หน้าแรก คลังความรู้ อิเล็กทรอนิกส์กำลัง บั๊ก แบบจำลองเฉลี่ย Power Electronics ดูครบทุกส่วน · 22 หน้า // บทที่ 15.4 · อิเล็กทรอนิกส์กำลัง · Buck Averaged Model — State-Space Averaging & Small-Signal
แบบจำลองบั๊กด้วยการเฉลี่ยสถานะ (State-Space Averaging): จากสวิตช์ ON/OFF สู่สเตตสเปซสัญญาณเล็กทีละขั้น
เมื่อต้องการรู้ว่าแรงดันขาออกตอบสนองอย่างไรต่อการเปลี่ยนดิวตี้ แรงดันอินพุต หรือโหลด เราต้องการสมการที่ต่อเนื่องตามเวลา ไม่ใช่สองวงจรที่สลับกัน หน้านี้เฉลี่ยกระแสตัวเหนี่ยวนำและแรงดันตัวเก็บประจุตลอดคาบ แล้วรบกวนด้วยสัญญาณเล็กจนได้เมทริกซ์สเตตสเปซ พร้อมแล็บสร้างเองและแล็บทดสอบกับสวิตชิ่งจริง
สรุปใน 30 วินาที
ช่วง ON x ˙ = A 1 x + B 1 v g \dot x = A_1x + B_1v_g x ˙ = A 1 x + B 1 v g x ˙ = A 2 x + B 2 v g \dot x = A_2x + B_2v_g x ˙ = A 2 x + B 2 v g x = [ i L v C ] T x = [i_L\ \ v_C]^T x = [ i L v C ] T
เฉลี่ย: x ˙ = [ d A 1 + d ′ A 2 ] x + [ d B 1 + d ′ B 2 ] v g \dot x = [dA_1 + d'A_2]x + [dB_1 + d'B_2]v_g x ˙ = [ d A 1 + d ′ A 2 ] x + [ d B 1 + d ′ B 2 ] v g ค่าเฉลี่ยรายคาบ
จุดทำงาน X = − A − 1 B V g X = -A^{-1}BV_g X = − A − 1 B V g V o = D V g V_o = DV_g V o = D V g d = D + d ^ d = D+\hat d d = D + d ^
ได้ x ^ ˙ = A x ^ + B g v ^ g + B d d ^ \dot{\hat x} = A\hat x + B_g\hat v_g + B_d\hat d x ^ ˙ = A x ^ + B g v ^ g + B d d ^ B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g B_d = (A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
ทำไมต้องเฉลี่ย และเฉลี่ยอะไร พื้นฐาน
ในหน้า CCM เราหา สถานะคงตัว (DC) ซึ่งตอบคำถามว่า "ตั้ง D เท่าไรจึงได้ Vo " แต่การออกแบบวงป้อนกลับต้องรู้ ไดนามิก : ถ้าเพิ่ม D เล็กน้อย แรงดันขาออกจะตอบสนองอย่างไร (ตกลงก่อน? แกว่ง? ช้าแค่ไหน?) ปัญหาคือ iL และ vC ที่สวิตช์จริงขยับเป็นสามเหลี่ยมทุกคาบ ซึ่งไม่ใช่สิ่งที่เราสนใจ เราสนใจแค่ แนวโน้มช้า ของมัน นั่นคือ ค่าเฉลี่ยรายคาบ
ดิวตี้เปลี่ยน D → D + ΔD iL ที่สวิตช์จริง (เส้นบาง) กับค่าเฉลี่ยรายคาบ ⟨iL⟩ (เส้นหนา) — แบบจำลองเฉลี่ยตามเฉพาะเส้นหนา เวลา (หน่วย: คาบสวิตช์ Ts) iL กระแสเฉลี่ยรายคาบนิยามเป็น ⟨ i L ⟩ T s ( t ) = 1 T s ∫ t − T s t i L ( τ ) d τ \langle i_L\rangle_{T_s}(t) = \dfrac{1}{T_s}\displaystyle\int_{t-T_s}^{t} i_L(\tau)\,d\tau ⟨ i L ⟩ T s ( t ) = T s 1 ∫ t − T s t i L ( τ ) d τ d d t ⟨ i L ⟩ = ⟨ d i L d t ⟩ \dfrac{d}{dt}\langle i_L\rangle = \langle \dfrac{di_L}{dt}\rangle d t d ⟨ i L ⟩ = ⟨ d t d i L ⟩ d i L / d t di_L/dt d i L / d t state-space averaging (Middlebrook และ Ćuk, 1976) ต่อไปนี้ x x x ⟨ ⟩ \langle\ \rangle ⟨ ⟩
ข้อสมมติสำคัญ: ความถี่ของสัญญาณที่สนใจและขั้วของระบบต้องต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก (ดูหัวข้อขอบเขตการใช้งาน ) และวงจรอยู่ใน CCM ตลอด (ถ้า DCM ใช้แบบจำลองอันดับต่ำกว่า ดูหน้าฟังก์ชันถ่ายโอน )
ขั้นที่ 1–2: เขียนสมการสถานะของแต่ละช่วงสวิตช์ พื้นฐาน
เลือกตัวแปรสถานะคือตัวที่เก็บพลังงาน: กระแสตัวเหนี่ยวนำ i L i_L i L v C v_C v C x = [ i L v C ] T x = [\,i_L\ \ v_C\,]^T x = [ i L v C ] T v g v_g v g d d d v o v_o v o v o = v C v_o = v_C v o = v C
ช่วง ON (Q นำ)
