พิมพ์คำที่ต้องการค้นหา ทั้งภาษาไทยและอังกฤษ
  1. หน้าแรก
  2. คลังความรู้
  3. การแปลงลาปลาซ
  4. แก้สมการเชิงอนุพันธ์

// บทที่ 8.4 · การแปลงลาปลาซ · Solving ODEs

แก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสองด้วยการแปลงลาปลาซ

นี่คือเหตุผลที่วิศวกรเรียนลาปลาซ: สมการเชิงอนุพันธ์ของวงจรและระบบกลไกกลายเป็นพีชคณิต ค่าเริ่มต้นเข้ามาในสมการเอง และอินพุตที่กระโดดหรือหน่วงเวลาไม่ใช่ปัญหาอีกต่อไป หน้านี้มีขั้นตอนมาตรฐาน ตัวอย่างครบทุกกรณีที่เจอในการสอบและงานจริง และตัวแก้สมการโต้ตอบที่แสดงวิธีทำเหมือนเขียนบนกระดาน สูตรใช้รหัส Q

เขียนโดย อาจารย์มดอัปเดต
ตัวแก้สมการโต้ตอบ อันดับหนึ่ง อันดับสอง วงจร RLC ระบบสมการ
สรุปใน 30 วินาที
  • แปลงทั้งสองข้าง → แทนค่าเริ่มต้น → แก้หา Y(s)Y(s) → เศษส่วนย่อย → แปลงกลับ
  • รากของ as2+bs+cas^2 + bs + c บอกรูปคำตอบ: จริงต่างกัน หน่วงเกิน · ซ้ำ หน่วงวิกฤต · เชิงซ้อน แกว่ง
  • Y(s)=(ค่าเริ่มต้น)/D(s)⏟zero-input+H(s)X(s)⏟zero-stateY(s) = \underbrace{\text{(ค่าเริ่มต้น)}/D(s)}_{\text{zero-input}} + \underbrace{H(s)X(s)}_{\text{zero-state}}
  • อินพุตตรงกับความถี่ธรรมชาติ → โพลซ้ำบนแกน jω → แอมพลิจูดโตตามเวลา (เรโซแนนซ์)
ระดับพื้นฐาน ปี 2กลาง ป.ตรี วิศวกรรมขั้นสูง ป.โท

ขั้นตอนมาตรฐาน 5 ขั้น พื้นฐาน

Q1 Laplace method for IVPs ขั้นตอนแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

ODE→ L สมการพีชคณิตใน Y(s)→แก้Y(s)=N(s)D(s)→เศษส่วนย่อย∑ck(s−pk)m→ L−1 y(t)\text{ODE} \xrightarrow{\ \mathcal L\ } \text{สมการพีชคณิตใน } Y(s) \xrightarrow{\text{แก้}} Y(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \xrightarrow{\text{เศษส่วนย่อย}} \sum\frac{c_k}{(s-p_k)^m} \xrightarrow{\ \mathcal L^{-1}\ } y(t)

(1) แปลงทั้งสองข้างด้วย P6–P7 (2) แทนค่าเริ่มต้น (3) จัด Y(s)Y(s) ไว้ข้างเดียว (4) แยกเศษส่วนย่อย หน้า 8.5 (5) แปลงกลับจากตาราง และตรวจด้วยค่าเริ่มต้น

Q2 Derivatives สูตรที่ใช้ทุกข้อ

L{y′}=sY−y(0),L{y′′}=s2Y−sy(0)−y′(0)\mathcal L\{y'\} = sY - y(0),\quad \mathcal L\{y''\} = s^2Y - sy(0) - y'(0)

Q3 Zero-input + zero-state แยกคำตอบสองส่วน

Y(s)=I(s)D(s)⏟จากค่าเริ่มต้น+N(s)D(s)X(s)⏟H(s)X(s)Y(s) = \underbrace{\frac{I(s)}{D(s)}}_{\text{จากค่าเริ่มต้น}} + \underbrace{\frac{N(s)}{D(s)}X(s)}_{H(s)X(s)}

D(s)D(s) = พหุนามลักษณะเฉพาะ, I(s)I(s) = พหุนามที่มาจากค่าเริ่มต้น

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง พื้นฐาน

Q4 First-order linear ODE สมการอันดับหนึ่ง y′+ay=r(t)y' + ay = r(t)

