แนวข้อสอบเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ แรงก์ และกฎของคราเมอร์ (Exam Practice): 45 ข้อพร้อมเฉลย และโจทย์สุ่มไม่จำกัด

$2A - B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$ · $\det = 9 - (-16)$

25 · ระวัง: $\det(2A - B) \ne 2\det A - \det B$ D12

$\det(2A^{-1}A^T) = 2^3\cdot\det A^{-1}\cdot\det A^T = 8\cdot\tfrac14\cdot4$

8 · X1

$\det(3A^{-1}) = 27\cdot\left(-\tfrac12\right)$ · $\det(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{3-1} = (-2)^2$

$-\tfrac{27}{2}$ และ $4$ · X2

$(x + 2)(x - 1) - 4 = x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0$ ได้ $x = -3, 2$

$-1$

กระจายตามแถว 1: $1(0 - 2) - 2(12 + 4) + (-1)(3 - 0) = -2 - 32 - 3$

$-37$ · D4

ดึง 2 ออกจากแถว 1 · แถว 3 ลบ $\tfrac32$ ของแถว 1 เดิม (ไม่เปลี่ยนค่า) เหลือ $(d, e, f)$ · สลับแถว 2 กับ 3 ได้เครื่องหมายลบ

$2\times(-5) = -10$ · D6 D7 D8

$A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix}$

$-2 + 1 + \tfrac32 - \tfrac12 = 0$ · X3

$\det = 1$ จึง $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ · คูณทางซ้าย: $X = A^{-1}B$

$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ · I9

$\Delta = 2(3 + 2) - 1(1 - 6) + (-1)(-1 - 9) = 25$ · $\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 14 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(10) - 3(-5) + (-1)(-40) = 75$

$y = 75/25 = 3$ (คำตอบเต็มคือ $(1, 3, 2)$) · X4

$\Delta = k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k = \pm4$ · $k = 4$: สมการที่ 2 คือสมการที่ 1 คูณ 2 พอดี → ไม่จำกัด · $k = -4$: $-4x + 2y = 3$ กับ $8x - 4y = 6$ (คูณ $-2$ ได้ $-6 \ne 6$) → ขนาน

$k = -4$ · X5

$\operatorname{tr}A = 5,\ \det A = -2$ โดยเคย์ลีย์-แฮมิลตัน $A^2 - 5A - 2I = O$ จึง $A^2 - 5A + 2I = 4I$

$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ · X6

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix},\ A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ เห็นรูปแบบ $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ (พิสูจน์ด้วยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์)

$\begin{pmatrix} 1 & 31 \\ 0 & 32 \end{pmatrix}$

$\det A = 5$ · $\det(A^3B^{-1}) = 5^3\cdot\tfrac{1}{-3}$

$-\tfrac{125}{3}$ · X1

เวกเตอร์จากจุดแรก $(3, 1)$ และ $(1, 4)$ · พื้นที่ $= \tfrac12\left|\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\right| = \tfrac12|12 - 1|$

$\tfrac{11}{2}$ ตารางหน่วย · D17

$R_2 - 2R_1 = (0, 0, 0)$ · $R_3 - 3R_1 = (0, 0, 1)$ เหลือแถวไม่เป็นศูนย์ 2 แถว

2 · การลดแถว

เทคนิค: บวกทุกหลักเข้าหลักแรก ทุกแถวได้ $k + 2$ ดึงออกมา จึงมีตัวประกอบ $(k + 2)$ · คำนวณเต็ม $\det = -(k - 1)^2(k + 2)$

$k = 1, -2$ ผลบวก $-1$ · ตัวอย่าง R-5

$(\det A)^3 = \det(2I) = 2^3 = 8$ และ $\det A$ เป็นจำนวนจริง จึง $\det A = 2$ · $\det(\operatorname{adj}A) = 2^2$

$\det A = 2,\ \det(\operatorname{adj}A) = 4$

ลดแถว: $R_2 - R_1 = (0, 1, 2 \mid 8)$, $R_3 - R_1 = (0, 3, k - 1 \mid m - 6)$, แล้ว $R_3 - 3R_2 = (0, 0, k - 7 \mid m - 30)$ · ไม่จำกัดเมื่อแถวนี้เป็นศูนย์ทั้งแถว

$k = 7,\ m = 30$ ได้ $k + m = 37$ · ตัวอย่าง R-6

RREF: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ · $x_2 = s,\ x_4 = t$: $x_1 = s + 2t,\ x_3 = -t$

แรงก์ 2 · ภาวะศูนย์ 2 · ฐาน $(1, 1, 0, 0),\ (2, 0, -1, 1)$ · R10 R11

ต้องการ $\det = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

$\lambda = 4$ หรือ $-1$ (คือค่าเฉพาะของ $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$) · R9

