หน้าแรก คลังความรู้ ลำดับและอนุกรม อนุกรมเทย์เลอร์ Sequences & Series ดูครบทุกส่วน · 12 หน้า 2 · อนุกรมและการทดสอบการลู่เข้า 3 · อนุกรมกำลัง เทย์เลอร์ และโลรองต์ 4 · การประยุกต์ แล็บ และแนวข้อสอบ 5 · เครื่องคิดเลขและอุปนัยแบบเข้ม // บทที่ 26.6 · ลำดับและอนุกรม · Taylor & Maclaurin Series
อนุกรมเทย์เลอร์และแมคลอริน (Taylor & Maclaurin Series): สูตร ตารางอนุกรม เศษเหลือ ทวินาม และการประมาณค่า
เครื่องคิดเลขไม่รู้จัก sin หรือ eˣ มันรู้แค่บวก ลบ คูณ หาร อนุกรมเทย์เลอร์คือสะพานที่เปลี่ยนฟังก์ชันใด ๆ ให้เป็นพหุนาม โดยจับคู่ค่าและอนุพันธ์ทุกอันดับที่จุดหนึ่ง หน้านี้สอนการสร้างอนุกรม ตารางที่ต้องจำ วิธีบอกความแม่นยำด้วยเศษเหลือ เทคนิคลัดที่ไม่ต้องหาอนุพันธ์ และการใช้หาลิมิตกับผลบวก ซึ่งออกข้อสอบทุกระดับ
สรุปใน 30 วินาที
f ( x ) = ∑ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n f(x) = \sum\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n f ( x ) = ∑ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n e x , sin x , cos x e^x,\ \sin x,\ \cos x e x , sin x , cos x 1 1 − x , ln ( 1 + x ) , arctan x , ( 1 + x ) α \tfrac{1}{1-x},\ \ln(1+x),\ \arctan x,\ (1+x)^\alpha 1 − x 1 , ln ( 1 + x ) , arctan x , ( 1 + x ) α ∣ R n ∣ ≤ M ∣ x − a ∣ n + 1 ( n + 1 ) ! |R_n| \le \dfrac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} ∣ R n ∣ ≤ ( n + 1 )! M ∣ x − a ∣ n + 1 หาอนุกรมด้วยการแทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล แทนการหาอนุพันธ์ทีละอันดับ
ระดับ พื้นฐาน ตาราง · ประมาณค่ากลาง แคลคูลัส 2ขั้นสูง ทฤษฎี · หลายตัวแปร
ค้นหาสูตรในหน้านี้
โหมดฝึกทำ: ซ่อนวิธีทำ
แนวคิด: พหุนามที่มีอนุพันธ์ตรงกับฟังก์ชัน พื้นฐาน
อยากได้พหุนาม P ( x ) P(x) P ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) P ( a ) = f ( a ) P(a) = f(a) P ( a ) = f ( a ) P ′ ( a ) = f ′ ( a ) P'(a) = f'(a) P ′ ( a ) = f ′ ( a ) P ′ ′ ( a ) = f ′ ′ ( a ) P''(a) = f''(a) P ′′ ( a ) = f ′′ ( a ) c n ( x − a ) n c_n(x-a)^n c n ( x − a ) n n ! c n n!\,c_n n ! c n c n = f ( n ) ( a ) / n ! c_n = f^{(n)}(a)/n! c n = f ( n ) ( a ) / n !
-6 -3 0 3 6 -2 -1 0 1 2 x P₁ P₃ P₅ P₇ P₉ sin x พหุนามแมคลอรินของ sin x ดีกรี 1, 3, 5, 7 และ 9 ยิ่งดีกรีสูง ยิ่งเกาะกราฟจริงได้กว้างขึ้น (sin x ลู่เข้าทุก x)
Y1 Taylor series
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 2 ! f ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + ⋯ เท่ากับ f จริงเมื่อเศษเหลือ R n ( x ) → 0 R_n(x) \to 0 R n ( x ) → 0 P10 )
Y2 Maclaurin series
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n f ( x ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( 0 ) x n กรณี a = 0 ตั้งชื่อตามโคลิน แมคลอริน (ศตวรรษที่ 18)
Y3 Taylor polynomial
P n ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k , P 1 = การประมาณเชิงเส้น P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k,\qquad P_1 = \text{การประมาณเชิงเส้น} P n ( x ) = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( a ) ( x − a ) k , P 1 = การประมาณเชิงเส้น P 1 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a) P 1 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) บทอนุพันธ์
ตัวอย่าง Y-1 · จากนิยาม หาอนุกรมเทย์เลอร์ของ (ก) ln x \ln x ln x a = 1 a = 1 a = 1 e x e^x e x a = 2 a = 2 a = 2
(ก) f = ln x , f ′ = x − 1 , f ′ ′ = − x − 2 , f ′ ′ ′ = 2 x − 3 , f ( n ) = ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 ) ! x − n f = \ln x,\ f' = x^{-1},\ f'' = -x^{-2},\ f''' = 2x^{-3},\ f^{(n)} = (-1)^{n+1}(n-1)!\,x^{-n} f = ln x , f ′ = x − 1 , f ′′ = − x − 2 , f ′′′ = 2 x − 3 , f ( n ) = ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 )! x − n f ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 ) ! f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n-1)! f ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 )!