Y(s)=y(0)s+a+R(s)s+a ⇒ y(t)=y(0)e−at+∫0te−a(t−τ)r(τ) dτY(s) = \frac{y(0)}{s + a} + \frac{R(s)}{s + a}\ \Rightarrow\ y(t) = y(0)e^{-at} + \int_0^t e^{-a(t-\tau)}r(\tau)\,d\tau

โพลเดียวที่ s=−as = -a ค่าคงตัวเวลา τ=1/a\tau = 1/a · ส่วนที่สองคือคอนโวลูชันของอินพุตกับ e−ate^{-at} (P12)

ตัวอย่าง Q-1 · ไม่มีอินพุต

y′+2y=0, y(0)=3y' + 2y = 0,\ y(0) = 3

  1. sY−3+2Y=0 ⇒ Y(s)=3s+2sY - 3 + 2Y = 0 \ \Rightarrow\ Y(s) = \frac{3}{s+2}
  2. y(t)=3e−2ty(t) = 3e^{-2t}

y(t)=3e−2ty(t) = 3e^{-2t} · ค่าคงตัวเวลา 0.5 หน่วย

ตัวอย่าง Q-2 · อินพุตขั้นบันได + ค่าเริ่มต้น

y′+2y=4u(t), y(0)=1y' + 2y = 4u(t),\ y(0) = 1

  1. sY−1+2Y=4s ⇒ (s+2)Y=1+4s=s+4ssY - 1 + 2Y = \frac{4}{s} \ \Rightarrow\ (s+2)Y = 1 + \frac{4}{s} = \frac{s + 4}{s}
  2. Y(s)=s+4s(s+2)=As+Bs+2,A=42=2,B=−2+4−2=−1Y(s) = \frac{s + 4}{s(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2},\quad A = \frac{4}{2} = 2,\quad B = \frac{-2+4}{-2} = -1
  3. y(t)=2−e−2ty(t) = 2 - e^{-2t}

y(t)=2−e−2t, t≥0y(t) = 2 - e^{-2t},\ t \ge 0

ตรวจ: y(0)=1y(0) = 1 ✓ · y′+2y=2e−2t+4−2e−2t=4y' + 2y = 2e^{-2t} + 4 - 2e^{-2t} = 4 ✓

ตัวอย่าง Q-3 · อินพุตไซน์

y′+y=sin⁡t, y(0)=0y' + y = \sin t,\ y(0) = 0

  1. (s+1)Y=1s2+1 ⇒ Y=1(s+1)(s2+1)=1/2s+1+−12s+12s2+1(s+1)Y = \frac{1}{s^2+1} \ \Rightarrow\ Y = \frac{1}{(s+1)(s^2+1)} = \frac{1/2}{s+1} + \frac{-\tfrac12 s + \tfrac12}{s^2+1}

  2. ค่า 12\tfrac12 ได้จากปิด (s+1)(s+1) ที่ s=−1s = -1 ส่วนตัวเศษของพจน์ที่สองได้จากเทียบสัมประสิทธิ์ 1=12(s2+1)+(Bs+C)(s+1)1 = \tfrac12(s^2+1) + (Bs + C)(s+1)

  3. y(t)=12e−t⏟ชั่วครู่+12(sin⁡t−cos⁡t)⏟สถานะคงตัวy(t) = \underbrace{\tfrac12e^{-t}}_{\text{ชั่วครู่}} + \underbrace{\tfrac12(\sin t - \cos t)}_{\text{สถานะคงตัว}}

หลังพจน์ชั่วครู่หายไป เหลือ 12sin⁡(t−45∘)\tfrac{1}{\sqrt2}\sin(t - 45^\circ) ตรงกับการวิเคราะห์เฟสเซอร์ H(j1)=11+j=12∠−45∘H(j1) = \tfrac{1}{1+j} = \tfrac{1}{\sqrt2}\angle -45^\circ

ตัวอย่าง Q-4 · วงจร RL

วงจร RL อนุกรม V=12V = 12 V, R=4 ΩR = 4\ \Omega, L=2L = 2 H ปิดสวิตช์ที่ t=0t = 0 โดย i(0−)=0i(0^-) = 0 หา i(t)i(t)