$R_2 - 2R_1,\ R_3 + R_1,\ R_4 - 3R_1$ ได้ $(0, 1, 2, 1), (0, 3, 3, 5), (0, 1, 4, -1)$ · $R_3 - 3R_2,\ R_4 - R_2$ ได้ $(0, 0, -3, 2), (0, 0, 2, -2)$ · $R_4 + \tfrac23R_3$ ได้ $(0, 0, 0, -\tfrac23)$

$\det = 1\cdot1\cdot(-3)\cdot\left(-\tfrac23\right) = 2$ · ลดแถว

$\det A = 1(-8 - 3) - 0 + 2(2 + 4) = 1$ · เมทริกซ์โคแฟกเตอร์ทรานสโพส (แอดจอยต์) หารด้วย 1

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ · ตรวจแถว 1 × หลัก 1: $-11 + 0 + 12 = 1$ ✓ · I3

$\Delta = (R_1 + R_2)(R_2 + R_3) - R_2^2 = R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3$ · $\Delta_2 = (R_1 + R_2)\cdot0 - (-R_2)V = R_2V$

$I_2 = \dfrac{R_2V}{R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3}$ · คราเมอร์กับวงจร

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\ U = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ · $L\mathbf y = \mathbf b$: $\mathbf y = (2, 4, 8)$ · $U\mathbf x = \mathbf y$: $x_3 = 2,\ x_2 = 2,\ x_1 = (2 - 8 + 4)/2$

$\mathbf x = (-1, 2, 2)$ · N8 · ดูในแล็บ LU

ลดแถวได้แถวสุดท้าย $(0, 0, a - 2 \mid b - 3)$ · กรณีไม่จำกัด $z = t$: $y = 2 - 3t,\ x = 1 - 2y + z = -3 + 7t$

$a \ne 2$: เดียว · $a = 2, b = 3$: $(x, y, z) = (-3, 2, 0) + t(7, -3, 1)$ · $a = 2, b \ne 3$: ไม่มี · R7

เป็นทรานสโพสของเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ที่จุด $1, 2, k$: $\det = (2 - 1)(k - 1)(k - 2)$ · $k = 1$ หรือ $2$ มีสองหลักซ้ำกัน แต่สองแถวแรกยังอิสระ

แรงก์ 3 เมื่อ $k \ne 1, 2$ · แรงก์ 2 เมื่อ $k = 1$ หรือ $2$ · D15 · ดูในแล็บ k

สมการปกติ $A^TA\mathbf c = A^T\mathbf y$: $\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{pmatrix}\mathbf c = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$ · คราเมอร์ $\Delta = 6$: $c_0 = (70 - 66)/6,\ c_1 = (33 - 30)/6$

$y = \tfrac23 + \tfrac12x$ · กำลังสองน้อยสุด

สูตร $\det = (a - b)^{n-1}(a + (n - 1)b)$ กับ $a = 3,\ b = 1,\ n = 4$ (หรือบวกทุกหลักเข้าหลักแรกแล้วลดแถว)

$2^3\times6 = 48$ · D25

$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = (\det A)^{n-2}A = 3A$ · $\det(3A) = 27\times3$

$3A$ และ $81$ (= $3^{(n-1)^2}$) · D23

$\Delta = (2 + j)(1 + 2j) - (-j)^2 = 5j + 1$ · $\Delta_1 = 10(1 + 2j)$ · $\Delta_2 = 10j$ · หารเชิงซ้อนคูณด้วยสังยุค $1 - 5j$

$\mathbf I_1 = \tfrac{55 - 15j}{13} \approx 4.385\angle{-15.3^\circ}$ A · $\mathbf I_2 = \tfrac{25 + 5j}{13} \approx 1.961\angle 11.3^\circ$ A · คราเมอร์กับ AC

$\det\begin{pmatrix} s & -1 \\ 6 & s + 5 \end{pmatrix} = s(s + 5) + 6 = s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)$

$s^2 + 5s + 6$ ขั้ว $s = -2, -3$ (เสถียร) · ค่าเฉพาะ

$\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & k & 4 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} = (7k - 20) - 2(14 - 12) + 3(10 - 3k) = 6 - 2k = 0$

$k = 3$ (แรงก์ลดเหลือ 2) · R5

อสมการซิลเวสเตอร์: $3 + 3 - 5 \le \operatorname{rank}(AB) \le \min(3, 3)$

$1 \le \operatorname{rank}(AB) \le 3$ · R12

จาโคบี: $x = 10/5,\ y = 11/8,\ z = 3/4$ · เกาส์-ไซเดล: $x = 2$, $y = (11 - 2\cdot2)/8 = \tfrac78$, $z = (3 + 2 - \tfrac78)/4 = \tfrac{33}{32}$