c n = ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 ) ! n ! = ( − 1 ) n + 1 n c_n = \dfrac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!} = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} c n = n ! ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 )! = n ( − 1 ) n + 1 ln x = ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + ( x − 1 ) 3 3 − ⋯ \ln x = (x-1) - \dfrac{(x-1)^2}{2} + \dfrac{(x-1)^3}{3} - \cdots ln x = ( x − 1 ) − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 ( x − 1 ) 3 − ⋯ 0 < x ≤ 2 0 < x \le 2 0 < x ≤ 2
(ข) อนุพันธ์ทุกอันดับของ e x e^x e x e x e^x e x f ( n ) ( 2 ) = e 2 f^{(n)}(2) = e^2 f ( n ) ( 2 ) = e 2 e x = e 2 ∑ ( x − 2 ) n n ! e^x = e^2\sum\dfrac{(x-2)^n}{n!} e x = e 2 ∑ n ! ( x − 2 ) n
(ก) ∑ n ≥ 1 ( − 1 ) n + 1 ( x − 1 ) n n \sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n} ∑ n ≥ 1 n ( − 1 ) n + 1 ( x − 1 ) n e 2 ∑ ( x − 2 ) n n ! e^2\sum\dfrac{(x-2)^n}{n!} e 2 ∑ n ! ( x − 2 ) n e x = e 2 ⋅ e x − 2 e^x = e^2\cdot e^{x-2} e x = e 2 ⋅ e x − 2
ตารางอนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำ พื้นฐาน
จำเจ็ดตัวนี้ให้ขึ้นใจ แล้วอนุกรมเกือบทั้งหมดในข้อสอบสร้างได้จากเทคนิคในหัวข้อถัดไป สังเกตรูปแบบ: ฟังก์ชันคู่ (cos) มีแต่กำลังคู่ ฟังก์ชันคี่ (sin, arctan) มีแต่กำลังคี่
Y4 Exponential
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ , R = ∞ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\quad R = \infty e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯ , R = ∞ ที่ x = 1 ได้ e = ∑ 1 / n ! e = \sum 1/n! e = ∑ 1/ n ! e − x e^{-x} e − x
Y5 Sine
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ , R = ∞ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\quad R = \infty sin x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 = x − 3 ! x 3 + 5 ! x 5 − ⋯ , R = ∞ x เป็นเรเดียนเสมอ · sin x ≈ x \sin x \approx x sin x ≈ x
Y6 Cosine
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ , R = ∞ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots,\quad R = \infty cos x = n = 0 ∑ ∞ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n = 1 − 2 ! x 2 + 4 ! x 4 − ⋯ , R = ∞ หาอนุพันธ์ของ Y5 ทีละพจน์ได้ Y6 · 1 − cos x ≈ x 2 / 2 1 - \cos x \approx x^2/2 1 − cos x ≈ x 2 /2
Y7 Geometric
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x + x^2 + \cdots,\quad |x| < 1 1 − x 1 = n = 0 ∑ ∞ x n = 1 + x + x 2 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 แม่ของอนุกรมตรรกยะทั้งหมด · 1 1 + x = ∑ ( − 1 ) n x n \frac{1}{1+x} = \sum(-1)^n x^n 1 + x 1 = ∑ ( − 1 ) n x n
Y8 Logarithm
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ , − 1 < x ≤ 1 \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,\quad -1 < x \le 1 ln ( 1 + x ) = n = 1 ∑ ∞ n ( − 1 ) n + 1 x n = x − 2 x 2 + 3 x 3 − ⋯ , − 1 < x ≤ 1 ไม่มีอนุกรมแมคลอรินของ ln x \ln x ln x
Y9 Arctangent
arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1 \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots,\quad |x| \le 1 arctan x = n = 0 ∑ ∞ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 = x − 3 x 3 + 5 x 5 − ⋯ , ∣ x ∣ ≤ 1 ที่ x = 1 ได้อนุกรมเกรกอรี-ไลบ์นิซ π 4 \tfrac{\pi}{4} 4 π
Y10 Binomial series
( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 (1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots,\quad |x| < 1 ( 1 + x ) α = n = 0 ∑ ∞ ( n α ) x n = 1 + αx + 2 ! α ( α − 1 ) x 2 + 3 ! α ( α − 1 ) ( α − 2 ) x 3 + ⋯ , ∣ x ∣ < 1 α จำนวนเต็มบวกได้พหุนาม (สิ้นสุด) · 1 + x = 1 + x 2 − x 2 8 + x 3 16 − ⋯ \sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16} - \cdots 1 + x = 1 + 2 x − 8 x 2 + 16 x 3 − ⋯ 1 1 + x = 1 − x 2 + 3 x 2 8 − ⋯ \tfrac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \tfrac{x}{2} + \tfrac{3x^2}{8} - \cdots 1 + x 1 = 1 − 2 x + 8 3 x 2 − ⋯
Y11 Hyperbolic
sinh x = ∑ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , cosh x = ∑ x 2 n ( 2 n ) ! \sinh x = \sum\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cosh x = \sum\frac{x^{2n}}{(2n)!} sinh x = ∑ ( 2 n + 1 )! x 2 n + 1 , cosh x = ∑ ( 2 n )! x 2 n เหมือน sin, cos แต่ไม่สลับเครื่องหมาย · R = ∞ R = \infty R = ∞
Y12 tan, arcsin, sec
tan x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ , arcsin x = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ , sec x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + ⋯ \tan x = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots,\ \ \arcsin x = x + \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{3x^5}{40} + \cdots,\ \ \sec x = 1 + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{5x^4}{24} + \cdots tan x = x + 3 x 3 + 15 2 x 5 + ⋯ , arcsin x = x + 6 x 3 + 40 3 x 5 + ⋯ , sec x = 1 + 2 x 2 + 24 5 x 4 + ⋯ tan, sec: R = π 2 R = \tfrac{\pi}{2} R = 2 π R = 1 R = 1 R = 1
แล็บพหุนามเทย์เลอร์ พื้นฐาน
พิมพ์ฟังก์ชันและจุดกระจาย เลื่อนดีกรี n และจุด x ที่ต้องการประเมิน ดูความคลาดจริงเทียบขอบเขตลากรองจ์ และสังเกตว่านอกรัศมีการลู่เข้า (เช่น ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x )
ตัวอย่าง Y-2 √x รอบ 4 ln(1+x) นอกรัศมี 1/(1+x²)
ประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์ พื้นฐาน
ตัวอย่าง Y-2 · ประมาณรากที่สอง ใช้พหุนามเทย์เลอร์ดีกรีสองของ x \sqrt x x a = 4 a = 4 a = 4 4.1 \sqrt{4.1} 4.1 เปิดในแล็บ
f ( 4 ) = 2 , f ′ ( x ) = 1 2 x ⇒ f ′ ( 4 ) = 1 4 , f ′ ′ ( x ) = − 1 4 x 3 / 2 ⇒ f ′ ′ ( 4 ) = − 1 32 f(4) = 2,\ f'(x) = \tfrac{1}{2\sqrt x} \Rightarrow f'(4) = \tfrac14,\ f''(x) = -\tfrac{1}{4x^{3/2}} \Rightarrow f''(4) = -\tfrac{1}{32} f ( 4 ) = 2 , f ′ ( x ) = 2 x 1 ⇒ f ′ ( 4 ) = 4 1 , f ′′ ( x ) = − 4 x 3/2 1 ⇒ f ′′ ( 4 ) = − 32 1
P 2 ( x ) = 2 + 1 4 ( x − 4 ) − 1 64 ( x − 4 ) 2 P_2(x) = 2 + \tfrac14(x-4) - \tfrac{1}{64}(x-4)^2 P 2 ( x ) = 2 + 4 1 ( x − 4 ) − 64 1 ( x − 4 ) 2 − 1 / 32 2 ! = − 1 64 \tfrac{-1/32}{2!} = -\tfrac1{64} 2 ! − 1/32 = − 64 1