  1. KVL: Ldidt+Ri=12u(t)L\dfrac{di}{dt} + Ri = 12u(t) → 2(sI)+4I=12s2(sI) + 4I = \dfrac{12}{s}

  2. I(s)=6s(s+2)=3s−3s+2I(s) = \frac{6}{s(s+2)} = \frac{3}{s} - \frac{3}{s+2}
  3. i(t)=3(1−e−2t) Ai(t) = 3\left(1 - e^{-2t}\right)\ \text{A}

กระแสโตจาก 0 ไปที่ V/R=3V/R = 3 A ค่าคงตัวเวลา L/R=0.5L/R = 0.5 s

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง: สี่กรณีของราก กลาง

Q5 Second-order ODE สมการอันดับสอง ay′′+by′+cy=r(t)ay'' + by' + cy = r(t)

(as2+bs+c)Y(s)=a[sy(0)+y′(0)]+b y(0)+R(s)(as^2 + bs + c)Y(s) = a\left[sy(0) + y'(0)\right] + b\,y(0) + R(s)

D(s)=as2+bs+cD(s) = as^2 + bs + c คือพหุนามลักษณะเฉพาะ รากของมันคือโพลของระบบ

Q6 Damping cases กรณีของความหน่วง ζ=b2ac\zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{ac}}

b2−4ac>0 (ζ>1)s1,2 จริงต่างกันyh=c1es1t+c2es2tb2−4ac=0 (ζ=1)s ซ้ำyh=(c1+c2t)estb2−4ac<0 (0<ζ<1)−σ±jωdyh=e−σt(c1cos⁡ωdt+c2sin⁡ωdt)b=0 (ζ=0)±jωnyh=c1cos⁡ωnt+c2sin⁡ωnt\begin{array}{lll} b^2 - 4ac > 0\ (\zeta > 1) & s_{1,2} \text{ จริงต่างกัน} & y_h = c_1e^{s_1t} + c_2e^{s_2t} \\ b^2 - 4ac = 0\ (\zeta = 1) & s \text{ ซ้ำ} & y_h = (c_1 + c_2t)e^{st} \\ b^2 - 4ac < 0\ (0 < \zeta < 1) & -\sigma \pm j\omega_d & y_h = e^{-\sigma t}(c_1\cos\omega_dt + c_2\sin\omega_dt) \\ b = 0\ (\zeta = 0) & \pm j\omega_n & y_h = c_1\cos\omega_nt + c_2\sin\omega_nt \end{array}
ζ = 0ζ = 0.2ζ = 0.5ζ = 1ζ = 2t (หน่วยของ 1/ωn) · y(0) = 1, y′(0) = 0
ผลตอบสนองอิสระ y(0)=1, y′(0)=0y(0) = 1,\ y'(0) = 0 ของ y′′+2ζy′+y=0y'' + 2\zeta y' + y = 0 สำหรับ ζ = 0, 0.2, 0.5, 1 และ 2 ยิ่ง ζ น้อยยิ่งแกว่งมาก ζ = 1 เข้าสู่ศูนย์เร็วที่สุดโดยไม่ข้าม
ตัวอย่าง Q-5 · หน่วงเกิน + ขั้นบันได

y′′+3y′+2y=u(t), y(0)=y′(0)=0y'' + 3y' + 2y = u(t),\ y(0) = y'(0) = 0

  1. (s2+3s+2)Y=1s ⇒ Y=1s(s+1)(s+2)(s^2 + 3s + 2)Y = \frac{1}{s} \ \Rightarrow\ Y = \frac{1}{s(s+1)(s+2)}

  2. ปิดตัวประกอบสามครั้ง

    A=1(1)(2)=12,B=1(−1)(1)=−1,C=1(−2)(−1)=12A = \frac{1}{(1)(2)} = \frac12,\quad B = \frac{1}{(-1)(1)} = -1,\quad C = \frac{1}{(-2)(-1)} = \frac12
  3. y(t)=12−e−t+12e−2ty(t) = \frac12 - e^{-t} + \frac12e^{-2t}

y(t)=12−e−t+12e−2ty(t) = \tfrac12 - e^{-t} + \tfrac12e^{-2t} เข้าสู่ 12\tfrac12 โดยไม่พุ่งเกิน (ราก −1, −2 จริงทั้งคู่)