จาก KVL ที่ L และ KCL ที่ C (วงจรดูรูปหน้า CCM ): L d i L d t = v g − v C L\dfrac{di_L}{dt} = v_g - v_C L d t d i L = v g − v C C d v C d t = i L − v C R C\dfrac{dv_C}{dt} = i_L - \dfrac{v_C}{R} C d t d v C = i L − R v C
[ i ˙ L v ˙ C ] ⏟ x ˙ = [ 0 − 1 L 1 C − 1 R C ] ⏟ A 1 [ i L v C ] + [ 1 L 0 ] ⏟ B 1 v g , v o = [ 0 1 ] ⏟ C 1 x \underbrace{\begin{bmatrix}\dot i_L\\ \dot v_C\end{bmatrix}}_{\dot x} = \underbrace{\begin{bmatrix}0 & -\dfrac1L\\[4pt] \dfrac1C & -\dfrac1{RC}\end{bmatrix}}_{A_1}\begin{bmatrix}i_L\\ v_C\end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix}\dfrac1L\\[4pt] 0\end{bmatrix}}_{B_1}v_g,\qquad v_o = \underbrace{\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}}_{C_1}x x ˙ [ i ˙ L v ˙ C ] = A 1 0 C 1 − L 1 − RC 1 [ i L v C ] + B 1 [ L 1 0 ] v g , v o = C 1 [ 0 1 ] x
ช่วง OFF (ไดโอดนำ)
แรงดันอินพุตหลุดออกจากวงจร: L d i L / d t = − v C L\,di_L/dt = -v_C L d i L / d t = − v C
X1 Switched state equations (ideal buck)
A 1 = A 2 = [ 0 − 1 L 1 C − 1 R C ] , B 1 = [ 1 L 0 ] , B 2 = [ 0 0 ] , C 1 = C 2 = [ 0 1 ] A_1 = A_2 = \begin{bmatrix}0 & -\frac1L\\ \frac1C & -\frac1{RC}\end{bmatrix},\qquad B_1 = \begin{bmatrix}\frac1L\\ 0\end{bmatrix},\quad B_2 = \begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix},\qquad C_1 = C_2 = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix} A 1 = A 2 = [ 0 C 1 − L 1 − RC 1 ] , B 1 = [ L 1 0 ] , B 2 = [ 0 0 ] , C 1 = C 2 = [ 0 1 ] สังเกต: ในบั๊กอุดมคติ A 1 = A 2 A_1 = A_2 A 1 = A 2 B B B A 1 ≠ A 2 A_1 \ne A_2 A 1 = A 2 ผลของค่าแฝง
ขั้นที่ 3: เฉลี่ยตามเวลา พื้นฐาน
ภายในหนึ่งคาบ ระบบอยู่ใน ON เป็นสัดส่วน d d d d ′ = 1 − d d' = 1-d d ′ = 1 − d
X2 Averaged state equation
x ˙ = [ d A 1 + d ′ A 2 ] x + [ d B 1 + d ′ B 2 ] v g , v o = [ d C 1 + d ′ C 2 ] x \dot x = \big[dA_1 + d'A_2\big]\,x + \big[dB_1 + d'B_2\big]\,v_g,\qquad v_o = \big[dC_1 + d'C_2\big]\,x x ˙ = [ d A 1 + d ′ A 2 ] x + [ d B 1 + d ′ B 2 ] v g , v o = [ d C 1 + d ′ C 2 ] x แทนค่าของบั๊กอุดมคติ: A = d A 1 + d ′ A 2 = A 1 A = dA_1 + d'A_2 = A_1 A = d A 1 + d ′ A 2 = A 1 B = d B 1 + d ′ B 2 = d B 1 B = dB_1 + d'B_2 = d\,B_1 B = d B 1 + d ′ B 2 = d B 1
d ⟨ i L ⟩ d t = d v g − v C L , d v C d t = i L C − v C R C \frac{d\langle i_L\rangle}{dt} = \frac{d\,v_g - v_C}{L},\qquad \frac{dv_C}{dt} = \frac{i_L}{C} - \frac{v_C}{RC} d t d ⟨ i L ⟩ = L d v g − v C , d t d v C = C i L − RC v C
ความหมายทางกายภาพ: แรงดันเฉลี่ยที่ L เห็นคือ d ( v g − v C ) + ( 1 − d ) ( − v C ) = d v g − v C d(v_g - v_C) + (1-d)(-v_C) = d\,v_g - v_C d ( v g − v C ) + ( 1 − d ) ( − v C ) = d v g − v C สวิตช์กับไดโอดรวมกันทำหน้าที่เป็นแหล่งแรงดัน d ⋅ v g d\cdot v_g d ⋅ v g ที่ป้อนตัวกรอง LC ตรงกับมุมมอง ⟨ v s w ⟩ = D V g \langle v_{sw}\rangle = DV_g ⟨ v s w ⟩ = D V g
จุดที่ควรสังเกต: ระบบเฉลี่ยยังเป็น
ไม่เชิงเส้น เพราะ
d d d คูณกับ
v g v_g v g (ผลคูณสองตัวแปร) ถ้าให้
d d d เป็นค่าคงที่ ระบบเป็นเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา (LTI) แต่เรายังต้องการดูผลเมื่อ
d d d เปลี่ยน ขั้นต่อไปจึงรบกวนแล้วเชิงเส้นรอบจุดทำงาน
ขั้นที่ 4: จุดทำงาน DC พื้นฐาน