P 2 ( 4.1 ) = 2 + 0.025 − 0.00015625 = 2.02484375 P_2(4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375 P 2 ( 4.1 ) = 2 + 0.025 − 0.00015625 = 2.02484375 1.9 × 10 − 6 1.9\times10^{-6} 1.9 × 1 0 − 6
4.1 ≈ 2.024844 \sqrt{4.1} \approx 2.024844 4.1 ≈ 2.024844
ตัวอย่าง Y-3 · ทวินาม ประมาณ (ก) 1.1 \sqrt{1.1} 1.1 1.03 3 \sqrt[3]{1.03} 3 1.03
(ก) 1 + x = 1 + x 2 − x 2 8 + x 3 16 \sqrt{1+x} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16} 1 + x = 1 + 2 x − 8 x 2 + 16 x 3 1 + 0.05 − 0.00125 + 0.0000625 = 1.0488125 1 + 0.05 - 0.00125 + 0.0000625 = 1.0488125 1 + 0.05 − 0.00125 + 0.0000625 = 1.0488125 3.7 × 10 − 6 3.7\times10^{-6} 3.7 × 1 0 − 6
(ข) ( 1 + x ) 1 / 3 = 1 + x 3 − x 2 9 + ⋯ (1+x)^{1/3} = 1 + \tfrac{x}{3} - \tfrac{x^2}{9} + \cdots ( 1 + x ) 1/3 = 1 + 3 x − 9 x 2 + ⋯ 1 + 0.01 − 0.0001 = 1.0099 1 + 0.01 - 0.0001 = 1.0099 1 + 0.01 − 0.0001 = 1.0099
(ก) 1.04881 · (ข) 1.0099 — ฟิสิกส์ใช้แบบเดียวกันกับ 1 1 − v 2 / c 2 ≈ 1 + v 2 2 c 2 \tfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \tfrac{v^2}{2c^2} 1 − v 2 / c 2 1 ≈ 1 + 2 c 2 v 2 1 2 m v 2 \tfrac12mv^2 2 1 m v 2
ทฤษฎีบทเทย์เลอร์และเศษเหลือ: ต้องใช้กี่พจน์ กลาง
การประมาณที่ไม่บอกความคลาดใช้ในงานวิศวกรรมไม่ได้ ทฤษฎีบทเทย์เลอร์บอกว่าความต่างระหว่างฟังก์ชันกับพหุนาม (เศษเหลือ) เขียนได้เป็นพจน์ถัดไปที่ประเมินที่จุดใดจุดหนึ่งระหว่าง a กับ x เราไม่รู้จุดนั้น แต่หาขอบเขตได้
Y13 Taylor's theorem (Lagrange remainder)
f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 , ξ ระหว่าง a , x ⇒ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ M ( n + 1 ) ! ∣ x − a ∣ n + 1 f(x) = P_n(x) + R_n(x),\quad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},\ \xi \text{ ระหว่าง } a,\ x \ \Rightarrow\ |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , R n ( x ) = ( n + 1 )! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − a ) n + 1 , ξ ระหว่าง a , x ⇒ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ ( n + 1 )! M ∣ x − a ∣ n + 1 M = max ∣ f ( n + 1 ) ∣ M = \max|f^{(n+1)}| M = max ∣ f ( n + 1 ) ∣ e x e^x e x M = e x M = e^x M = e x e < 3 e < 3 e < 3
Y14 Integral remainder
R n ( x ) = 1 n ! ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t R_n(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x f^{(n+1)}(t)\,(x-t)^n\,dt R n ( x ) = n ! 1 ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) ( x − t ) n d t แม่นตรง ไม่มี ξ · ใช้พิสูจน์ว่าอนุกรมทวินามลู่เข้าสู่ ( 1 + x ) α (1+x)^\alpha ( 1 + x ) α
Y15 Alternating shortcut
อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ: ∣ R ∣ ≤ ∣ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ∣ \text{อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ:}\ |R| \le |\text{พจน์แรกที่ตัดทิ้ง}| อนุกรมสลับที่ผ่านไลบ์นิซ : ∣ R ∣ ≤ ∣ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง ∣ sin, cos, arctan, ln(1+x) ที่ 0 < x ≤ 1 0 < x \le 1 0 < x ≤ 1 A3 )
ตัวอย่าง Y-4 · ใช้กี่พจน์ (ลากรองจ์) ต้องใช้พหุนามแมคลอรินดีกรีเท่าใด ประมาณ e 0.5 e^{0.5} e 0.5 10 − 5 10^{-5} 1 0 − 5 เปิดเครื่องคำนวณ