จาโคบี $(2, 1.375, 0.75)$ · เกาส์-ไซเดล $(2, 0.875, 1.03125)$ · คำตอบจริง $(2, 1, 1)$ · X7

$x = (10 + 0.875 - 1.03125)/5 = 1.96875$ · $y = (11 - 2(1.96875) + 1.03125)/8 = 1.01172$ · $z = (3 + 1.96875 - 1.01172)/4 = 0.98926$

$(1.96875,\ 1.01172,\ 0.98926)$ — คลาดเคลื่อนไม่เกิน 0.032 หลังสองรอบ · ดูในซิมูเลเตอร์

ตรวจทแยงเด่นแท้: $5 \gt 1 + 1,\ 8 \gt 2 + 1,\ 4 \gt 1 + 1$ ครบทุกแถว

รับประกันได้ · N18

สมการที่มีสัมประสิทธิ์ $x$ ใหญ่สุด (7) ไว้แถวแรก สัมประสิทธิ์ $y$ ใหญ่สุด (6) แถวสอง $z$ (5) แถวสาม: $7 \gt 2,\ 6 \gt 3,\ 5 \gt 2$

ลำดับ $7x - y + z = 8$ → $x + 6y - 2z = 3$ → $x + y + 5z = 12$ · คำตอบ $(1, 1, 2)$

$T_J = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}$ ค่าเฉพาะ $\pm\tfrac12$ · $T_{GS} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac12 \\ 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}$ ค่าเฉพาะ $0, \tfrac14$ · $k \approx 6/(-\log_{10}\rho)$

$\rho_J = \tfrac12$ (≈ 20 รอบ) · $\rho_{GS} = \tfrac14 = \rho_J^2$ (≈ 10 รอบ) · N20

$\rho_J = \cos\tfrac{\pi}{11} = 0.9595$ · $\omega^* = \dfrac{2}{1 + \sqrt{1 - \rho_J^2}} = \dfrac{2}{1 + \sin(\pi/11)}$

$\omega^* \approx 1.560$ และ $\rho = \omega^* - 1 \approx 0.560$ · N21

$\lVert A\rVert_\infty = \max(3, 7) = 7$ · $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ ได้ $\lVert A^{-1}\rVert_\infty = \max(3, 2) = 3$

$\kappa_\infty = 21$ · X8

ไม่สลับ: $m = 10^5$, $a_{22} = 1 - 10^5 \to -1.000\times10^5$, $b_2 = 2 - 10^5 \to -1.000\times10^5$ ได้ $y = 1.000,\ x = (1 - 1)/10^{-5} = 0$ · สลับ: $m = 10^{-5}$ ได้ $y = 1.000,\ x = 2 - 1 = 1.000$

ไม่สลับ $x = 0$ (ผิด 100%) · สลับ $x = 1.000$ (ค่าจริง 1.00001) · ดูในแล็บ

$c_1' = -\tfrac14,\ d_1' = \tfrac{15}{4}$ · $m_2 = 4 - \tfrac14 = \tfrac{15}{4}$: $c_2' = -\tfrac{4}{15},\ d_2' = \tfrac{7/4}{15/4} = \tfrac{7}{15}$ · $m_3 = 4 - \tfrac{4}{15} = \tfrac{56}{15}$: $d_3' = \tfrac{7 + 7/15}{56/15} = 2$ · ย้อนกลับ $x_3 = 2,\ x_2 = \tfrac{7}{15} + \tfrac{4}{15}(2) = 1,\ x_1 = \tfrac{15}{4} + \tfrac14(1) = 4$

$\mathbf x = (4, 1, 2)$ · N12

$\ell_{11} = 3,\ \ell_{21} = \ell_{31} = 1$ · $\ell_{22} = \sqrt{5 - 1} = 2,\ \ell_{32} = (5 - 1)/2 = 2$ · $\ell_{33} = \sqrt{14 - 1 - 4} = 3$

$L = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ · N11

$\dfrac{\lVert\delta\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf x\rVert} \le 10^3\times10^{-6}$ · หลักที่เสีย $\approx \log_{10}10^3$

ไม่เกิน $10^{-3}$ (0.1%) · เสียราว 3 หลัก · N24

$4T_1 - T_2 - T_3 = 150,\ 4T_2 - T_1 - T_4 = 100,\ 4T_3 - T_1 - T_4 = 50,\ 4T_4 - T_2 - T_3 = 0$ · บวกทั้งสี่: $2\sum T = 300$ · สมการ 1 + 4 ได้ $T_1 + T_4 = 75$, สมการ 1 − 4 ได้ $T_1 - T_4 = 37.5$ · ทำนองเดียวกัน $T_2 + T_3 = 75,\ T_2 - T_3 = 12.5$

$(T_1, T_2, T_3, T_4) = (56.25,\ 43.75,\ 31.25,\ 18.75)$ °C · แล็บแผ่นความร้อน