ตรวจ: y(0)=12−1+12=0y(0) = \tfrac12 - 1 + \tfrac12 = 0 ✓ · ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย lim⁡s→0sY=12\lim_{s\to0}sY = \tfrac12 ✓

ตัวอย่าง Q-6 · หน่วงวิกฤต

y′′+2y′+y=0, y(0)=1, y′(0)=0y'' + 2y' + y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 0

  1. s2Y−s+2(sY−1)+Y=0 ⇒ Y=s+2(s+1)2s^2Y - s + 2(sY - 1) + Y = 0 \ \Rightarrow\ Y = \frac{s + 2}{(s+1)^2}

  2. เขียน s+2=(s+1)+1s + 2 = (s + 1) + 1

    Y=1s+1+1(s+1)2Y = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2}
  3. y(t)=e−t+te−t=(1+t)e−ty(t) = e^{-t} + te^{-t} = (1 + t)e^{-t}

(1+t)e−t(1+t)e^{-t} โพลซ้ำให้พจน์ te−tte^{-t}

ตัวอย่าง Q-7 · หน่วงน้อย (แกว่ง)

y′′+2y′+5y=0, y(0)=1, y′(0)=1y'' + 2y' + 5y = 0,\ y(0) = 1,\ y'(0) = 1

  1. s2Y−s−1+2(sY−1)+5Y=0 ⇒ Y=s+3s2+2s+5s^2Y - s - 1 + 2(sY - 1) + 5Y = 0 \ \Rightarrow\ Y = \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 5}

  2. เติมกำลังสอง s2+2s+5=(s+1)2+22s^2 + 2s + 5 = (s+1)^2 + 2^2 แล้วแยกเศษ s+3=(s+1)+2s + 3 = (s + 1) + 2

    Y=s+1(s+1)2+4+2(s+1)2+4Y = \frac{s + 1}{(s+1)^2 + 4} + \frac{2}{(s+1)^2 + 4}
  3. y(t)=e−t(cos⁡2t+sin⁡2t)=2 e−tcos⁡(2t−45∘)y(t) = e^{-t}\left(\cos 2t + \sin 2t\right) = \sqrt2\,e^{-t}\cos(2t - 45^\circ)

แกว่งที่ ωd=2\omega_d = 2 rad/s ด้วยเปลือก 2e−t\sqrt2e^{-t} · ζ=2/(25)≈0.447\zeta = 2/(2\sqrt5) \approx 0.447

ตัวอย่าง Q-8 · เรโซแนนซ์

y′′+4y=sin⁡2t, y(0)=y′(0)=0y'' + 4y = \sin 2t,\ y(0) = y'(0) = 0

  1. ความถี่ของอินพุต (2 rad/s) ตรงกับความถี่ธรรมชาติ ωn=2\omega_n = 2

    (s2+4)Y=2s2+4 ⇒ Y=2(s2+4)2(s^2 + 4)Y = \frac{2}{s^2+4} \ \Rightarrow\ Y = \frac{2}{(s^2+4)^2}

  2. ใช้ตารางแถว 20 ที่ ω=2\omega = 2: L−1{1/(s2+ω2)2}=12ω3(sin⁡ωt−ωtcos⁡ωt)\mathcal L^{-1}\{1/(s^2+\omega^2)^2\} = \tfrac{1}{2\omega^3}(\sin\omega t - \omega t\cos\omega t)

    y(t)=2⋅116(sin⁡2t−2tcos⁡2t)=sin⁡2t8−tcos⁡2t4y(t) = 2\cdot\frac{1}{16}\left(\sin 2t - 2t\cos 2t\right) = \frac{\sin 2t}{8} - \frac{t\cos 2t}{4}

พจน์ tcos⁡2tt\cos 2t โตเชิงเส้นไม่หยุด นี่คือเหตุที่สะพานพังเมื่อถูกกระตุ้นตรงความถี่ธรรมชาติ และวงจร LC ไม่มีความต้านทานจะมีแรงดันสูงขึ้นเรื่อย ๆ