ที่สถานะคงตัว x ˙ = 0 \dot x = 0 x ˙ = 0 d = D d = D d = D v g = V g v_g = V_g v g = V g 0 = A X + B V g 0 = AX + BV_g 0 = A X + B V g
X3 DC operating point
X = − A − 1 B V g , Y = C X X = -A^{-1}B\,V_g,\qquad Y = C X X = − A − 1 B V g , Y = CX ผกผันของเมทริกซ์ A A A A − 1 = 1 det A [ a 22 − a 12 − a 21 a 11 ] A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{bmatrix}a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11}\end{bmatrix} A − 1 = det A 1 [ a 22 − a 21 − a 12 a 11 ] det A = 0 ⋅ ( − 1 R C ) − ( − 1 L ) ( 1 C ) = 1 L C \det A = 0\cdot(-\tfrac1{RC}) - (-\tfrac1L)(\tfrac1C) = \tfrac1{LC} det A = 0 ⋅ ( − RC 1 ) − ( − L 1 ) ( C 1 ) = L C 1
A − 1 = L C [ − 1 R C 1 L − 1 C 0 ] = [ − L R C − L 0 ] , X = − A − 1 [ D L V g 0 ] = [ D V g R D V g ] A^{-1} = LC\begin{bmatrix}-\frac1{RC} & \frac1L\\ -\frac1C & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac LR & C\\ -L & 0\end{bmatrix},\qquad X = -A^{-1}\begin{bmatrix}\frac{D}{L}V_g\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{DV_g}{R}\\[4pt] DV_g\end{bmatrix} A − 1 = L C [ − RC 1 − C 1 L 1 0 ] = [ − R L − L C 0 ] , X = − A − 1 [ L D V g 0 ] = [ R D V g D V g ]
ได้ I L = D V g / R I_L = DV_g/R I L = D V g / R V o = V C = D V g V_o = V_C = DV_g V o = V C = D V g
ขั้นที่ 5: รบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (perturbation) และเชิงเส้น กลาง
ให้ทุกตัวแปรเท่ากับค่าที่จุดทำงาน (ตัวพิมพ์ใหญ่) บวกการรบกวนเล็กๆ (มีหมวก):
d = D + d ^ , v g = V g + v ^ g , x = X + x ^ ( ∣ d ^ ∣ ≪ D , ∣ v ^ g ∣ ≪ V g , ∣ x ^ ∣ ≪ ∣ X ∣ ) d = D + \hat d,\qquad v_g = V_g + \hat v_g,\qquad x = X + \hat x \quad (|\hat d| \ll D,\ |\hat v_g| \ll V_g,\ |\hat x| \ll |X|) d = D + d ^ , v g = V g + v ^ g , x = X + x ^ ( ∣ d ^ ∣ ≪ D , ∣ v ^ g ∣ ≪ V g , ∣ x ^ ∣ ≪ ∣ X ∣ )
แทนลงในสมการเฉลี่ย (กรณีทั่วไปที่ A 1 ≠ A 2 A_1 \ne A_2 A 1 = A 2 A ( d ) = A + ( A 1 − A 2 ) d ^ A(d) = A + (A_1 - A_2)\hat d A ( d ) = A + ( A 1 − A 2 ) d ^ B ( d ) v g = [ B + ( B 1 − B 2 ) d ^ ] ( V g + v ^ g ) B(d)v_g = [B + (B_1 - B_2)\hat d](V_g + \hat v_g) B ( d ) v g = [ B + ( B 1 − B 2 ) d ^ ] ( V g + v ^ g )
X ˙ + x ^ ˙ = [ A + ( A 1 − A 2 ) d ^ ] ( X + x ^ ) + [ B + ( B 1 − B 2 ) d ^ ] ( V g + v ^ g ) \dot X + \dot{\hat x} = \big[A + (A_1-A_2)\hat d\big](X + \hat x) + \big[B + (B_1-B_2)\hat d\big](V_g + \hat v_g) X ˙ + x ^ ˙ = [ A + ( A 1 − A 2 ) d ^ ] ( X + x ^ ) + [ B + ( B 1 − B 2 ) d ^ ] ( V g + v ^ g )
กระจายแล้วจัดกลุ่มตามอันดับของการรบกวน:
X4 Perturbation expansion
X ˙ + x ^ ˙ = A X + B V g ⏟ DC: = 0 + A x ^ + B v ^ g + [ ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g ] d ^ ⏟ อันดับหนึ่ง (เชิงเส้น) + ( A 1 − A 2 ) x ^ d ^ + ( B 1 − B 2 ) v ^ g d ^ ⏟ อันดับสอง (ตัดทิ้ง) \begin{aligned} \dot X + \dot{\hat x} &= \underbrace{AX + BV_g}_{\text{DC: } =\,0} \\ &\quad + \underbrace{A\hat x + B\hat v_g + \big[(A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g\big]\hat d}_{\text{อันดับหนึ่ง (เชิงเส้น)}} \\ &\quad + \underbrace{(A_1-A_2)\hat x\hat d + (B_1-B_2)\hat v_g\hat d}_{\text{อันดับสอง (ตัดทิ้ง)}} \end{aligned} X ˙ + x ^ ˙ = DC: = 0 A X + B V g + อันดับหนึ่ง ( เชิงเส้น ) A x ^ + B v ^ g + [ ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g ] d ^ + อันดับสอง ( ตัดทิ้ง ) ( A 1 − A 2 ) x ^ d ^ + ( B 1 − B 2 ) v ^ g d ^
