในแกนที่หมุนไป v′ = Rᵀ v การหมุนแกนไป +θ ให้องค์ประกอบเหมือนการหมุนเวกเตอร์ไป −θ

เมทริกซ์หมุนมีสมบัติอะไร?

คอลัมน์และแถวเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกัน RᵀR = I จึงหาอินเวอร์สได้ง่าย R⁻¹ = Rᵀ และ det R = +1 การหมุนไม่เปลี่ยนความยาวและมุมระหว่างเวกเตอร์

ลำดับการหมุนสำคัญไหม?

สำคัญมากในสามมิติ การหมุนรอบ x แล้ว z ให้ผลต่างจาก z แล้ว x เพราะการคูณเมทริกซ์ไม่สลับที่ มุมออยเลอร์จึงต้องระบุลำดับเสมอ เช่น Z-Y-X (yaw-pitch-roll)

การหมุนแกนเกี่ยวกับมอเตอร์ไฟฟ้าอย่างไร?

การแปลง Park ในการควบคุมมอเตอร์แบบ field oriented control คือการหมุนแกน αβ ไปตามมุมโรเตอร์ θ ทำให้กระแสสามเฟสที่เป็นไซน์กลายเป็นค่าคงที่ i_d และ i_q ซึ่งควบคุมด้วย PI ได้ง่าย

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์