∣ R n ( 0.5 ) ∣ ≤ e 0.5 ( n + 1 ) ! ( 0.5 ) n + 1 < 2 ( 0.5 ) n + 1 ( n + 1 ) ! |R_n(0.5)| \le \dfrac{e^{0.5}}{(n+1)!}(0.5)^{n+1} < \dfrac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!} ∣ R n ( 0.5 ) ∣ ≤ ( n + 1 )! e 0.5 ( 0.5 ) n + 1 < ( n + 1 )! 2 ( 0.5 ) n + 1 e 0.5 < 2 e^{0.5} < 2 e 0.5 < 2
n = 5 n = 5 n = 5 2 ( 0.5 ) 6 720 = 4.3 × 10 − 5 \dfrac{2(0.5)^6}{720} = 4.3\times10^{-5} 720 2 ( 0.5 ) 6 = 4.3 × 1 0 − 5 n = 6 n = 6 n = 6 2 ( 0.5 ) 7 5040 = 3.1 × 10 − 6 \dfrac{2(0.5)^7}{5040} = 3.1\times10^{-6} 5040 2 ( 0.5 ) 7 = 3.1 × 1 0 − 6
P 6 ( 0.5 ) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 + 0.0002604 + 0.0000217 = 1.6487196 P_6(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 + 0.0002604 + 0.0000217 = 1.6487196 P 6 ( 0.5 ) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.0026042 + 0.0002604 + 0.0000217 = 1.6487196 1.7 × 10 − 6 1.7\times10^{-6} 1.7 × 1 0 − 6
ดีกรี 6 (7 พจน์) · ขอบเขตรับประกันโดยไม่ต้องรู้ค่าจริง ซึ่งเป็นสิ่งที่โจทย์ต้องการ
ตัวอย่าง Y-5 · ใช้กี่พจน์ (อนุกรมสลับ) ประมาณ sin ( 0.2 ) \sin(0.2) sin ( 0.2 ) x − x 3 6 x - \tfrac{x^3}{6} x − 6 x 3
0.2 − 0.008 6 = 0.1986667 0.2 - \dfrac{0.008}{6} = 0.1986667 0.2 − 6 0.008 = 0.1986667
อนุกรมสลับ พจน์แรกที่ตัดทิ้ง 0.2 5 5 ! = 2.67 × 10 − 6 \dfrac{0.2^5}{5!} = 2.67\times10^{-6} 5 ! 0. 2 5 = 2.67 × 1 0 − 6 ∣ R ∣ ≤ 2.67 × 10 − 6 |R| \le 2.67\times10^{-6} ∣ R ∣ ≤ 2.67 × 1 0 − 6
ค่าจริง sin 0.2 = 0.1986693 \sin 0.2 = 0.1986693 sin 0.2 = 0.1986693 2.66 × 10 − 6 2.66\times10^{-6} 2.66 × 1 0 − 6
sin 0.2 ≈ 0.19867 \sin 0.2 \approx 0.19867 sin 0.2 ≈ 0.19867 2.7 × 10 − 6 2.7\times10^{-6} 2.7 × 1 0 − 6
เทคนิคลัด: แทนค่า คูณ หาร อินทิกรัล ประกอบ กลาง
การหาอนุพันธ์ทีละอันดับของ e − x 2 e^{-x^2} e − x 2 e x sin x e^x\sin x e x sin x
Y16 Substitution
e − x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n n ! = 1 − x 2 + x 4 2 − ⋯ e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots e − x 2 = n = 0 ∑ ∞ n ! ( − 1 ) n x 2 n = 1 − x 2 + 2 x 4 − ⋯ แทน u = − x 2 u = -x^2 u = − x 2 1 1 − 2 x \tfrac{1}{1-2x} 1 − 2 x 1 R = 1 2 R = \tfrac12 R = 2 1
Y17 Multiply & divide
e x sin x = x + x 2 + x 3 3 − x 5 30 + ⋯ , tan x = sin x cos x = x + x 3 3 + ⋯ e^x\sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + \cdots,\qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = x + \frac{x^3}{3} + \cdots e x sin x = x + x 2 + 3 x 3 − 30 x 5 + ⋯ , tan x = cos x sin x = x + 3 x 3 + ⋯ คูณเหมือนพหุนาม เก็บถึงดีกรีที่ต้องการ · หารด้วยการหารยาวหรือเทียบสัมประสิทธิ์
Y18 Integrate term by term
∫ 0 1 e − x 2 d x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( 2 n + 1 ) = 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 + ⋯ \int_0^1 e^{-x^2}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,(2n+1)} = 1 - \frac13 + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \cdots ∫ 0 1 e − x 2 d x = n = 0 ∑ ∞ n ! ( 2 n + 1 ) ( − 1 ) n = 1 − 3 1 + 10 1 − 42 1 + ⋯ ใช้กับอินทิกรัลที่ไม่มีปฏิยานุพันธ์พื้นฐาน (ฟังก์ชันค่าคลาดเคลื่อน erf ในสถิติและการแพร่ความร้อน)
