การประยุกต์อินทิกรัลทางวิศวกรรมไฟฟ้า เครื่องกล และโยธา

1. $$q(1) = \int_0^1 2e^{-3t}dt = \left[-\tfrac23e^{-3t}\right]_0^1 = \tfrac23\left(1 - e^{-3}\right) = 0.6335\ \text{C}$$
2. $$q(\infty) = \int_0^\infty 2e^{-3t}dt = \tfrac23\ \text{C}$$

0.634 C ใน 1 วินาที (95% ของทั้งหมด เพราะ 1 s = 3τ) ทั้งหมด 0.667 C

1. (ก) $v = \dfrac{1}{C}\int_0^2 0.005\,dt = \dfrac{0.01}{10^{-4}} = 100$ V แรงดันขึ้นเป็นเส้นตรง (หลักของวงจรสร้างคลื่นฟันเลื่อย)

2. (ข) $W = \int_0^{3} L\,i\,di = \tfrac12(0.2)(9) = 0.9$ J

(ก) 100 V · (ข) 0.9 J ตัวเลขนี้คือพลังงานที่ไดโอดฟรีวีลต้องรับเมื่อตัดกระแส

1. ใช้ $\theta = \omega t$ คาบ $2\pi$

   $$V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi V_m\sin\theta\,d\theta = \frac{V_m}{2\pi}\left[-\cos\theta\right]_0^\pi = \frac{V_m}{\pi}$$
2. $$V_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi V_m^2\sin^2\theta\,d\theta = \frac{V_m^2}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{V_m^2}{4} \Rightarrow V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{2}$$

$V_{\text{avg}} = 311/\pi = 99.0$ V, $V_{\text{rms}} = 155.5$ V เลือกรูปคลื่นในแล็บด้านล่างแล้วเทียบได้ทันที

1. $$W = \int_{0.05}^{0.15}2000x\,dx = 1000\left(0.15^2 - 0.05^2\right) = 1000(0.02) = 20\ \text{J}$$

20 J (ไม่ใช่ $kx\cdot\Delta x = 2000(0.1)(0.1)$ เพราะแรงไม่คงที่)

1. $$A = \int_0^2x^2dx = \tfrac83$$
2. $$\bar x = \frac{\int_0^2 x\cdot x^2dx}{A} = \frac{4}{8/3} = 1.5,\qquad \bar y = \frac{\int_0^2\tfrac12(x^2)^2dx}{A} = \frac{32/10}{8/3} = 1.2$$

$(\bar x, \bar y) = (1.5, 1.2)$ เอียงไปทางขวาเพราะพื้นที่ส่วนใหญ่อยู่ที่ x มาก

1. (ก) $dm = \tfrac mL dx$: $I = \int_0^L x^2\tfrac mL dx = \tfrac13mL^2$

2. (ข) $J = \int_0^{0.01}500\sin\dfrac{\pi t}{0.01}dt = 500\cdot\dfrac{0.01}{\pi}\left[-\cos\dfrac{\pi t}{0.01}\right]_0^{0.01} = \dfrac{10}{\pi} = 3.18$ N·s

(ก) $\tfrac13mL^2$ (มากกว่ารอบจุดกึ่งกลาง $\tfrac1{12}mL^2$ ถึง 4 เท่า) · (ข) 3.18 N·s

1. ชิ้นน้ำบางที่ความสูง y หนา dy: น้ำหนัก $\rho g\pi(1)^2dy$ ต้องยกขึ้น $3 - y$

2. $$W = \int_0^3 1000(9.81)\pi(3 - y)\,dy = 9810\pi\left[3y - \tfrac{y^2}{2}\right]_0^3 = 9810\pi(4.5) = 138.7\ \text{kJ}$$

138.7 kJ ปั๊ม 1 kW ที่ประสิทธิภาพ 60% ใช้เวลาราว 231 s

1. $$F = \int_0^{10}1000(9.81)h(20)\,dh = 196{,}200\left[\tfrac{h^2}{2}\right]_0^{10} = 9.81\times10^6\ \text{N}$$
2. $$h_{cp} = \frac{\int_0^{10}h\cdot h\,dh}{\int_0^{10}h\,dh} = \frac{1000/3}{50} = 6.67\ \text{m}$$

9.81 MN กระทำที่ลึก 6.67 m (2/3 ของความลึก) เป็นจุดที่ใช้คำนวณโมเมนต์พลิกคว่ำของเขื่อน

1. (ก) $I = \dfrac{bh^3}{12} = \dfrac{0.2(0.4)^3}{12} = 1.067\times10^{-3}$ m⁴ (วางด้านยาวตั้งแข็งกว่าวางนอน 4 เท่า เพราะ h ยกกำลัง 3)

2. (ข) $R = \int_0^6 2x\,dx = 36$ kN · $\bar x = \dfrac{\int_0^6 2x^2dx}{36} = \dfrac{144}{36} = 4$ m (2/3 ของความยาวจากปลายที่ศูนย์)

(ก) $1.067\times10^{-3}$ m⁴ · (ข) 36 kN ที่ x = 4 m

1. $M(x) = -P(L - x)$ A13

   $$EIy' = -P\left(Lx - \tfrac{x^2}{2}\right) + C_1,\quad y'(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0$$
2. $$EIy = -P\left(\tfrac{Lx^2}{2} - \tfrac{x^3}{6}\right) + C_2,\quad y(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$$
3. $$y(L) = -\frac{P}{EI}\left(\frac{L^3}{2} - \frac{L^3}{6}\right) = -\frac{PL^3}{3EI}$$

$\delta = PL^3/(3EI)$ เช่น P = 10 kN, L = 3 m, EI = 20,000 kN·m² ได้ 4.5 mm · ตรวจด้วยแล็บด้านล่าง (เลือกคานยื่น ตั้ง w = 0)

1. สี่เหลี่ยมคางหมู

   $$V \approx 20\left[\tfrac{12}{2} + 18 + 25 + 21 + \tfrac{15}{2}\right] = 20(77.5) = 1550\ \text{m}^3$$

2. ซิมป์สัน (4 ช่วง)

   $$V \approx \frac{20}{3}\left[12 + 4(18) + 2(25) + 4(21) + 15\right] = \frac{20}{3}(233) = 1553.3\ \text{m}^3$$

ประมาณ 1,550 m³ สองวิธีต่างกันเพียง 0.2% ใช้คำนวณค่าขนส่งดินและค่าจ้างเหมา