พจน์ DC หักล้างกับ X ˙ = 0 \dot X = 0 X ˙ = 0
พจน์อันดับสองคือผลคูณของการรบกวนสองตัว เล็กกว่าพจน์เชิงเส้นมากเมื่อรบกวนเล็ก จึงตัดทิ้ง
ที่เหลือเป็นสมการเชิงเส้นในตัวแปรรบกวน
สำหรับบั๊กอุดมคติ A 1 − A 2 = 0 A_1 - A_2 = 0 A 1 − A 2 = 0 B 1 − B 2 = B 1 B_1 - B_2 = B_1 B 1 − B 2 = B 1 B 1 v ^ g d ^ B_1\hat v_g\hat d B 1 v ^ g d ^
X5 Small-signal state-space model
x ^ ˙ = A x ^ + B g v ^ g + B d d ^ , v ^ o = C x ^ \dot{\hat x} = A\hat x + B_g\hat v_g + B_d\hat d,\qquad \hat v_o = C\hat x x ^ ˙ = A x ^ + B g v ^ g + B d d ^ , v ^ o = C x ^ A = D A 1 + D ′ A 2 , B g = D B 1 + D ′ B 2 A = DA_1 + D'A_2,\qquad B_g = DB_1 + D'B_2 A = D A 1 + D ′ A 2 , B g = D B 1 + D ′ B 2 B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g , C = D C 1 + D ′ C 2 B_d = (A_1 - A_2)X + (B_1 - B_2)V_g,\qquad C = DC_1 + D'C_2 B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g , C = D C 1 + D ′ C 2 สำหรับบั๊กอุดมคติ: B g = D [ 1 / L 0 ] B_g = D\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix} B g = D [ 1/ L 0 ] B d = V g [ 1 / L 0 ] B_d = V_g\begin{bmatrix}1/L\\0\end{bmatrix} B d = V g [ 1/ L 0 ] v ^ g \hat v_g v ^ g d ^ \hat d d ^ D v ^ g + V g d ^ D\hat v_g + V_g\hat d D v ^ g + V g d ^ d ⋅ v g d\cdot v_g d ⋅ v g ⟨ v s w ⟩ = d v g \langle v_{sw}\rangle = d v_g ⟨ v s w ⟩ = d v g วงจรเฉลี่ย
ตัวอย่างขนาดของพจน์ที่ตัดทิ้ง: D = 0.5 D = 0.5 D = 0.5 ,
V g = 24 V_g = 24 V g = 24 V ถ้ารบกวน
d ^ = 0.025 \hat d = 0.025 d ^ = 0.025 (5 % ของ D) และ
v ^ g = 1.2 \hat v_g = 1.2 v ^ g = 1.2 V (5 % ของ
V g V_g V g ) พจน์เชิงเส้นคือ
D v ^ g = 0.6 D\hat v_g = 0.6 D v ^ g = 0.6 V กับ
V g d ^ = 0.6 V_g\hat d = 0.6 V g d ^ = 0.6 V ส่วนพจน์ผลคูณ
d ^ v ^ g = 0.03 \hat d\hat v_g = 0.03 d ^ v ^ g = 0.03 V คิดเป็น 2.5 % ของผลรวมเชิงเส้น 1.2 V — ถ้ารบกวนใหญ่ขึ้นเป็น 40 % ของจุดทำงาน พจน์ผลคูณจะโตเป็น 20 % แล็บ
เทียบเชิงเส้นกับสวิตชิ่ง แสดงให้เห็น
ผลของความต้านทานแฝงต่อเมทริกซ์ กลาง
ใส่ R o n R_{on} R o n R d , V F R_d, V_F R d , V F r L r_L r L r C r_C r C v o = v C + r C i C v_o = v_C + r_Ci_C v o = v C + r C i C i C = i L − v o / R i_C = i_L - v_o/R i C = i L − v o / R v o = a v C + b i L v_o = a\,v_C + b\,i_L v o = a v C + b i L
a = R R + r C , b = R r C R + r C a = \frac{R}{R+r_C},\qquad b = \frac{R\,r_C}{R+r_C} a = R + r C R , b = R + r C R r C
X6 State matrices with parasitics