Y19 Composition
e sin x = 1 + x + x 2 2 − x 4 8 − x 5 15 + ⋯ e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} - \frac{x^5}{15} + \cdots e s i n x = 1 + x + 2 x 2 − 8 x 4 − 15 x 5 + ⋯ แทนอนุกรมของ sin x \sin x sin x e u e^u e u x 3 x^3 x 3
ตัวอย่าง Y-6 · อินทิกรัลที่หาปฏิยานุพันธ์ไม่ได้ ประมาณ ∫ 0 1 e − x 2 d x \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx ∫ 0 1 e − x 2 d x
จาก Y18: 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 + 1 216 = 0.747487 1 - \tfrac13 + \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{42} + \tfrac{1}{216} = 0.747487 1 − 3 1 + 10 1 − 42 1 + 216 1 = 0.747487
เป็นอนุกรมสลับ ความคลาด ≤ พจน์ถัดไป 1 5 ! ⋅ 11 = 1 1320 = 7.6 × 10 − 4 \dfrac{1}{5!\cdot 11} = \dfrac{1}{1320} = 7.6\times10^{-4} 5 ! ⋅ 11 1 = 1320 1 = 7.6 × 1 0 − 4
ค่าจริง π 2 erf ( 1 ) = 0.746824 \tfrac{\sqrt\pi}{2}\operatorname{erf}(1) = 0.746824 2 π erf ( 1 ) = 0.746824 6.6 × 10 − 4 6.6\times10^{-4} 6.6 × 1 0 − 4
≈ 0.7475 ± 0.0008 — ใช้ 7 พจน์จะได้ถูกต้องทศนิยม 4 ตำแหน่ง
หาลิมิตด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ กลาง
รูป 0/0 ที่ต้องใช้โลปิตาลหลายครั้ง แก้ด้วยอนุกรมได้ในบรรทัดเดียว: แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรม ตัดพจน์ที่หักล้างกัน แล้วดูพจน์แรกที่เหลือ วิธีนี้ยังบอก “อัตราการเข้าใกล้” ซึ่งโลปิตาลไม่บอก
ตัวอย่าง Y-7 · ลิมิต (แนวข้อสอบ) (ก) lim x → 0 sin x − x + x 3 / 6 x 5 \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x - x + x^3/6}{x^5} lim x → 0 x 5 sin x − x + x 3 /6 lim x → 0 tan x − x x 3 \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x - x}{x^3} lim x → 0 x 3 tan x − x lim x → 0 x − sin x x − tan x \lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x - \tan x} lim x → 0 x − tan x x − sin x
(ก) sin x − x + x 3 6 = x 5 120 − x 7 5040 + ⋯ \sin x - x + \tfrac{x^3}{6} = \tfrac{x^5}{120} - \tfrac{x^7}{5040} + \cdots sin x − x + 6 x 3 = 120 x 5 − 5040 x 7 + ⋯ 1 120 \tfrac{1}{120} 120 1
(ข) tan x − x = x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ \tan x - x = \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2x^5}{15} + \cdots tan x − x = 3 x 3 + 15 2 x 5 + ⋯ 1 3 \tfrac13 3 1
(ค) ตัวเศษ x 3 6 − ⋯ \tfrac{x^3}{6} - \cdots 6 x 3 − ⋯ − x 3 3 − ⋯ -\tfrac{x^3}{3} - \cdots − 3 x 3 − ⋯ 1 / 6 − 1 / 3 = − 1 2 \dfrac{1/6}{-1/3} = -\tfrac12 − 1/3 1/6 = − 2 1
(ก) 1 120 \tfrac{1}{120} 120 1 1 3 \tfrac13 3 1 − 1 2 -\tfrac12 − 2 1
หาผลบวกอนุกรมจากอนุกรมเทย์เลอร์ กลาง
ย้อนทาง: เห็นอนุกรมตัวเลขแล้วจำได้ว่าเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันใดที่จุดใด เช่น ∑ 2 n n ! = e 2 \sum\tfrac{2^n}{n!} = e^2 ∑ n ! 2 n = e 2 ∑ ( − 1 ) n π 2 n ( 2 n ) ! = cos π = − 1 \sum\tfrac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!} = \cos\pi = -1 ∑ ( 2 n )! ( − 1 ) n π 2 n = cos π = − 1