วงจร RLC และระบบมวล-สปริง-ตัวหน่วง กลาง

Q7 s-domain element models อุปกรณ์ในโดเมน s พร้อมค่าเริ่มต้น

R: V=RIL: V=sLI−Li(0−)C: V=IsC+v(0−)sR:\ V = RI \qquad L:\ V = sLI - Li(0^-) \qquad C:\ V = \frac{I}{sC} + \frac{v(0^-)}{s}

Q8 Series RLC (capacitor voltage) RLC อนุกรม

LC vC′′+RC vC′+vC=vs(t),ωn=1LC, ζ=R2CLLC\,v_C'' + RC\,v_C' + v_C = v_s(t),\quad \omega_n = \frac{1}{\sqrt{LC}},\ \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}

Q9 Mass–spring–damper มวล-สปริง-ตัวหน่วง

mx¨+cx˙+kx=F(t),ωn=km, ζ=c2kmm\ddot x + c\dot x + kx = F(t),\quad \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}

เทียบกับวงจร: m↔L, c↔R, k↔1/Cm \leftrightarrow L,\ c \leftrightarrow R,\ k \leftrightarrow 1/C สมการรูปเดียวกันทุกประการ

ตัวอย่าง Q-9 · วงจร RLC อนุกรม

L=1L = 1 H, R=4 ΩR = 4\ \Omega, C=13C = \tfrac13 F ป้อน 6 V ขั้นบันได ตัวเก็บประจุว่างและไม่มีกระแสเริ่มต้น หา vC(t)v_C(t)

  1. Q8: 13v′′+43v′+v=6\tfrac13 v'' + \tfrac43 v' + v = 6 คูณ 3: v′′+4v′+3v=18u(t)v'' + 4v' + 3v = 18u(t)

  2. VC(s)=18s(s+1)(s+3)=6s−9s+1+3s+3V_C(s) = \frac{18}{s(s+1)(s+3)} = \frac{6}{s} - \frac{9}{s+1} + \frac{3}{s+3}
  3. vC(t)=6−9e−t+3e−3t Vv_C(t) = 6 - 9e^{-t} + 3e^{-3t}\ \text{V}

ราก −1, −3 จริงต่างกัน หน่วงเกิน ζ=421/31≈1.155\zeta = \tfrac42\sqrt{\tfrac{1/3}{1}} \approx 1.155 แรงดันขึ้นสู่ 6 V โดยไม่พุ่งเกิน

ตรวจ: v(0)=6−9+3=0v(0) = 6 - 9 + 3 = 0 ✓ · v′(0)=9−9=0v'(0) = 9 - 9 = 0 ✓ (กระแสเริ่มต้น i=Cv′=0i = Cv' = 0)

ตัวอย่าง Q-10 · ระบบกลไก

m=1m = 1 kg, c=2c = 2 N·s/m, k=10k = 10 N/m ดึงมวลออก 0.1 m แล้วปล่อยจากหยุดนิ่ง

  1. s2X−0.1s+2(sX−0.1)+10X=0 ⇒ X=0.1(s+2)(s+1)2+9s^2X - 0.1s + 2(sX - 0.1) + 10X = 0 \ \Rightarrow\ X = \frac{0.1(s + 2)}{(s+1)^2 + 9}
  2. X=0.1[s+1(s+1)2+32+13⋅3(s+1)2+32]X = 0.1\left[\frac{s+1}{(s+1)^2 + 3^2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{(s+1)^2 + 3^2}\right]
  3. x(t)=0.1e−t(cos⁡3t+13sin⁡3t) mx(t) = 0.1e^{-t}\left(\cos 3t + \tfrac13\sin 3t\right)\ \text{m}

แกว่ง 3 rad/s (≈ 0.48 Hz) ลดลงด้วย e−te^{-t} · ζ=2/(210)≈0.316\zeta = 2/(2\sqrt{10}) \approx 0.316

อินพุตเป็นช่วงและหน่วงเวลา กลาง

นี่คือจุดที่ลาปลาซเหนือกว่าวิธีปกติชัดเจน: อินพุตที่เปิดแล้วปิด ไม่ต้องแบ่งช่วงแก้แล้วต่อค่าที่รอยต่อ แค่เขียนด้วย u(t−T)u(t - T) แล้วใช้การเลื่อนเวลา