A 1 = [ − r L + R o n + b L − a L a C − 1 C ( R + r C ) ] A_1 = \begin{bmatrix}-\dfrac{r_L + R_{on} + b}{L} & -\dfrac aL\\[6pt] \dfrac aC & -\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix} A 1 = − L r L + R o n + b C a − L a − C ( R + r C ) 1 A 2 = [ − r L + R d + b L − a L a C − 1 C ( R + r C ) ] A_2 = \begin{bmatrix}-\dfrac{r_L + R_d + b}{L} & -\dfrac aL\\[6pt] \dfrac aC & -\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix} A 2 = − L r L + R d + b C a − L a − C ( R + r C ) 1 B 1 = [ 1 L 0 ] , e 1 = 0 , B 2 = 0 , e 2 = [ − V F L 0 ] , C 1 = C 2 = [ b a ] B_1 = \begin{bmatrix}\frac1L\\0\end{bmatrix},\quad e_1 = 0,\qquad B_2 = 0,\quad e_2 = \begin{bmatrix}-\frac{V_F}{L}\\0\end{bmatrix},\qquad C_1 = C_2 = \begin{bmatrix}b & a\end{bmatrix} B 1 = [ L 1 0 ] , e 1 = 0 , B 2 = 0 , e 2 = [ − L V F 0 ] , C 1 = C 2 = [ b a ] e 1 , e 2 e_1, e_2 e 1 , e 2 V F V_F V F e = D e 1 + D ′ e 2 = − D ′ V F / L e = De_1 + D'e_2 = -D'V_F/L e = D e 1 + D ′ e 2 = − D ′ V F / L B d B_d B d ( e 1 − e 2 ) = V F / L (e_1 - e_2) = V_F/L ( e 1 − e 2 ) = V F / L
X7 Bd with parasitics
B d = [ V g + V F − ( R o n − R d ) I L L 0 ] , B g = [ D / L 0 ] B_d = \begin{bmatrix}\dfrac{V_g + V_F - (R_{on} - R_d)\,I_L}{L}\\[8pt] 0\end{bmatrix},\qquad B_g = \begin{bmatrix}D/L\\ 0\end{bmatrix} B d = L V g + V F − ( R o n − R d ) I L 0 , B g = [ D / L 0 ]
ค่าแฝง ส่วนที่เมทริกซ์เปลี่ยน ผลทางไดนามิก
r L , R o n , R d r_L,\ R_{on},\ R_d r L , R o n , R d A 11 A_{11} A 11 − ( r L + D R o n + D ′ R d ) / L -(r_L + DR_{on} + D'R_d)/L − ( r L + D R o n + D ′ R d ) / L เพิ่มการหน่วง (Q ลดลง) · DC ของ V o V_o V o ESR r C r_C r C C = [ b a ] C = [b\ a] C = [ b a ] ศูนย์ที่ f z = 1 / ( 2 π r C C ) f_z = 1/(2\pi r_CC) f z = 1/ ( 2 π r C C ) V F V_F V F เพิ่มพจน์คงที่ e e e B d B_d B d V F / L V_F/L V F / L เลื่อนจุดทำงาน (ต้องชดเชยที่ D) · อัตราขยาย d ^ \hat d d ^ R o n ≠ R d R_{on} \ne R_d R o n = R d A 1 ≠ A 2 A_1 \ne A_2 A 1 = A 2 B d B_d B d − ( R o n − R d ) I L -(R_{on}-R_d)I_L − ( R o n − R d ) I L อัตราขยาย d ^ \hat d d ^
เมื่อรู้ A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , e A_1, A_2, B_1, B_2, e A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , e
อีกมุมมอง: เฉลี่ยกระแสและแรงดันของสวิตช์ (averaged switch model) กลาง
แทนที่จะเฉลี่ยสมการสถานะ เราเฉลี่ยปริมาณที่ ขา ของสวิตช์ได้เช่นกัน: ในแต่ละคาบสวิตช์ Q ส่งกระแส i L i_L i L d d d v g v_g v g d d d
X8 Averaged switch terminal relations
⟨ i g ⟩ = d ⟨ i L ⟩ , ⟨ v s w ⟩ = d ⟨ v g ⟩ \langle i_g\rangle = d\,\langle i_L\rangle,\qquad \langle v_{sw}\rangle = d\,\langle v_g\rangle ⟨ i g ⟩ = d ⟨ i L ⟩ , ⟨ v s w ⟩ = d ⟨ v g ⟩ กระแสอินพุตเฉลี่ยคือ d d d d d d d = D + d ^ d = D + \hat d d = D + d ^
X9 Linearized terminal relations (canonical model)
v ^ s w = D v ^ g + V g d ^ , i ^ g = D i ^ L + I L d ^ \hat v_{sw} = D\,\hat v_g + V_g\,\hat d,\qquad \hat i_g = D\,\hat i_L + I_L\,\hat d v ^ s w = D v ^ g + V g d ^ , i ^ g = D i ^ L + I L d ^ v̂g IL·d̂ 1 : D + Vg·d̂ L C R วงจรสัญญาณเล็กของบั๊ก: หม้อแปลงอุดมคติ 1 : D กับแหล่งควบคุมจาก d̂ (เฉลี่ยกระแสและแรงดันของสวิตช์) อ่านจากวงจร: ด้านอินพุตเป็นหม้อแปลงอุดมคติอัตรา 1 : D 1:D 1 : D I L d ^ I_L\hat d I L d ^ V g d ^ V_g\hat d V g d ^ L i ^ ˙ L = D v ^ g + V g d ^ − v ^ o L\,\dot{\hat i}_L = D\hat v_g + V_g\hat d - \hat v_o L i ^ ˙ L = D v ^ g + V g d ^ − v ^ o กระแสอินพุต i ^ g \hat i_g i ^ g Z i n Z_{in} Z in ฟังก์ชันถ่ายโอน ) และสามารถวิเคราะห์วงจรนี้ใน SPICE ด้วย .ac หรือด้วยมือโดยไม่ต้องใช้เมทริกซ์