ตัวอย่าง Y-8 · หาผลบวก (ก) ∑ n = 1 ∞ n 2 n ! \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!} n = 1 ∑ ∞ n ! n 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n ( 2 n + 1 ) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)} n = 0 ∑ ∞ 3 n ( 2 n + 1 ) ( − 1 ) n
(ก) n 2 n ! = n ( n − 1 ) ! \dfrac{n^2}{n!} = \dfrac{n}{(n-1)!} n ! n 2 = ( n − 1 )! n m = n − 1 m = n - 1 m = n − 1 ∑ m ≥ 0 m + 1 m ! = ∑ m m ! + ∑ 1 m ! = e + e = 2 e \sum_{m\ge0}\dfrac{m+1}{m!} = \sum\dfrac{m}{m!} + \sum\dfrac{1}{m!} = e + e = 2e ∑ m ≥ 0 m ! m + 1 = ∑ m ! m + ∑ m ! 1 = e + e = 2 e
(ข) เทียบ arctan x = ∑ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 \arctan x = \sum\dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} arctan x = ∑ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 x 2 n = 3 − n x^{2n} = 3^{-n} x 2 n = 3 − n x = 1 3 x = \tfrac{1}{\sqrt3} x = 3 1 = 3 arctan 1 3 = 3 ⋅ π 6 = \sqrt3\arctan\tfrac{1}{\sqrt3} = \sqrt3\cdot\tfrac{\pi}{6} = 3 arctan 3 1 = 3 ⋅ 6 π
(ก) 2 e ≈ 5.4366 2e \approx 5.4366 2 e ≈ 5.4366 π 3 6 ≈ 0.9069 \tfrac{\pi\sqrt3}{6} \approx 0.9069 6 π 3 ≈ 0.9069
สูตรออยเลอร์: จากอนุกรมสู่เฟสเซอร์ กลาง
แทน x = j θ x = j\theta x = j θ e x e^x e x เฟสเซอร์ และของอนุกรมฟูริเยร์
Y20 Euler's formula
e j θ = ∑ ( j θ ) n n ! = ( 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − ⋯ ) ⏟ cos θ + j ( θ − θ 3 3 ! + ⋯ ) ⏟ sin θ e^{j\theta} = \sum\frac{(j\theta)^n}{n!} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + j\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\right)}_{\sin\theta} e j θ = ∑ n ! ( j θ ) n = c o s θ ( 1 − 2 ! θ 2 + 4 ! θ 4 − ⋯ ) + j s i n θ ( θ − 3 ! θ 3 + ⋯ ) j 2 = − 1 , j 3 = − j , j 4 = 1 j^2 = -1,\ j^3 = -j,\ j^4 = 1 j 2 = − 1 , j 3 = − j , j 4 = 1 e j π + 1 = 0 e^{j\pi} + 1 = 0 e jπ + 1 = 0
ฟังก์ชันวิเคราะห์ และฟังก์ชันที่อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้ ขั้นสูง
Y21 Analytic function
f วิเคราะห์ที่ a ⟺ f ( x ) = ∑ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n ในบางช่วงรอบ a f \text{ วิเคราะห์ที่ } a \iff f(x) = \sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \text{ ในบางช่วงรอบ } a f วิเคราะห์ที่ a ⟺ f ( x ) = ∑ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n ในบางช่วงรอบ a พหุนาม eˣ sin cos ln ราก และผลบวก ผลคูณ ผลหาร ประกอบของพวกนี้ วิเคราะห์ในโดเมนของมัน
Y22 Smooth but not analytic
f ( x ) = { e − 1 / x 2 x ≠ 0 0 x = 0 , f ( n ) ( 0 ) = 0 ∀ n f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases},\quad f^{(n)}(0) = 0\ \forall n f ( x ) = { e − 1/ x 2 0 x = 0 x = 0 , f ( n ) ( 0 ) = 0 ∀ n อนุกรมเทย์เลอร์รอบ 0 เป็น 0 ทุกพจน์ ลู่เข้าทุก x แต่ไม่เท่ากับ f — ต้องตรวจ R n → 0 R_n \to 0 R n → 0
Y23 Two-variable Taylor expansion
f ( a + h , b + k ) ≈ f + f x h + f y k + 1 2 ( f x x h 2 + 2 f x y h k + f y y k 2 ) f(a+h, b+k) \approx f + f_x h + f_y k + \tfrac12\left(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2\right) f ( a + h , b + k ) ≈ f + f x h + f y k + 2 1 ( f xx h 2 + 2 f x y hk + f yy k 2 ) ทุกอนุพันธ์ประเมินที่ (a, b) · พจน์อันดับสองคือเมทริกซ์เฮสเซียน ใช้จำแนกจุดวิกฤตในค่าสุดขีดหลายตัวแปร