ตัวอย่าง Q-11 · พัลส์ 1 วินาที

y′+y=u(t)−u(t−1), y(0)=0y' + y = u(t) - u(t - 1),\ y(0) = 0

  1. (s+1)Y=1−e−ss ⇒ Y=(1−e−s)1s(s+1)(s+1)Y = \frac{1 - e^{-s}}{s} \ \Rightarrow\ Y = \left(1 - e^{-s}\right)\frac{1}{s(s+1)}

  2. L−1{1/(s(s+1))}=1−e−t\mathcal L^{-1}\{1/(s(s+1))\} = 1 - e^{-t} แล้วใช้การเลื่อนเวลากับพจน์ที่มี e−se^{-s}

    y(t)=(1−e−t)u(t)−(1−e−(t−1))u(t−1)y(t) = \left(1 - e^{-t}\right)u(t) - \left(1 - e^{-(t-1)}\right)u(t-1)

ช่วง 0≤t<10 \le t < 1: ชาร์จขึ้น 1−e−t1 - e^{-t} · ช่วง t≥1t \ge 1: y=(e−1)e−ty = (e - 1)e^{-t} ลดลง (รวมสองพจน์แล้วจัดรูป) ต่อเนื่องที่ t=1t = 1 โดยอัตโนมัติ

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ ขั้นสูง

Q10 Systems / state space ระบบสมการ

x˙=Ax+Bu ⇒ X(s)=(sI−A)−1[x(0)+BU(s)]\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u \ \Rightarrow\ \mathbf X(s) = (sI - A)^{-1}\left[\mathbf x(0) + B\mathbf U(s)\right]

(sI−A)−1(sI - A)^{-1} เรียกว่า resolvent และ L−1{(sI−A)−1}=eAt\mathcal L^{-1}\{(sI - A)^{-1}\} = e^{At} โพลคือค่าเฉพาะของ AA ดูค่าเฉพาะ และปริภูมิสถานะ

ตัวอย่าง Q-12 · สองสมการคู่กัน

x′=−2x+y, y′=x−2y, x(0)=1, y(0)=0x' = -2x + y,\ y' = x - 2y,\ x(0) = 1,\ y(0) = 0

  1. sX−1=−2X+Y,sY=X−2YsX - 1 = -2X + Y,\qquad sY = X - 2Y

  2. จากสมการที่สอง Y=X/(s+2)Y = X/(s+2) แทนในสมการแรก

    (s+2)X−Xs+2=1 ⇒ X=s+2(s+2)2−1=s+2(s+1)(s+3)(s+2)X - \frac{X}{s+2} = 1 \ \Rightarrow\ X = \frac{s+2}{(s+2)^2 - 1} = \frac{s+2}{(s+1)(s+3)}
  3. X=1/2s+1+1/2s+3,Y=1(s+1)(s+3)=1/2s+1−1/2s+3X = \frac{1/2}{s+1} + \frac{1/2}{s+3},\qquad Y = \frac{1}{(s+1)(s+3)} = \frac{1/2}{s+1} - \frac{1/2}{s+3}

x(t)=12(e−t+e−3t), y(t)=12(e−t−e−3t)x(t) = \tfrac12(e^{-t} + e^{-3t}),\ y(t) = \tfrac12(e^{-t} - e^{-3t}) โพล −1, −3 คือค่าเฉพาะของ [−211−2]\begin{bmatrix}-2 & 1\\ 1 & -2\end{bmatrix}

Q11 Variable coefficients สมการสัมประสิทธิ์เป็นพหุนามใน t

L{ty′}=−dds[sY−y(0)],L{ty′′}=−dds[s2Y−sy(0)−y′(0)]\mathcal L\{ty'\} = -\frac{d}{ds}\left[sY - y(0)\right],\qquad \mathcal L\{ty''\} = -\frac{d}{ds}\left[s^2Y - sy(0) - y'(0)\right]

ใช้ P9 แล้วได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งใน Y(s)Y(s) ซึ่งมักแก้ง่ายกว่าเดิม