ขอบเขตการใช้งานของแบบจำลองเฉลี่ย ขั้นสูง
X10 Validity of the averaged model
f ≪ f s ( ใช้จริง f ≲ f s / 10 ) , f 0 ≪ f s , Δ i L I L ≪ 1 , ∣ d ^ ∣ D , ∣ v ^ g ∣ V g ≪ 1 f \ll f_s\ (\text{ใช้จริง } f \lesssim f_s/10),\qquad f_0 \ll f_s,\qquad \frac{\Delta i_L}{I_L} \ll 1,\qquad \frac{|\hat d|}{D},\ \frac{|\hat v_g|}{V_g} \ll 1 f ≪ f s ( ใช้จริง f ≲ f s /10 ) , f 0 ≪ f s , I L Δ i L ≪ 1 , D ∣ d ^ ∣ , V g ∣ v ^ g ∣ ≪ 1
ความถี่: สัญญาณที่ความถี่ใกล้ f s / 2 f_s/2 f s /2 e − s T s / 2 e^{-sT_s/2} e − s T s /2 f s / 2 f_s/2 f s /2 T s / 2 T_s/2 T s /2 ริปเปิล: ถ้าริปเปิลใหญ่ (ใกล้ DCM) การเฉลี่ยโดยถือว่า i L i_L i L ขนาดของสัญญาณ: ต่ำกว่าประมาณ 10–20 % ของจุดทำงาน จึงตัดพจน์อันดับสองได้โหมด: เฉพาะ CCM ตลอด ถ้าเข้า DCM โครงสร้างของสมการเปลี่ยน (ลดอันดับ)
ตัวอย่างวิธีทำ (ตรวจตัวเลขแล้ว)
โจทย์ฐาน: V g = 24 V_g = 24 V g = 24 D = 0.5 D = 0.5 D = 0.5 R = 10 Ω R = 10\ \Omega R = 10 Ω L = 300 μ L = 300\ \mu L = 300 μ C = 100 μ C = 100\ \mu C = 100 μ
ตัวอย่าง X-1
สร้างเมทริกซ์ของบั๊กอุดมคติเป็นตัวเลข
1 / L = 3333.3 1/L = 3333.3 1/ L = 3333.3 1 / C = 10 4 1/C = 10^4 1/ C = 1 0 4 1 / ( R C ) = 1000 1/(RC) = 1000 1/ ( RC ) = 1000 A 1 = A 2 = A = [ 0 − 3333.3 10000 − 1000 ] A_1 = A_2 = A = \begin{bmatrix}0 & -3333.3\\ 10000 & -1000\end{bmatrix} A 1 = A 2 = A = [ 0 10000 − 3333.3 − 1000 ]
B 1 = [ 3333.3 0 ] B_1 = \begin{bmatrix}3333.3\\0\end{bmatrix} B 1 = [ 3333.3 0 ] B g = D B 1 = [ 1666.7 0 ] B_g = D\,B_1 = \begin{bmatrix}1666.7\\0\end{bmatrix} B g = D B 1 = [ 1666.7 0 ]
จุดทำงาน X = − A − 1 B g V g X = -A^{-1}B_gV_g X = − A − 1 B g V g det A = 3.333 × 10 7 \det A = 3.333\times10^7 det A = 3.333 × 1 0 7 A − 1 = [ − 0.00003 0.0001 − 0.0003 0 ] A^{-1} = \begin{bmatrix}-0.00003 & 0.0001\\ -0.0003 & 0\end{bmatrix} A − 1 = [ − 0.00003 − 0.0003 0.0001 0 ] X = [ 1.2 12 ] X = \begin{bmatrix}1.2\\12\end{bmatrix} X = [ 1.2 12 ] I L = 1.2 I_L = 1.2 I L = 1.2 V o = 12 V_o = 12 V o = 12
ขั้ว (ค่าไอเกนของ A A A det ( s I − A ) = s 2 + 1000 s + 3.333 × 10 7 = 0 \det(sI - A) = s^2 + 1000s + 3.333\times10^7 = 0 det ( s I − A ) = s 2 + 1000 s + 3.333 × 1 0 7 = 0 s = − 500 ± j 5752 s = -500 \pm j5752 s = − 500 ± j 5752 ω 0 = 1 / L C = 5774 \omega_0 = \sqrt{1/LC} = 5774 ω 0 = 1/ L C = 5774 f 0 = 918.9 f_0 = 918.9 f 0 = 918.9 ζ = 0.0866 \zeta = 0.0866 ζ = 0.0866 Q = R C / L = 5.77 Q = R\sqrt{C/L} = 5.77 Q = R C / L = 5.77 d d d
ตัวอย่าง X-2
รบกวนดิวตี้: หา Bd และตรวจความไวเชิงตัวเลข
A 1 − A 2 = 0 A_1 - A_2 = 0 A 1 − A 2 = 0 B 1 − B 2 = B 1 B_1 - B_2 = B_1 B 1 − B 2 = B 1 B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g = B 1 V g = [ 80000 0 ] B_d = (A_1 - A_2)X + (B_1 - B_2)V_g = B_1V_g = \begin{bmatrix}80000\\0\end{bmatrix} B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g = B 1 V g = [ 80000 0 ] 24 × 3333.3 24\times3333.3 24 × 3333.3