ต่อไป: เมื่อมีจุดเอกฐานอยู่ตรงกลาง
อนุกรมเทย์เลอร์ใช้ไม่ได้รอบจุดที่ฟังก์ชันระเบิด เช่น 1 z \tfrac{1}{z} z 1 e 1 / z e^{1/z} e 1/ z อนุกรมโลรองต์ ซึ่งเป็นเครื่องมือของเรซิดิว การแปลงลาปลาซผกผัน และการแปลง Z · ดูการใช้อนุกรมเทย์เลอร์ในงานจริงที่ อนุกรมในงานวิศวกรรม · บทความ อนุกรมเทย์เลอร์คืออะไร
คำถามที่พบบ่อย อนุกรมเทย์เลอร์กับอนุกรมแมคลอรินต่างกันอย่างไร? อนุกรมเทย์เลอร์ของ f รอบจุด a คือ ∑ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n \sum \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n ∑ n ! f ( n ) ( a ) ( x − a ) n ∑ f ( n ) ( 0 ) n ! x n \sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n ∑ n ! f ( n ) ( 0 ) x n e x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ e^x = 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \cdots e x = 1 + x + 2 ! x 2 + ⋯
อนุกรมแมคลอรินที่ต้องจำมีอะไรบ้าง? e x = ∑ x n n ! e^x = \sum\tfrac{x^n}{n!} e x = ∑ n ! x n sin x = ∑ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} sin x = ∑ ( 2 n + 1 )! ( − 1 ) n x 2 n + 1 cos x = ∑ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \cos x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} cos x = ∑ ( 2 n )! ( − 1 ) n x 2 n 1 1 − x = ∑ x n \tfrac{1}{1-x} = \sum x^n 1 − x 1 = ∑ x n ln ( 1 + x ) = ∑ ( − 1 ) n + 1 x n n \ln(1+x) = \sum\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n} ln ( 1 + x ) = ∑ n ( − 1 ) n + 1 x n arctan x = ∑ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 \arctan x = \sum\tfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} arctan x = ∑ 2 n + 1 ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 1 + x ) α = ∑ ( α n ) x n (1+x)^\alpha = \sum\binom{\alpha}{n}x^n ( 1 + x ) α = ∑ ( n α ) x n
จะรู้ได้อย่างไรว่าประมาณด้วยพหุนามเทย์เลอร์แล้วคลาดเท่าไร? ใช้เศษเหลือลากรองจ์ ∣ R n ( x ) ∣ ≤ M ( n + 1 ) ! ∣ x − a ∣ n + 1 |R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} ∣ R n ( x ) ∣ ≤ ( n + 1 )! M ∣ x − a ∣ n + 1 ∣ f ( n + 1 ) ∣ |f^{(n+1)}| ∣ f ( n + 1 ) ∣ sin 0.2 ≈ 0.2 − 0.008 / 6 \sin 0.2 \approx 0.2 - 0.008/6 sin 0.2 ≈ 0.2 − 0.008/6 0.2 5 / 120 ≈ 2.7 × 10 − 6 0.2^5/120 \approx 2.7\times10^{-6} 0. 2 5 /120 ≈ 2.7 × 1 0 − 6
ใช้อนุกรมเทย์เลอร์หาลิมิตอย่างไร? แทนฟังก์ชันด้วยอนุกรมแล้วตัดพจน์ต้น ๆ ที่หักล้างกัน เช่น lim x → 0 x − sin x x 3 \lim_{x\to0}\dfrac{x - \sin x}{x^3} lim x → 0 x 3 x − sin x = x − ( x − x 3 6 + ⋯ ) = x 3 6 − ⋯ = x - (x - \tfrac{x^3}{6} + \cdots) = \tfrac{x^3}{6} - \cdots = x − ( x − 6 x 3 + ⋯ ) = 6 x 3 − ⋯ 1 6 \tfrac16 6 1
ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ มีอนุกรมเทย์เลอร์เท่ากับตัวเองเสมอไหม? ไม่เสมอ ตัวอย่างคลาสสิก f ( x ) = e − 1 / x 2 f(x) = e^{-1/x^2} f ( x ) = e − 1/ x 2
มด
อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ ดูโปรไฟล์
บทความอ่านง่ายเกี่ยวกับหัวข้อนี้
ดูบทความทั้งหมด →