ตัวอย่าง Q-13 · สัมประสิทธิ์ตัวแปร

ty′′−ty′+y=2, y(0)=2, y′(0)=−1ty'' - ty' + y = 2,\ y(0) = 2,\ y'(0) = -1

  1. −dds[s2Y−2s+1]+dds[sY−2]+Y=2s-\frac{d}{ds}\left[s^2Y - 2s + 1\right] + \frac{d}{ds}\left[sY - 2\right] + Y = \frac{2}{s}
  2. −(2sY+s2Y′−2)+(Y+sY′)+Y=2s ⇒ s(1−s)Y′+2(1−s)Y=2(1−s)s-(2sY + s^2Y' - 2) + (Y + sY') + Y = \frac{2}{s} \ \Rightarrow\ s(1 - s)Y' + 2(1 - s)Y = \frac{2(1 - s)}{s}

  3. หารด้วย (1−s)(1 - s): sY′+2Y=2ssY' + 2Y = \dfrac{2}{s} คูณ ss ได้ dds(s2Y)=2\dfrac{d}{ds}\left(s^2Y\right) = 2

    s2Y=2s+C ⇒ Y=2s+Cs2 ⇒ y=2+Cts^2Y = 2s + C \ \Rightarrow\ Y = \frac{2}{s} + \frac{C}{s^2} \ \Rightarrow\ y = 2 + Ct

  4. y′(0)=C=−1y'(0) = C = -1

y(t)=2−ty(t) = 2 - t

ตรวจ: t⋅0−t(−1)+(2−t)=2t\cdot 0 - t(-1) + (2 - t) = 2 ✓

ตัวแก้สมการโต้ตอบ: แสดงวิธีทำทุกขั้น

เลือกอันดับ ใส่สัมประสิทธิ์ a,b,ca, b, c ขนาดอินพุต KK และค่าเริ่มต้น แล้วเลือกชนิดอินพุต ตัวแก้จะแสดงการแปลงทั้งสองข้าง การจัดรูป สมการลักษณะเฉพาะพร้อมชนิดของความหน่วง เศษส่วนย่อย และคำตอบ กราฟแยกส่วนที่มาจากค่าเริ่มต้นกับส่วนที่มาจากอินพุตให้เห็นด้วย ปุ่ม “เปิดในตัวแก้สมการ” ในแต่ละตัวอย่างจะใส่ค่าให้อัตโนมัติ

อ่านต่อและแหล่งอ้างอิง

คำถามที่พบบ่อย

แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยลาปลาซดีกว่าวิธีปกติอย่างไร?

รวมค่าเริ่มต้นเข้าไปในขั้นตอนเดียว ไม่ต้องหาคำตอบทั่วไปแล้วแก้หาค่าคงที่ทีหลัง ใช้กับอินพุตที่ไม่ต่อเนื่อง (ขั้นบันได พัลส์ อิมพัลส์ หน่วงเวลา) ได้ตรง ๆ และได้ฟังก์ชันถ่ายโอนมาพร้อมกัน ซึ่งใช้ต่อในวิชาระบบควบคุม

ผลตอบสนองอิสระ (zero-input) กับผลตอบสนองบังคับ (zero-state) ต่างกันอย่างไร?

ผลตอบสนองอิสระมาจากค่าเริ่มต้นอย่างเดียว (อินพุตเป็นศูนย์) ผลตอบสนองบังคับมาจากอินพุตอย่างเดียว (ค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์) คำตอบรวมคือผลบวกของทั้งสอง ในโดเมน s เห็นแยกกันชัดเจนในสมการ Y(s) เดียว

จะรู้ได้อย่างไรว่าระบบอันดับสองหน่วงเกิน วิกฤต หรือหน่วงน้อย?

ดูดิสคริมิแนนต์ของสมการลักษณะเฉพาะ as2+bs+c=0as^2 + bs + c = 0 ถ้า b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0 รากจริงต่างกัน หน่วงเกิน ถ้า =0= 0 รากซ้ำ หน่วงวิกฤต ถ้า <0< 0 รากเชิงซ้อน หน่วงน้อยและแกว่ง ค่าความหน่วง ζ=b/(2ac)\zeta = b/(2\sqrt{ac})

อาจารย์มด · ธีรวุฒิ แสวงบุญ
อาจารย์สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้า มหาวิทยาลัยราชภัฏธนบุรี สมุทรปราการ · ดูโปรไฟล์