อัตราขยาย DC ของ v ^ o / d ^ \hat v_o/\hat d v ^ o / d ^ x ^ ˙ = 0 \dot{\hat x} = 0 x ^ ˙ = 0 x ^ = − A − 1 B d d ^ = [ 2.4 24 ] d ^ \hat x = -A^{-1}B_d\hat d = \begin{bmatrix}2.4\\24\end{bmatrix}\hat d x ^ = − A − 1 B d d ^ = [ 2.4 24 ] d ^ v ^ o / d ^ = 24 \hat v_o/\hat d = 24 v ^ o / d ^ = 24 V g V_g V g V o = D V g V_o = DV_g V o = D V g d V o / d D = V g dV_o/dD = V_g d V o / d D = V g
ตรวจด้วยสวิตชิ่ง: เปลี่ยน D D D d ^ = 0.01 \hat d = 0.01 d ^ = 0.01 V o V_o V o 0.24 0.24 0.24
ตัวอย่าง X-3
ใส่ค่าแฝงจริง (Ron = 50 mΩ, rL = 0.1 Ω, ESR = 50 mΩ, VF = 0.4 V) ที่ D = 0.5144
a = 10 / 10.05 = 0.99502 a = 10/10.05 = 0.99502 a = 10/10.05 = 0.99502 b = 10 ( 0.05 ) / 10.05 = 0.04975 Ω b = 10(0.05)/10.05 = 0.04975\ \Omega b = 10 ( 0.05 ) /10.05 = 0.04975 Ω
A 11 ( 1 ) = − ( 0.1 + 0.05 + 0.04975 ) / 300 μ = − 665.8 A_{11}^{(1)} = -(0.1 + 0.05 + 0.04975)/300\mu = -665.8 A 11 ( 1 ) = − ( 0.1 + 0.05 + 0.04975 ) /300 μ = − 665.8 A 11 ( 2 ) = − ( 0.1 + 0 + 0.04975 ) / 300 μ = − 499.2 A_{11}^{(2)} = -(0.1 + 0 + 0.04975)/300\mu = -499.2 A 11 ( 2 ) = − ( 0.1 + 0 + 0.04975 ) /300 μ = − 499.2 D = 0.5144 D = 0.5144 D = 0.5144 A 11 = − 584.9 A_{11} = -584.9 A 11 = − 584.9
A = [ − 584.9 − 3316.7 9950.2 − 995.0 ] A = \begin{bmatrix}-584.9 & -3316.7\\ 9950.2 & -995.0\end{bmatrix} A = [ − 584.9 9950.2 − 3316.7 − 995.0 ] B g = [ 1714.6 0 ] B_g = \begin{bmatrix}1714.6\\0\end{bmatrix} B g = [ 1714.6 0 ]
B d B_d B d 24 + 0.4 − ( 0.05 − 0 ) ( 1.2 ) 300 μ = 24.34 300 μ = 81133 \dfrac{24 + 0.4 - (0.05-0)(1.2)}{300\mu} = \dfrac{24.34}{300\mu} = 81133 300 μ 24 + 0.4 − ( 0.05 − 0 ) ( 1.2 ) = 300 μ 24.34 = 81133 V F V_F V F X = [ 1.2 12 ] T X = [1.2\ \ 12]^T X = [ 1.2 12 ] T
ขั้วเปลี่ยนเป็น − 790 ± j 5741 -790 \pm j5741 − 790 ± j 5741 − 500 -500 − 500 A 11 A_{11} A 11 b b b σ \sigma σ Q Q Q
ตัวอย่าง X-4
เส้นทางตรวจสอบ: เมทริกซ์ถูกต้องหรือไม่?
ตรวจ DC: − A − 1 B g V g -A^{-1}B_gV_g − A − 1 B g V g V o = ( D V g − D ′ V F ) / ( 1 + R s / R ) V_o = (DV_g - D'V_F)/(1 + R_s/R) V o = ( D V g − D ′ V F ) / ( 1 + R s / R )
ตรวจการเชิงเส้น: เปลี่ยน d ^ \hat d d ^
ตรวจเสถียรภาพ: ค่าไอเกนของ A A A t r A < 0 \mathrm{tr}A < 0 tr A < 0 det A > 0 \det A > 0 det A > 0
แล็บที่ 1: สร้างสเตตสเปซด้วยตัวเอง พื้นฐาน
ป้อน Vin D R L C และค่าแฝง เครื่องมือจะแสดงทีละขั้นตามหน้านี้: ① เมทริกซ์ช่วง ON ② ช่วง OFF ③ เฉลี่ย ④ จุดทำงาน (พร้อมจำลองสวิตชิ่งตรวจ) ⑤ เมทริกซ์สัญญาณเล็ก ⑥ ขั้วของระบบ ใช้ตรวจคำตอบที่คำนวณมือได้ทุกตัวเลข
ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ
ใบงาน X1 — ตรวจมือ: คำนวณ A 1 , B 1 , A 11 A_1, B_1, A_{11} A 1 , B 1 , A 11 ω 0 \omega_0 ω 0 2 \sqrt2 2 Q Q Q
โหลดอุดมคติ ↑ L = 150 µH ↑ ใบงาน X2 — ค่าแฝงแต่ละตัว: เปิดค่าแฝงจริงแล้วตั้งทีละตัวเป็นศูนย์ (DCR, ESR, Rds(on), Vf) ดูว่าแต่ละตัวเปลี่ยนเมทริกซ์ตัวไหนบ้าง (ตรวจกับตารางในหัวข้อ ผลของค่าแฝง )
โหลดค่าแฝงจริง (D = 0.5144) ↑ ใบงาน X3 — โหลดเบา: ตั้ง R = 100 Ω D = 0.5 ในโหมดอุดมคติ สังเกตข้อความเตือน DCM ที่ช่อง ④ — แบบจำลอง CCM ใช้ไม่ได้ เพราะ K = 0.3 < 1 − D K = 0.3 < 1-D K = 0.3 < 1 − D
โหลด R = 100 Ω ↑ แล็บที่ 2: แบบจำลองเฉลี่ยตรงกับสวิตชิ่งจริงไหม — ทดสอบด้วยสัญญาณเล็ก กลาง
เครื่องมือรันสวิตชิ่งจริงทุกจังหวะ (เส้นเทา) แล้วหาค่าเฉลี่ยรายคาบ (เส้นฟ้า) เทียบกับ แบบจำลองเฉลี่ยไม่เชิงเส้น ที่ได้จากขั้นที่ 3 (ส้มประ) และ แบบจำลองสัญญาณเล็ก จากขั้นที่ 5 (ม่วงประ) ตารางด้านล่างคือค่าคลาดเคลื่อนเทียบกับค่าเฉลี่ยจริง ลองสเต็ปเล็ก สเต็ปใหญ่ ไซน์ และลด fs ดู
ต้องเปิด JavaScript เพื่อใช้แล็บ
ใบงาน X4 — สัญญาณเล็กทดสอบเชิงเส้น: สเต็ป Δ D \Delta D Δ D
สเต็ปเล็ก ↑ สเต็ปใหญ่ ↑ ใบงาน X5 — ขอบเขตด้านความถี่: เลือกไซน์ ±0.03 แล้วเลื่อนความถี่จาก 100 Hz ไปจนถึง 5 kHz ดูว่าเมื่อความถี่เข้าใกล้ f s / 10 f_s/10 f s /10 f s f_s f s f s f_s f s
ไซน์ 400 Hz ↑ fs ต่ำ 8 kHz ↑ ใบงาน X6 — ค่าแฝงลดการแกว่ง: เปรียบเทียบการแกว่งหลังสเต็ปของอุดมคติกับ "มีค่าแฝงจริง" ค่าหน่วงเพิ่มขึ้นตามตัวอย่าง X-3 หรือไม่ (วัดจากจำนวนครั้งที่ยอดแกว่งก่อนนิ่ง)
มีค่าแฝงจริง ↑
สรุปและก้าวต่อไป
เขียนสมการสถานะของ ON และ OFF → A 1 , B 1 , C 1 A_1,B_1,C_1 A 1 , B 1 , C 1 A 2 , B 2 , C 2 A_2,B_2,C_2 A 2 , B 2 , C 2
เฉลี่ยด้วยสัดส่วนเวลา → A = D A 1 + D ′ A 2 A = DA_1 + D'A_2 A = D A 1 + D ′ A 2 B = D B 1 + D ′ B 2 B = DB_1 + D'B_2 B = D B 1 + D ′ B 2
จุดทำงาน X = − A − 1 B V g X = -A^{-1}BV_g X = − A − 1 B V g V o V_o V o
รบกวนสัญญาณเล็ก ตัดอันดับสอง → B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g B_d = (A_1-A_2)X + (B_1-B_2)V_g B d = ( A 1 − A 2 ) X + ( B 1 − B 2 ) V g B g = D B 1 + D ′ B 2 B_g = DB_1 + D'B_2 B g = D B 1 + D ′ B 2
เอาต์พุตแต่ละตัวมีแถว C C C
ต่อไป: ฟังก์ชันถ่ายโอนทุกแบบของบั๊ก G v d , G v g , Z o u t , Z i n , G i L d G_{vd}, G_{vg}, Z_{out}, Z_{in}, G_{iLd} G v d , G vg , Z o u t , Z in , G i L d · เปรียบเทียบกับภาพรวมของ แบบจำลองสัญญาณเล็กของบูสต์และบั๊ก-บูสต์ · สเตตสเปซพื้นฐานในวิชาระบบควบคุม
คำถามที่พบบ่อย state-space averaging คืออะไรและทำไมต้องเฉลี่ย? บั๊กสลับระหว่างวงจรเชิงเส้นสองแบบ (สวิตช์ ON และ OFF) ทำให้เป็นระบบที่เปลี่ยนตามเวลาและไม่เชิงเส้น วิธี state-space averaging เฉลี่ยสมการสถานะของสองช่วงถ่วงน้ำหนักด้วยดิวตี้ D และ 1−D ได้แบบจำลองที่ต่อเนื่องตามเวลา แล้วค่อยรบกวนด้วยสัญญาณเล็ก (linearize) จนได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนและตัวชดเชยได้
แบบจำลองเฉลี่ยใช้ได้ถึงความถี่เท่าไร? ใช้ได้เมื่อความถี่ของสัญญาณและขั้วของระบบต่ำกว่าความถี่สวิตช์มาก โดยทั่วไปไม่เกินประมาณ fs/10 ถึง fs/5 เกินกว่านั้นผลของการสุ่มตัวอย่างของ PWM ทำให้เกิดเฟสตกและความคลาดเคลื่อน ในแล็บด้านล่างจะเห็นข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นเมื่อลด fs ใกล้ f0
ทำไมต้องตัดพจน์ผลคูณ d̂·v̂g ทิ้ง? ผลคูณของการรบกวนสองตัวเป็นอันดับสอง เล็กกว่าพจน์อันดับหนึ่งมากเมื่อรบกวนเล็ก เช่น d̂ = 5 % ของ D ผลคูณ d̂·v̂g เทียบกับพจน์เชิงเส้น D·v̂g คิดเป็นสัดส่วน d̂/D = 5 % เมื่อตัดทิ้งได้ระบบเชิงเส้นที่ใช้เครื่องมือทฤษฎีควบคุมได้ แต่ถ้ารบกวนใหญ่ เช่นเปลี่ยนดิวตี้ 40 % แบบจำลองเชิงเส้นจะคลาดเคลื่อนให้เห็น
เมทริกซ์ Bd = (A1−A2)X + (B1−B2)Vg มาจากไหน? มาจากการรบกวนดิวตี้ในสมการเฉลี่ย (dA1 + (1−d)A2)x + (dB1 + (1−d)B2)vg เมื่อ d = D + d̂ พจน์ที่คูณ d̂ คือ (A1−A2)X + (B1−B2)Vg ซึ่งบอกว่าดิวตี้ที่เปลี่ยนไปกระทบสถานะผ่านความต่างของสองวงจรที่จุดทำงาน
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์